水下航行器轨迹,建模作业20121131003

§1 问题的重述 一、问题背景 无人水下航行器(UUV—Unmanned Underwater Vehicle)作为一种海上力量倍增器， 有着广泛的军事用途。随着相关技术的发展，无人水下航行器已经被用于执行扫雷、侦 察、情报搜集及海洋探测等任务。根据执行任务的需要，无人水下航行器都包含动力装 置、推进器、控制器、导航设备、探测设备、通信设备或武器装备等模块。 二、要解决的问题
现有一无人水下航行器，它的前视声呐的工作半径 R=2km，水平开角 120 ，垂直开角
15 ,水下航行速度为 6～7 节。 根据任务需要， 拟用无人水下航行器在长为 0 x 50 ，
宽为 0 y 30 （单位：km）的某矩形海域 D 内执行海底探测任务，附件 1 给出了该海 域 x 方向和 y 方向间隔 0.5km 的网格节点的海拔高度值 z。 结合实际研究下列问题： 无人水下航行器从（0，30）点到（50，0）点执行探测任务，要求航行器保持距海 底 0.1km 的深度航行。试设计出用时最少的航行路线和探测区域，并在三维空间做出无 人水下航行器的航行轨迹图。
§4 符号说明 一、符号说明
1、将节点按行驶步骤分成 i 个阶段，各节点所处的阶段用点集 Ai 表示 2、AiAj ：点集 Ai 到点集 Aj 的线段 3、权：表示题目中给出的两节点之间的权，如坐标（1，5）的权为 23；. 4、V ：A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12，A13，A14， A15，A16，A17，A18，A19，A20 的集合. 5、E ：A1A5，A1A6，A1A10，A1A13， A1A15，A1A17， A1A19，A2A5，A2A11， A3A11，A3A18，A4A5，A4A12，A4A15，A5A12，A5A14，A5A15，A6A7，A6A15， A6A17， A7A16， A8A18， A8A19， A9A10， A9A14， A9A18， A9A19， A13A15， A13A16， A19A20 的集合. 8、W ：V 中点之间的的集合，则 G=（V，E，W）表示赋权连通简单无向图 9、M ：V 中点之间的的集合，则 F=（V，E，M）表示赋权连通简单无向图 10、G（V，E） ：赋权连通图； 11、G i ：G（V，E）的第 i 个子图； 12、Li ：为子图 G i 中的最佳回路； 13、 w(e) ：为边 e 的权； 14、 w(v) ：为点 v 的点权； 15、 l i ： L i 的各边的大小；
§7 参考文献
[1] 李庆扬，关治，白峰衫 . 数值计算原理 . 北京：清华大学出版社 , 2000； [2] 刘来福，曾文艺. 数学模型与数学建模（第二版） . 北京：北京师范大学出版社， 2002； [3] 蔡锁章 . 数学建模原理与方法 . 北京：海洋出版社， 2000； [4]王勇，池洁，物流配送路线及配送时间的优化分析 2010-6-4； [5]吴群妹，实际配送中多个配送点闭回路最短路径的选取， 2010-6-4； [6]郭亚军 , 综合评价理论与方法 [M]. 北京：科学出版社 ,2002； [7]池洁，李莉，物流中配送区域与配送路线的网络优化法， 2010-6-4 ；
§5 模型的建立与求解
依据问题的要求及相关假设，建立相应的模型并进行求解：
1
一、问题一的模型建立与求解 这里，因为时间所限，我们把原有庞大的 61101 的众多情况放一边，先讨论节点数 很少的情况，把问题简化。简化后，其形式如下图：
2 4
C1
8 3 4
5
B1
8
D1
5 3 4 5 6 D2 2 1
BY
20121131003 范峻雨 20121111020 郑欣豪 20121131007 苗壮
问题 C：无人水下航行器的航迹规划 摘 要
无人水下航行器(UUV—Unmanned Underwater Vehicle)作为一种海上力量倍增器， 有着广泛的军事用途。随着相关技术的发展，无人水下航行器已经被用于执行扫雷、侦 察、情报搜集及海洋探测等任务。对于本题，由于时间有限我们只求解问题一。 对于问题所提出的试设计出用时最少的航行路线和探测区域的问题， 我们分析得出 了以下结论。我们把潜艇的航行速度近似看成是匀速的，且必须按节点行进，而且从一 个节点到另一个节点必须走直线的话，我们可以近似地得出各节点间的距离。这样时间 最短问题就变成了求最短路径的问题。根据图论的知识，节点间最短路径的求法，我们 采取了基于 Robert Floyd 算法的动态规划来求解，最后画出了海底地形图，以及最优 航线。 关键词：关键字：最短路径 动态规划 Floyd 算法 轨迹图
4
§6 模型的评价与推广
一、模型的优缺点 1、优点： 〔1〕.本文的问题，给出了在地形约束条件下的最短时间的计算方法，具有较强的实 用性和通用性，可用于探测活动中； 〔2〕.在忽略其他条件限制的最短时间问题中，我们采用动态规划方法进行求解，并 用了枚举法进行验证，经过大量的计算使结果更准确，更符合实际情况，从而达到解决 实际问题的目的； 〔3〕.采用枚举法对问题结果进行验证，使计算结果更加准确，更符合实际； 2、缺点： 〔1〕.本题中为使问题便于研究，我们做了许多假设，这或许对模型的实际意义产生 影响； 〔2〕.本问题并非线性优化问题，加之节点过多，需要到量的精密计算，多次重复因 此很难做到求出的结果就是最优解，只是相对较优的结果； 〔3〕.本为题所建立的模型，本省舍弃了某些因素的影响的结果，但会使所求结果与 实际生活产生偏差。 二、模型的推广 本文依据所研究的问题建立了数学模型， 这个模型对于许多数学问题的解决方法和 途径都有一定的帮助。 在问题中利用动态规划的方法来解决的， 此种优化方法可用来指导现实生活中所遇 到的许多问题，如：旅游最短线路问题、货物运送问题、邮递问题以及管道输水等等一 些实际问题。求解这些问题可以参考最小生成树方法，再利用枚举法经过大量的计算可 得出非常接近最优解。 这类问题在实际生活中随处可看见，且都可以应用这些模型进行解决。在将实际问 题抽象为具体数学问题的时候，根据数学建模的思想以及步骤，会做出一定的假设，因 此会导致一定的误差，因此不同的实际问题，要根据具体情况认真考虑，得出最优的设 计方案，对于解决实际问题具有很重要的意义。
2
状 状 态 1 状 态 态 2 C1
8 3 6 5 8 7 7 4 5
状 态 4
状 态 5
状 态 6
3
2 4
B1
D1
5 3 5 6
3
C2 C3
8
E1
3
4
A
D2 2
1
F
4
B2
E2
3
D3
4
C4
第1ห้องสมุดไป่ตู้段
第2阶段
第3阶段
第4阶段
第5阶段
其中各点间权重，见表 3： 表3
线路 A1A5 A1A6 A1A10 A1A13 A1A15 A1A17 A1A19 A2A5 A2A13 A2A11 A3A11 A3A18 A4A5 A4A12 A4A15 权 23 21 8 20 12 24 9 6 8 4 2 10 11 12 15 线路 A5A12 A5A14 A5A15 A6A7 A6A17 A7A16 A8A18 A8A19 A9A10 A9A14 A9A18 A9A19 A13A15 A13A16 A19A20 权 8 20 22 3 2 2 4 3 2 11 15 17 12 7 4
3
6 5 7 7
C2 C3
8
E1
3
4
A
F
B2
D3
4
E2
3
C4
2、网络图权的简化 对一个复杂的网络图来说。由于在利用计算机处理动态规划问题时耗费资源很大。 为了节约计算资源。 首先要对网络图进行预处理。本文以图 1 为例，来研究复杂网络 图的简化。 第一步主要是对某些节点进行短路处理。设图 1 中网络图的权值矩阵为 A。求节点 1 到节点 21 的权值最小的路径。图中节点 2、14、15、16、17、18。如果路径中包含节 点 2、18 ，那么这条路径中也必然包含节点 14、15、16、17，因此可将节 点 2 、18 相连。在图 1 中以虚线表示。它的权值分别是节点 2、1 4，节点 1 4、1 5， 节点 15、16 ，节点 16、17 与节 点 17、 18 对应边的权值的和。对节点 2、13、 9 和 节点 4 … 5、6、11 进行同样的处理。对节点进行短路处理完全只是为了减少计算量。 将网络图 1 中的节点按由小到大的顺序重新编码得到权值矩阵和图 3。
5
附件：源程序 1、权的求取
权 8 2 9 3 4 4 10 2 4 6 8 8 7 2 3 2 11 11 12
clc;clear; M=1000; a=zeros(20); a(5,12)=8;a(5,2)=6;a(5,4)=11;a(4,12)=12;a(2,11)=4;a(3,11)=2;a(1,5)=23; a(5,14)=20;a(5,15)=22;a(2,13)=8;a(13,16)=7;a(7,16)=2;a(6,7)=3;a(6,17)=2; a(4,15)=15;a(1,6)=21;a(1,17)=24;a(8,18)=4;a(8,19)=3;a(1,10)=8; a(13,15)=12;a(3,18)=10;a(1,15)=12;a(1,13)=20;a(1,19)=9; a(14,9)=11;a(10,9)=2;a(18,9)=15;a(19,9)=17; a(20,19)=4; a=a+a';a(find(a==0))=M; for i=1:20 a(i,i)=0; end result=[];p=1;tb=2:length(a); while length(result)~=length(a)-1 temp=a(p,tb);temp=temp(:); d=min(temp); [jb,kb]=find(a(p,tb)==d); j=p(jb(1));k=tb(kb(1)); result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[]; end result 2、运用 Floyd 算法求取动态规划中最短距离及路线。 MATLAB 程序： a=[0,4,5,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 4,0,inf,2,3,6,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 5,inf,0,inf,8,7,7,inf,inf,inf,inf,inf,inf inf,2,inf,0,inf,inf,inf,5,8,inf,inf,inf,inf inf,3,8,inf,0,inf,inf,4,5,inf,inf,inf,inf inf,6,7,inf,inf,0,inf,inf,3,4,inf,inf,inf inf,inf,7,inf,inf,inf,0,inf,8,4,inf,inf,inf inf,inf,5,4,inf,inf,inf,0,inf,inf,3,5,inf inf,inf,inf,8,5,3,8,inf,0,inf,6,2,inf inf,inf,inf,inf,inf,4,4,inf,inf,0,1,3,inf inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,3,6,1,0,inf,4 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,5,2,3,inf,0,3 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,4,3,0];
min{3 4,5 3} 7.
这说明由 D1 到 F 的最短距离为 7，其路径为 D E F . 1 1 经过观察上面下划线的部分并 A5—A12—A5—A4—A5—A2—A13—A16 不是最短的， 经计算这个路线 A5—A12—A4—A15—A13—A16 比上一段的要短，故用它替换上一段， 这里经过了 A15，那从 A17 可直接到 A1，不用再经过 A15，故 A7—A6—A17—A15—A1 这段可用 A7—A6—A17—A1 来替换，A1—A19—A20—A19—A8—A18—A3—A11—A2—A5 —A12—A4—A15—A13—A16—A7—A6—A17—A1—A10—A9—A14—A9—A10—A1， 由于这 条路径最后一段，A20，和 A9 都重走了，故可对路径进行重组，依据线路最短和经过两 次的城市最少的原则，经过综合分析，得出最优的路径为 A1—A17 — A6— A7—A16 —A13 —A15 —A4— A12— A5 —A2 — A11— A3— A18 —A8— A19 —A20 利用 matlab 软件，可以较为容易地绘制出海底地形图，以及在问题一结果基础上 的航行器航行轨迹如下图所示：
§2 问题的分析
我们对第一问要求时间最短，我们最短时间转化最短距离，围绕探测器所要到的各 节点的坐标及这些节点之间的距离（空间距离） ，采用 Floyd 算法进行求解得到任意两 地之间的最短距离。
§3 模型的假设
1、探测器在行驶期间能保持正常工作状态，不受燃料以及水文条件变化等影响； 2、假设探测器自身无任何故障，不考虑启动时间，认为飞机在工作时速度始终保持在 平均速度为 7—8 节； 3、探测器的外形及重量的变化不影响探测器的速度； 4、假定探测器只能沿着图中节点的连线飞行，而不走其他的路线；
定义 V 为 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12，A13，A14，A15，A16，
3
A17， A18， A19， A20 的集合， 定义 E 为 A1A5， A1A6， A1A10， A1A13， A1A15， A1A17， A1A19，A2A5，A2A11，A2A13，A3A11，A3A18，A4A5，A4A12，A4A15，A5A12， A5A14，A5A15，A6A7，A6A17，A7A16，A8A18，A8A19，A9A10，A9A14，A9A18， A9A19，A13A15，A13A16， A19A20 的集合，定义 W 为 V 中点之间的权（2）的集合， 则 G=（V，E，W）表示图。 2、模型程序求解 逆序递推，找出上一个状态到下一阶段的最小路径值。 例如，当 K=4 时，状态 S {D , D , D } 它们到 F 点需经过中途点 E， 需一一分析从 4 1 2 3 E 到 F 的最短路：先说从 D1 到 F 的最短路有两种选择：经过 E1, E2, 比较最短。 f 4 ( D1 ) min{d 4 ( D1 , E1 ) f 5 ( E1 ), d 4 ( D1 , E2 ) f 5 ( E2 )}