天津大学《最优化方法》复习题

天津大学《最优化方法》复习题(含答案)第一章 概述(包括凸规划)一、 判断与填空题1)].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯3 设.:R R D f n →⊆ 若n R x ∈*,对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*,则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解、 ⨯4 设.:R R D f n →⊆ 若D x ∈*,存在*x 的某邻域)(*x N ε,使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*,则称*x 为最优化问题)(min x f Dx ∈的严格局部最优解、 ⨯5 给定一个最优化问题,那么它的最优值就是一个定值、 √6 非空集合n R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D 、 √7 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D 、 √ 8 任意两个凸集的并集为凸集、 ⨯9 函数R R D f n →⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数、 √10 设R R D f n →⊆:为凸集D 上的可微凸函数,D x ∈*、 则对D x ∈∀,有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T ⨯11 若)(x c 就是凹函数,则}0)( {≥∈=x c R x D n 就是凸集。

√12 设{}k x 为由求解)(min x f Dx ∈的算法A 产生的迭代序列,假设算法A 为下降算法,则对{}Λ,2,1,0∈∀k ,恒有 )()(1k k x f x f ≤+ 、13 算法迭代时的终止准则(写出三种):_____________________________________。

14 凸规划的全体极小点组成的集合就是凸集。

√15 函数R R D f n →⊆:在点k x 沿着迭代方向}0{\nk R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α,则其搜索公式为 、16 函数R R D f n →⊆:在点k x 沿着迭代方向}0{\nk R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α,则=+∇k T k k k d d x f )(α 0 、17 设}0{\n k R d ∈为点nk R D x ⊆∈处关于区域D 的一个下降方向,则对于0>∀α,),0(αα∈∃使得.D d x k k ∈+α ⨯二、 简述题1 写出Wolfe-Powell 非精确一维线性搜索的公式。

2 怎样判断一个函数就是否为凸函数、(例如: 判断函数2122212151022)(x x x x x x x f +-++=就是否为凸函数) 三、 证明题1 证明一个优化问题就是否为凸规划、(例如 判断0 ..21)(min ≥=++=x bAx t s b x c Gx x x f T T (其中G 就是正定矩阵)就是凸规划、2 熟练掌握凸规划的性质及其证明、第二章 线性规划考虑线性规划问题:,0,..min )(≥=x b Ax t s xc LP T其中,m n m n R b R A R c ∈∈∈⨯,, 为给定的数据,且rank .,n m m A ≤=一、 判断与选择题1 (LP)的基解个数就是有限的、 √2 若(LP)有最优解,则它一定有基可行解为最优解、 √3 (LP)的解集就是凸的、 √4 对于标准型的(LP),设{}k x 由单纯形算法产生,则对{}Λ,2,1,0∈k ,有.1+>k T k T x c x c ×5 若*x 为(LP)的最优解,*y 为(DP)的可行解,则.**y b x c T T ≥ √6 设0x 就是线性规划(LP)对应的基),,(1m P P B Λ=的基可行解,与基变量m x x ,,1Λ对应的规范式中,若存在0<k σ,则线性规划(LP)没有最优解。

×7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法:____________________、 8 对于线性规划(LP),每次迭代都会使目标函数值下降、 ×二、 简述题1 将以下线性规划问题化为标准型:.0,0,2,1242,6..32)(max 32321321321321≥≥≥+-≥++≤+++-=x x x x x x x x x x x t s x x x x f 2 写出以下线性规划的对偶线性规划:.0,,,,3342,6342..423)(max 4321432143214321≥≥+++-=++++++=x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f 三、 计算题熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法(包括大M 法及二阶段法)、 见书本:例2、5、1 (利用单纯形表求解);例2.6.1 (利用大M 法求解);例2、6、2 (利用二阶段法求解)、四、 证明题熟练掌握对偶理论(弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件)及利用对偶理论证明相关结论。

第三章 无约束最优化方法一、 判断与选择题1 设n n R G ⨯∈为正定矩阵,则关于G 共轭的任意1+n 向量必线性相关、 √2 在牛顿法中,每次的迭代方向都就是下降方向、 ×3 经典Newton 法在相继两次迭代中的迭代方向就是正交的、 ×4 PRP 共轭梯度法与BFGS 算法都属于Broyden 族拟Newton 算法、 ×5 用DFP 算法求解正定二次函数的无约束极小化问题,则算法中产生的迭代方向一定线性无关、 √6 FR 共轭梯度法、PRP 共轭梯度法、DFP 算法、及BFGS 算法均具有二次收敛性、 ×7 共轭梯度法、共轭方向法、DFP 算法以及BFGS 算法都具有二次终止性、√8 函数R R f n →:在k x 处的最速下降方向为 、 9 求解)(min x f nR x ∈的经典Newton 法在k x 处的迭代方向为=k p 、10 若)(x f 在*x 的邻域内具有一阶连续的偏导数且0)(*=∇x f ,则*x 为的局部极小点、 ×11 若)(x f 在*x 的某邻域内具有二阶连续的偏导数且*x 为)(x f 的严格局部极小点,则)(*2*x f G x ∇=正定、 ×12 求解)(min x f nR x ∈的最速下降法在k x 处的迭代方向为=k p 、13 求解)(min x f nR x ∈的阻尼Newton 法在k x 处的迭代方向为=k p 、14 用牛顿法求解)(21min n n n T T R x R G R b x b Gx x n ⨯∈∈∈+，时,至多迭代一次可达其极小点、 ×15 牛顿法具有二阶收敛性、 √16 二次函数的共轭方向法具有二次终止性、 ×17 共轭梯度法的迭代方向为:_____________________、二、证明题1 设R R f n →:为一阶连续可微的凸函数,n R x ∈*且0)(=∇*x f ,则*x 为)(min x f n R x ∈的全局极小点、2 给定n R b ∈与正定矩阵n n R G ⨯∈、 如果n k R x ∈为求解x b Gx x x f T T R x n +=∈21)(min 的迭代点, {}0\n k R d ∈为其迭代方向,且),0[∞+∈k α为由精确一维搜索所的步长,则.)()(k T k kT k k Gdd d x f ∇-=α 3 试证:Newton 法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点、四、 简述题1 简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点、2 简述共轭梯度法的基本思想、五、 计算题1 利用最优性条件求解无约束最优化问题、例如:求解121222122123)(min x x x x x x f --+= 2 用FR 共轭梯度法无约束最优化问题、见书本:例3、4、1、3 用PRP 共轭梯度法无约束最优化问题、见书本:例3、4、1、例如:01.0,)0,0( 22123)(min 01212221==--+=εT x x x x x x x f 其中 第四章 约束最优化方法考虑约束最优化问题:{}{},,,2,1,0)(,,,2,1,0)(..)(min )(m l l I i x c l E i x c t s x f NLP i i ΛΛ++=∈≥=∈=其中,.:),,2,1(,R R m i c f n i →=Λ一、判断与选择题1 外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT 、 ×2 使用外罚函数法与内罚函数法求解(NLP)时,得到的近似最优解往往不就是(NLP)的可行解、 ×3 在求解(NLP)的外罚函数法中,所解无约束问题的目标函数为 、4 在(NLP)中0=l ,则在求解该问题的内罚函数法中,常使用的罚函数为 、5 在(NLP)中0=l ,则在求解该问题的乘子法中,乘子的迭代公式为=+i k )(1λ ,对{}m i ,,1Λ∈、6 在(NLP)中l m =,则在求解该问题的乘子法中,增广的Lagrange 函数为:_________________________________7 对于(NLP)的KT 条件为:_______________二、计算题1利用最优性条件(KT 条件)求解约束最优化问题、 2 用外罚函数法求解约束最优化问题、见书本:例4、2、1;例4、2、2、3 用内罚函数法求解约束最优化问题、见书本:例4、2、3、4 用乘子法求解约束最优化问题、见书本:例4、2、7;例4、2、8、三、简述题1 简述SUMT 外点法的优缺点、2 简述SUMT 内点法的优缺点、四、证明题利用最优性条件证明相关问题、例如:Q 设为正定矩阵,A 为列满秩矩阵、试求规划bx A t s a x c Qx x x f P =++=T T T .. 21)(min )( 的最优解,并证明解就是唯一的、第五章 多目标最优化方法一、判断与选择题1 求解多目标最优化问题的评价函数法包括 、2 通过使用评价函数,多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题、 √3 设m n R R D F →⊆:,则F 在D 上的一般多目标最优化问题的数学形式为 、4 对于规划T m R D x x f x f x F V n))(,),(()(1min K =-⊆∈,设D x ∈*,若不存在Dx ∈使得)()()()(**≠≤x F x F x F x F 且,则*x 为该最优化问题的有效解、 √ 5 一般多目标最优化问题的绝对最优解必就是有效解、 √6 对于规划T m R D x x f x f x F V n))(,),(()(1min K =-⊆∈,设i w 为相应于),,2,1(m i f i K =的权系数,则求解以上问题的线性加权与法中所求解优化的目标函数为 、7 利用求解T m R D x x f x f x F V n))(,),(()(1min K =-⊆∈的线性加权与法所得到的解,或者为原问题的有效解,或者为原问题的弱有效解、 √二、简述题1 简单证明题☆ 绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系、● 第5、2节中几个主要结论的证明、2 简单叙述题★ 简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想、● 简述求解一般多目标规划的线性加权与法的基本思想、★ 简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想、● 简述在求解一般多目标规划的评价函数法中,确定权系数方法的基本思想、。