圆锥曲线全部公式及概念教程文件

圆锥曲线全部公式及

概念

圆锥曲线

1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩

离心率c e a ==

准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应准线的距离（焦准距）2b p c =. 通径的一半(焦参数)：2

b a

.

2.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a ex c =-=-；1221tan 2

F PF F PF

S b ∆∠=.

3.椭圆的的内外部: （1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b

⇔+<.

（2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>.

4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ，焦点到

对应准线的距离（焦准距）2p c = 通径的一半(焦参数)：2

b a

焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+，2

2|()|||a PF e x a ex c

=-=-，

两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot 2

F PF F PF

S b ∆∠=.

5.双曲线的内外部: (1)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b

⇔->.

(2)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b

⇔-<.

6.双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a

b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .

(3)若双曲线与122

22=-b

y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222b y a x

（0>λ,焦点在x 轴上;0<λ,焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是7.抛物线px y 22=的焦半径公式:

抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=212122.

8.抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2 y p

y 或2(2,2)P pt pt P (,)x y ，其中 22y px =.

9.二次函数22

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++

(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a

--=.

10.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切.

11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式: 221212()()AB x x y y =-+-或

2222211212(1)()||1tan ||1t AB k x x x x y y co αα=+-=-+=-+

（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b

kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直

线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，2121212||()4x x x x x x -=+-.

12.圆锥曲线的两类对称问题:

（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B

++++-

-=++. 特别地，曲线(,)0F x y =关于原点O 成中心对称的曲线是(,)0F x y --=. 曲线(,)0F x y =关于直线x 轴对称的曲线是(,)0F x y -=. 曲线(,)0F x y =关于直线y 轴对称的曲线是(,)0F x y -=. 曲线(,)0F x y =关于直线y x =轴对称的曲线是(,)0F y x =. 曲线(,)0F x y =关于直线y x =-轴对称的曲线是(,)0F y x --=.

13.圆锥曲线的第二定义：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数e ，若01e <<，M 的轨迹为椭圆；若1e =，M 的轨迹为抛物线；若1e >，M 的轨迹为双曲线.

注意：1、还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？ 2、还记得圆锥曲线方程中的：

（1）在椭圆中：a 是长半轴，b 是短半轴，c 是半焦距，其中222b a c =-，,(01)c

e e a

=<<是离

心率，2a c 是准心距，2b c 是准焦距， 2

b a

是半通径.

（2）在双曲线中：a 是实半轴，b 是虚半轴，c 是半焦距，其中222b c a =-，,(1)c

e e a

=>是离

心率，2a c 是准心距，2b c 是准焦距， 2

b a

是半通径.

（3）在抛物线中：p 是准焦距，也是半通径.

3、在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？（到定点的距离比到定直线的距离）

4、离心率的大小与曲线的形状有何关系（圆扁程度，张口大小）？等轴双曲线的离心率是多少？（2e =）

5、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）. 注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当0∆>时：直线与双曲线有两个交点（包括直线与双曲线一支交于两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况）；当0∆=时，直线与双曲线有且只有一个交点（此时称指向与双曲线相切），反之，当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一条渐近线平行，当0∆<时，直线与双曲线没有交点.

6、椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形.此时222a b c =+.

7、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.（想一想在双曲线中的结论？）