复习讲义导数及其应用
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
新人教B版学高中数学选修导数及其应用章末复习课讲义
导数的几何意义及其应用某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q（x１，y１），则切线方程为y—y１＝f′（x）（x—x１），再由切线过点P（x0，y0）得１y0—y１＝f′（x１）（x0—x１），１又y１＝f（x１），２由１２求出x１，y１的值，即求出了过点P（x0，y0）的切线方程．【例１】（１）曲线y＝x e x—１在点（１,１）处切线的斜率等于（）Ａ．２e Ｂ．eＣ．２Ｄ．１（２）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）[思路探究] （１）曲线在点（１,１）处的切线斜率即为该点处的导数．（２）由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论．[解析] （１）y′＝e x—１＋x e x—１＝（x＋１）e x—１，故曲线在点（１,１）处的切线斜率为k＝２．（２）从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f（x）的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确．[答案] （１）C （２）B１．已知曲线y＝错误!x３＋错误!.（１）求曲线在点P（２,４）处的切线方程；（２）求曲线过点P（２,４）的切线方程；（３）求斜率为４的曲线的切线方程．[解] （１）∵P（２,４）在曲线y＝错误!x３＋错误!上，且y′＝x２，∴在点P（２,４）处的切线的斜率k＝４．∴曲线在点P（２,４）处的切线方程为y—４＝４（x—２），即４x—y—４＝0．（２）设曲线y＝错误!x３＋错误!与过点P（２,４）的切线相切于点A错误!，则切线的斜率k＝x错误!.∴切线方程为y—错误!＝x错误!（x—x0），即y＝x错误!·x—错误!x错误!＋错误!.∵点P（２,４）在切线上，∴４＝２x错误!—错误!x错误!＋错误!，即x错误!—３x错误!＋４＝0，∴x错误!＋x错误!—４x错误!＋４＝0．∴x错误!（x0＋１）—４（x0＋１）（x0—１）＝0，∴（x0＋１）（x0—２）２＝0，解得x0＝—１或x0＝２，故所求的切线方程为４x—y—４＝0或x—y＋２＝0．（３）设切点为（x0，y0），则切线的斜率k＝x错误!＝４，∴x0＝±２．∴切点为（２,４）或错误!.∴斜率为４的曲线的切线方程为y—４＝４（x—２）和y＋错误!＝４（x＋２），即４x—y—４＝0和１２x—３y＋２0＝0．利用导数判断函数的单调性规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f（x）为增函数⇔f′（x）≥0且f′（x）＝0的根有有限个，f（x）为减函数⇔f′（x）≤0且f′（x）＝0的根有有限个．【例２】设函数f（x）＝x e a—x＋bx，曲线y＝f（x）在点（２，f（２））处的切线方程为y＝（e—１）x＋４．（１）求a，b的值；（２）求f（x）的单调区间．[思路探究] （１）利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．（２）利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．[解] （１）因为f（x）＝x e a—x＋bx，所以f′（x）＝（１—x）e a—x＋b.依题设，错误!即错误!解得错误!（２）由（１）知f（x）＝x e２—x＋e x.由f′（x）＝e２—x（１—x＋e x—１）及e２—x＞0知，f′（x）与１—x＋e x—１同号．令g（x）＝１—x＋e x—１，则g′（x）＝—１＋e x—１．所以，当x∈（—∞，１）时，g′（x）<0，g（x）在区间（—∞，１）上单调递减；当x∈（１，＋∞）时，g′（x）>0，g（x）在区间（１，＋∞）上单调递增．故g（１）＝１是g（x）在区间（—∞，＋∞）上的最小值，从而g（x）>0，x∈（—∞，＋∞）．综上可知，f′（x）>0，x∈（—∞，＋∞），故f（x）的单调递增区间为（—∞，＋∞）．２．（１）讨论函数f（x）＝错误!e x的单调性，并证明当x＞0时，（x—２）e x＋x＋２＞0；（２）证明：当a∈[0,１）时，函数g（x）＝错误!（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．[解] （１）f（x）的定义域为（—∞，—２）∪（—２，＋∞）．f′（x）＝错误!＝错误!≥0，当且仅当x＝0时，f′（x）＝0，所以f（x）在（—∞，—２），（—２，＋∞）上单调递增．因此当x∈（0，＋∞）时，f（x）>f（0）＝—１．所以（x—２）e x>—（x＋２），即（x—２）e x＋x＋２>0．（２）g′（x）＝错误!＝错误!（f（x）＋a）．由（１）知，f（x）＋a单调递增．对任意a∈[0,１），f（0）＋a＝a—１＜0，f（２）＋a＝a≥0．因此，存在唯一x a∈（0,２]，使得f（x a）＋a＝0，即g′（x a）＝0．当0<x<x a时，f（x）＋a<0，g′（x）<0，g（x）单调递减；当x>x a时，f（x）＋a>0，g′（x）>0，g（x）单调递增．因此g（x）在x＝x a处取得最小值，最小值为g（x a）＝错误!＝错误!＝错误!.于是h（a）＝错误!.由错误!错误!＝错误!＞0，得y＝错误!单调递增，所以，由x a∈（0,２]，得错误!＝错误!＜h（a）＝错误!≤错误!＝错误!.因为y＝错误!单调递增，对任意λ∈错误!，存在唯一的x a∈（0,２]，a＝—f（x a）∈[0,１），使得h （a）＝λ.所以h（a）的值域是错误!.综上，当a∈[0,１）时，g（x）有最小值h（a），h（a）的值域是错误!.利用导数研究函数的极值、最值围．另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查．【例３】已知函数f（x）＝x３＋ax２＋b的图象上一点P（１,0），且在点P处的切线与直线３x＋y ＝0平行．（１）求函数f（x）的解析式；（２）求函数f（x）在区间[0，t]（0<t<３）上的最大值和最小值；（３）在（１）的结论下，关于x的方程f（x）＝c在区间[１,３]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[思路探究] （１）由错误!求出a，b即可．（２）对t分0<t≤２与２<t<３两种情况求最值．（３）构造函数g（x）＝f（x）—c转化为g（x）在[１,３]上有实根求解．[解] （１）因为f′（x）＝３x２＋２ax，曲线在P（１,0）处的切线斜率为：f′（１）＝３＋２a，即３＋２a＝—３，a＝—３．又函数过（１,0）点，即—２＋b＝0，b＝２．所以a＝—３，b＝２，f（x）＝x３—３x２＋２．（２）由f（x）＝x３—３x２＋２，得f′（x）＝３x２—6x.由f′（x）＝0，得x＝0或x＝２．１当0<t≤２时，在区间（0，t）上f′（x）<0，f（x）在[0，t]上是减函数，所以f（x）的最大值为f（0）＝２，f（x）的最小值为f（t）＝t３—３t２＋２．２当２<t<３时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x0（0,２）２（２，t）tf′（x）0—0＋＋f（x）２单调递减↘极小值—２单调递增↗t３—３t２＋２f（t）—f（0）＝t３—３t２＝t２（t—３）<0．所以f（x）的最大值为f（0）＝２．（３）令g（x）＝f（x）—c＝x３—３x２＋２—c，g′（x）＝３x２—6x＝３x（x—２）．在x∈[１,２）上，g′（x）<0；在x∈（２,３]上，g′（x）>0．要使g（x）＝0在[１,３]上恰有两个相异的实根，则错误!解得—２<c≤0．３．（２0１9·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x—ln（１＋x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（１）f′（x）在区间—１，错误!存在唯一极大值点；（２）f（x）有且仅有２个零点．[解] （１）设g（x）＝f′（x），则g（x）＝cos x—错误!，g′（x）＝—sin x＋错误!，当x∈—１，错误!时，g′（x）单调递减，而g′（0）>0，g′错误!<0，可得g′（x）在—１，错误!有唯一零点，设为α.则当x∈（—１，α）时，g′（x）>0；当x∈α，错误!时，g′（x）<0．所以g（x）在（—１，α）单调递增，在α，错误!单调递减，故g（x）在—１，错误!存在唯一极大值点，即f′（x）在—１，错误!存在唯一极大值点．（２）f（x）的定义域为（—１，＋∞）．（ⅰ）当x∈（—１,0]时，由（１）知，f′（x）在（—１,0）单调递增，而f′（0）＝0，所以当x∈（—１,0）时，f′（x）<0，故f（x）在（—１,0）单调递减．又f（0）＝0，从而x＝0是f（x）在（—１,0]的唯一零点．（ⅱ）当x∈0，错误!时，由（１）知，f′（x）在（0，α）单调递增，在α，错误!单调递减，而f′（0）＝0，f′错误!<0，所以存在β∈α，错误!，使得f′（β）＝0，且当x∈（0，β）时，f′（x）>0；当x∈β，错误!时，f′（x）<0．故f（x）在（0，β）单调递增，在β，错误!单调递减．又f（0）＝0，f错误!＝１—ln１＋错误!>0，所以当x∈0，错误!时，f（x）>0．从而，f（x）在0，错误!没有零点．（ⅲ）当x∈错误!，π时，f′（x）<0，所以f（x）在错误!，π单调递减．而f错误!>0，f（π）<0，所以f（x）在错误!，π有唯一零点．（ⅳ）当x∈（π，＋∞）时，ln（x＋１）>１，所以f（x）<0，从而f（x）在（π，＋∞）没有零点．综上，f（x）有且仅有２个零点．函数与方程的思想符号都比较容易的函数，如果证明f（x）＞g（x），x∈（a，b），可转化为证明F（x）＝f（x）—g（x）与0的关系，若F′（x）＞0，则函数F（x）在（a，b）上是增函数．若F（a）≥0，则由增函数的定义，知当x∈（a，b）时，有F（x）＞F（a）≥0，即f（x）＞g（x）成立，同理可证明f（x）＜g（x），x∈（a，b）．【例４】设函数f（x）＝２x３＋３ax２＋３bx＋8c在x＝１及x＝２时取得极值．（１）求a，b的值；（２）若对任意的x∈[0,３]，都有f（x）<c２成立，求c的取值范围．[思路探究] （１）利用f′（１）＝0，f′（２）＝0，列方程组求解．（２）转化为求函数f（x）的最大值问题．[解] （１）f′（x）＝6x２＋6ax＋３b.因为函数f（x）在x＝１及x＝２时取得极值，则有f′（１）＝0，f′（２）＝0，即错误!解得错误!（２）由（１）可知，f（x）＝２x３—9x２＋１２x＋8c，则f′（x）＝6x２—１8x＋１２＝6（x—１）（x—２）．当x∈[0,１）时，f′（x）>0；当x∈[１,２]时，f′（x）<0；当x∈（２,３]时，f′（x）>0．所以当x＝１时，f（x）取得极大值f（１）＝５＋8c，当x＝２时，f（x）取得极小值f（２）＝４＋8c，又f（0）＝8c，f（３）＝9＋8c.所以当x∈[0,３]时，f（x）的最大值为f（３）＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,３]，有f（x）<c２恒成立，所以9＋8c<c２，解得c<—１或c>9．故c的取值范围为c<—１或c>9．４．已知函数f（x）＝错误!，且f（x）的图象在x＝１处与直线y＝２相切．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．[解] （１）对函数f（x）求导，得f′（x）＝错误!＝错误!.因为f（x）的图象在x＝１处与直线y＝２相切．所以错误!即错误!所以a＝４，b＝１，所以f（x）＝错误!.（２）因为f′（x）＝错误!，所以直线l的斜率k＝f′（x0）＝错误!＝４错误!，令t＝错误!，t∈（0,１]，则k＝４（２t２—t）＝8错误!错误!—错误!，所以k∈错误!.定积分及其应用的几何意义、物理意义及微积分基本定理．可以解决不规则平面图形的面积及变力作功问题．【例５】设两抛物线y＝—x２＋２x，y＝x２所围成的图形为M，求M的面积．[思路探究] 求出两抛物线的交点，画出图象、利用定积分求解．[解] 函数y＝—x２＋２x，y＝x２在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．由图可知，图形M的面积S＝错误!（—x２＋２x—x２）d x＝错误!（—２x２＋２x）d x＝错误!错误!＝错误!.５．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln ５Ｂ．8＋２５ln 错误!Ｃ．４＋２５ln ５Ｄ．４＋５0ln ２[解析] 由v（t）＝7—３t＋错误!＝0，可得t＝４错误!，因此汽车从刹车到停止一共行驶了４s，在此期间行驶的距离为错误!v（t）d t＝错误!错误!d t＝错误!错误!＝４＋２５ln ５．[答案] C１．设函数f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（）Ａ．y＝—２xＢ．y＝—xＣ．y＝２xＤ．y＝x[解析] ∵ f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax，∴ f′（x）＝３x２＋２（a—１）x＋a.又f（x）为奇函数，∴ f（—x）＝—f（x）恒成立，即—x３＋（a—１）x２—ax＝—x３—（a—１）x２—ax恒成立，∴ a＝１，∴ f′（x）＝３x２＋１，∴ f′（0）＝１，∴ 曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.故选Ｄ．[答案] D２．函数y＝—x４＋x２＋２的图象大致为（）[解析] f′（x）＝—４x３＋２x，则f′（x）>0的解集为—∞，—错误!∪0，错误!，f（x）单调递增；f′（x）<0的解集为—错误!，0∪错误!，＋∞，f（x）单调递减．故选Ｄ．[答案] D３．若x＝—２是函数f（x）＝（x２＋ax—１）e x—１的极值点，则f（x）的极小值为（）Ａ．—１Ｂ．—２e—３Ｃ．５e—３Ｄ．１[解析] 函数f（x）＝（x２＋ax—１）e x—１，则f′（x）＝（２x＋a）e x—１＋（x２＋ax—１）·e x—１＝e x—１·[x２＋（a＋２）x＋a—１]．由x＝—２是函数f（x）的极值点得f′（—２）＝e—３·（４—２a—４＋a—１）＝（—a—１）e—３＝0，所以a＝—１．所以f（x）＝（x２—x—１）e x—１，f′（x）＝e x—１·（x２＋x—２）．由e x—１>0恒成立，得x＝—２或x＝１时，f′（x）＝0，且x<—２时，f′（x）>0；—２<x<１时，f′（x）<0；x>１时，f′（x）>0．所以x＝１是函数f（x）的极小值点．所以函数f（x）的极小值为f（１）＝—１．故选Ａ．[答案] A４．已知函数f（x）＝２sin x＋sin ２x，则f（x）的最小值是________．[解析] f′（x）＝２cos x＋２cos ２x＝２cos x＋２（２cos２x—１）＝２（２cos２x＋cos x—１）＝２（２cos x—１）（cos x＋１）．∵ cos x＋１≥0，∴ 当cos x<错误!时，f′（x）<0，f（x）单调递减；当cos x>错误!时，f′（x）>0，f（x）单调递增．∴ 当cos x＝错误!时，f（x）有最小值．又f（x）＝２sin x＋sin ２x＝２sin x（１＋cos x），∴ 当sin x＝—错误!时，f（x）有最小值，即f（x）min＝２×错误!×错误!＝—错误!.[答案] —错误!５．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为５cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△E CA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm３）的最大值为________．[解析] 如图，连接O D，交BC于点G，由题意，知OD⊥BC，OG＝错误!BC.设OG＝x，则BC＝２错误!x，DG＝５—x，三棱锥的高h＝错误!＝错误!＝错误!，S△ABC＝错误!×２错误!x×３x＝３错误!x２，则三棱锥的体积V＝错误!S△ABC·h＝错误!x２·错误!＝错误!·错误!.令f（x）＝２５x４—１0x５，x∈错误!，则f′（x）＝１00x３—５0x４.令f′（x）＝0得x＝２．当x∈（0,２）时，f′（x）>0，f（x）单调递增，当x∈错误!时，f′（x）<0，f（x）单调递减，故当x＝２时，f（x）取得最大值80，则V≤错误!×错误!＝４错误!.∴三棱锥体积的最大值为４错误!cm３.[答案] ４错误!6．已知函数f（x）＝a e x—ln x—１．设x＝２是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间．[解] f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝a e x—错误!.由题设知，f′（２）＝0，所以a＝错误!.从而f（x）＝错误!e x—ln x—１，f′（x）＝错误!e x—错误!.当0<x<２时，f′（x）<0；当x>２时，f′（x）>0．所以f（x）在（0,２）上单调递减，在（２，＋∞）上单调递增．。
高三一轮复习：导数的运用课件
二、复习要点及其运用 （一） 导数与函数的单调性的关系
h
L1
0
0
t1
t L2 L4 L3
图（一）
图（二）
二、复习要点及其运用
（a , b） （a）设 y f ( x) x （1）若 f ( x) 0 恒成立，则 y f ( x) 为 (a , b) 上 的单调 递增函数 （2）若 f ( x) 0 恒成立，则 y f ( x) 为 (a , b) 上的单调递减函数 （注：若 x0 (a , b) 使得 f ( x0 ) 0 则称 x0 为 y f ( x) 的 临界 点）
A、 ( , )和(0, ) 2 2
C、 ( , )和( , ) 2 2
,0)和(0, ) 2 2 D、 ( ,0)和( , ) 2 2
B、 (
3、如图,液体从一圆锥形漏斗漏入 一圆柱形桶中,开始时漏斗盛满液体, 经过3分钟漏完,若圆柱中液面上升 速度是一常量,H是圆锥形漏斗中液 面下落的距离,则H与下落时间分钟 的函数关系表示的图象可能是（ ）
f ( x) 0 与 （b）
f ( x)为增函数的关系：f ( x) 0
能推出 f ( x)为增函数，但反之不一定。如 3 f ( x) 0 ) 函数 f ( x) x 在 (,上单调递增，但 所以 f ( x) 0 是f ( x)为增函数的充分不必要条 件。 f ( x) 0 是 f ( x)为减函数的充分不必 同理， 要条件。
(1)
(2)
(3)
(4)
A
B
C
D
（1）
B
（2）
A
（3）
D （4）
导数及其应用复习PPT课件
所以当 x＝ 1a时，g(x)取得最大值，最大值为 g 1a＝－ a. 所以 b≥－ a.
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第 2 讲 │ 要点热点探究
当 0<a≤1 时， 1a≥1，此时 g′(x)≥0 在区间(0,1]上恒成 立，所以 g(x)＝－a2x－21x在区间(0,1]上单调递增，当 x＝1 时， g(x)最大，最大值为 g(1)＝－a＋2 1，所以 b≥－a＋2 1.
＋0－0 ＋
f(x) 0 增函数 4 减函数 0 增函数 4
所以函数 f(x)＝x3－6x2＋9x 在区间[0,4]上的最大值
是 4，最小值是 0.
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第 2 讲 │ 要点热点探究
► 探究点五 函数、导数及不等式的综合 例 6 已知函数 f(x)＝13ax3＋bx2＋x＋3，其中 a≠0. (1)当 a，b 满足什么条件时，f(x)取得极值？ (2)已知 a>0，且 f(x)在区间(0,1]上单调递增，试用 a 表示
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第 2 讲 │ 要点热点探究
【点评】 不等式恒成立问题往往转化为研究函数最值问 题．但要注意满足 f′(x0)＝0 的点 x＝x0(称为驻点)只是它为极 大(小)值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极 值点，往往容易导致失误．
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第 2 讲 │ 要点热点探究
2x为单调递减函在区间01上恒成立所以gxax2x在区间01上单调递增当x1gx最大最大值为g1a132点评本题为三次函数利用求导的方法研究函数的极值单调性和函数的最值函数在区间上为单调函数则导函数在该区间上的符号确定从而转化为不等式恒成立问题再转化为函数研究最值
导数及其应用复习讲义(解析版)
导数及其应用复习讲义（解析版）考点一、导数的概念及运算 1.导数的概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．2.导数的运算①．求导的基本公式 基本初等函数 导函数 ()f x c =（c 为常数） ()0f x '= ()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠， ()ln x f x a a '=()log (01)a f x x a a =>≠， 1()ln f x x a'=()x f x e =()x f x e '=()ln f x x = 1()f x x'=()sin f x x = ()cos f x x '= ()cos f x x =()sin f x x '=-（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． ③．复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：【1】若()3ln f x x x =+，则0(12)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【解析】由题意21()3f x x x'=+，所以(1)134f '=+=，所以()00(12)(1)(12)(1)lim2lim 2182x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆．故选D ．【2】已知函数()()ln 1f x ax =-的导函数是f x ，且()22f '=，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．23 C ．34D ．1【答案】B【解析】求导得()1a f x ax '=-，则()2221a f a ='=-，解得23a =．故选B ． 【3】．已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足1()2(1)ln f x xf x'=+，则(1)f =（ ）A ．-eB ．2C ．-2D ．e【答案】B【解析】因为()()121ln f x xf x'=+，所以()()()11121211f x f f x x x'⎛⎫'''=+⋅=- ⎪⎝⎭， 所以()()1211f f ''=-，()11f '=，所以()12lnf x x x=+，()12ln12f =+=．故选B ．【4】已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，*n ∈N ，则()2023f x =（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x --【答案】D【解析】因为()1sin cos f x x x =+，所以21()'()cos sin f x f x x x ==-，324354()'()sin cos ,()'()cos sin ,()'()sin cos f x f x x x f x f x x x f x f x x x==--==-+==+……可知()n f x 的解析式周期为4，因为202350543=⨯+，所以()20193()sin cos f x f x x x ==--，故选D ．考点二 导数的几何意义及应用几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．【5】函数()3ln f x x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．430x y --=B ．430x y +-=C ．430x y --=D ．430x y +-=【答案】A【解析】因为函数()3ln f x x x =+，所以()213f x x x'=+，所以()()11,14f f '==， 所以图象在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=-，即430x y --=，故选A 【6】曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x =【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =.【7】已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．13【答案】B【解析】设切点为00(,)x y ，ln()y x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，令0011,1x b x b ==-+，则0ln(1)0y b b =-+= ，故切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，则141444()()5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅，当且仅当13a =，23b =时，14a b +取得最小值9，故选：B【8】己知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________． 【答案】1【解析】设函数22f xx ，()3ln g x x ax =-的公共点为()00,x y ，则()()()()0000,,f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩即200000023,32,0,x lnx ax x a x x ⎧-=-⎪⎪=-⎨⎪⎪>⎩则2003ln 10x x +-=．令()23ln 1h x x x =+-，易得()h x 在()0,∞+上单调递增，所以以由2003ln 10x x +-=，解得01x =，所以切点为()1,1-，所以13ln1a =-，则1a =．故答案为：1. 【9】设曲线()()1af x x x=-+在点()()1,1f 处的切线方程为20x y b ++=，则a b -=（ ） A ．0 B ．1 C ．-2D ．2【答案】D【解析】由题得221()11a f x a x x ⎛⎫'=--=-- ⎪⎝⎭，则切线的斜率为()11f a '=--． 又()12f a =-，曲线()()1af x x x=-+在点()()1,1f 处的切线方程为 ()()()211y a a x --=---，即()1210a x y a ++-+=．又切线方程为20x y b ++=，所以比较系数得1221a a b +=⎧⎨-+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．所以2a b -=．故选D ．【10】若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线1y x =-的距离的最小值为（ ） A ．1 B 2 C ．22D 3【答案】C【解析】设平行于直线1y x =-且与曲线2ln y x x =-相切的切点为(,)P x y ，由2ln ,0y x x x =->，则12y x x'=-， 令121x x-=，整理得(1)(21)0x x -+=，解得1x =或12x =-（舍去），由1x =，可得21ln11y =-=，即切点坐标为(1,1)P ， 又由点到直线10x y --=的距离公式，可得2211121(1)d --==+- 即点P 到直线1y x =-的距离的最小值为22．故选C ．考点三 导数与函数的单调性 1.求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.2.函数单调性与导数的关系()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.3.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[],a b 上单调递增(减)可知()0f x '≥ (()0f x '≤)在区间[],a b 上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使()f x '在整个区间恒等于0，若()f x '恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有()0f x '=，则参数可取这个值． 【11】已知函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()02, B ．[)0,1 C ．()0,∞+ D ．()2,+∞【答案】D 【解析】∵()32132a f x x x x =--，∴()21f x ax x '=-- ∵函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数 ∴()210f x ax x '=--=在区间()0,1上有根∴当a ＝0时，x ＝－1不满足条件当0a >时，∵()010f '=-<，∴()120f a '=->，∴2a >.故选：D ．【12】设函数21()9ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(]0,3 C ．[)4,+∞D ．(],2-∞【答案】A【解析】由()219ln ,(0)2f x x x x =->，则()299,(0)x f x x x x x'-=-=>，当(0,3)x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减； 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，又函数()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以101311a a a a ->⎧⎪+≤⎨⎪+>-⎩，解得12a <≤， 故选A．【13】已知函数()()2xf x x a e =-在区间[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(]3,-∞B ．(],8-∞C ．[)3,+∞D ．[)8,+∞【答案】A【解析】()()220xf x x x a e '=+-≥在区间[]1,2上恒成立，则220x x a +-≥在区间[]1,2上恒成立，即()22min 2123a x x ≤+=+=，故选A ．【14】设()f x 的定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，且满足()()0f x xf x '+>，若(1)a f =，2(2)b f =，3(3)c f =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在R 上是增函数， 所以(1)(2)(3)g g g <<，即(1)2(2)3(3)f f f <<，故选B ．【15】已知函数[](),1,2,xae f x x x =∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 【答案】A【解析】不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减，所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x--≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21x x a g x e x ≤=-，而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-， 所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e ==，所以24,a e ⎛⎤∈-∞⎥⎝⎦．故选A ．【16】已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈．求函数()f x 的单调区间；【解析】221()2ln 2f x a x x ax =-++ 22(2)()()a x a x a f x x a x x+-'∴=-++=，0x > ∴ ① 当0a =时，()0f x x '=> ，()f x ∴仅有单调递增区间，其为：(0,)+∞② 当0a >时，20x a +>，∴当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '> ()f x ∴ 的单调递增区间为：(,)a +∞ ，单调递减区间为：(0,)a③ 当0a <时，0x a ->，∴当(0,2)x a ∈-时()0f x '<；当(2,)x a ∈-+∞时()0f x '> ()f x ∴的单调递增区间为：(2,)a -+∞，单调递减区间为：(0,2)a -综上所述：当0a =时，()f x 仅有单调递增区间，单调递增区间为：(0,)+∞ 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(,)a +∞ ，单调递减区间为：(0,)a 当0a <时，()f x 的单调递增区间为：(2,)a -+∞，单调递减区间为：(0,2)a -【17】已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．考点四 导数与函数的极值、最值 1.求可导函数()f x 极值的一般步骤（1）先确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值． 2．函数的最值一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）； （2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【18】函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( )A ．1－eB ．－1C ．－eD ．0 【答案】B【解析】：f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.【19】已知函数()322161f x x m x mx m =+-+-在x ＝2处取得极小值，则m =______．【答案】1或3【解析】依题意，()223216f x x m x m '=+-，因()f x 在x ＝2处取得极小值，则()22416120f m m '=-+=，解得m =1或m =3，经检验，当m ＝1或m ＝3时，()f x 在x＝2处均取得极小值，所以m 的值为1或3. 【20】当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【解析】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，12f ，()10f '=，而()2a b f x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x'=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-． 故选：B.【21】已知函数()321132f x x ax x =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞C ．52,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】函数()321132f x x ax x =-+，导函数()21f x x ax '=-+.因为()f x 在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上既有极大值又有极小值，所以()0f x '=在1,32⎛⎫⎪⎝⎭内应有两个不同的异号实数根．()10230132202a f a f f ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎨<<⎪⎪⎪⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩'''，解得：522a <<，实数a 的取值范围52,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C ．【22】已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值． 【解析】（1）当0a =时，()232xf x x -=，则()()323x f x x-'=，()11f ∴=，()14f '=-， 此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=；（2）因为()232x f x x a -=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x x a x a -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下： x(),1-∞-1-()1,4-4()4,+∞()f x ' +-+()f x增 极大值 减极小值 增所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-. 当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <.所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.【23】已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．(1)若3c =，求a ，b ；(2)若()ln ≥f x x 在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围． 【解析】(1)解：()(0)b f x ax c a x=++>，∴2()bf x a x '=-，所以()11f a b '=-=，即1b a =- 又()1121f a a c a c =+-+=-+． 又点()()1,1f 在切线1y x =-上，210a c ∴-+=，所以12c a =-，又3c =，所以1a =-，2b =-． (2)解：1()12(0)a f x ax a a x-=++->， ()ln ≥f x x 在[1，)∞+上恒成立，设()()ln g x f x x =-，则()()ln 0g x f x x =-在[1，)∞+上恒成立，min ()0g x ∴，又22221(1)()11(1)(1)()aa x x a a x x a g x a x x x x -------'=--==，而当11a a -=时12a =．11 1︒当11aa -≤即12a ≥时，()0g x '在[)1,+∞上恒成立， ∴1()(1)02min g x g a ==⇒；2︒当11aa ->即102a <<时，()0g x '=时1a x a -=，且当11ax a -<时，()0g x '<，当1ax a ->时，()0g x '>；则1()0min a gx g a -⎛⎫= ⎪⎝⎭①，又1()(1)210ag g a a -≤=-<与①矛盾，不符题意，故舍去． ∴综上所述，a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
《导数及其应用》课件(复习课
存在性：在闭区间[a，b]上连续函 数f(x)在[a，b]上必有最大值与最 小值．
求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求 法：
1. 求出f(x)在(a，b)内的极值； 2. 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，
较小的一个是最小值.
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x3 3x2 9x a . （Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间2, 2 上的最大值为 20,求它在该
（II）由（I）知，
f
(x)
3mx2
6(m
1) x
3m
6
= 3m( x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
极小值
极大值
故由上表知,当
m
0 时,
f
解： f/(x)=3x2－ 1，
∴k= f/(1)=2
∴所求的切 线方程为：
y－2=2(x －1),
即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处 的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0)
又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，
导数及其应用复习讲义
导数及其应用复习讲义一、知识复习： 1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=.二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
06高二数学复习讲义《导数及其应用》
高二数学复习讲义（3） ——《导数及其应用》<知识点>1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0limx y f x y x∆→∆'='=∆()()0limx f x x f x x ∆→+∆-=∆，导函数也简称为导数。
3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆V ；（3）取极限，得导数()00lim x yf x x →∆'=∆V 。
4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。
特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。
5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）()()1n n x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：()112211,x x x x ''-⎛⎫⎛⎫='=-'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''=g 。
2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．知识当回归于生活，在现实生活中，有很多时候我们需要用到最大、最小。
2023版新高考数学总复习专题四导数的应用 课件
含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论,但始终要注意定义域 及分类讨论的标准. 2.已知函数的单调性求参数范围 注意参数在导函数解析式中的位置,先尝试分离参数,将问题转化为求解 对应函数的最值问题;若不能分离参数或分离参数后对应函数的单调性 无法利用导数解决,则可以直接转化为求解含参内,函数的极值不一定唯一,在整个定义 域内可能有多个极大值和极小值;2)极大值与极小值没有必然关系,极大 值可能比极小值还小;3)导数等于零的点不一定是极值点(例如: f(x)=x3, f '(x)=3x2,当x=0时, f '(0)=0,但x=0不是函数的极值点);4)对于处处可导的函 数,极值点处的导数必为零. 2.函数的最值 1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
④∃x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
3.利用导数构造函数解不等式
常见的构造函数模型总结:
1)关系式为“加”型
①f '(x)+f(x)≥0,构造y=exf(x),则y'=[exf(x)]'=ex·[f '(x)+f(x)].
②xf '(x)+f(x)≥0,构造y=xf(x),则y'=[xf(x)]'=xf '(x)+f(x).
x
1 x ln x
,则f '(x)=x
x2
=
1
ln x2
x
,当x>e时,
f
'(x)<0,所以函
数f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为t≥2,所以t+3>t+2>e,所以f(t+3)<f(t+2),所
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
高二数学导数及其应用复习讲义有答案.docx
高二数学复习讲义一导数及其应用知识归纳1.导数的概念函数y二f(x),如果自变量x在x()处有增量A A•，那么函数y相应地有增量Ay=f(x0 + A.v ) -f (x0),比值空叫做函数y二f (x)在X。
Ax到X 0 +心之间的平均变化率，即Ay =/(x0+ZU)-/(x Q)o如果当心T O时，级有极限，我们就说函数y=f(x)在点x°处可导，并把这个极限叫做f(x)在点X。
处的导数，记作f'(x())或y' |“曲。
即f(x。
)二lim 型二lim /代+心)7(心)。
山TO Ax zto A X说明：(1)函数f(X)在点X。
处可导，是指心TOU寸，生有极限。
如果0不存在极限, ArAx就说函数在点X。
处不可导，或说无导数。
(2)心是自变量x在X。
处的改变量，A XH O 时，而△)；是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y二f (x)在点x0 处的导数的步骤：(1)求函数的增量Ay二f (x0 + Ax ) —f(x0 )；(2)求平均变化率冬二+空)_于(兀0)；Ar Ar(3)取极限，得导数f' (x0)=lim^-oAmo心2.导数的几何意义函数y=f (x)在点x°处的导数的几何意义是曲线y二f (x)在点p (x0, f (x0))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f (x)在点p (x0, f (x0))处的切线的斜率是f' (x0)o 相应地，切线方程为y—y0=f/(x0)(x—x0)o3.几种常见函数的导数；①C Z = O; ②(打=十；③(sin x)' = cos x ; ④(cosx)z = -sinx ;⑤(e x y = e x;®(a x y = a" In a ;⑦(In ；⑧(log a xf=-log a e.JC X4.两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，艮卩： (《±u) = u ± v .法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：・■I(MV)= W V + UV ・若C 为常数，(Cu) = Cu + Cu =Q + Cu = Cu . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu) = Cu\法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：化］7"：川3丿V (VH 0)。
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高中数学复习讲义 第十二章 导数及其应用【知识图解】【方法点拨】导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。
同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。
1．重视导数的实际背景。
导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。
这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。
2．深刻理解导数概念。
概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。
在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。
3．强化导数在函数问题中的应用意识。
导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。
4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。
在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。
5．加强“导数”的实践应用。
导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。
6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。
定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。
第1课 导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim→h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。
2．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f 0 。
3．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x x x y ,则当2'=y 时,=x 32π±。
4．已知a x x a x f =)(,则=)1('f 2ln a a a +。
5．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。
解：因为点P （1,2）在曲线ax x y +=3上，1=∴a函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2，且在点P 处有公切数b a +⨯=+⨯∴12132，得b=2又由c +⨯+=12122，得1-=c【范例导析】例1．下列函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y =③()(cos sin )x f x e x x =⋅+分析：利用导数的四则运算求导数。
解：①法一：13232223-++-+=x x x x x y 125223-++=x x x ∴ 26102y x x '=++法二：)132)(1()132()1(22'-+++-+'+='x x x x x x y =1322-+x x +)1(+x )34(+x26102x x =++ ② 231212332----+-=x x xx y∴ 252232123233---+-+='x x x x y③()f x '=e －x（cos x +sin x ）+e －x（－sin x +cos x ）=2e －xcos x ,点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考查的基本要求。
例2． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
解： 切线与直线34+=x y 平行， 斜率为4又切线在点0x 的斜率为0320(10)31x x x x y x x x ==''=+-=+∵ 41320=+x ∴10±=x∴⎩⎨⎧-==8100y x 或⎩⎨⎧-=-=12100y x∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412+=+x y 即124-=x y 或84-=x y点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。
变题：求曲线32y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程。
答案：20,5410x y x y +-=--=点评：本题中“过点(1,1)A 的切线”与“在点(1,1)A 的切线”的含义是不同的，后者是以A 为切点，只有一条切线，而前者不一定以A 为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点，然后求出切点坐标，再解决问题。
【反馈演练】1．一物体做直线运动的方程为21s t t =-+，s 的单位是,m t 的单位是s ，该物体在3秒末的瞬时速度是5/m s 。
2．设生产x 个单位产品的总成本函数是2()88x C x =+，则生产8个单位产品时，边际成本是2 。
3．已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为 （1） 。
（1）f （x ）=（x －1）2+3（x －1） （2）f （x ）=2（x －1）（3）f （x ）=2（x －1）2（4）f （x ）=x －1 4．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为430x y --=。
5．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 3 。
6．过点（0，－4）与曲线y ＝x 3＋x －2相切的直线方程是 y ＝4x －4 ． 7． 求下列函数的导数：(1)y=(2x 2-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3))1ln(2x x y ++=(4)11-+=x x e e y (5)x x x x y sin cos ++= (6)x x xy cos sin 2cos -=解：（１）34182-+='x x y , (2)x x x x y cos sin 22+=';(3)211xy +=', (4)2)1(2--='x xe e y ; (5)2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x y +--+--=', (6)x x y cos sin -='. 8 已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(0,2)-处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且21l l ⊥（Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积 解： 设直线1l 的斜率为1k ，直线2l 的斜率为2k ，'21y x =+，由题意得10'|1x k y ===,得直线1l 的方程为2y x =-122111l l k k ⊥∴=-=- 211,1x x +=-=-令得,212,2x y x x y =-=+-=-将代入得2l ∴与该曲线的切点坐标为(1,2),A --由直线方程的点斜式得直线2l 的方程为：3y x =--（Ⅱ）由直线1l 的方程为2y x =-,令0=2y x =得: 由直线2l 的方程为3y x =--，令0=3y x =-得: 由23y x y x =-⎧⎨=--⎩得：52y =-设由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积为S ，则：1525[2(3)]224s =⋅-⋅--=第2课 导数的应用A【考点导读】1． 通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。
2． 结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。
【基础练习】1．若函数()f x mx n =+是R 上的单调函数，则,m n 应满足的条件是 0,m n R ≠∈ 。
2．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 5，－15 。
3．用导数确定函数()sin ([0,2])f x x x π=∈的单调减区间是3[,]22ππ。
4．函数1()sin ,([0,2])2f x x x x π=+∈的最大值是π，最小值是0。
5．函数2()x f x x e =⋅的单调递增区间是 (-∞,-2)与(0,+ ∞) 。
【范例导析】例1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 。
解：当－1≤x <0时，()f x '>0，当0<x ≤1时，()f x '<0，所以当x ＝0时，f （x ）取得最大值为2。
点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数3()f x x =。
例2． 求下列函数单调区间：（1）5221)(23+--==x x x x f y （2）xx y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）x x y ln 22-= 解：（1）∵232--='x x y )1)(23(-+=x x ∴)32,(--∞∈x ),1(∞+ 时0>'y )1,32(-∈x 0<'y ∴ )32,(--∞，),1(∞+↑ )1,32(-↓（2）221xx y +=' ∴ )0,(-∞，),0(∞+↑ （3）221x k y -= ∴ ),(k x --∞∈),(∞+k 0>'y ， ),0()0,(k k x -∈0<'y∴ ),(k --∞，↑∞+),(k )0,(k -，),0(k ↓（4）x x x x y 14142-=-='定义域为),0(∞+ )21,0(∈x 0<'y ↓ ),21(∞+∈x0>'y ↑点评：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。