余弦定理

高中正弦定理和余弦定理公式

当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。

以下是它们的公式：
1. 正弦定理（Sine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理（Cosine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。

通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。

三角形的余弦定理

三角形的余弦定理三角形的余弦定理是解决三角形问题中一个重要的数学定理，它能够帮助我们计算三角形的边长和角度。

余弦定理是利用三角形中的余弦函数来表示三角形的边长之间的关系。

在本文中，我们将详细介绍余弦定理的原理和应用，并通过实例来加深理解。

1、余弦定理的原理三角形的余弦定理可以用如下公式来表示：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形任意两边和角C所对应的边。

该定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

2、余弦定理的应用（1）已知三角形两边和夹角，求第三边。

假设已知三角形两边分别为a和b，夹角为C，我们通过余弦定理可以很容易地求得第三边c的长度，即：c = √(a² + b² - 2abcosC)。

例如，已知三角形两边分别为5cm和7cm，夹角为60°，我们可以通过余弦定理计算出第三边的长度c = √(5² + 7² - 2×5×7×cos60°) ≈8.86cm。

（2）已知三角形三边，求夹角。

假设已知三角形三边分别为a、b和c，我们可以通过余弦定理计算出夹角C的大小，即：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)。

例如，已知三角形三边分别为3cm、4cm和5cm，我们可以通过余弦定理计算出夹角C的大小：cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4) = 0.25，那么夹角C ≈ acos0.25 ≈ 75.52°。

3、余弦定理的实例例题一：已知三角形两边分别为6cm和8cm，夹角为45°，求第三边的长度。

解题过程：根据余弦定理，可知第三边c = √(6² + 8² - 2×6×8×cos45°) ≈ √(36 +64 - 2×6×8×0.7071) ≈ √3 ≈ 9.58cm。

一、知识梳理：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

余弦定理的推论：cosA=bc a c b 2222-+ , cosB=ac b c a 2222-+,cosC=abc b a 2222-+公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。

（2）、若A 为直角，则cosA=0，从而b 2+c 2=a 2若A 为锐角，则 cosA>0, 从而b 2+c 2>a 2若A 为钝角，则 cosA ﹤0, 从而b 2+c 2﹤a 2二、例题讲解：例1、在ABC ∆中，已知 30,3,32===C b a ，解此三角形。

例２、在ABC ∆中，已知6,10,7===c b a ，求此三角形三个角的余弦值并判定其形状。

例3、在ABC ∆中，已知 30,33,3===B c b ,解此三角形。

变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=53,A=300,解三角形。

变式引申：在△ABC中，a:b:c=2:6:(3+1),求A、B、C。

例4：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。

变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。

三、余弦定理作业：1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=( )A 2B 4C 7D 92、在△ABC中，若a=3+1,b=3-1,c=10,则△ABC的最大角的度数为（） A 1200 B 900 C 600 D 15003、在△ABC中，a:b:c=1:3:2,则A：B：C=（）A 1：2：3B 2：3：1C 1：3：2D 3：1：24、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2<b2+c2,则∠A的取值范围是（）A（2π，π） B（2,4ππ） C（2,3ππ） D（0，2π）5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形6、在ABC∆中，已知15,22,2===Cba，解此三角形。

余弦函数及余弦定理

余弦函数及余弦定理余弦函数及余弦定理是什么余弦定理，其实就是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

下面小编给大家整理了关于余弦函数及余弦定理的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!余弦函数余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。

它是周期函数，其最小正周期为2π。

在自变量为2kπ(k为整数)时，该函数有极大值1;在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。

余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知三边，求三个角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

正余弦定理的应用1.解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角;②化角为边.并常用正余弦定理实施边角转化。

3.用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长。

4.应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。

5.正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问题。

正余弦函数的性质余弦定理多种证明方法余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形。

余弦定理含义

余弦定理含义
余弦定理是在三角形中，描述了三个边和内夹角之间的关系。

它的含义可以总结如下：
在一个三角形ABC中，假设a、b、c分别表示边BC、AC和AB的长度，而角A、角B和角C分别表示对应的内夹角。

那么余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cos(C)。

其中的cos(C)是角C的余弦值。

余弦定理的含义是：对于任意一个三角形，如果我们知道了三个边的长度，那么可以通过余弦定理计算出对应的三个内夹角的余弦值。

反之，如果我们已知三个边的长度以及其中两个夹角的度数，也可以利用余弦定理求解第三个角的度数。

余弦定理在解决三角形相关问题时非常有用，例如计算未知边长或角度、判断三角形的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）等。

它是解决三角学问题的重要工具之一。

余弦定理

课题余弦定理1.余弦定理在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．2．余弦定理的推论根据余弦定理，可以得到以下推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2－2a ·b ·0＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角；a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角；a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于________． 13.边长为5、7、8的三角形中，最大角与最小角的和是________．1200在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则△ABC 是( )cA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定题型1 已知两边及其一角解三角形例1 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，解此三角形．解析：方法一由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B.得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°. 变式1：已知△ABC 中，a ＝1，b ＝1，C ＝120°，则边c ＝________. 3题型2 已知三边解三角形例2 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的各内角度数．分析：由比例的性质可以引入一个字母k ，用k 表示a 、b 、c ，再由余弦定理求解各角．解析：∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k.由余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋（3＋1）2k 2－4k 22·6k ·（3＋1）k＝22，∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋（3＋1）2k 2－6k 22×2k （3＋1）k＝12，∴B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.变式2：在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝4，a ＋c ＝2b 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4.c ＝b －4. ∴a ＞b ＞c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12，即b 2－10b ＝0. 解得b ＝0(舍去)或b ＝10，此时a ＝14，c ＝6.题型3 判断三角形的形状例3在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．[解析] 解法一：∵b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，∴利用正弦定理可得 sin 2B sin 2C ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B ·sin C ·cos B ·cos C ，∵sin B sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B cos C ，∴cos(B ＋C )＝0，∴cos A ＝0，∵0<A <π，∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．解法二：已知等式可化为b 2－b 2cos 2C ＋c 2－c 2·cos 2B ＝2bc cos B cos C ，由余弦定理可得b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形．变式3：在△ABC 中，已知c ＝a cos B ，b ＝a sin C ，判断三角形形状．解析：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B 得：c ＝a·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2， ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a·c a，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．题型四：正弦、余弦定理的综合应用例4：(2013·广东东莞第五中学高二期中测试)在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ，由余弦定理：BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得：x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，由正弦定理，得BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.变式4：如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB AC ＝78，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． [解析] 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， ∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ×15cos60°，∴x 2－8x ＋15＝0，＝43AB 123，或20 3.。

余弦定理

余弦定理一、知识梳理1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的2倍．即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C。

.2．余弦定理的变式cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab.想一想：已知三角形的三边，如何判断三角形的形状？提示在△ABC中，若三边a，b，c中，边a最大，则∠A最大；若a2<b2＋c2，则0°<A<90°，则三角形是锐角三角形；若a2＝b2＋c2，则A＝90°，则三角形是直角三角形，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°，则三角形是钝角三角形．名师点睛1．余弦定理(1)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．(2)余弦定理适用于任意三角形，揭示了三角形中边角间的关系．在应用余弦定理时，因为已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)时，三角形是唯一确定的，即此时的解是唯一的．(3)在余弦定理中，每一个等式中都包含四个不同的量．即三角形的三边和一边的对角这四个元素，可利用方程的思想，知三求一．2．余弦定理变形及应用(1)已知三角形的三边求角时，常用余弦定理的变形式．(2)若A为锐角，则cos A>0，即b2＋c2－a2>0，即b2＋c2>a2；若A为直角，则cos A＝0，即b2＋c2－a2＝0，即b2＋c2＝a2；若A为钝角，则cos A<0，即b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.反之，也成立．(3)在解三角形时，正弦定理和余弦定理是相通的．如：已知两边和其中一边的对角，解三角形时，用正弦定理可求解，但需判别解的情况；也可用余弦定理求解．若已知a 、b 和A ，可先由余弦定理求出c ，列式为a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，则关于c 的方程的解的个数对应三角形解的个数.二、典例精析题型一余弦定理解三角形【例1】 (1)在△ABC 中，如果a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求这个三角形的最小角．(2)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，∠C ＝15°，求角A 、B 和边c 的值．解 (1)在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据已知条件判断最小边应为a .∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，可设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)，最小角为角A ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋(3＋1)2k 2－4k 22(3＋1)×6k 2＝22，故∠A ＝45°. (2)cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24.由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝8－43＝(6－2)2＝6－ 2.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，sin A ＝a sin C c ＝a sin 15°c ＝2×6－246－2＝12， ∵b >a ，sin A ＝12，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝180°－∠A －∠C ＝135°.【变式1】在△ABC 中，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝14.若a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b 、c 的值．解由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，∴16＝36－52bc ，∴bc ＝8.由⎩⎨⎧ b ＋c ＝6，bc ＝8，b <c ，可求得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝4.. 题型二判断三角形的形状【例2】在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，且2cos A·sin B ＝sin C ，试确定△ABC 的形状．解法一 (角化边)由正弦定理，得sin C sin B ＝c b ，由2cos A ·sin B ＝sin C ，得cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又由余弦定理，得cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc ，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a ＝b .又∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴(a ＋b )2－c 2＝3b 2，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b ＝c .∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．法二 (边化角)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴sin C ＝sin(A ＋B )．又∵2cos A ·sin B ＝sin C ，∴2cos A ·sin B ＝sin A ·cos B ＋cos A ·sin B ，∴sin(A －B )＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴∠A ＝∠B .又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝12，而0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°.又∵∠A ＝∠B ，∴△ABC 为等边三角形．【变式2】在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bccos Bcos C ，试判断三角形的形状．解法一由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，则条件转化为4R 2·sin 2C ·sin 2B ＋4R 2·sin 2C ·sin 2B ＝8R 2·sin B ·sin C ·cos B ·cos C ，又sin B ·sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B ·cos C ，即cos (B ＋C )＝0.又0°<∠B ＋∠C <180°，∴∠B ＋∠C ＝90°，∴∠A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．法二将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C ，即有b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2·(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab ，即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a 2＝a 2，即b 2＋c 2＝a 2， ∴△ABC 为直角三角形．题型三正、余弦定理的综合应用【例3】在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A－π4)的值．【变式3】△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且满足b2＋c2－a2＝bc，(1)求角A的值；(2)若a＝3，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y＝f(x)的最大值．解(1)在△ABC中，由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理知：cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，而0<A<π，∴A＝π3.(2)由a＝3，A＝π3，及正弦定理得：bsin B＝csin C＝asin A＝3sinπ3＝2，∵B＝x，C＝2π3－x∴b＝2sin x，c＝2sin(23π－x)，0<x<2π3∴y＝a＋b＋c＝3＋2sin x＋2sin(2π3－x)误区警示忽略三角形的隐含条件【示例】设2a＋1，a，2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．[错解]∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，∴⎩⎨⎧ 2a ＋1>0，a >0，2a －1>0，解得a >12，∴2a ＋1是三边长的最大值，设其所对角为θ，∵2a ＋1，a,2a －1是钝角三角形的三边，∴cos θ<0，即a 2＋(2a －1)2－(2a ＋1)22a (2a －1)＝a (a －8)2a (2a －1)<0，解得12<a <8，又∵a >12，∴a 的取值范围是12<a <8.[正解] ∵2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边，∵⎩⎨⎧ 2a ＋1>0，a >0，2a －1>0，解得a >12，此时2a ＋1最大， ∴要使2a ＋1，a,2a －1表示三角形的三边，还需a ＋(2a －1)>2a ＋1，解得a >2. 设最长边2a ＋1所对的角为θ，则cos θ＝a 2＋(2a －1)2－(2a ＋1)22a (2a －1)＝a (a －8)2a (2a －1)<0，解得12<a <8. ∴a 的取值范围是2<a <8.求三线段能构成钝角三角形三边的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还要使最大角为钝角，注意两边之和大于第三边这一隐含条件．三、课后检测1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )． A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.答案 B 2．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )． A ．1 B. 2 C ．2 D ．4解析 b cos C ＋c cos B＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.答案 C 3．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为 ( )．A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3解析由于b 2＋c 2－a 2＝－bc ＝2bc ·cos A∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.答案 C 4．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝23π，则a ＝ . 解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ·1·cos 23π，∴a 2＋a －2＝0， ∴(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝－2(舍去)或a ＝1.答案 15．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状是 .解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc ⇒a 2＋b 2＝c 2⇒△ABC 为直角三角形．答案直角三角形6．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×sin 2π3＝32.7．在△ABC 中，下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°；③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3，其中正确的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，∴∠A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴∠A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，∠C 为锐角，但∠A 或∠B 不一定为锐角，错误；④∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误，故选A.答案 A8．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为 ( )． A ．135° B ．45° C ．60° D ．120°解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C . 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45°答案 B9．已知△ABC 三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为 .解析由余弦定理可求得cos B ＝1935，∴AB →·BC →＝|AB |·|BC |·cos(π－B )＝－|AB |·|BC |·cos B ＝－19.答案－1910．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 .解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22， ∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 答案 311．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cos B ＝35，且AB →·BC →＝－21. (1)求△ABC 的面积；(2)若a ＝7，求角C .解 (1)∵AB →·BC →＝－21，∴BA →·BC →＝21.∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝ac cos B ＝21.∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋32－252×7×42＝22，又∵C ∈(0，π) ∴C ＝45°.12．(创新拓展)△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．解 (1)由cos B ＝34得sin B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫342＝74，由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9， ∴a ＋c ＝3.。

余弦定理公式6个

余弦定理公式6个余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要工具。

它可以帮助我们计算未知的边长或角度，从而更好地理解和分析三角形。

1. 第一个余弦定理公式是用于计算三角形边长的公式。

若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：c = a + b - 2abcos(C)。

这个公式可以帮助我们计算未知边长，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。

2. 第二个余弦定理公式是用于计算三角形内角的公式。

若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：cos(C) = (a + b - c) / 2ab。

这个公式可以帮助我们计算未知角度，只需要已知三个边长即可。

3. 第三个余弦定理公式是用于计算三角形面积的公式。

若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：Area = 0.5 * ab * sin(C)。

这个公式可以帮助我们计算未知面积，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。

4. 第四个余弦定理公式是用于判断三角形形状的公式。

若三角形的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：c < a + b，如果等号成立，则表示三角形是直角三角形；如果等号不成立，则表示三角形是锐角三角形；如果等号反向成立，则表示三角形是钝角三角形。

5. 第五个余弦定理公式是用于计算三角形的高度的公式。

若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：h = b * sin(A)，其中h表示三角形的高度。

这个公式可以帮助我们计算未知高度，只需要已知一个边长和它对应的角度即可。

6. 第六个余弦定理公式是用于计算三角形的周长的公式。

若三角形的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：Perimeter = a + b + c。

这个公式可以帮助我们计算未知周长，只需要已知三个边长即可。

综上所述，余弦定理提供了多种公式和方法来解决三角形中的边长和角度之间的关系。

余弦定理公式大全

余弦定理公式大全余弦定理是数学中的一种定理，用来计算三角形中的角度或边长。

它是三角形中的重要定理之一，有助于培养学生的空间想象力和解决实际问题的能力。

以下是余弦定理的公式及相关参考内容：余弦定理的公式：在三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab cosCb² = a² + c² - 2ac cosBa² = b² + c² - 2bc cosA在这些公式中，cosA、cosB和cosC是三角形的三个内角的余弦值，可以使用三角函数表或计算器来计算。

应用例子之一：假设一个三角形的两边分别为7cm和9cm，夹角为60°，我们可以使用余弦定理来计算第三边的长度。

根据公式c² = a² + b²- 2ab cosC，代入a=7、b=9和C=60°，可以得到：c² = 7² + 9² - 2×7×9×cos60°c² = 49 + 81 - 126cos60°c² = 130 - 126cos60°c² = 130 - 126×0.5c² = 130 - 63c² = 67所以，第三边的长度c≈√67≈8.185cm。

余弦定理的相关参考内容：1. 角度三角函数表：这是一个常见的参考资料，其中包含了各种角度的正弦、余弦和正切值。

通过查找这个表格，我们可以轻松地找到对应角度的余弦值，从而应用余弦定理计算三角形的边长。

2. 三角函数计算器：现代科技提供了各种电子设备和手机应用程序，可以在数秒内计算出任意角度的三角函数值。

只需输入角度，它们将立即返回角度的正弦、余弦和正切值。

正弦余弦定理公式

正弦余弦定理公式
正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，外接圆半径为r，则称关系式a/sina=b/sinb=c/sinc为正弦定理。

余弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，则称关系式，a^2=b^2+c^2-2bc*cosa。

正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，外接圆半径为r，则称关系式a/sina=b/sinb=c/sinc为正弦定理。

余弦定理：设立三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，则表示关系式
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
c^2=a^2+b^2-2ab*cosc。

证明：
任意三角形abc，作abc的外接圆o。

并作直径bd交⊙o于d，相连接da.
因为直径所对的圆周角是直角，所以∠dab=90度，
因为同弧所对的圆周角成正比，所以∠d等同于∠c。

所以c/sinc=c/sind=bd=2r。

相似可以证其余两个等式。

余弦定理

余弦定理余弦定理（第二余弦定理）余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其他知识，则使用起来更为方便、灵活.直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫做这个锐角的余弦值.余弦定理性质三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，若三角形三边分别为a ，b ，c ，三角分别为A ，B ，C ，则满足性质：a 2=b 2+c 2-2bccosA ，b 2=c 2+ a 2-2cacosB ，c 2= a 2+b 2-2abcosC ，推论：2222cos b c a bc A +-= 2222cos c a b ca B +-= 2222cos a b c ab C +-=（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）.第一余弦定理（任意三角形射影定理）.设△ABC 的三边是a ，b ，c ，它们所对的角分别是A ，B ，C ，则有a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A .余弦定理证明平面向量证法∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）.∴|c2|=(a+b)·(a+b)，∴|c2|=a·a+2a·b+b·b.∴c2=a2+b2+2|a||b|cos(π-θ).（以上粗体字符表示向量）又∵cos(π-θ)=-cosθ，∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ，（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c2=a2+b2-2·a·b·cosC，即222 cos2+-=a b cCab同理可证其他.平面几何证法在任意△ABC中，∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a，作AD⊥BC.则有BD=cosB·c，AD=sinB·c，DC=BC-BD=a-cosB·c，根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinB·c)2+(a-cosB·c)2，b2=(sinB·c)2+a2-2ac·cosB+(cosB)2·c2，b2=(sin2B+cos2B)·c2-2ac·cosB+a2，b2=c2+a2-2ac·cosB，222Bcos+-=c a b作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角.(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其他的角和第三条边.(见解三角形公式，推导过程略)判定定理一(两根判别法)：若记m(c1,c2)为c的值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值，①若m(c1,c2)=2,则有两解；②若m(c1,c2)=1,则有一解；③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解).注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算第二种情况，即有一解.判定定理二(角边判别法):（1）当a>bsinA时，①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解；②当b>a且cosA≤0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解；④当b=a且cosA≤0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；⑤当b<a时，则有一解.（2）当a=bsinA时，①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；②当cosA≤0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解).（3）当a<bsinA时,则有零解(即无解)，其他从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形的形状.同时，还可以用余弦定理求三角形边长的取值范围.解三角形时，除了用到余弦定理外还常用到正弦定理.。

余弦定理定义及公式

余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

a²=b²+c²-2bccosA余弦定理证明如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明正弦定理和余弦定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值正弦定理的变形1、2、（条件同上）在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径。

已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题3、相关结论:正弦定理的证明显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。

现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。

我们考虑∠C及其对边AB。

设AB长度为c。

若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c = 2R。

若∠C为锐角或钝角，过B作直径BD交⊙O于D，连接DA，显然BD=2R。

∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。

∴∠DAB是直角。

若∠C为锐角，则D与C落于AB的同侧，此时∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。

余弦定理

余弦定理编辑
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形情形下的推广模式。

余玄定理
表达式
cos A=(b²+c²-a²)/2bc[1]
欧几里得
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：
当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

当已知三角形的三边，能够由余弦定理得到三角形的三个内角。

求边
余弦定理公式可变换为以下形式所以，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

求角
余弦定理公式可变换为以下形式所以，如果已知三角形的三条边，能够由余弦定理得到三角形的三个内角。

证明编辑
三角函数证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
使用同样的方式能够得到：
将两式相加：
向量证明
中，
，
，
：。

直角三角形的余弦定理

直角三角形的余弦定理直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

在直角三角形中，有一条特殊的定理被称为余弦定理，它可以帮助我们计算三角形的边长和角度等问题。

本文将介绍直角三角形的余弦定理及其应用。

1. 余弦定理的表述余弦定理是一种关于三角形边长和角度之间的关系定理。

对于一个直角三角形，设直角边分别为a和b，斜边为c，定义夹角C为直角对边a和b之间的夹角，则余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC2. 余弦定理的证明余弦定理的证明可以通过向量法或三角函数的定义来完成。

这里我们采用三角函数的定义来证明。

设直角三角形的三个内角分别为A、B和C，对应的边长分别为a、b和c。

根据正弦定理和余弦定理的定义，我们可以得到：sinA = a/c, sinB = b/c, cosA = b/c, cosB = a/c由于A和B是直角三角形的两个内角，它们的和为90度，即A +B = 90度。

因此，我们可以得到：sinA = cosB, cosA = sinB将上述等式代入余弦定理的定义中，得到：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC因此，余弦定理得证。

3. 余弦定理的应用余弦定理可以广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题。

以下是一些常见的应用场景：3.1 计算第三边的长度已知直角三角形的两条边的长度，可以利用余弦定理计算第三边的长度。

根据余弦定理的公式，将已知的边长代入即可求解。

3.2 计算角度已知直角三角形的两条边的长度，可以利用余弦定理计算两个角的大小。

根据余弦定理的公式，将已知的边长代入，通过使用反余弦函数即可计算得到角度的大小。

3.3 判断是否为直角三角形当已知三条边的长度时，可以利用余弦定理计算三个角的大小。

若其中一角接近90度（可容许一定误差），则可以判断该三角形为直角三角形。

4. 总结余弦定理是解决直角三角形相关问题的重要工具之一。

它通过建立直角三角形的边长和角度之间的关系，帮助我们求解三角形中未知量的值。

余弦定理cos

余弦定理cos
余弦定理，又称余弦公式，是由德国数学家威廉·科尔曼提出的一个几何公式，它描述的是三角形中两个边之间的关系。

原形式定义如下：对于任何一个三角形，三个角分别为α、β、θ（另θ为α、β之外的角），则有：
cosθ = a Square /（b Square + c Square - 2 x A × B）
其中，α、β分别为三角形中两个角；a、b、c分别为三角形中含有三个角的三
条边；A和B分别是α和β对边。

余弦定理是在解决三角形难题中而诞生的一项重要概念，一般用于解决两个角和对边的问题。

在日常学习和工作中，我们经常会面临运用余弦定理解决三角形的问题，比如求得直角三角形的斜边、夹角、求角等等。

此外，余弦定理也可以用来求解更多有关三角形的问题，其中重要变形形式包括:
1.`2Acosθ＝b Square + c Square - a Square`，求得三角形对角的长度；
2.`A/sinθ＝b/sinα=c/sinβ`，求得三角形角的长度；
3.`cosα＝（b Square + c Square-a Square）/2bc`，求得三角形夹角的长度；
4.`s＝（a+b+c）/2`，求得三角形的面积
上述变形定理的学习，可以使我们更加深入的理解余弦定理，从而更好的学习几何知识。

总而言之，余弦定理是一个有着深远意义的几何公式，它提供了一个解决三角形问题的有效途径，并且拓展到了解决三角形宽领域的契机，是数学研究和实际应用中的一项重要理论。

余弦定理与正弦定理

余弦定理与正弦定理余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。

它们在三角学中有着广泛的应用，能够帮助我们计算未知边长或角度。

本文将介绍余弦定理和正弦定理的定义、公式以及应用，并探讨它们的区别和联系。

一、余弦定理的定义和公式余弦定理是在三角形中，通过已知边长和夹角计算其他边长的定理。

它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为三角形对应于角C的边长，a和b为与角C相邻的两条边长，cosC为角C的余弦值。

二、正弦定理的定义和公式正弦定理是在三角形中，通过已知两个角度和一个边长计算其他边长的定理。

它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。

三、余弦定理和正弦定理的应用1. 通过余弦定理计算未知边长或角度：- 已知两边长和夹角：可以使用余弦定理计算第三条边长，或者计算其他两个角度。

- 已知三边长：可以使用余弦定理计算其中一个角度。

2. 通过正弦定理计算未知边长或角度：- 已知两角度和一个边长：可以使用正弦定理计算其他两条边长。

- 已知一个角度和两边长：可以使用正弦定理计算另外两个角度。

四、余弦定理与正弦定理的区别和联系余弦定理和正弦定理在解决三角形问题时具有不同的应用场景。

余弦定理适用于已知边长和夹角的情况，可以求解缺失的边长或角度。

而正弦定理适用于已知两个角度和一个边长的情况，同样可以求解其他边长或角度。

此外，两个定理之间也存在一定的联系。

通过余弦定理可以推导出正弦定理，而正弦定理也可以推导出余弦定理。

在解决问题时，可以根据具体情况选择使用其中一个定理进行计算。

总结：余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。

余弦定理的证明方法四种

余弦定理的证明方法四种方法一：向量法文章一朋友们，今天咱们来聊聊余弦定理的证明，咱们先说用向量法怎么证明。

咱们先画个三角形 ABC，顶点分别是 A、B、C。

然后咱们设向量AB 是 c，向量 BC 是 a，向量 CA 是 b。

那向量 AB 和向量 AC 的数量积就等于 AB 的模长乘以 AC 的模长再乘以它们夹角的余弦值。

也就是c·b = |c|×|b|×cos(π A) ，因为夹角是π A 嘛。

然后展开这个数量积，c·b = |c|×|b|×(cosA) 。

又因为c·b = |c|×|b|×(cosA) = cx×bx + cy× ，这里的x、y 是向量的坐标。

把 |c| = |b a| 代入，然后两边平方，一顿操作之后，就能得到a² = b² + c² 2bc×cosA 。

同样的道理，咱们能证明出b² = a² + c² 2ac×cosB ，c² = a² + b² 2ab×cosC 。

咋样，向量法证明余弦定理是不是还挺简单易懂的？文章二嗨，大家好！今天咱们来搞明白用向量法证明余弦定理。

想象一下有个三角形 ABC，三个顶点在那呆着呢。

咱们弄出向量来，AB 叫 c，BC 叫 a，CA 叫 b 。

向量这东西相乘有讲究，AB 和 AC 相乘，就是 c 和 b 相乘，等于它们长度乘上夹角的余弦。

但注意哦，这个夹角是π A ，所以c·b = |c|×|b|×cos(π A) ，这就等于|c|×|b|×cosA 。

再仔细看看，c·b 还能写成坐标形式，就是 c 的横坐标乘 b 的横坐标加上纵坐标乘纵坐标。

而且 |c| 其实就是 |b a| ，把这个带进去平方一下，算一算，嘿，就出来a² = b² + c² 2bc×cosA 啦！用同样的思路，其他两个式子b² = a² + c² 2ac×cosB 和c² = a² + b² 2ab×cosC 也能得出来。

余弦定理及其应用实例

余弦定理及其应用实例引言余弦定理是初等几何中的一个重要定理，它可以用来计算三角形中的边长和角度。

该定理建立了三角形的边长和夹角之间的关系，为解决实际问题提供了一个实用的工具。

本文将介绍余弦定理的基本原理及其应用实例。

1. 余弦定理的原理余弦定理是基于三角形的余弦函数关系而得出的。

对于任意三角形ABC，假设边长分别为a, b, c，对应的夹角为A, B, C（夹角和为180°），则余弦定理可以表示为：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \\cos C$该公式即为余弦定理的基本形式，通过这个公式可以计算任意三角形的边长或夹角。

2. 余弦定理的应用实例实例1：计算三角形的边长假设我们有一个三角形ABC，边长分别为a = 3, b = 4，夹角C = 60°，我们可以利用余弦定理计算边长c。

首先，根据余弦定理的公式，我们有：$c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cos 60°$通过计算得到：$c^2 = 25 - 24 \\cdot \\frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$因此，$c = \\sqrt{13}$，约等于3.61。

实例2：计算三角形的夹角我们继续使用上面的三角形ABC，已知边长分别为a = 3, b = 4，边长c = 5，我们可以利用余弦定理计算夹角C。

根据余弦定理的公式，我们有：$5^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cos C$化简得到：$25 = 25 - 24 \\cdot \\cos C$解方程得到：$\\cos C = 0$因此，夹角C = 90°，这就是一个直角三角形。

实例3：判断三角形类型利用余弦定理，我们还可以判断三角形的类型。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a = 5, b = 7，边长c = 9，我们可以通过余弦定理判断其类型。