福建省莆田一中2021-2022高一数学下学期期末考试试题
福建省2021版高一下学期数学期末考试试卷(I)卷
福建省2021版高一下学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·淮北期末) 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲， m乙，则（）A . ，m甲＞m乙B . ，m甲＜m乙C . ，m甲＞m乙D . ，m甲＜m乙2. （2分） (2017高三上·天水开学考) 已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量 =（3，4），若⊥ ，则tan（α+ ）=（）A . 7B .C . ﹣7D .3. （2分）某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（）A . 6B . 4C . 3D . 24. （2分）(2018·凉山模拟) 数列满足，，表示的前项和，且，则（）A . 6B . 7C . 8D . 95. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=4，a=4，则此三角形有（）A . 两解B . 一解C . 无解D . 无穷多解7. （2分） (2017高三下·重庆模拟) 设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）已知，给出下列命题：①若，则；②若ab≠0，则；③若，则；其中真命题的个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 09. （2分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图所示，例如明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16.当对方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）A . 4,6,1,7B . 6,4,1,7C . 1,6,4,7D . 7,6,1,410. （2分）设变量满足则目标函数的最小值为（）A . 2B . 4C . 6D . 以上均不对11. （2分） (2016高一下·吉林期中) 已知实数a，b满足，x1 ， x2是关于x的方程x2﹣2x+b ﹣a+3=O的两个实根，则不等式0＜x1＜1＜x2成立的概率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·南阳期中) 已知在正项等比数列{an}中，a1=1，a2a4=16，则|a1﹣12|+|a2﹣12|+…+|a8﹣12|=（）A . 224B . 225C . 226D . 256二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·北京文) 已知向量 =（1，）， =（，1），则与夹角的大小为________．14. （1分）(2020·梧州模拟) 在等比数列{an}中，a4＝4（a3﹣a2），a5＝﹣16，则a1＝________．15. （1分） (2016高三上·浦东期中) 已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是________．16. （1分） (2018高一下·三明期末) 在中，角所对的边分别为，若，则最大角的余弦值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2017高一下·长春期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量 =（﹣cosB，sinC）， =（﹣cosC，﹣sinB），且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积，求a的值．18. （10分） (2016高一下·攀枝花期中) 已知向量 =（an ， 2n）， =（2n+1 ，﹣an+1），n∈N*，向量与垂直，且a1=1（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=log2an+1，求数列{an•bn}的前n项和Sn ．19. （10分） (2019高三上·襄阳月考) 某城市新开大型楼盘，该楼盘位于城市的黄金地段，预售场面异常火爆，故该楼盘开发商采用房屋竞价策略，竞价的基本规则是：①所有参与竞价的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期房屋配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额。
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C'ABCDB'D'CBA福建省莆田一中2021-2022高一数学下学期期末考试试题一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．圆1)2()2(:221=-++y x C 与圆16)5()2(22:2=-+-y x C 的位置关系是( ) A ．外离 B ．外切 C ． 相交 D ．内切2．设a 、b 是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：正确的是( )A ．若,a b a α⊥⊥则//b α；B ．若//,,a ααβ⊥则a β⊥；C ．若,,a αββ⊥⊥则//a αD ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥3．已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a =( ) A ．-3 B ．31-C ． 31D ．3 4．若函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝3－2x 的图像关于坐标原点对称，则y ＝f(x)的表达式为( ) A ．y ＝－2x －3 B ．y ＝2x ＋3 C ．y ＝－2x ＋3 D ．y ＝2x －3 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，420S ，则10a =( )A ．25B ．32C ．35D ．406．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．以上情况都有可能7．如图：正三棱锥A BCD -中，40BAD ∠=︒，侧棱2AB =，BD 平行于过点C 的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的 周长的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．438．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( ) A ．()0,02a bab a b +≥>>B ．()2220,0+≥>>a b ab a bC ．()20,0abab a b a b≤>>+D ．()220,022a ba b a b ++≤>> 9．已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x=0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．10 D ．1510．如图所示，某学习小组进行课外研究性学习，隔河可以看到对岸两目标A 、B ，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A.85B ．415C ．215D ．2511．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是( )A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．异面直线AD 与PB 所成的角为60︒ C ．二面角P BC A --的大小为60︒D ．在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB12．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论： ①异面直线AC 与BD 所成的角为定值． ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°．④三棱锥M ACN -体积的最大值为248． 以上所有正确结论的有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（共4个小题,每小题5分,共20分，请将答案填在答题卡上）13.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元,购买3支康乃馨所需费用为B 元,则A,B 的大小关系是 .14.已知圆的方程为()2214x y +-=，若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的一般方程为 .15.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点A 在底面的射影为底面△BCD 的中心）A BCD -的外接球， 3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .16.圆C ：x 2＋y 2＝16，过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，在x 轴正半轴上存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB,求出点N 的坐标 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.请将答案填在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题共10分）已知直线l 在y 轴上的截距为2-，且垂直于直线210x y --=．（1）求直线l 的方程；（2）设直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，OAB 内接于圆C ，求圆C 的方程．18.（本题共12分）已知在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且2()n S n n *=∈N ，数列{}n b 为等比数列，公比1q >，11b a =，且22b ，4b ，33b 成等差数列．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）令nn na cb =，求{}n c 的前项和n T ． 19.（本题共12分）已知，，分别为三个内角，，的对边， 且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求的值．20.（本题共12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA=AB=3，AD=1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）当点E 为BC 的中点时， 证明EF//平面PAC ； （2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．21.（本题共12分）如图，在Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点E 在线段AB 上，过点E 作//EF BC 交AC 于点F ，将AEF ∆沿EF 折起到PEF ∆的位置（点A 与P 重合），使得060PEB ∠=．（1）求证：⊥平面CB 平面EF PBE ；（2）试问：当点E 在何处时，四棱锥P EFCB -的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值．22．（本题共12分）已知圆C ：22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A .（1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，判断•AM AN 是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.莆田一中2021-2022度下学期期末高一数学考试参考答案 1-5 BDAAC 6-10 ABDBB 11-12 DC13. A>B 14. 0324=--y x 15. []24π,π16. (8，0).17．解：（1）设直线l 的方程为2y kx =-．∵直线210x y --=的斜率为12，所以直线l 的斜率2k =-．则直线l 的方程为22y x =--．（2）设圆C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=．由于OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12AB ；由(1,0)A -，(0,2)B -得1,12C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，AB =12212DE⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪=，解得1D =，2E =，0F =．则圆C 的一般方程为：2220x y x y +++=．18．解：（1）∵111a S ==，221(1)n n S S n n --=--，∴21()n a n n *=-∈N ，…3分234232b b b +=，23232q q q +=，由于1q >，∴2q =，∴12()n n b n -*=∈N …6分（2）由（1）得1212n n n c --=，0121135212222n n n T --=++++，①∴123111352321222222n n n n n T ---=+++++，② ①-②得1211222212313222222n n n nn n T --+=++++-=-， ∴123662n n n T -+=-<…12分19．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得， 因为 ，所以，即 …4分 又，，所以. …6分（Ⅱ）由已知， …8分 由余弦定理得 ，即，即，又所以. …12分20．解：（1）证明： 连结AC ，EF, ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC ∆中，PC EF // ……3分.又，平面PAC EF ⊄PAC PC 平面⊂ ……4分∴当点E 是BC 的中点时，EF//平面PAC ……6分（2）∵AB PA ⊥，PA=AB=3，点F 是PB 的中点∴等腰PAB ∆中，PB AF ⊥，又BC PA ⊥，BC AB ⊥且PA 和AB 是平面PAB 上两相交直线∴BC ⊥平面PAB 又PAB AF 平面⊂.∴BC AF ⊥ …… 9分又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴PBC AF 面⊥ …… 11分 又PBC PE 平面⊂ ∴PE AF ⊥∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立． ……12分21．解：（1）证明：∵//EF BC 且BC AB ⊥， ∴EF AB ⊥，即,EF BE EF PE ⊥⊥．又BEPE E =，∴EF ⊥平面PBE ，又⊂EF 平面CBEF ，⊥平面CB 平面EF PBE ……4分（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=．∴21sin ()2442PEB x y S BE PE PEB xy ∆+=⋅⋅∠=≤= 当且仅当2x y ==时，PEB S ∆的面积最大，此时，2BE PE ==． ……6分 由（1）知EF ⊥平面PBE ，平面EFCB ⊥平面PBE ．在平面PBE 中，作PO BE ⊥于O ，则PO ⊥平面EFCB ．即PO 为四棱锥P EFCB -的高．又01sin 602(24)262EFCB PO PE S =⋅===⨯+⨯=．∴163P BCFE V -=⨯=……9分∵01cos60212OE PE =⋅=⨯=，∴1BO =，在Rt OBC ∆中，OC ==PO ⊥平面EFCB ，∴PCO ∠就是PC 与平面EFCB所成角．∴tan 17PO PCO OC ∠===故直线PC 与平面EFCB所成角的正切值为17， ……12分22．解：（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意 ……2分②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即kx y k 0--=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径22=，解之得34k=．所求直线方程是1x=，3430x y--=．……5分（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为kx y k0--=由220{x ykx y k++=--=得223(,)2121k kNk k--++．又直线CM与1l垂直，由{14(3)y kx ky xk=--=--(也可以通过直线与圆联立消去y,得到22221(286)8210.+-+++++=（）xk k k x k k2122286 +=1+++k kx xk而求出M坐标).得22224342 (,) 11+++++k k k k Mk kAM AN⋅=6==为定值．故AM AN⋅是定值，且为6．。
福建省莆田市2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题含答案
莆田市2022-2023学年下学期期末质量监测高一数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i iz =-（i 是虚数单位），则复数z 等于A．1-2iB．1+2iC．-1-2iD．-1+2i2.已知向量1,=k a （），2,3=b （），2,2=c （）-，且-∥()c a b ，则=k A.4B．-4C．2D.-23.某区政府为了加强民兵预备役建设，每年都按期开展民兵预备役军事训练，训练后期对每位民兵进行射击考核.民兵甲在考核中射击了8发，所得环数分别为6，8，a ，8，7，9，10，8．若民兵甲的平均得环数为8，则这组数据的第75百分位数为A．8B．8.5C．9 D.9.54.已知复数z 满足48i z z z ⋅+=（i 是虚数单位），则复数z =A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2i5.已知m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不重合的平面,则下列说法正确的是A.若m n ∥,n α∥，则m α∥ B.若m ⊥n ,n ⊥α，则m α∥C.若m ⊥α,m ⊥β，则αβ∥ D.若m α∥,α⊥β，则m ⊥β6.如图，要测量顶部不能到达的电视塔AB 的高度，在点C 测得塔顶A 的仰角是45°，在点D 测得塔顶A 的仰角是30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，CD ＝40m，则电视塔的高度为A.102m B.20m C.203mD.40m7.在ABC △中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足13AP AC AB λ=+ .若2AC = ，3AB =，则AP 的值为A.1D．28.几何中常用L 表示L 的测度，当L 为曲线、平面图形和空间几何体时，L 分别表示其长度、面积和体积.ABC △是边长为4的正三角形,P 为ABC △内部的动点（含边界）,在空间中,到点P 的距离为1的点的轨迹为L ,则L 等于A. B.223π+C.6π+ D.223π+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，则下列结论正确的是A．234i i i i 0+++=B．若z z =，则z ∈R C．若复数z 为纯虚数，则22z z =D．若(1i)1i z -+=，则1z =10.某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：千人次）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，则下列结论正确的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．每年月接待游客的增长量最多是8月D．每年1月至6月的月接待游客量相对同年7月至12月的月接待游客量，波动性更小11.如图,,,AB AC AD 两两互相垂直，三棱锥E BCD -是正四面体，则下列结论正确的是A.二面角D BC A --的大小为4πB.BC DE⊥C.若BCD △的中心为O ,则,,A O E 三点共线D.三棱锥E BCD -的外接球过点A12.已知ABC △的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,6b =，8c =，且cos cos 10b C c B +=，P 是AB 边上的动点，则()PA PB PC ⋅+ 的值可能为A.-64 B.-12 C.-8 D.0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校为了提升学生的中华文化素养，开设书法、对联、灯谜三个校本课程班，每位学生只报一个校本课程班，学校对高一、高二年级报名的学生人数进行统计，结果如右表.已知张华对上述三个校本课程班，采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个总样本量为30的样本，其中对联班的学生抽取10名，则x =____．14.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,侧面PAD 是正三角形,平面PAD ⊥平面ABCD ,1AB =,2AD =,则二面角P BC D --的大小是____．15.在正三角形ABC 中，D 为BC 上的点，2CD DB =，DE AB ⊥，垂足为E ，DF AB ∥，且交AC 于点F ，若DA DE DF λμ=+，则λμ+的值是____．16.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,14AA =,M ,N 分别是棱BC ,AD 的中点,E ，F 分别是棱11A B ，11C D 上动点.当直线NE 与底面1111A B C D 所成角最小时线段NE 的长度是____．四面体MNEF 的体积是____．（本题第一空２分，第二空３分）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量1(2=a ，1(,0)2=-b .（1）求向量a 与b 的夹角的余弦值；（2）若向量(=-c ，求向量c 在向量-a b 上的投影向量（用坐标表示）.18．（12分）已知向量m ()2cos ,1x =，n ()cos 2x x =，函数()f x =⋅m n .（1）若()2f α=,(0,π)α∈,求α的值；（2）已知ABC △的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,()2f A =，1b =，ABC △，求sin sin sin a b c A B C++++的值.在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,BC AD ∥,2BC AD =,AD CD ⊥,点,,E F M 分别为PB ,BC ,PD 的中点.（1）求证:BC ⊥平面AEF ；（2）过点,,A E M 的平面交PC 于点N ,求PN NC的值.20．（12分）某校共有高中生3000人，其中男女生比例约为3:2，学校要对该校全体高中生的身高信息进行统计.（1）采用简单随机抽样的方法，从该校全体高中生中抽取一个容量为n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图（如下）．根据图表信息，求n ，a ，b ，c 的值，并把频率分布直方图补充完整.（2）按男生、女生在全体学生中所占的比例，采用分层随机抽样的方法，共抽取总样本量为200的样本，并知道男生样本数据的平均数为172，方差为16，女生样本数据的平均数为160，方差为20，估计该校高中生身高的总体平均数及方差．身高（单位：cm ）频数[145，155)a[155，165)b[165，175)c[175，185)36[185，195]24已知ABC △的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.（1）求B ；（2）若2b =，4AB AC ⋅=u u r uu r，求ABC △的面积.22．（12分）已知三棱锥P ABC -,3PA PB PC ===,BC =,120BAC ∠=,点O 是ABC △的外心.（1）若60OBA ∠= ,求证:PA BC ⊥；（2）求点A 到平面PBC 距离的最大值.莆田市2022-2023学年下学期期末质量监测高一数学试题参考解答及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．单项选择题和单空填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．C 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．C 8．D二、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（本题为多项选择题，每小题中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．ABD 10．BD 11．BCD 12．CD三、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．13．2014．π315．94;83（第一空２分，第二空３分）.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查平面向量的数量积、平面向量夹角与模的运算等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性．满分10分．解：（1）因为12=(a，所以2=a ．…………………………………………………1分因为1,02=-()b ，所以12=b ．………………………………………………………2分所以14⋅-a b =．…………………………………………………………………………3分所以cos ||||θ⋅a b =a b (4)分14-=…………………………………………………………5分（2）因为-=(a b ，………………………………………………………………………6分所以与-a b 同向的单位向量-=-a be a b．………………………………………………7分所以11(22==e.…………………………………………………………8分所以=(-c在-a b上的投影向量为ebabaceba cbac ceba ccd--⋅=--⋅=⋅-=)()(,cos…………………………………9分)23,21(231=+-=e.……………………………………………………………10分18．本小题主要考查平面向量的应用、正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．解（1）依题意得2()2cos2=⋅=f x x xm n (1)分cos212=+x x…………………………………………………2分2sin(216π=++x．……………………………………………………3分因为21)6π2sin(2)(=++=ααf，()π,0∈α，所以21)6π2sin(=+α，)6π13,6π(6π2∈+α．…………………………………………………4分所以65π6π2=+α，即3π=α.…………………………………………………………5分（2）因为()2=f A，()0,∈πA，由（1）得3π=A.……………………………………6分因为1sin22==△ABCS bc A，……………………………………………………………7分所以112⨯⨯=c，即2=c.………………………………………………………8分在△ABC中，由余弦定理得2222cos=+-a b c bc A……………………………………………………………………9分11421232=+-⨯⨯⨯=，即=a.…………………………………………………10分由2sin sin sin====b c aB C A，得AaCcBb sin2,sin2,sin2===，……………………………………………………11分所以CBAcbasinsinsin++++=2sinsinsinsin2sin2sin2=++++CBACBA.……………………………12分19．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想等；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.（1）证明：因为F 是BC 中点，AD //BC ，BC AD 21=，所以FC AD //，FC AD =，所以四边形ADCF 是平行四边形，所以CD AF //.……………………………………………………………………………1分因为AD ⊥CD ，所以BC ⊥AF ，………………………………………………………2分因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PD .………………………………………3分因为BC ⊥CD ，PD ∩D CD =，所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥PC .…………………………………4分因为E 是PB 中点，所以EF //PC ，所以BC ⊥EF .………………………………………5分因为EF ∩AF =F ，所以BC ⊥平面AEF ．…………………………………6分（2）取PC 中点G ，连接DG ，EG ，…………………7分因为E 是PB 中点，所以EG //BC ，EG =BC 21.…………………………………8分因为AD //BC ，AD =BC 21，所以AD =EG ，AD //EG .所以四边形ADGE 是平行四边形，所以AE //DG .………………………………9分因为DG ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以AE //平面PCD .…………………………………………………………………10分因为平面AENM ∩平面PCD =MN ，AE ⊂平面AENM ，所以AE //MN .………………………………………………………………………11分因为M 是PD 中点，所以N 是PG 中点，所以31=NC PN ．…………………………………………………12分20．本小题主要考查随机抽样、统计表、频率分布直方图、平均数、方差等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识、创新意识等；考查统计与概率思想、化归与转化思想等；考查数据分析、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性．满分12分．解：（1）因为身高在区间[185，195]上的频率为0.008100.08⨯=，身高在区间[185，195]上的频数24，所以243000.08==n .……………………………………………………………1分所以0.0081030024a =⨯⨯=，…………………………………………………………………2分0.0410300120b =⨯⨯=，………………………………………………………………………3分30024120362496c =----=.……………………………………………………………4分所以身高在区间[165，175)上的频率为960.32300=，在区间[175，185)上的频率为360.12300=.…………………………………………………5分由此可补充完整频率分布直方图：………………………………6分（2）把男生样本记为1x ,2x ,...,120x ，其平均数记为x ，方差记为2x s ；把女生样本记为1y ,2y ,...,80y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．则总样本平均数1208012017280160167.21208012080200⨯+⨯=+==++z x y ．……………7分12080222111[()()]200i j i j s x z y z ===-+-∑∑1208022111[((]200===-+-+-+-∑∑i j i j x x x z y y y z …………………………………………8分由12012011()1200==-=-=∑∑i i i i x x x x ，得120120112()(2()()0==--=--=∑∑ii i i xx x z x z x x ，同理可得8012(0=--=∑jj yy y z .…………………………………………………9分所以总样本方差12012080802222211111[()()()()]200=====-+-+-+-∑∑∑∑i i i i j j s x x x z y y y z 22221120[()]80[(]}200x y s x z s y z =+-++-……………………10分221120[16(172167.2)]80[20(160167.2)]}200=+-++-22120(16 4.8)80(207.2)200+++=…………………………………11分12(1623.04)8(2051.84)20+++=52.16=．所以估计该校高中生身高的总体平均数为167.2，方差为52.16．…………………12分21．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、平面向量的数量积及三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．解：（1）因为sin 2A+sin 2C =sin 2B+sin A sin C ，由正弦定理可得222+=+a c b ac ，……………………………………………1分即222+-=a c b ac ，…………………………………………………………………2分所以222cos 2+-=a c b B ac………………………………………………………………3分122==ac ac .…………………………………………………………………4分又)π(0,∈B ，所以3π=B .……………………………………………………………5分（2）解法一：由平面向量数量积的定义可得cos 4⋅== AB AC cb A ，……………………6分所以222224422+-+-⋅==b c a c a bc bc ，……………………………………………7分所以224-=c a ①，………………………………………………………………8分因为3π=B ，2=b ，2222cos =+-b a c ac B ，所以224+-=a c ac ②，…………………………………………………………9分①－②得220-=a ac ，则2=c a ，代入①得3=a ，所以3=c ，………10分所以1sin 2=△ABC S ac B ………………………………………………………11分12=……………………………………………12分解法二：由平面向量数量积的定义可得cos 4⋅== AB AC cb A ，…………………6分因为2=b ，所以cos 2=c A ，由243sin sin 3sin 3===πc b C B ，得43sin 3=c C ，所以3sin cos 2=C A .………………………………………………………………7分因为π++=A B C ，又由（1）知π23+=A C ，即3π2=-C A ，所以2π3sin()cos 32-=A A .………………………………………………………8分所以2313cos sin cos 222+=A A A ，即3cos2113sin 22242+⨯+=A A .所以313cos 2sin 2222+=A A ，即π3sin(2)32+=A .………………………9分因为203π<<A ，则ππ52333π<+<A ，则223π3π+=A ，即6π=A ，…………10分则π26π32π=-=C ，所以△ABC 为直角三角形.………………………………11分所以4323sin 3π36==a .所以11232322233==⨯⨯=△ABC S ab .……………………………………………12分22．本小题主要考查空间点、直线、平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想等；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.（1）证明：设PH ⊥平面ABC ，垂足为点H .因为PC PB P A ==，所以HC HB HA ==，所以H 是△ABC 的外心.因为O 是△ABC 的外心，所以O 与H 重合，所以PO ⊥平面ABC .………………1分因为⊂BC 平面ABC ，所以PO BC ⊥.…………………………………………………2分因为60=∠OBA ，OB OA =，所以△OAB 是等边三角形，所以OA AB =， 60=∠BAO .………………………………3分因为 120=∠BAC ，所以 60=∠OAC .因为OC OA =，所以△OAC 是等边三角形.所以AC OA =，所以OC OB AC AB ===，即四边形OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.……………………………………………4分因为PO ∩O OA =，所以BC ⊥平面P AO ，因为P A ⊂平面P AO ，所以BC P A ⊥.………………………………………………6分（2）3==PC PB ，32=BC ，所以BC 边的高为6)3(3)2(2222=-=-BC PB .所以2363221=⨯⨯=∆PBC S .…………………………………………………7分在△ABC 中， 120=∠BAC ，32=BC ，由正弦定理得4120sin 32sin 2==∠=BAC BC R （R 为△ABC 外接圆的半径），所以2==R OA .………………………………………………………………………8分因为3=P A ，所以5232222=-=-=OA P A PO .因为 120cos 2222⋅⋅-+=AC AB AC AB BC ，所以AC AB AC AB AC AB ⋅≥⋅++=31222，所以4≤⋅AC AB ，当且仅当AC AB =时等号成立.…………………………………………………9分因为AC AB AC AB S ABC ⋅=⋅⋅⋅=∆43120sin 21 ，……………………………………10分设点A 到平面PBC 距离为h ，因为PBC A ABC P V V --=，即h S PO S PBC ABC ⋅⋅=⋅∆∆3131，………………………………11分所以63023544323543=⨯⨯≤⋅⋅⋅=⋅=∆∆AC AB S PO S h PBC ABC ，当且仅当AC AB =时等号成立.所以点A 到平面PBC 距离最大值630.……………………………………………12分。
2022-2023学年福建省莆田市高一下学期期末质量监测数学试题【含答案】
2022-2023学年福建省莆田市高一下学期期末质量监测数学试题一、单选题1．复数2i iz -=（i 为虚数单位）的共轭复数是（）A ．12i-B ．12i +C ．12i -+D ．12i --【答案】C【分析】利用复数的除法法则计算出12i z =--，从而求出共轭复数.【详解】()22i i 2i 2i 112i i i 1z --+====---，所以共轭复数是12i z =-+.故选：C .2．已知向量()()()1,,2,3,2,2a k b c ===- ，且()//c a b - ，则k =（）A ．4B ．-4C ．2D ．-2【答案】A 【分析】由向量减法的坐标运算和向量共线的坐标表示，列方程求解.【详解】向量()()()1,,2,3,2,2a k b c ===- ，则有()1,3a b k -=-- ，由()//c a b - ，得()()2321k --=⨯-，解得4k =.故选：A.3．某区政府为了加强民兵预备役建设，每年都按期开展民兵预备役军事训练，训练后期对每位民兵进行射击考核．民兵甲在考核中射击了8发，所得环数分别为6,8,,8,7,9,10,8a ，若民兵甲的平均得环数为8，则这组数据的第75百分位数为（）A ．8B ．8.5C ．9D ．9.5【答案】B【分析】由平均数求出a 的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解.【详解】由题意可得：6887910888a +++++++=，解得：8a =，将这组数据从小到大的顺序排列为6,7,8,8,8,8,9,10，因为875%6⨯=为整数，所以这组数据的75百分位数为898.52+=，故选：B.4．已知复数z 满足48i z z z ⋅+=（i 是虚数单位），则复数z =（）A ．22i--B ．22i -+C ．22i -D ．22i+【答案】B 【分析】复数i z a b =+，利用共轭复数的概念，复数的乘法，复数的相等，解方程即可.【详解】复数i z a b =+，则i z a b =-，由22444i 8i z z a b z b a ⋅+=+++=，得224048a b a b ⎧++=⎨=⎩，解得22a b =-⎧⎨=⎩，所以22i z =-+.故选：B5．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//,//m n n α，则//m αB ．若,⊥⊥m n n α，则//m αC ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβD ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥【答案】C【分析】若,m n n α∥∥，有可能m α⊂，可判断选项A ；线面平行可判断选项B 由线面垂直可以得出面面平行可以判断C 选项，根据线面平行及面面垂直可判断选项 D.【详解】对于选项A ，有可能m α⊂，故选项A 为假命题；对于选项B ，有可能m α⊂，故选项B 为假命题；对于选项C ，,m m αβ⊥⊥，可得两平面法向量共线,,αβ是两个不重合的平面，进而可得αβ∥，故选项C 为真命题.对于选项D ，若m α∥，αβ⊥，有可能m β⊂，故选项D 为假命题；故选：C.6．如图，要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m【答案】D【分析】设m AB x =，在BCD △中，利用余弦定理列出关于x 的方程，即可求解，得到答案．【详解】由题意，设m AB x =，则m 3m BC x BD x ==，，在BCD △中，由余弦定理，得222=2cos120+BD BC CD BC CD ⋅-︒．化简得220800=0x x --，解得=40m x ．即AB=40m ．故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答解三角形实际问题时需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边角之间的关系，合理使用正、余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．在ABC 中，π,2,3BAC AD DB P ∠==uuu r uuu r 为CD 上一点，且满足13AP AC AB λ=+ ．若||2,||3AC AB == ，则AP 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】C 【分析】根据三点共线的结论结合平面向量基本定理可得12λ=，再利用数量积的定义与运算律求解.【详解】由题意可得：1cos 3232AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r ，因为,,C P D 三点共线，则AP xAC y AD =+uuu r uuu r uuu r ，且1x y +=，又因为11313322AP AC AB AC AD AC AD λλλ==++=⨯+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则1,2x y λ==，可得112λ+=，解得12λ=，可得1123AP AC AB =+uuu r uuu r uuu r ，所以2221111113934394394AP AC AB AC AB =+=⨯⋅++⨯+⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即3AP =uuu r .故选：C.8．几何中常用L 表示L 的测度，当L 为曲线､平面图形和空间几何体时，L 分别表示其长度､面积和体积．ABC 是边长为4的正三角形，P 为ABC 内部的动点（含边界），在空间中，到点P 的距离为1的点的轨迹为L ，则L 等于（）A ．83B ．22π33+C ．6π83+D ．22π833+【答案】D【分析】首先确定到动点P 距离为1的点的轨迹所构成的空间体的形状，然后由空间几何体的体积公式求解即可．【详解】到动点P 距离为1的点的轨迹所构成的空间体在垂直于平面ABC 的视角下看，如图所示：其中BCMN ，ACJK ，ABYQ 区域内的几何体为半圆柱，CMJ ，BYN ，KAQ 区域内的几何体为被平面截的部分球，球心分别为A ，B ，C ，ABC 区域内的几何体为棱柱，其高为2．由BCMN ，ACJK ，ABYQ 为矩形，所以90MCB ∠= ，90ACJ ∠= ，ABC 是正三角形，60AC B ∠= ，则有360120MCJ MCB ACJ ACB ∠-∠-∠-∠ ==，同理120NBY ∠ =，120KAQ ∠ =，则=360KAQ NBY MCT ∠+∠+∠ ，所以CMJ ，BYN ，KAQ 这三个区域的几何体合成一个完整的半径为1的球，体积为34π4π133⨯=；BCMN ，ACJK ，ABYQ 这三个区域内的半圆柱体积为21π1436π2⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（其中21π12⨯表示半圆底面）；ABC 区域内的棱柱体积为144sin 602832⨯⨯⨯⨯= .所以几何体L 的体积等于22π833+．故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查了空间中动点轨迹的求解，空间几何体的体积公式，解题的关键是确定动点的轨迹是何种空间几何体，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.二、多选题9．已知i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．234i i i i 0+++=B ．若z z =，则z ∈RC ．若复数z 为纯虚数，则22||z z =D ．若()1i 1i z -=+，则1z =【答案】ABD【分析】A 选项，根据复数的乘方运算法则计算出答案；B 选项，设i z a b =+，则i z a b =-，从而根据z z =求出0b =，B 正确；C 选项，设i z b =，分别求出2222||,z b z b ==-；D 选项，化简得到1i i 1i z +==-，从而求出模长.【详解】A 选项，()()234i i i i i 1i 10+++=+-+-+=，A 正确；B 选项，设i z a b =+，,R a b ∈，则i z a b =-，若z z =，则i i a b a b =+-，即2i 0b =，解得0b =，则z a =，z ∈R ，B 正确；C 选项，复数z 为纯虚数，设i z b =，0b ≠，则()2222222|i ,i |b z b z b b ====-，故22||z z ≠，C 错误；D 选项，若()1i 1i z -=+，则()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====---，故1z =，D 正确.故选：ABD10．某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：千人次）的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，则下列结论正确的是（）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．每年月接待游客的增长量最多是8月D ．每年1月至6月的月接待游客量相对同年7月至12月的月接待游客量，波动性更小【答案】BD【分析】根据折线图提供的数据逐一判断各选项．【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：在A 中，很明显有些月份游客量在下降，故A 选项错误；在B 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故B 选项正确；在C 中，每年月接待游客的增长量最多是7月，故C 选项错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 选项正确．故选：BD ．11．如图，,,AB AC AD 两两互相垂直，三棱锥E BCD -是正四面体，则下列结论正确的是（）A ．二面角D BC A --的大小为π4B ．BC DE⊥C ．若BCD △的中心为O ，则,,A O E 三点共线D ．三棱锥E BCD -的外接球过点A【答案】BCD【分析】由已知可得AB AC AD ==，取BC 的中点F ，可得AF BC ⊥，DF BC ⊥，所以AFD ∠为二面角D BC A --的平面角，设2AB a =，求出AF 、DF ，在ADF △中由余弦定理可判断A ；连接EF ，利用线面垂直的判定定理和性质定理可判断B ；根据三棱锥A BCD -是正三棱锥得AO ⊥平面BCD ，三棱锥E BCD -是正三棱锥得EO ⊥平面BCD 可判断C ；几何体A BCDE -与棱长为2a 正方体-ABNC DHEG 有相同的外接球可判断D.【详解】对于A ，由已知可得222AB AC BC +=，222AB AD BD +=，222AD AC CD +=，而222==BC BD CD ，所以AB AC AD ==，取BC 的中点F ，连接AF 、DF ，可得AF BC ⊥，DF BC ⊥，所以AFD ∠为二面角D BC A --的平面角，设2AB AD a ==，则22BC a =，2AF a =，3DF a =，在ADF △中，由余弦定理可得22222222346cos 212223+-+-∠===⨯⨯⨯AF DF AD a a a AFD AF DF a，故A 错误；对于B ，由A 选项连接EF ，因为EB EC =，所以EF BC ⊥，因为EF DF F =I ，、⊂EF DF 平面EFD ，所以BC ⊥平面EFD ，DE ⊂平面EFD ，所以BC DE ⊥，故B 正确；对于C ，由选项A 可知三棱锥A BCD -是正三棱锥，且AO ⊥平面BCD ，三棱锥E BCD -也是正三棱锥，EO ⊥平面BCD ，则,,A O E 三点共线，故C 正确；对于D ，由A 选项E BCD -是棱长为22a 正四面体，三棱锥A BCD -是侧棱长为2a ，底面边长为22a 的正三棱锥，所以几何体A BCDE -与棱长为2a 正方体-ABNC DHEG 有相同的外接球，故D 正确.故选：BCD.12．已知ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为,,,6,8a b c b c ==，且cos cos 10,b C c B P +=是AB 边上的动点，则()PA PB PC ⋅+ 的值可能为（）A ．64-B ．12-C ．8-D ．0【答案】CD 【分析】根据余弦定理的边角互化求出a ，设PA x = ，根据向量的数量积的定义将待求表达式用关于x 的二次函数来表达即可解决.【详解】由余弦定理，222222222222cos cos 10222a b c a c b a b c a c b b C c B b c a ab ac a+-+-+-++-+==⨯+⨯==，则222b c a +=，可得π2A =.设PA x = ，则8PB x =- （08x ≤≤），()22()(8)cosπ28PA PB PC PA PB PA PA AC x x x x x =⋅+⋅++=-+=- ，设2()28(08)f x x x x =-≤≤，由2()2(2)8f x x =--，2[0,8]∈，()f x 是开口向上的二次函数，故min ()(2)8f x f ==-，又(0)0,(8)64f f ==，故[0,8]x ∈时，()()[8,64]P f A x PB PC ∈+-⋅= .故选：CD三、填空题13．某校为了提升学生的中华文化素养，开设书法､对联､灯谜三个校本课程班，每位学生只报一个校本课程班，学校对高一､高二年级报名的学生人数进行统计，结果如下表．已知张华对上述三个校本课程班，采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个总样本量为30的样本，其中对联班的学生抽取10名，则x =．课程年级书法对联灯谜高一15x 30高二453010【答案】20【分析】根据分层抽样的特点列出方程，求出答案.【详解】一共有学生人数为1545303010130x x +++++=+，其中对联班学生人数为30x +，则根据分层抽样的特点，得到130303010x x ++=，解得20x =.故答案为：2014．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面,1,2ABCD AB AD ==，则二面角P BC D --的大小是．【答案】π3【分析】由定义作出二面角P BC D --的平面角，然后解三角形即可.【详解】过P 作PM AD ⊥，垂足为M ，过M 作MN BC ⊥，垂足为N ，连接PN .平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，又PM AD ⊥，PM ⊂平面PAD ，根据面面垂直的性质定理可得，PM ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，故PM BC ⊥，又BC MN ⊥，MN PM M = ，,MN PM ⊂平面PMN ，故BC ⊥平面PMN ，由PN ⊂平面PMN ，故BC PN ⊥，于是二面角P BC D --的平面角为PNM ∠，根据题目数据，在Rt PMN △中，3,1PM MN ==，π2PMN ∠=，则tan 3PM PMN MN ∠==，则π3PNM ∠=.故答案为：π315．在正三角形ABC 中，D 为BC 上的点，2,CD DB DE AB =⊥ ，垂足为,E DF AB ∥，且交AC 于点F ，若DA DE DF λμ=+ ，则λμ+的值是．【答案】94/2.25【分析】根据题意分析可得54AE DF =，结合平面向量的线性运算可得54DA DE DF =+uu u u uu r r uuu r ，进而可得结果.【详解】由题意可知：12,33BD BC CD BC ==，因为DE AB ⊥，且=60B ∠︒，可得111266BE BD BC AB ===，又因为DF AB ，则32AB DF =，所以5564AE AB DF ==.因为54DA DE EA DE DF =+=+uuu r uur uuu r uuu r uuu r ，则51,4λμ==，所以59144λμ+=+=.故答案为：94.四、双空题16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，14,,AA M N =分别是棱,BC AD 的中点，,E F 分别是棱1111,A B C D 上动点．当直线NE 与底面1111D C B A 所成角最小时线段NE 的长度是，四面体MNEF 的体积是．【答案】2183【分析】根据题意可得直线NE 与底面1111D C B A 所成角即为直线NE 与底面ABCD 所成角，结合线面夹角分析可得点E 为点1B 时，ENH ∠取到最小.空1：利用勾股定理求NE 的长；空2：利用转换顶点法求体积.【详解】因为平面ABCD ∥平面1111D C B A ，则直线NE 与底面1111D C B A 所成角即为直线NE 与底面ABCD 所成角，过点E 作EH ∥1AA 交AB 于点H ，连接NH ，因为1AA ⊥平面ABCD ，则EH ⊥平面ABCD ，所以直线NE 与底面ABCD 所成角为ENH ∠，设[]0,2AH a =∈，可知：21,4NH a EH =+=，则24tan 1EH ENH NE a ∠==+，当2a =，即点E 为点1B 时，tan ENH ∠取到最小，即ENH ∠取到最小.空1：因为2a =，则21215B H =+=，可得()2215421NE B E ==+=；空2：因为,M N 分别是棱,BC AD 的中点，则MN ∥CD ，又因为CD ∥11C D ，则MN ∥11C D ，且MN ⊂平面1B MN ，11C D ⊄平面1B MN ，可得11C D ∥平面1B MN ，所以11C D 上任一点到平面1B MN 的距离相等，不妨令点F 为点1C ，则11111118224323F B MN C B MN N MB C V V V ---===⨯⨯⨯⨯=.故答案为：21；83.【点睛】关键点睛：转化思想的应用：（1）根据面面平行，将直线NE 与底面1111D C B A 所成角转化为直线NE 与底面ABCD 所成角；（2）根据线面平行，取点F 为点1C ，利用转换顶点法求三棱锥的体积.五、解答题17．已知向量1,32a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，1,02b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .(1)求向量a 与b 的夹角的余弦值；(2)若向量()1,3c =- ，求向量c 在向量a b - 上的投影向量（用坐标表示）.【答案】(1)1313-；(2)13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】（1）132a = ，12b = ，14a b ⋅=- ，则13cos 13θ=-；（2）()1,3c =- ，()1,3a b -= ，与a b - 同向的单位向量13,22a b e a b ⎛⎫-== ⎪ ⎪-⎝⎭ .∴c 在a b - 上的投影向量cos d c c =< ，()13,22c a b a b e e a b ⋅-⎛⎫->== ⎪ ⎪-⎝⎭ .18．已知向量()()2cos ,1,cos ,3sin2m x n x x == ，函数()f x m n =⋅ ．(1)若()()2,0,πf αα=∈，求α的值；(2)已知ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为(),,,2,1,a b c f A b ABC == 的面积为32，求sin sin sin a b c A B C++++的值．【答案】(1)π3α=(2)2【分析】（1）利用数量积的坐标运算结合三角函数恒等变换公式求出()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由()()2,0,πf αα=∈化简可求出α的值；（2）由()()2,0,πf A A =∈结合（1）可得π3A =，再由三角形的面积可求出2c =，然后利用余弦定理可得3a =，再利用正弦定理可求得结果.【详解】（1）因为()()2cos ,1,cos ,3sin2m x n x x == 所以()22cos 3sin2f x m n x x =⋅=+ cos213sin2x x=++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为()()π2sin 212,0,π6f ααα⎛⎫=++=∈ ⎪⎝⎭，所以π1ππ13πsin 2,2,62666αα⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以π5π266α+=，即π3α=．（2）因为()()2,0,πf A A =∈，由（1）得π3A =．因为13sin 22ABC S bc A == ，所以1331222c ⨯⨯⨯=，即2c =．在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A=+-1142123, 3.2a =+-⨯⨯⨯==即由32sin sin sin 32b c a B C A ====，得2sin ,2sin ,2sin b B c C a A ===，所以2sin 2sin 2sin 2sin sin sin sin sin sin a b c A B C A B C A B C++++==++++．19．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,//,2,ABCD BC AD BC AD AD CD =⊥，点,,E F M 分别为,,PB BC PD 的中点．(1)求证：BC ⊥平面AEF ；(2)过点,,A E M 的平面交PC 于点N ，求PN NC 的值．【答案】(1)证明见解析(2)13PN NC =【分析】（1）通过证明BC EF ⊥和BC AF ⊥，证明BC ⊥平面AEF（2）通过证明所以//AE MN ，得N 是PG 中点，可求PN NC的值.【详解】（1）证明：因为F 是BC 中点，1//,2AD BC AD BC =，则有//,AD FC AD FC =，所以四边形ADCF 是平行四边形，有//AF CD ．因为AD CD ⊥，所以BC AF ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PD ⊥．因为BC CD ⊥，,PD CD ⊂平面PCD ，PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ．因为PC ⊂平面PCD ，所以BC PC ⊥．因为E 是PB 中点，所以//EF PC ，所以BC EF ⊥．因为,EF AF ⊂平面AEF ，EF AF F = ，所以BC ⊥平面AEF ．（2）取PC 中点G ，连接,DG EG ，如图所示，因为E 是PB 中点，所以//EG BC ，12EG BC =．因为1//,2AD BC AD BC =，所以,//AD EG AD EG =．所以四边形ADGE 是平行四边形，所以//AE DG ．因为DG ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以//AE 平面PCD ．因为平面AENM 平面PCD MN =，AE ⊂平面AENM ，所以//,//AE MN MN DG ．因为M 是PD 中点，所以N 是PG 中点，所以13PN NC =．20．某校共有高中生3000人，其中男女生比例约为3:2，学校要对该校全体高中生的身高信息进行统计．(1)采用简单随机抽样的方法，从该校全体高中生中抽取一个容量为n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图（如下）．身高（单位：cm ）频数[)145,155a [)155,165b [)165,175c [)175,18536[]185,19524根据图表信息，求,,,n a b c 的值，并把频率分布直方图补充完整．(2)按男生､女生在全体学生中所占的比例，采用分层随机抽样的方法，共抽取总样本量为200的样本，并知道男生样本数据的平均数为172，方差为16，女生样本数据的平均数为160，方差为20，估计该校高中生身高的总体平均数及方差．【答案】(1)300n =，24a =，120b =，96c =；直方图见解析；(2)总样本平均数为167.2，方差为52.16【分析】（1）由区间[]185,195上的频率和频数，计算出n ，再由直方图中的频率计算,a b 和c ，结合频数分布表算出所缺区间的频率补充完整频率分布直方图.（2）由分层抽样得男女生人数，利用已知数据和总体平均数和方差公式计算结果.【详解】（1）因为身高在区间[]185,195上的频率为0.008100.08⨯=，身高在区间[]185,195上的频数24，所以243000.08n ==所以0.0081030024a =⨯⨯=，0.0410300120b =⨯⨯=，30024120362496c =----=．所以身高在区间[)165,175上的频率为960.32300=，在区间[)175,185上的频率为360.12300=．由此可补充完整频率分布直方图：（2）由分层抽样可知，样本中男生120人，女生80人，把男生样本记为12120,,,x x x ⋯，其平均数记为x ，方差记为2x s ；把女生样本记为1280,,,y y y ⋯，其平均数记为y ，方差记为2y s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．则总样本平均数1208012017280160167.21208012080200z x y ⨯+⨯=+==++．()()12080222111200i j i j s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()1208022111200i j i j x x x z y y y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑由()120120111200i i i i x x x x ==-=-=∑∑，得()()120120112()2()0i i i i x x x z x z x x ==--=--=∑∑同理可得()8012()0j j y y y z =--=∑．所以总样本方差()()12012080802222211111()()200i i i i j j s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑{}22221120()80()200x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦{}22112016(172167.2)8020(160167.2)200⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦()()2212016 4.880207.2200+++=()()121623.0482051.8420+++=52.16=所以估计该校高中生身高的总体平均数为167.2，方差为52.16．21．已知ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为222,,,sin sin sin sin sin a b c A C B A C +=+．(1)求B ；(2)若2,4b AB AC =⋅= ，求ABC 的面积．【答案】(1)π3B =(2)233【分析】（1）已知条件由正弦定理角化边，再由余弦定理求出cos B ，可得角B 的值；（2）向量数量积结合余弦定理，求出,a c ，面积公式求面积；或向量数量积结合正弦定理，利用两角差的正弦公式和辅助角公式，求出,A C ，面积公式求面积.【详解】（1）因为222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，由正弦定理可得222a c b ac +=+，即222a c b ac +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=122ac ac ==又()0,πB ∈，所以π3B =．（2）解法一：由平面向量数量积的定义可得cos 4AB AC cb A ⋅== ，所以222224422b c a c a bc bc +-+-⋅==，所以224c a -=①，因为222π,2,2cos 3B b b a c ac B ===+-，所以224a c ac +-=②，①-②得220a ac -=，则2c a =，代入①得233a =，所以433c =，所以1sin 2ABC S ac B = 12343323.23323=⨯⨯⨯=解法二：由平面向量数量积的定义可得cos 4AB AC cb A ⋅== ，因为2b =，所以cos 2c A =，由243πsin sin sin 3sin 3a c b A C B ====，得43sin 3c C =，43sin 3a A =，所以3sin cos 2C A =．因为πA B C ++=，又由（1）知2π3A C +=，即2π3C A =-，所以2π3sin cos 32A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以2313cos sin cos 222A A A +=，即3cos2113sin22242A A +⨯+=．所以313cos2sin2222A A +=，即π3sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为2π03A <<，则ππ5π2333A <+<，则π2π233A +=，即π6A =，则2πππ362C =-=，所以ABC 为直角三角形，则43π23sin 363a ==．所以11232322233ABC S ab ==⨯⨯= ．22．已知三棱锥,3,23,120P ABC PA PB PC BC BAC ∠-=====︒，点O 是ABC的外心．(1)若60OBA ∠=︒，求证：PA BC ⊥；(2)求点A 到平面PBC 距离的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)306【分析】（1）利用条件PA PB PC ==，得到BC PO ⊥，再利用几何关系得到BC OA ⊥，从而得到BC ⊥平面PAO ，再利用线面垂直的性质即可证明结果；（2）根据条件，利用正弦和余弦定理得到4AB AC ⋅≤，从而得到ABC 面积的最大值，再利用等体积法，建立关系式ABC PBCS PO h S ⋅= ，即可求出结果.【详解】（1）如图，作PH ⊥平面ABC ，垂足为点H，因为PA PB PC ==，所以HA HB HC ==，所以H 是ABC 的外心，因为O 是ABC 的外心，所以O 与H 重合，所以PO ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PO ⊥，因为60,OBA OA OB ∠=︒=，所以OAB 是等边三角形，所以,60AB OA BAO =∠=︒，因为120BAC ∠=︒，所以60OAC ∠=︒，因为OA OC =，所以OAC 是等边三角形，所以OA AC =，所以AB AC OB OC ===，即四边形OBAC 为菱形，所以BC OA ⊥，因为PO OA O = ，,PO OA ⊂平面PAO ，所以BC ⊥平面PAO ，因为PA ⊂平面PAO ，所以PA BC ⊥．（2）3,23PB PC BC ===，所以BC 边的高为22223(3)62BC PB ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．所以1236322PBC S =⨯⨯= ．在ABC 中，120,23BAC BC ∠=︒=，由正弦定理得2324sin sin120BC R BAC ===∠︒（R 为ABC 外接圆的半径），所以2OA R ==．因为3PA =，所以2222325PO PA OA =-=-=．因为2222cos120BC AB AC AB AC =+-⋅⋅ ，所以22123AB AC AB AC AB AC =++⋅≥⋅，所以4AB AC ⋅≤，当且仅当AB AC =时，等号成立．因为13sin12024ABC S AB AC AB AC =⋅⋅⋅=⋅ ，设点A 到平面PBC 距离为h ，因为P ABC A PBC V V --=，即1133ABC PBC S PO S h ⋅=⋅⋅ ，所以33545304463232ABC PBC AB AC S PO h S ⋅⋅⋅⨯⨯⋅==≤= ，当且仅当AB AC =时等号成立．所以点A 到平面PBC 距离最大值306．。
2022-2023学年福建省莆田市高一下学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年福建省莆田市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．设复数11i z i-=+，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解.【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-，所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--，所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限.故选：C2．给定一组数据：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，则这组数据的第25百分位数是（）A ．3.0B ．3.2C ．4.4D ．5.3【答案】B【分析】由百分位数的定义计算．【详解】这组数据从小到大排列，共10个，由10×25%＝2.5，则这组数据的第25百分位数是数据中的第三个数据3.2，故选：B ．3．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A ''=，45B A O '''∠= ,//B C O A ''''.则原平面图形的面积为（）A ．32B ．62C ．322D ．34【答案】A 【解析】作出原平面图形，然后求出面积即可．【详解】45B A O '''∠= B O A '''=∠，则O A B '''△是等腰直角三角形，∴2A B OB '''==，又O C C B ''''⊥，45C O B '''∠=︒，∴1B C ''=，在直角坐标系中作出原图形为：梯形OABC ，//OA BC ，2,1OA BC ==，高22OB =，∴其面积为1(21)22322S =+⨯=．故选：A【点睛】方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S '，原图形面积为S ，则24S S '=．4．如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【解析】由MN 与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此可得．【详解】作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒.故选：C ．5．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A ，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b 即可推理作答.【详解】由()()3a b c b c a bc +++-=，得22()3b c a bc +-=，化简得222b c a bc +-=，所以，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为()0,πA ∈，所以π3A =，因为sin 2sin cos ABC =，所以，由正余弦定理角化边得22222a b c a b ab+-=⋅，化简得22b c =，所以b c =，即ABC 为等边三角形．故选：B6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用线面平行判定定理可知B，C，D均不满足题意，A选项可证明出直线AB与平面MNQ 不平行，从而可得答案.【详解】对于选项B，如图1，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//MQ，由于AB//CD，所以AB//MQ，因为AB⊄平面MNQ，MQÌ平面MNQ，所以AB//平面MNQ，B选项不满足题意；对于选项C，如图2，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//MQ，由于AB//CD，所以AB//MQ，因为AB⊄平面MNQ，MQÌ平面MNQ，所以AB//平面MNQ，C选项不满足题意；对于选项D，如图3，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//NQ，由于AB//CD，所以AB//NQ，因为AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以AB//平面MNQ，可知D不满足题意；如图4，取BC的中点D，连接QD，因为Q是AC的中点，所以QD//AB，由于QD与平面MNQ相交，故AB与平面MNQ不平行，A正确.故选：A7．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为（）.A ．153B ．323527πC ．128281πD ．833【答案】C【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为1PP ，由余弦定理求出12π3POP ∠=．求出底面圆的半径r ，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积．【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为1PP ，由余弦定理可得22211111cos 22OP OP PP POP OP OP +-∠==-⋅⋅，12π3POP ∴∠=．设底面圆的半径为r ，则有2π2π43r =⨯，解得43r =．∴这个圆锥的高为h =16821693-=，这个圆锥的体积为211116821282πππ3339381V Sh r h ==⨯⨯=⨯⨯=．故选：C ．8．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥底面ABCD ，12AA AB =，M ､N 分别是棱1BB ､1DD 上的动点，且1DN B M =，则下列结论中正确的是（）A ．直线1AC 与直线MN 可能异面B ．三棱锥11AC MN -的体积保持不变C ．直线AC 与直线MN 所成角的大小与点M 的位置有关D ．直线AD 与直线MN 所成角的最大值为π3【答案】B【分析】A 选项，证明出四边形1CNA M 为平行四边形，得到直线1AC 与直线MN 一定相交；B 选项，作出辅助线，将三棱柱11A C MN -体积分为两部分，证明出体积为定值；C 选项，证明出线面垂直，得到线线垂直，确定直线AC 与直线MN 所成角的大小与点M 的位置无关；D 选项，作出辅助线，得到tan HM HNM NH ∠=，其中NH 为定值，求出HM 最大值为5a ，得到直线AD 与直线MN 所成角的最大值不为π3.【详解】连接NC ，MC ，因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DN B M =，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥底面ABCD显然四边形1CNA M 为平行四边形，所以直线1AC 与直线MN 一定相交，A 错误；连接11,NC MC ，取11AC 的中点O ，连接NO ，MO ，因为11NC NA =，11MC MA =，由三线合一可知：11NO AC ⊥，11MO AC ⊥，因为MO NO O ⋂=，所以11A C ⊥平面MON ，1DN B M =，设四边形11DBB D 的面积为S ，则14MON S S = 为定值，故11111113A C MN A OMN C OMN V V V S A C ---=+=⋅为定值，三棱锥11A C MN -的体积保持不变，B 正确；连接BD ，11B D ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，又1DD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1BD DD D = ，所以AC ⊥11DBB D ，因为MN ⊂平面11DBB D ，所以AC ⊥MN ，直线AC 与直线MN 所成角的大小与点M 的位置无关，C 错误；过点N 作NH ∥AD 交1AA 于点H ，连接HM ，则HNM ∠为直线AD 与直线MN 的夹角，且90NHM ∠=︒，其中tan HM HNM NH∠=，其中NH 为定值，故要想直线AD 与直线MN 所成角的最大，只需HM 最大，设正方形边长为a ，则HN =a ，显然当N 与点1D 重合，M 与B 重合时，HM 最大，最大值为()2225a a a +=，此时tan 5HM HNM NH∠==，故D 错误.故选：B二、多选题9．(多选题)下列结论正确的是（）A ．直线a ∥平面α，直线b ⊂α，则a ∥bB ．若a ⊂α，b ⊄α，则a ，b 无公共点C ．若a ⊄α，则a ∥α或a 与α相交D ．若a ∩α＝A ，则a ⊄α【答案】CD【分析】根据线面关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A ，a 和b 可以异面，故A 错误；对B ，b ⊄α则b 和α可以相交，故b 和a 可以相交，故B 错误；对C ，直线在面外则直线和面相交或平行，故C 正确；对D ，若a ∩α＝A 说明直线和面只有一个交点，故D 正确.故选：CD10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题中正确的有（）A ．若cos cos cos abcA B C ==，则△ABC 一定是等边三角形B ．若22tan tan a B b A =，则△ABC 一定是等腰三角形C ．A B >是sin sin A B >成立的充要条件D ．若2220a b c +->，则△ABC 一定是锐角三角形【答案】AC【分析】根据正选定理和余弦定理在三角形中的应用对四个选项进行判断即可.【详解】根据正弦定理可知，sin sin sin cos cos cos cos cos cos a b c A B CA B C A B C==⇒==，即tan tan tan A B C ==，所以在三角形中A B C ==，△ABC 一定是等边三角形，A 正确；2222sin sin tan tan sin sin sin 2sin 2cos cos B A a B b A A B A B B A=⇒⋅=⋅⇒=，故222π ,Z A B k k =+∈或2π22π ,Z A B k k =-+∈，在三角形中(),,0,πA B A B +∈故22A B A B =⇒=，或π2π22A B A B =-⇒+=，故三角形是等腰三角形或者直角三角形，B 错误；三角形中A B >等价于a b >，根据正弦定理可知sin sin a b A B >⇒>，充分性成立，sin sin A B >根据正弦定理可知sin sin A B a b >⇒>，故A B >，必要性成立，故C 正确；2222220cos 02a b c a b c C ab+-+->⇒=>，可得角C 为锐角，但不可证明A 、B 两角大小，不可判断△ABC 一定是锐角三角形，D 错误.故选：AC.11．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的有（）A ．若//l α，//m α，则//l mB ．若//l α，//αβ，l β⊄，则//l βC ．若l α⊥，m β⊥，αβ⊥，则l m ⊥D ．若αβ⊥，m αβ ＝，l m ⊥，则l β⊥【答案】BC【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可．【详解】对于A ，若//l α，//m α，l 和m 可以相交可以异面，故错误；对于B ，若//l α，//αβ，l β⊄，则有//l β，正确；对于C ，若l α⊥，αβ⊥，则//l β或l β⊂，又m β⊥，则l m ⊥正确；对于D ，若αβ⊥，m αβ ＝，l m ⊥，可能l β⊂，故不一定成立．故选：BC ．12．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（）A ．212AO AB AB ⋅= B ．OA OB OA OC OB OC⋅=⋅=⋅uur uu u r uur uuu r uu u r uuu rC ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ= ，AF AC μ= ，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB B AC C+ 共线【答案】ACD【分析】根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC ⋅=⋅即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定cos cos AB AC AB B AC C+ 与BC垂直，从而说明D 正确.【详解】如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM∴∠=()21·cos cos ·22AB AO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正确；··OA OB OA OC = 等价于()·0OA OB OC -= 等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=,故C 正确；cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B AC C π⋅-⋅=+0BC BC =-+=,∴cos cos AB AC AB B AC C + 与BC 垂直,又AH BC ⊥ ,∴cos cos AB AC AB B AC C+ 与AH 共线，故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.三、填空题13．如图，在四边形ABCD 中，13DC AB = ，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =+ ，则32xy -=．【答案】1【分析】利用向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则即可得出．【详解】∵E 为BC 的中点，∴12BE BC =，又1233BC BA AD DC AB AD AB AB AD =++=-++=-+，∴12112332BE AB AD AB AD ⎛-⎫ ⎪⎝+⎭==-+ ，∴11213232AE AB BE AB AB AD AB AD =+=-+=+ ．而AE x AB y AD =+ ，∴23x =，12y =．∴32211x y -=-=．故答案为：1．14．已知()2,1a = 与()1,2b = ，要使a tb +最小，则实数t 的值为.【答案】45-【分析】先求出向量a tb +r r的坐标，然后利用向量的模长公式得出a tb + 关于t 的表达式，利用二次函数的基本性质求出a tb +的最小值以及对应的t 值，可得出结果.【详解】()212a tb t t +=++r r Q ，，()()222212=49555t a tb t t ⎛⎫++ ⎪⎝∴+=++⎭+r r .∴当45t =-时，a tb + 有最小值355，故答案为：45-.【点睛】本题考查向量的坐标运算，同时也考查了向量模长的最值的求解，解题的关键就是将a tb+转化为二次函数求解，考查运算求解能力，属于中等题.15．已知正三棱锥PABC ﹣的顶点都在球O 的球面上，其侧棱与底面所成角为π3，且23PA =，则球O 的表面积为【答案】16π【分析】作出图形判断外接球球心的位置，先求出相关线段的长度，然后利用勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式即可求解．【详解】如图，正三棱锥PABC ﹣中，设点Q 为ABC 的中心，则PQ ⊥平面ABC ，∴π3PAQ ∠=，∴3AQ =，PQ ＝3．球心O 在直线PQ 上，连接AO ，设球O 的半径为r ，则OA OP r ==，3OQ r =-，在Rt OAQ △中，222OA AQ OQ =+，即()()22233r r =+-，解得2r =，∴球O 的表面积为24π16πr ＝．故答案为：16π.16．如图所示，在棱长为2的正方体1111-ABCD A B C D 中，E ，F ，G 分别为所在棱的中点，P 为平面11BCC B内（包括边界）一动点，且1D P ∥平面EFG ，则P 点的轨迹长度为【答案】2【分析】根据题意可证平面FGE ∥平面11A BCD ，进而可得点P 的轨迹为线段BC ，即可得结果.【详解】因为11A D ∥BC ，则11,,,A B C D 四点共面，连接11,CD A B ，因为E ，F 分别为所在棱的中点，则EF ∥1A B ，且EF ⊂平面FGE ，1A B ⊄平面FGE ，所以1A B ∥平面FGE ，因为F ，G 分别为所在棱的中点，则FG ∥11A D ，且FG ⊂平面FGE ，11A D ⊄平面FGE ，所以11A D ∥平面FGE ，1111A B A D A = ，111,A B A D ⊂平面11A BCD ，所以平面FGE ∥平面11A BCD ，且平面11BCC B 平面11A BCD BC =，可得当且仅当点P 在棱BC 上时，即1D P ⊂平面11A BCD ，满足1D P ∥平面EFG ，所以点P 的轨迹为线段BC ，长度为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据题意利用面面平行转化线面平行，再结合平行关系分析求解.四、解答题17．已知向量()2,6a =- ，10b =.（1）若a 与b 共线且方向相反，求向量b的坐标.（2）若a b + 与b 垂直，求向量a ，b夹角θ的大小.【答案】（1）()13b =- ，；（2）23θπ=.【分析】（1）由已知设()2,6b a λλλ==- ，0λ<.再由向量的模的表示可求得答案；（2）根据向量垂直的坐标表示可求得10a b ⋅=-，再由向量的夹角运算求得答案.∴()22101cos 22610a ba bθ⋅-===-⋅+-⨯ . []0,θπ∈，∴23πθ=.【详解】（1） ()2,6a =-，且a 与b共线且方向相反.∴设()2,6b a λλλ==-，0λ<.10= b ，∴2243610λλ+=，∴12λ=-.∴()13b =- ，.（2） a b + 与b 垂直，∴()0a b b +⋅= ，∴20a b b ⋅+=，10a b ⋅=- ，∴()22101cos 22610a ba bθ⋅-===-⋅+-⨯ . []0,θπ∈，∴23πθ=.18．如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，6CD =，ACD ∆的面积为332．⑴求AC 的长；⑵若AB AD ⊥，4B π∠=，求BC 的长．【答案】(1)32AC =(2)33BC =【分析】（1）由三角形的面积公式求得6AD =，再由余弦定理即可得到AC 的长；（2）由（1）可得3BAC π∠=，在ABC ∆中，利用正弦定理即可得BC 的长．【详解】⑴∵23D π∠=，6CD =，ACD ∆的面积为332∴11333sin 62222ACD S AD CD D AD ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=∴6AD =∴由余弦定理得22212cos 6626()182AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=∴32AC =⑵由（1）知ACD ∆中6AD =，6CD =，23D π∠=∴6DAC p Ð=∵AB AD ⊥,∴3BAC π∠=又∵4B π∠=，32AC =∴在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC ACBAC B=∠即323222BC=,∴33BC =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．19．古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务．为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如表所示的频数分布表．样本分数段[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数51020a2510(1)求频数分布表中a 的值，并求样本成绩的中位数和平均数；(2)已知落在[50，60）的分数的平均值为56，方差是7；落在[60，70）的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】(1)30a =，中位数为75，平均数74(2)总平均数是62，总方差是23．【分析】（1）根据题意，由样本容量，求解a 的值，再利用中位数和平均数公式，计算即可；（2）由表可知，分数在[50，60）的问卷为10份，分数在[60，70）的问卷为20份，根据公式计算两组成绩的总平均数z 和总方差s 2即可．【详解】（1）由510202510100a +++++=，解得30a =，前三段的频率之和，510200.350.5100100100++=<，前四段的频率之和，51020300.650.5100100100100+++=>()0.50.050.10.20.15-++=，由成绩在[)70,80段的频率为0.3，所以中位数为7080752+=，51020302510455565758595100100100100100100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.25 5.51322.521.259.574=+++++=．（2）由表可知，分数在[50，60）的问卷为10份，分数在[60，70）的问卷为20份，故10566520621020z ⨯+⨯==+，()()2221105662107206562204231020s ⎡⎤=⨯⨯-+⨯+⨯-+⨯⎣⎦+＝．所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，,AB CD AB ⊥∥平面,24,27,PAD PA AD DC AB PD M =====是PC 的中点.(1)证明：BM 面PAD(2)证明：平面ABM ⊥平面PCD ；(3)求三棱锥M PAB -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)7【分析】（1）取PD 中点N ，连接,MN AN ，证BM AN ∥即可；（2）由PA AD =得AN PD ⊥，由AB ⊥平面PAD 得AB PD ⊥，所以PD ⊥平面ABN ，从而得证；（3）∥MN AB ，所以MN 平面PAB ，根据M PAB N PAB B NAP V V V ---==求解．【详解】（1）取PD 中点N ，连接,MN AN ，∵1,2AB DC AB DC =∥,1,2MN DC MN DC =∥,∴,MN AB MN AB =∥,∴ABMN 为平行四边形，则BM AN ∥，∵BM ⊄面PAD ，AN ⊂面PAD ，∴BM 面PAD .（2）因为PA AD =，所以AN PD ⊥，由AB ⊥平面,PAD PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥，又由AN AB A = ，且,AN AB ⊂平面ABMN ，所以PD ⊥平面ABMN ，又PD ⊂平面PCD ，所以平面ABMN ⊥平面PCD ，即平面ABM ⊥平面PCD .（3）由（1）可得∥MN AB ，且AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN 平面PAB ，所以M PAB N PAB B NAP V V V ---==，因为AB ⊥平面PAD ，可得13B NAP NAP V S AB -=⨯△，又由4,7,AP PN AN PD ==⊥，所以2137473,7322NAP AN S =-==⨯⨯=，所以1372732B NAP V -=⨯⨯=，即三棱锥M PAB -的体积为7.21．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=- ，且m n ⊥ .（1）求角C 的大小；（2）若3c =，求2a b +的取值范围.【答案】（1）2C 3π=；（2）()323，.【分析】（1）根据向量m n⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围．【详解】（1）∵m n ⊥∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=∴222c a b ab =++∴1cos 2C =-又()0,C π∈.∴23C π=.（2）∵23C π=，3c =∴△ABC 外接圆直径2R=2∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin 3cos sin A A A =+-3sin 3cos A A=+23sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b +的取值范围是()3,23.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题．22．如图1所示，在矩形ABCD 中，4AB =，62BC =，点E 为线段AB 上一点，1AE =，现将BCE 沿CE 折起，将点B 折到点B '位置，使得点B '在平面AECD 上的射影在线段AD 上，得到如图2所示的四棱锥B AECD '-．(1)在图2中，线段B C '上是否存在点F ，使得EF 平面B AD '？若存在，求B FB C''的值，若不存在，请说明理由；(2)在图2中求二面角B EC D '--的大小．【答案】(1)存在，14B F BC '='(2)60︒【分析】（1）在B C '上取点F ，使得14B F BC '='，过F 作CD 的平行线交B D '于M 点，连接EF ，AM ，利用平行线的性质可证明四边形AEFM 为平行四边形，即可得到EF AM ，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）记点B '在线段AD 上射影为O ，过点O 作CE 的垂线，垂足为N ，连接B N '，利用线面垂直的判定定理和性质定理可得CE B N '⊥，从而得到B NO '∠为二面角B CE D '--的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可．【详解】（1）在B C '上取点F ，使得14B F BC '='，过F 作CD 的平行线交B D '于M 点，连接EF ，AM ，因为MF CD ∥且14MF B F CD B C '=='，又AE CD ∥且14AE CD =，所以AE MF ∥且AE MF =，故四边形AEFM 为平行四边形，故EF AM ，又EF ⊄平面B AD '，AM ⊂平面B AD '，所以EF 平面B AD '.（2）如图，记点B '在线段AD 上射影为O ，过点O 作CE 的垂线，垂足为N ，连接B N '，因为CE ON ⊥，CE B O '⊥，ON B O O '= ，ON ，B O '⊂平面B ON '，所以CE ⊥平面B ON '，又B N '⊂平面B ON '，所以CE B N '⊥，则B NO '∠为二面角B EC D '--的平面角，在矩形ABCD 中如图，3BE =，62BC =，则9CE =，22BN =，1EN =，又EBN OBA ∽，所以BN BA BE BO=，可得32BO =，故2ON =，则1cos 2ON B NO B N '∠=='，所以二面角B EC D '--的大小为60︒．。
福建省莆田市莆东学校2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析
福建省莆田市莆东学校2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A. B.C. D.参考答案：D试题分析：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱，下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱．考点：三视图．2. （5分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣ln|x| B．y=x|x| C．y=﹣x2 D．y=10|x|参考答案：D考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可．解答：对于A、因为函数y=lnx在区间（0，+∞）上单调递增，所以y=﹣ln|x|在区间（0，+∞）上单调递减，A不符合题意；对于B、函数y=x|x|的定义域是R，但f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x），所以函数y=x|x|是奇函数，B不符合题意；对于C、函数y=﹣x2在区间（0，+∞）上单调递减，C不符合题意；对于D、函数y=10|x|的定义域是R，且f（﹣x）=10|﹣x|=10|x|=f（x），所以函数y=10|x|是偶函数，当x＞0时，y=10|x|=10x在区间（0，+∞）上单调递增，D符合题意；故选：D．点评：本题考查函数奇偶性的定义，以及基本初等函数的单调性，属于基础题．3. 的值是( )A. B. C.1 D.-1参考答案：A4. 若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于（）A.{x|0＜x＜1}B.{x|0＜x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.￠参考答案：A略5. 二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是参考答案：A6. （4分）如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；转化思想．分析：本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可解答：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z 轴，建立空间坐标系，∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故选C点评：本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．7. A(1,3)，B(5，-2)，点P在x轴上使|AP|－|BP|最大，则P的坐标为（）A. (4,0)B. (13,0)C. (5,0)D. (1,0)参考答案：B1.的值是A B CD参考答案：D略9. 在约束条件下，则目标函数的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：B10. （5分）设f（x）=，则f=（）A．B．C．﹣D．参考答案：B考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．分析：判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式．先求f（），再求f，由内而外．解答：f（）=，，即f=故选B点评：本题考查分段函数的求值问题，属基本题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在⊿ABC中，若sinA:sinB:sinC =3:5:7，则∠C等于▲参考答案：120o12. 若函数在区间(1,4)上不是单调函数，那么实数a的取值范围是__________.参考答案：（2，5）【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向与单调性的关系，判断出二次函数的对称轴在区间内，由此计算出的取值范围.【详解】因为函数f(x)=x2-2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数，所以对称轴x=a-1位于区间(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a＜5.故答案为：.【点睛】判断二次函数的单调性，可以通过二次函数的开口方向以及对称轴来进行分析：开口向上，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；开口向下，在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减.13. 方程log3x+x=3的解在区间（n，n+1）内，n∈N*，则n= ．参考答案：2【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】根据log3x+x=3得log3x=3﹣x，再将方程log3x+x=3的解的问题转化为函数图象的交点问题解决，分别画出相应的函数的图象，观察两个函数图象交点的横坐标所在的区间即可得到结果．【解答】解：∵求函数f（x）=log3x+x﹣3的零点，即求方程log3x+x﹣3=0的解，移项得log3x+x=3，有log3x=3﹣x．分别画出等式：log3x=3﹣x两边对应的函数图象，由图知：它们的交点x在区间（2，3）内，∵在区间（n，n+1）内，n∈N*，∴n=2故答案为：214. 函数y=﹣lg（x+1）的定义域为．参考答案：{x|x≥1}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质结合对数函数的性质得不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x≥1，故答案为：{x|x≥1}．15. .正实数，函数在上是增函数，那么的取值范围是．参考答案：解法一：2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k＝0时，－≤x≤，由题意：－≤－①，≥②，由①得ω≤，由②得ω≥2，∴0＜ω≤.解法二：∵ω>0，∴据正弦函数的性质f(x)在[－，]上是增函数，则f(x)在[－，]上是增函数，又f(x)周期T＝，由≥得0<ω≤.三、解答题（共48分）16. 设为不等式组所表示的平面区域，为不等式组所表示的平面区域，其中，在内随机取一点，记点在内的概率为．（1）若，则__________．（2）的最大值是__________．参考答案：；解：由题意可得，当时，如图，，如图，当取得最大值时，最大，最大值为．17. 已知函数，则f（x）的定义域是．参考答案：（﹣，﹣）∪（，）【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据三角函数以及二次根式的性质建立不等关系，解正切函数的不等式即可求出所求．【解答】解：∵函数y=lg（tanx﹣1）+，∴tanx﹣1＞0，且9﹣x2≥0，∴，∴x∈（﹣，﹣）∪（，）故答案为：（﹣，﹣）∪（，）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
福建莆田一中21-22学度高一下年末考试-数学
福建莆田一中21-22学度高一下年末考试-数学数学试题满分：100 时刻：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．等差数列{}n a 中，15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2．21+与21-，两数的等比中项是 （ ） A. 1 B. 1- C. 1± D. 213．在ABC ∆中, 已知4,43,60a b C ===,则ABC ∆的面积为 （ ）A ． 24B ．12C ．83D ．1634．数列{}n a 中，假如492n a n =-，则S n 取最大值时，n 等于 ( ) A ． 23B ．24C ．25D ．265．等腰三角形腰长是底边的32倍，则顶角的余弦值是 （ ）A ． 89B ．23C ．149D ．796．已知变量y x ,满足4001x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+有（ ）A ．有最大值5， 最小值3B ．有最大值6，最小值3C ．无最大值，有最小值3D ．既无最大值，也无最小值 7．若数列{}na 的通项公式为),1n a n N n n *=∈++若前n 项和为10，则项数为（ ）A ． 11B ．99C ．120D ．1218．已知0,0x y >>，且232x y+=，则2x y +的最小值为（ ） A ．843+ B ．43 C ．43+D ．423+9．设实数y x ,满足则（ ） A ．．．．10.下列四种说法中： ①函数()211y x x x=++-在(0,)+∞的最小值为2； ②()1sin 0sin y x x xπ=+-<<的最小值为2； ③函数2212y x x =++的最小值为-1；④已知2(0,0)x y x y +=>>其中正确的个数有 （ ） A ．0 B ．1 C ． 2 D ．3二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)11.若{}n a 是等比数列，且3n nS r =+，则r ＝ .12．二次函数)(2R x c bx ax y ∈++=的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是 。
福建省莆田市中学2021年高一数学文下学期期末试卷含解析
福建省莆田市中学2021年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设m ,n是两条不同的直线，是三个不同的平面,下列四个命题中正确命题的序号是（）①若则；②若则；③若,则④若则；(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D) ①④参考答案：B2. 某校毕业生毕业后有回家待业，上大学和补习三种方式，现取一个样本调查如图所示。
若该校每个学生上大学的概率为，则每个学生补习的概率为（）A．B．C D．参考答案：C3. 设等比数列{a n}的前n 项和为S n，若=3，则= （）A．2 B. C. D.3参考答案：B4. 已知全集U={x∈N+|﹣2＜x＜9}，M=（3，4，5），P={1，3，6}，那么{2，7，8}是（）A．M∪P B．M∩P C．（?U M）∪（?∪P）D．（?U M）∩（?U P）参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】列举出全集S中的元素，根据M与P求出M与P的补集，求出两补集的并集及交集，即可做出判断．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={3，4，5}，P={1，3，6}，∴?U M={1，2，6，7，8}，?U P={2，4，5，7，8}，M∪P={1，3，4，5，6}，M∩P={3}，则（?U M）∪（?U P）={1，2，4，5，6，7，8}；（?U M）∩（?U P）={2，7，8}，故选：D．5. 下列各组函数是同一函数的是（）A.与B.与C.与D.与参考答案：D6. 下列表示图形中的阴影部分的是（）A． B．C． D．参考答案：A阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分；7. 设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（?u A）∪（?u B）等于（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}参考答案：C【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U，以及A与B，找出A与B的补集，求出补集的并集即可．【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，∴?u A={4}，?u B={0，1}，则（?u A）∪（?u B）={0，1，4}．故选C8. 某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）A． B．C．D．参考答案：C根据三视图可将其还原为如下直观图，，答案选C．9. 设∈R，且，则下列结论正确的是（）A B C D.参考答案：A略10. 集合,集合A的真子集个数是( )A. 3个B. 4个C. 7个D. 8个参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域是参考答案：略12. 在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，则cosC的值为____________.参考答案：－13. 在△ABC中，，，，则角B的大小为_____．参考答案：【分析】由，根据同角的三角函数关系中的商关系，可以求出角正切值，再根据角是三角形的内角，这样可以求出角，由正弦定理可以求出角的大小，最后由三角形内角和定理可以求出角的大小.【详解】因为角是三角形的内角，所以，又因为，所以有，所以，由正弦定理可知：，因为，所以，因此，由三角形内角和定理可知：.【点睛】本题考查了同角三角函数的关系中的商关系，考查了余弦定理、三角形内角和定理、以及特殊角的三角函数值.14. 已知函数分别由下表给出：满足的的值 .参考答案：215. 下列各数、、、中最小的数是____________ 参考答案：111111（2）略16. 已知，且，则。
2021-2022学年福建省莆田市城郊中学高一数学文期末试卷含解析
2021-2022学年福建省莆田市城郊中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设正数a，b满足，若关于的不等式的解集中的整数解恰有4个，则a的取值范围是（）A. (2,3)B. (3,4)C. (2,4)D. (4,5)参考答案：C分析：将不等式因式分解可得，由于解集中整数解恰有4个，则a＞2，则有，则四个整数解为-3，﹣2，﹣1，0．则有，结合条件，可得a＜4，进而得到a的范围．详解：，即∴，，∴由于解集中整数解恰有4个，则a＞2，∴则四个整数解-3，﹣2，﹣1，0．∴，即即，又∴，∴，又a＞2∴的取值范围是故选：C点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的整数解的求法，考查不等式的性质的运用，考查运算能力，属于易错题．2. 和两条异面直线都平行的直线：A．只有一条 B．两条 C．无数条 D．不存在参考答案：D3. 如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心参考答案：B【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定﹣=，判断与∠BAC的角平分线的关系推出选项．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量，∴+的方向与∠BAC的角平分线重合，又∵可得到﹣==λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，∴一定通过△ABC的内心故选B．4. 已知函数的零点为，函数的最小值为，且，则函数的零点个数是( ▲ )A． B. C. 或 D. 或参考答案：D略5. 已知函数，则的值是A．9 B．C．D．参考答案：B6. 根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题．【分析】令f（x）=e x﹣x﹣2，方程e x﹣x﹣2=0的根即函数f（x）=e x﹣x﹣2的零点，由f（1）＜0，f（2）＞0知，方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2）．【解答】解：令f（x）=e x﹣x﹣2，由图表知，f（1）=2.72﹣3=﹣0.28＜0，f（2）=7.39﹣4=3.39＞0，方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2），故选 C．【点评】本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件．7. 在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：①②③④其中成立的个数是 ( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：C8. 已知,那么( )A. B. C. D.参考答案：C9. 函数的图像按向量平移后, 得到的图像的解析式为. 那么的解析式为A. B. C. D.参考答案：解析：, 即. 故选 B．10. 已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用．【分析】可得f （2）=2＞0，f （4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x ）=﹣log 2x ，∴f（2）=2＞0，f （4）=﹣＜0， 满足f （2）f （4）＜0，∴f（x ）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，若，则的值等于 ．参考答案：212. 若，则．参考答案：1试题分析：由题意得，则，所以.考点：对数运算及其应用.【方法点晴】此题主要考查指数与对数互化，以及对数运算性质等有关方面的知识与技能，属于中低档题型.在此题的解决过程中，由条件中指数式转化为对数式，即，利用对数运算的换底公式得，代入式子得，再利用对数的运算性质，从而问题可得解.13. 定义在R 上的奇函数f （x ） 在[0，+∞） 上的图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0 的解集是 ．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】图表型．【分析】由f （x ）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y 轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f （x ）的正负，由图象可求出x 的范围得结果． 【解答】解：（1）x ＞0时，f （x ）＜0，∴x＞2， （2）x ＜0时，f （x ）＞0，∴x＜﹣2，∴不等式xf （x ）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数图象的应用．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于Y 轴对称．14. 若，则的值是 .参考答案：15. 方程的解集为________.参考答案：【分析】由诱导公式可得，由余弦函数的周期性可得：.【详解】因为方程，由诱导公式得，所以，故答案为：．【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题．16. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是__ ______。
2022年福建省莆田市山立学校高一数学理下学期期末试题含解析
2022年福建省莆田市山立学校高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx≥0}，则A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．?参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求解函数的值域化简A，求解对数不等式化简B，然后取交集得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x+1}=（1，+∞），B={x|lnx≥0}=（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查交集及其运算，考查了函数值域的求法，训练了对数不等式的解法，是基础题．2. 函数，则的值是（）A、1B、C、2D、参考答案：A略3. 右图给出的计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A． B． C． D．参考答案：B略4. 以（2，1）为圆心且与直线y+1=0相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=4 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=2 C．（x+2）2+（y+1）2=4 D．（x+2）2+（y+1）2=2参考答案：A【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意得圆心到切线的距离即为圆的半径，利用点到直线的距离公式求出，写出圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆心到切线的距离d=r，即r=d=1+1=2，圆心C（2，1），∴圆C方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故选A．【点评】此题考查了圆的标准方程，求出圆的半径是解本题的关键．5. 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A. B.C. D.参考答案：D略6. 已知全集,集合,则?U (A∪B) =( )A．B．C．D．参考答案：B略7. 在下列区间中，函数的零点所在区间是（）....参考答案：D8. 如图，为正四面体，于点，点均在平面外，且在平面的同一侧，线段的中点为,则直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C. D.参考答案：A9. 对于函数f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2] B．[0，1] C．[1，2] D．[0，+∞）参考答案：A【考点】指数函数综合题．【分析】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f （b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．【解答】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于?a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故选：A．10. 下图是2019年我校高一级合唱比赛中，七位评委为某班打出的分数的茎叶统计图，去掉最高分和最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A. 84，4.84B. 84，1.6C. 85，4.84D. 85，1.6参考答案：D【分析】由茎叶图写出除最高分和最低分的5个分数，然后计算平均数和方差．【详解】由茎叶图知除最高分和最低分的分数有：84，84，86，84，87，平均数为，方差为，故选：D．【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数和方差，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=+lg 的定义域是．参考答案：{x|＜x≤2}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解①得：x≤2；解②得＜x＜3．取交集得：＜x≤2．∴函数y=+lg的定义域是：{x|＜x≤2}．故答案为：{x|＜x≤2}．12. 函数的定义域为参考答案：略13. 若且_________参考答案：－14. 如图，边长为a的正△ABC中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有______(填上所有正确命题的序号)．(1)动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；(2)三棱锥A′－FED的体积有最大值；(3)恒有平面A′GF⊥平面BCED；(4)异面直线A′E与BD不可能互相垂直．参考答案：(1)(2)(3)15. 如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的中位数为a，乙加工零件个数的平均数为b，则a+b=______.参考答案：44.5【分析】由茎叶图直接可以求出甲的中位数和乙的平均数，求和即可。
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C'ABCDB'D'CBA福建省莆田一中2021-2022高一数学下学期期末考试试题一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．圆1)2()2(:221=-++y x C 与圆16)5()2(22:2=-+-y x C 的位置关系是( ) A ．外离 B ．外切 C ． 相交 D ．内切2．设a 、b 是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：正确的是( )A ．若,a b a α⊥⊥则//b α；B ．若//,,a ααβ⊥则a β⊥；C ．若,,a αββ⊥⊥则//a αD ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥3．已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a =( ) A ．-3 B ．31-C ． 31D ．3 4．若函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝3－2x 的图像关于坐标原点对称，则y ＝f(x)的表达式为( ) A ．y ＝－2x －3 B ．y ＝2x ＋3 C ．y ＝－2x ＋3 D ．y ＝2x －3 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，420S ，则10a =( )A ．25B ．32C ．35D ．406．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．以上情况都有可能7．如图：正三棱锥A BCD -中，40BAD ∠=︒，侧棱2AB =，BD 平行于过点C 的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的 周长的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．438．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( ) A ．()0,02a bab a b +≥>>B ．()2220,0+≥>>a b ab a bC ．()20,0abab a b a b≤>>+D ．()220,022a ba b a b ++≤>> 9．已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x=0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．10 D ．1510．如图所示，某学习小组进行课外研究性学习，隔河可以看到对岸两目标A 、B ，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A.85B ．415C ．215D ．2511．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是( )A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．异面直线AD 与PB 所成的角为60︒ C ．二面角P BC A --的大小为60︒D ．在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB12．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论： ①异面直线AC 与BD 所成的角为定值． ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°．④三棱锥M ACN -体积的最大值为248． 以上所有正确结论的有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（共4个小题,每小题5分,共20分，请将答案填在答题卡上）13.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元,购买3支康乃馨所需费用为B 元,则A,B 的大小关系是 .14.已知圆的方程为()2214x y +-=，若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的一般方程为 .15.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点A 在底面的射影为底面△BCD 的中心）A BCD -的外接球， 3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .16.圆C ：x 2＋y 2＝16，过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，在x 轴正半轴上存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB,求出点N 的坐标 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.请将答案填在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题共10分）已知直线l 在y 轴上的截距为2-，且垂直于直线210x y --=．（1）求直线l 的方程；（2）设直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，OAB 内接于圆C ，求圆C 的方程．18.（本题共12分）已知在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且2()n S n n *=∈N ，数列{}n b 为等比数列，公比1q >，11b a =，且22b ，4b ，33b 成等差数列．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）令nn na cb =，求{}n c 的前项和n T ． 19.（本题共12分）已知，，分别为三个内角，，的对边， 且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求的值．20.（本题共12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA=AB=3，AD=1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）当点E 为BC 的中点时， 证明EF//平面PAC ； （2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．21.（本题共12分）如图，在Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点E 在线段AB 上，过点E 作//EF BC 交AC 于点F ，将AEF ∆沿EF 折起到PEF ∆的位置（点A 与P 重合），使得060PEB ∠=．（1）求证：⊥平面CB 平面EF PBE ；（2）试问：当点E 在何处时，四棱锥P EFCB -的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值．22．（本题共12分）已知圆C ：22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A .（1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，判断•AM AN 是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.莆田一中2021-2022度下学期期末高一数学考试参考答案 1-5 BDAAC 6-10 ABDBB 11-12 DC13. A>B 14. 0324=--y x 15. []24π,π16. (8，0).17．解：（1）设直线l 的方程为2y kx =-．∵直线210x y --=的斜率为12，所以直线l 的斜率2k =-．则直线l 的方程为22y x =--．（2）设圆C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=．由于OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12AB ；由(1,0)A -，(0,2)B -得1,12C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，AB =12212DE⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪=，解得1D =，2E =，0F =．则圆C 的一般方程为：2220x y x y +++=．18．解：（1）∵111a S ==，221(1)n n S S n n --=--，∴21()n a n n *=-∈N ，…3分234232b b b +=，23232q q q +=，由于1q >，∴2q =，∴12()n n b n -*=∈N …6分（2）由（1）得1212n n n c --=，0121135212222n n n T --=++++，①∴123111352321222222n n n n n T ---=+++++，② ①-②得1211222212313222222n n n nn n T --+=++++-=-， ∴123662n n n T -+=-<…12分19．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得， 因为 ，所以，即 …4分 又，，所以. …6分（Ⅱ）由已知， …8分 由余弦定理得 ，即，即，又所以. …12分20．解：（1）证明： 连结AC ，EF, ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC ∆中，PC EF // ……3分.又，平面PAC EF ⊄PAC PC 平面⊂ ……4分∴当点E 是BC 的中点时，EF//平面PAC ……6分（2）∵AB PA ⊥，PA=AB=3，点F 是PB 的中点∴等腰PAB ∆中，PB AF ⊥，又BC PA ⊥，BC AB ⊥且PA 和AB 是平面PAB 上两相交直线∴BC ⊥平面PAB 又PAB AF 平面⊂.∴BC AF ⊥ …… 9分又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴PBC AF 面⊥ …… 11分 又PBC PE 平面⊂ ∴PE AF ⊥∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立． ……12分21．解：（1）证明：∵//EF BC 且BC AB ⊥， ∴EF AB ⊥，即,EF BE EF PE ⊥⊥．又BEPE E =，∴EF ⊥平面PBE ，又⊂EF 平面CBEF ，⊥平面CB 平面EF PBE ……4分（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=．∴21sin ()2442PEB x y S BE PE PEB xy ∆+=⋅⋅∠=≤= 当且仅当2x y ==时，PEB S ∆的面积最大，此时，2BE PE ==． ……6分 由（1）知EF ⊥平面PBE ，平面EFCB ⊥平面PBE ．在平面PBE 中，作PO BE ⊥于O ，则PO ⊥平面EFCB ．即PO 为四棱锥P EFCB -的高．又01sin 602(24)262EFCB PO PE S =⋅===⨯+⨯=．∴163P BCFE V -=⨯=……9分∵01cos60212OE PE =⋅=⨯=，∴1BO =，在Rt OBC ∆中，OC ==PO ⊥平面EFCB ，∴PCO ∠就是PC 与平面EFCB所成角．∴tan 17PO PCO OC ∠===故直线PC 与平面EFCB所成角的正切值为17， ……12分22．解：（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意 ……2分②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即kx y k 0--=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径22=，解之得34k=．所求直线方程是1x=，3430x y--=．……5分（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为kx y k0--=由220{x ykx y k++=--=得223(,)2121k kNk k--++．又直线CM与1l垂直，由{14(3)y kx ky xk=--=--(也可以通过直线与圆联立消去y,得到22221(286)8210.+-+++++=（）xk k k x k k2122286 +=1+++k kx xk而求出M坐标).得22224342 (,) 11+++++k k k k Mk kAM AN⋅=6==为定值．故AM AN⋅是定值，且为6．。