高中数学必修5知识点总结及经典例题

必修5知识点总结1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． （正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

）⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

（一解、两解、无解三中情况） 如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。

具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 有无交点： 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。

法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a<bsinA ，则B 无解 当bsinA<a ≤b,则B 有两解 当a=bsinA 或a>b 时，B 有一解注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。

2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A 、B,DbsinAAbaCABC 、D 两点， 并测得∠ACB=75O, ∠BCD=45O, ∠ADC=30O,∠ADB=45O(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A 、B 之间的距离。

本题解答过程略附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列．11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a n+1>a n ）． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a n+1<a n ）． 13、常数列：各项相等的数列（即：a n+1=a n ）．14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:1n n a a d +-=。

注：看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① ②2() ③(为常数18、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项． 19、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11naa n d =+-．20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③11n a a d n -=-；),2(1为常数d n d a a n n ≥=--11-++=n n n a a a 2≥n b kn a n +=k n ,④11n a a n d-=+；⑤n m a a d n m -=-．21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2np q a a a =+．22、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112n n n S na d -=+．③12n n s a a a =+++23、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21nn n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶． ②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：1n na q a +=（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：① ②(，) ③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.25、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．（注：由2G ab =不能得出a ，G ，b 成等比，由a ，G ，b ⇒2G ab =） 26、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．27、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n na a q --=；③11n na q a -=；④n m n m a q a -=．28、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n 112-+⋅=n n na a a 2≥n 011≠-+n n n a a a n n cq a =q c ,n a n x a log 1 x数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2np q a a a =⋅．29、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：①()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．②12nn s a a a =+++30、对任意的数列{}的前项和与通项的关系：[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{}前n 项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 附：几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法： 一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值. 数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下： 数列 通项公式对应函数等差数列（时为一次函数）等比数列（指数型函数）数列 前n 项和公式对应函数等差数列（时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n 项和看成是关于n 的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例题：1、等差数列中，，则.n a n n S n a ⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n ()()d a nd d n a a n -+=-+=111d d n a n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=221222d d d n n S 0 d n S n 0,01 +≥n n a a n n da n d S n )2(212-+=n分析：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例题：2、等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大？分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，，则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，最大。

例题：3递增数列，对任意正整数n，恒成立，求分析：构造一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，所以对一切恒成立，设，则只需求出的最大值即可，显然有最大值，所以的取值范围是：。

构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。

从对应图像上看，对称轴在的左侧也可以（如图），因为此时B点比A点高。

于是，，得n⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证为同一常数。

(2)通项公式法。

(3)中项公式法:验证都成立。

3. 在等差数列｛｝中,有关S n 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m 使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m 使得取最小值。