结点电压法例题

− (1S)u1 + (1S + 0.5S)u2 + i = 3A − (0.5S)u1 + (1S + 0.5S)u3 − i = 0
− (1S)u1 + (1S + 0.5S)u2 + i = 3A − (0.5S)u1 + (1S + 0.5S)u3 − i = 0
补充方程
u 2 − u 3 = 8V
a)电路的电压 例3. 用节点电压法求图 (a)电路的电压u和支路电流i1，i2。
先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联， 解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联， 如图(b)所示。对节点电压 来说 与图(a)等效 如图 所示。对节点电压u来说 ，图(b)与图 等效。只需列 所示 与图 等效。 出一个节点方程。 出一个节点方程。
如图所示电路各支路电压可表示为:
u10=un1 u12=un1-un2 u23=un2-un3 u20=un2
u30=un3
节点电压法
二、结点方程
下面以图示电路为例说明如何建立结点方程。 下面以图示电路为例说明如何建立结点方程。
对电路的三个独立结点列出KCL方程： 方程： 对电路的三个独立结点列出 方程
代入KCL方程中，经过整理后得到：
写成一般形式为
其中G 称为节点自电导 节点自电导， 其中 11、 G22、G33称为节点自电导，它们分别是各节点全部 电导的总和。 此例中 11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= 电导的总和。 此例中G G3+ G4+ G6。 G i j ( i≠j )称为节点 i 和 j 的互电导 是节点 和j 间电导总和的负 称为节点 的互电导,是节点 是节点i 称为 值。此例中G12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 此例中 iS11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例 是流入该节点全部电流源电流的代数和。 中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
3.3 节点电压法
一、节点电压法
个节点的电路(模型) 在具有 n 个节点的电路 (模型 ) 中 ， 可以选其中一个节点作为 参考点，其余( 个节点的电位，称为节点电压 节点电压。 参考点，其余(n-1)个节点的电位，称为节点电压。 节点电压的符号用Un1或Una等表示。 等表示。 以节点电压作为未知量，根据KCL KCL， 以节点电压作为未知量，根据KCL，列出对应于独立节点的 节点电流方程，然后联立求出各节点电压， 节点电流方程，然后联立求出各节点电压，再求出其它各支路 电压或电流的方法称为节点电压法 节点电压法。 电压或电流的方法称为节点电压法。
整理得到:
5u1 − 2u2 − u3 = −12V − 2u1 + 11u2 − 6u3 = 6V − u − 6u + 10u = 19V 2 3 1
解得结点电压
u1 = −1V u2 = 2V u = 3V 3
求得另外三个支路电压为：
u 4 = u3 − u1 = 4V u5 = u1 − u 2 = −3V u = u − u = 1V 3 2 6
i1 + i4 + i5 = iS1 i2 − i5 + i6 = 0 i3 − i4 − i6 = −iS 2
i1 + i4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ i5 = iS1 i2 − i5 + i6 = 0 i3 − i4 − i6 = −iS 2
列出用结点电压表示的电阻 VCR方程：
(1S + 1S + 0.5S)u = 5A + 5A
解得
u=
10A = 4V 2.5S
按照图(a)电路可求得电流 按照图 电路可求得电流i1和i2 电路可求得电流
i1 =
5V − 4V = 1A 1Ω
i2 =
4V − 10V = −3A 2Ω
用结点电压法求图示电路的节点电压。 例4 用结点电压法求图示电路的节点电压。
例2.用节点电压法求图示电路各支路电压。
参考节点和节点电压如图所示。列出三个结点方程： 解: 参考节点和节点电压如图所示。列出三个结点方程：
(2S + 2S + 1S)u1 − (2S)u 2 − (1S)u 3 = 6A − 18A − (2S)u1 + (2S + 3S + 6S)u 2 − (6S)u 3 = 18A − 12A − (1S)u1 − (6S)u 2 + (1S + 6S + 3S)u 3 = 25A − 6A
几种特殊情况
（1） 若支路为电压源与电阻串联，则可转换为电流 ） 若支路为电压源与电阻串联， 源与电阻并联。 源与电阻并联。
①
R
①
us R R
+ us −
②
②
对含有理想电压源支路的电路:(1)选取 :(1)选取“ 节点作为参 （2） 对含有理想电压源支路的电路:(1)选取“-”节点作为参 考点， 端联接的节点电压等于电压源的电压。 考点，“+”端联接的节点电压等于电压源的电压。不再列出电 端联接的节点电压等于电压源的电压 压方程。（ 。（2 电压源支路的电流作为未知量 电流作为未知量， 压方程。（2）将电压源支路的电流作为未知量，视为电流源电 计入相应的节点电压方程中。 流，计入相应的节点电压方程中。 (3)当电路中含有理想电压源或受控源时的处理 当电路中含有理想电压源或受控源时的处理: 当电路中含有理想电压源或受控源时的处理 对含有受控源的电路， 受控源视为独立电源， 对含有受控源的电路 ， 将 受控源视为独立电源 ， 列写 节点电压方程，然后将受控源的控制量用节点电压表示， 节点电压方程 ， 然后将受控源的控制量用节点电压表示 ， 计 入节点电压方程中。 入节点电压方程中。
选定6V电压源电流 的参考方向。计入电流变量I 电压源电流i的参考方向 解：选定 电压源电流 的参考方向。计入电流变量 列出 两个结点方程： 两个结点方程：
(1S)u1 + i = 5A (0.5S)u2 − i = −2A
补充方程
u1 − u 2 = 6V
解得
u1 = 4V, u 2 = −2V, i = 1A
用节点电压法求图中各电阻支路电流。 例1. 用节点电压法求图中各电阻支路电流。
用接地符号标出参考结点，标出两个节点电压u 解：用接地符号标出参考结点，标出两个节点电压 1和u2 的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程： 的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程：
(1S + 1S)u1 − (1S)u2 = 5A − (1S)u1 + (1S + 2S)u2 = −10A
代入u1=14V，整理得到：
1.5u2 + 1.5u3 = 24V u2 − u3 = 8V
解得：
u2 = 12V u3 = 4V
i = −1A
三、节点电压法计算举例
结点分析法的计算步骤如下： 结点分析法的计算步骤如下： 1．选定参考结点 。 标出各节点电压 ， 其参考方向总是独 ． 选定参考结点。标出各节点电压， 参考结点为“ 立结点为 “ + ”，参考结点为“ － ” 。 2．用观察法列出全部(n-1)个独立节点的节点电压方程。 ．用观察法列出全部 个独立节点的节点电压方程。 个独立节点的节点电压方程 3．求解节点方程，得到各节点电压。 ．求解节点方程，得到各节点电压。 4．选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电 ．选定支路电流和支路电压的参考方向， 流和支路电压。 流和支路电压。 5.根据题目要求 计算功率和其他量等 根据题目要求,计算功率和其他量等 根据题目要求 计算功率和其他量等.
用节点电压法求图电路的结点电压。 例5 用节点电压法求图电路的结点电压。
由于14V电压源连接到结点①和参考结点之间，结点 ①的结点电压 电压源连接到结点① 解：由于 电压源连接到结点 和参考结点之间， u1=14V成为已知量，可以不列出结点①的结点方程。考虑到 电压源电流 成为已知量， 电压源电流i 成为已知量 可以不列出结点①的结点方程。考虑到8V电压源电流 列出的两个结点方程为： 列出的两个结点方程为：
图2－28 － 整理得到：
2u1 − u2 = 5V − u1 + 3u2 = −10V
解得各节点电压为： 解得各节点电压为：
u1 = 1V
u 2 = −3V
选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得： 选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得：
i1 = (1S)u1 = 1A i2 = (2S)u2 = −6A i = (1S)(u − u ) = 4A 1 2 3
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的节点方程， 从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的节点方程，其 系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。 系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。
由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的电路， 由独立电流源和线性电阻构成的具有 个结点的电路，其节点 个结点的电路 方程的一般形式为： 方程的一般形式为：