专题7.1 空间几何体的结构特征及其表面积、体积-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

23 1

第七篇 立体几何与空间向量

专题7.01 空间几何体的结构及其表面积、体积

【考试要求】

1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题；

3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图. 【知识梳理】

1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征

名称

棱柱

棱锥

棱台

图形

底面

互相平行且全等

多边形

互相平行且相似

侧棱

平行且相等

相交于一点，但不一定相

等

延长线交于一点

侧面形状

平行四边形

三角形

梯形 (2)旋转体的结构特征 名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

母线

互相平行且相等，

垂直于底面

相交于一点

延长线交于一点

轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形

全等的等腰梯形

圆 侧面展开

矩形

扇形

扇环

23 2

图 2.直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴、y ′轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

S 圆柱侧＝2πrl

S 圆锥侧＝πrl

S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l

4.空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体

表面积

体积

柱 体

(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底

V ＝S 底h

锥 体

(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底

V ＝1

3

S 底h

台 体

(棱台和圆台)

S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下

V ＝1

3

(S 上＋S 下＋S 上S 下)h

球

S ＝4πR 2

V ＝43

πR 3

【微点提醒】

1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.

2.正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则与其有关的切、接球常用结论如下 ： (1)若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； (2)若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； (3)若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .

23 3

3.长方体的共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.

4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )

(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y

轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A ＝45°.( )

(4)锥体的体积等于底面面积与高之积.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×

【解析】 (1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱. (2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.

(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，把x ，y 轴画成相交成45°或135°，平行于x 轴的线段还平行于x 轴，平行于y 轴的线段还平行于y 轴，所以∠A 也可能为135°. (4)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. 【教材衍化】

2.(必修2P10B1改编)如图，长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′被截去一部分，其中EH ∥A ′D ′.剩下的几何体是( )

A.棱台

B.四棱柱

C.五棱柱

D.六棱柱

【答案】 C

【解析】 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.

23 4

3.(必修

2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm

D.32

cm 【答案】 B

【解析】 由题意，得S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，解得r 2＝4，所以r ＝2(cm). 【真题体验】

4.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.12π B.323

π C.8π

D.4π

【答案】 A

【解析】 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，解得a ＝2.设球的半径为R ，则2R ＝3a ，即R ＝ 3.所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π.

5.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.π B.3π4

C.π2

D.π4

【答案】 B

【解析】 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12

.

∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝⎛⎭

⎫3

22

×1＝3π4.

6.(2019·菏泽一中月考)用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为________. 【答案】

2

4

【解析】 设原矩形的长为a ，宽为b ，则其直观图是长为a ，高为b 2sin 45°＝2

4b 的平行四边形，所以S 直观S 矩形

＝