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2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（一）

1.已知函数f (x) x2 ax ln x(a R) .

（1）函数f (x)在 [1,2] 上的性；

（2）令函数g( x) e x 1 x2 a f (x) ，e=2.71828⋯是自然数的底数，

若函数 g (x) 有且只有一个零点m，判断 m 与 e 的大小，并明理由 .

2.已知函数 f (x) x3ax2bx c 在x 2

与x 1都取得极. 3

（1）求 a， b 的与函数f( x)的区；

（2）若x [ c,1] ，不等式 f (x) c

恒成立，求 c 的取范 . 2

3.已知函数 f (x) ln(1 x) ln(1x) .

（1）明 f '(x) 2 ；

（2）如果 f (x) ax x [0,1) 恒成立，求 a 的范 .

x 1

4.已知函数f (x) （ e 自然数的底数） .

e x

（1）求函数f (x)的区；

（2）函数(x) xf (x) tf '(x) 1

x1， x2 [0 ，1] ，使得 2 ( x1 )(x2 ) x ，存在数

e

成立，求数t 的取范 .

5.已知函数 f ( x) kx a x，其中k R，a 0且a 1 .

（1）当 a e （ e=2.71 ⋯自然数的底），f(x)的性；（2）当k 1，若函数f(x)存在最大g(a)，求g(a)的最小.

6.已知函数 f x x2ax ln x a R

（1）当a 3 ，求函数f(x)在

1 ,

2 上的最大和最小；

2

（2）函数 f(x)既有极大又有极小，求数 a 的取范 .

7.已知 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当

x 0 时， f x

1 x 3 ax a R ，且曲线 f(x)在

3

x

1 处的切线与直线 y 3

x 1平行

2

4

（1）求 a 的值及函数 f(x)的解析式；

（2）若函数 y f

x m 在区间 3, 3 上有三个零点，求实数

m 的取值范围 .

8.已知函数 f

x

x 0

ax, a

ln x

（1）若函数 y f x 在 1,

上减函数，求实数 a 的最小值；

（2）若存在

x 1 , x 2

e,e 2 ，使 f x 1 f x 2

a 成立，求实数 a 的取值范围 .

9.已知函数 f (x)

x 3 ax 2 bx 1， a ， b R ．

（ 1）若 a 2 b 0 ，

①当 a 0 时，求函数 f(x)的极值（用 a 表示）；

②若 f(x)有三个相异零点，问是否存在实数

a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试

求出 a 的值；若不存在，请说明理由；

（ 2）函数 f( x)图象上点 A 处的切线 l 1 与 f(x)的图象相交于另一点

B ，在点 B 处的切线为

l 2 ，直线 l 1， l 2 的斜率分别为 k 1， k 2 ，且 k 2 =4k 1 ，求 a ，b 满足的关系式．

10.已知函数 f ( x) e x

e x ，其中 e 是自然对数的底数．

（1）若关于 x 的不等式 mf ( x)

e x m 1在 (0,+ ∞)上恒成立，求实数 m 的取值范围；

（2）已知正数 a 满足：存在 x 0 [1, ) ，使得 f ( x 0 ) a( x 0

3

3x 0 ) 成立．试比较 e a 1

与 a e 1 的大小，并证明你的结论．

11.已知函数 f x

e ax ln x 2 （ e 为自然对数的底数） .

（1）若 a R ， F x

e ax

f ' x ，讨论 F x 的单调性；

（2）若 a

1 x

f x x 1在 (－ 1,+ ∞)内存在零点，求实数 a 的范围 .

，函数 g

2

12.已知函数

（ 1）若函数

间；

f ( x) (2 a)( x 1) 2ln x （ a R ） .

g(x) f ( x) x 上带你 (1,g (1)) 处的切线过点 (0,2)，求函数 g(x) 的单调减区

（2）若函数

y

f (x) 在 (0, 1

) 上无零点，求

a 的最小值 .

2

13.已知 a

R ，函数 f (x)

2

a ln x .

x

（1）若函数 f (x) 在区间 (0,2)内单调递减，求实数 a 的取值范围；

（2）当 a 0 时，求函数 f ( x) 的最小值 g (a) 的最大值； （3）设函数

h( x) f ( x)

(a 2) x ， x [1, ) ，求证： h( x) 2 .

14.设函数 f ( x) a 2 ln x x 2 ax(a R) .

（1）试讨论函数

f ( x) 的单调性；

（2）设 ( x) 2x (a

2

a)ln x ，记 h( x) f (x)(x) ，当 a 0 时，若方程

h( x) m(m

R) 有两个不相等的实根 x 1 ， x 2 ，证明 h '(

x 1 x 2

) 0 .

2

15.已知函数 f x

e x a(ln x 1)(a

0) .

（1） f( x)在区间 (0,2)上的极小值等于，求；

x 2

1

f x

f x

（2）令 g x

mx 1，设 x 1

, x 2 (x 1 x 2 ) 是函数 h x

g x

2

x a

4 3 ，求 h(x 1)

h(x 2 ) 的最小值 .

的两个极值点，若

m

3