磁场几何规律

带电粒子在复合场运动的几何技巧

一、对称法

由直线边界射入又射出——则其轨迹对称，且入射方向与出射方向与边界的夹角相等（如图1）；

由圆形边界的射入——径向射入则径向射出（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。

例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当∠MON 子以速度v

＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。

二、旋转圆法

向各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的

运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），

用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

例3．如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为

mv

/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？

例4．如图10所示，一电子源在匀强磁场B中，以速度

v

沿各个方向发射电子。所有电子均在磁场中运动且并未射

出磁场。已知电子电荷为e，质量为m。求：匀强磁场面积

的最小值。

三、缩放圆法

带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场

中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为

半径缩放的动态圆（如图12），利用缩放的动态圆，可以探索

出临界点的轨迹，使问题得到解决。

例5．如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。

例6．（2010全国II卷）如图15所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d，电压为U，两板间有匀强磁场，磁感应强度为B0，方面平行于板面并垂直纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力。

（1）已知这些离子中的离子甲到达边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；

（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为3a/4，求离子乙的质量；

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？

四、临界法

以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r和速度v以及磁场B之间的约束关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。

例7．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图19所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，两极板不带电，现有质量为m电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。

例8．如图22，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边中点O射出与Od边夹角为30°，的带电粒子，已知粒子质量为m,电量为q，ad边长为L，ab边足够长，大小为v

粒子重力忽略不计。求：

（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的v

的大小范围；

（2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。