余弦定理(1)
6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)
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第六章 平面向量及其应用
【解析】(1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6＝
4×602－3×602＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190，所以 BC2－9BC ＋20＝0，解得 BC＝4 或 BC＝5.
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第六章 平面向量及其应用
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任
何三角形．
()
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形． ( )
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第六章 平面向量及其应用
易错警示 解题漏条件致误
在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2<b2＋c2，求A的取 值范围．
错解：∵a2<b2＋c2，∴b2＋c2－a2>0. ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2>0.
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第六章 平面向量及其应用
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§5.9.1余弦定理(1)
余弦定理（1） 1一．课题：余弦定理（1）二．教学目标：1．要求学生掌握余弦定理及其证明；2．使学生能初步运用正弦定理和余弦定理解斜三角形，并会利用计算器解决斜三角形的计算问题。
三．教学重点：余弦定理的证明及其运用。
四．教学难点：能灵活运用正弦定理和余弦定理解斜三角形。
五．教学过程：（一）复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题，提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？2．在Rt ABC ∆中(若90C = )有：222c a b =+，在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角会有什么关系呢？（二）新课讲解：1．余弦定理的推导：[问题] 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？[推导] 如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵+= ∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+ 222AB AB BC BC =+⋅+ 222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+ 22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．即：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
2．强调几个问题：①熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；②知三求一；③当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）； ④变形：bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， acc b a C 2cos 222-+=． 即：3．余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
AB C c a b A bc c b a cos 2222-+= B ac a c b cos 2222-+= C ab b a ccos 2222-+=余弦定理（1） 2 4．例题分析：例1．在ABC ∆中，已知7=a ，10=b ，6=c ，求A 、B 和C （精确到 1）． 解：∵2222221067cos 0.72522106b c a A bc +-+-===⨯⨯， ∴44A ≈ ， 又∵2222227106113cos 0.807122710140a b c C ab +-+-====⨯⨯， ∴36A ≈ ，∴180()100B A C =-+= ．例2．在△ABC 中，已知 2.730a =， 3.696b =，8228C '= ，解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到1'）．解：由：2222cos c a b ab C =+-222.7303.6962 2.730 3.696cos8228'=+-⨯⨯⨯ 得4.297c =， 又∵2222223.6964.297 2.730cos 0.776722 3.696 4.297b c a A bc +-+-===⨯⨯， ∴392A '= ，∴180()5830B A C '=-+= ．例3．已知ABC ∆的三内角,,A B C 成等差数列，而,,A B C 三内角的对边,,a b c 成等比数列， 证明：ABC ∆为正三角形。
人教版高中数学全套教案导学案2.余弦定理(1)
备课人授课时间课题§1.1.2余弦定理（一）课标要求余弦定理教学目标知识目标余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法技能目标运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
情感态度价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一、复习引入：如图1．1-4，在∆ABC中，设BC=a, AC=b,AB=c,已知a,b和∠C，求边c(图1．1-4)二、讲解新课：[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
如图1．1-5，设CB a=，CA b=，AB c=，那么c a b=-，则()()22222c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅(图1．1-5)学生思考学生探究证明方法1BcabCAcbBCAa教学过程及方法从而2222cosc a b ab C=+-同理可证2222cosa b c bc A=+-2222cosb ac ac B=+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即2222cosa b c bc A=+-2222cosb ac ac B=+-2222cosc a b ab C=+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2+-=b c aAbc222cos2+-=a c bBac222cos2+-=b a cCba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
第一余弦定理
第一余弦定理1. 定理表述- 对于任意三角形ABC，设a,b,c为三角形的三边，A,B,C为三角形的三个内角，则有a = bcos C + ccos B，b = acos C + ccos A，c=acos B + bcos A。
二、定理的证明1. 向量法证明a = bcos C + ccos B- 设→AB=→c，→BC=→a，→CA=→b。
- 因为→a+→b+→c=0，所以→a= - →b-→c。
- 根据向量的数量积公式→a·→b=|→a||→b|cosθ（其中θ为→a与→b的夹角）。
- 我们计算→a·→c：- →a·→c=(-→b-→c)·→c=-→b·→c-→c·→c- 又→a·→c=|→a||→c|cos B = accos B，→b·→c=|→b||→c|cos A = bccos A，→c·→c=|→c|^2=c^2。
- 再计算→a·→b：- →a·→b=(-→b-→c)·→b=-→b·→b-→c·→b- 且→a·→b=|→a||→b|cos C = abcos C，→b·→b=|→b|^2=b^2。
- 由→a= - →b-→c可得a^2=b^2+c^2+2→b·→c。
- 在 ABC中，a = bcos C + ccos B得证。
同理可证b = acos C + ccos A和c=acos B + bcos A。
2. 几何法证明a = bcos C + ccos B（以锐角三角形为例）- 过A作AD⊥ BC于D。
- 在Rt ABD中，BD = ccos B；在Rt ACD中，CD = bcos C。
- 因为a = BC=BD + CD，所以a = bcos C + ccos B。
对于钝角三角形，证明方法类似，只需注意钝角三角形中高在三角形外部时，cos值的正负情况。
1_2余弦定理(1)
1.2余弦定理（1）（时间：）1.掌握余弦定理的内容；2.掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的证明及其应用.余弦定理的证明，余弦定理在解三角形时应用思路.读记教材交流问题1：余弦定理的内容是什么？问题2：怎么推导余弦定理？问题3：由余弦定理怎么判断角的大小？问题4：利用余弦定理能够解决斜三角形中的哪些类型问题？中，【例1】在ABC（1）已知3=b ，1=c ，︒=60A ，求a ；（2）已知654===c b a ，，，求A cos ，A tan ．【例2】用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．： ：1．在ABC ∆中，（1）已知︒=60A ，4=b ，7=c ，求a ； （2）已知7=a ，5=b ，3=c ，求A ．2.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能构成（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不是钝角三角形3.在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小．4.两游艇自某地同时出发，一艇以h km /10的速度向正北行驶，另一艇以8/km h 的速度向北偏东060方向行驶，问：经过30min ，两艇相距多远？一、填空题1．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ＝________.2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝______________.3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________．4．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B ＝____________.5．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于________．7．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状 为________．8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．9．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为________．10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.二、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积．水平提升13．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是____________．14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．1.2余弦定理(一)答案作业设计1．120° 2. 3 3.π6解析 ∵a>b>c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 4．2解析 b cos C ＋c cos B ＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 5．30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12，∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a<c ，∴A<60°，A ＝30°. 6.34解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34. 7．直角三角形解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形． 8．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°. 9．45°解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .10．－23解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3. 11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x ＝7. 所以，所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos (A ＋B)＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b)2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 13.3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC·sin C ＝ 3.14．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a·b 2＋c 2－a 22bc ＋b·a 2＋c 2－b 22ac ＋c·c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。
1.2 余弦定理(第1课时)
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
A.30 B.45 C.135
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
(1)在△ABC中，已知a 2 b 2 c 2 2ab，则角C （B ） D.150
(2)在△ABC中，B 60，b 2 ac，则△ABC是（ D ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
(3)若三角形的三边长的比 为5 : 7 : 8，则它的最大角和最小 角 的和是（ B ） A.90 B.120 C.135 D.150
(4)若△ABC的各边满足(a b) 2 c 2 4，且C 60，则ab的值为 4 2 （ A ）A. B.8 4 3 C.1 D. 3 3
Yanhui Jian
zhumuxiansheng@
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
21 (5)在△ABC中，若a 2，b 3，C 60，则sin A _________ 7
(6)在△ABC中，已知a 3，b 4，c 6，则bc cos A ca cos B 61 ab cosC的值为________ 2
即： BC b c
a a (b c) (b c)
2 2
b b ， bc b c cos A， c c2
a 2 b2 2bc cos A c 2即：a 2 b2 c 2 2bc cos A
高一必修五余弦定理(一)
（保留根号）。
作业
在△ABC中，判定△ABC的形状．
1. cosA∶cosB = b∶a ，(2) a=bcosC
求三角形面积
作业：△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1， ∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长 。 A B C D
作业：△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1， ∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a b
余弦定理好处： 不用判断解个数 与勾股定理联系？P6
A
c
B
1
算最大角的余弦值
2
学案P38达标2 在△ABC中,若a=5、b=7、c=9，判断△ABC是锐角三角形还 是钝角三角形.
01
解：由余弦定理得
解方程思想
练习：已知在△ABC中，a=1，b= 求c.
，B=60o，
c=3
解题小结：
（1）知两角及一边
先求第三角，再用正弦定理求另外两边.
（3）知两边及其夹角
先用余弦定理求第三边，再求剩下两角.
（2）知两边及其中一边的对角：
一． 先用正弦定理求剩下两角，再求第三边； 2. 先用余弦定理求第三边，再求剩 下两角.
解的情况 一解 无解 无解
a
b A
A为锐角
a=bsinA
一解
bsinA＜a＜ 两解
b
a≥b
一解
a b
bsinA
A
三、掌握“边角互化”的解题思想
相关知识复习： 1.向量的数量积： 2.勾股定理：a2+b2=c2.
用向量方法证明： 好处：不用做辅助线
6.4.3 第1课时 余弦定理PPT课件(人教版)
课前篇自主预习
一
二
3.做一做
(1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7,c= 3,
则 B=
.
5π
答案: 6
解析:由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos
1+3-7
3
=- .
2
2 3
5π
∵0<B<π,∴B= 6 .
2
2 +2 -
B= 2
=
课前篇自主预习
一
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(cacos B)2=a2+c2-2acos B;
同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.
图(2)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则
形.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
1.2 余弦定理(1)
1.2 余弦定理（1）江苏省靖江高级中学 朱锦萍教学目标：1. 掌握余弦定理及其证明方法；2. 初步掌握余弦定理的应用；3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．教学重点：余弦定理及其应用． 教学难点：用解析法证明余弦定理．教学方法：发现教学法．教学过程：一、问题情境在上节中，我们通过等式AC BA BC +=的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．Cc Bb Aa sin sin sin ==．探索1 还有其他途径将向量等式AC BA BC +=数量化吗？ 二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段． 因为AC BA BC +=（如图1），所以）（）（AC BA AC BA BC BC +⋅+=⋅222AC BA AC BA +⋅+=ABC图1222cos 2)180bA cb c ACA +-=+-︒+=即 A bc c b a cos 2222-+=， 同理可得 B ac c a b cos 2222-+=，Cab B a ccos 2222-+=．上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．三、建构数学对任意三角形，有余弦定理：A bc c b acos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=， Cab b a ccos 2222-+=．探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理． 师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法． 方法一：如图2建立直角坐标系，则)0,(),sin ,cos (),0,0(b C A c A c B A ． 所以()()22222222sin cos sin cos bc A c A c A c b A c a -+=+-=A bc c b cos 222-+=．同理可证：B ac c a b cos 2222-+=，Cab b a ccos 2222-+=．方法二：若A 是锐角，如图3，由B 作AC BD ⊥，垂足为D ，则A c AD cos =．图2BCAD 图3所以，22222222(AC AD )AC AD 2AC AD BDa D C BD BD =+=-+=+-⋅+A bc c b AD AC BD ADACcos 22-)(22222-+=⋅++=，即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显然成立．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． 方法三：由正弦定理，得)sin(2sin 2C B R A R a +==． 所以)cos cos sin sin 2sincoscos (sin4)(sin 422222222C B C B C B C B R C B R a++=+= ]cos cos sin sin 2sin )sin 1()sin 1([sin 422222C B C B C B C B R +-+-=)]cos(sin sin 2sin[sin 4222C B C B C B R +++=A C RB RC R B R cos )sin 2)(sin 2(2sin4sin42222-+=A bc c b cos 222-+=．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． 余弦定理也可以写成如下形式：bc ac b A 2cos 222-+=，ca ba c B 2cos 222-+=，abcb a C 2cos 222-+=．探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？ 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四、数学运用 1．例题．例1 在ABC ∆中，（1）已知︒===60,1,3A c b ，求a ；（2）已知,6,10,7===c b a 求最大角的余弦值． 解 （1）由余弦定理，得 760cos 13213cos 222222=︒⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， 所以 7=a ．（2） 因为b a c <<，所以B 为最大角， 由余弦定理，得28576210762cos 222222-=⨯⨯-+=-+=caba c B ．例2 用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．证明：当C ∠为锐角时，0cos >C ，由余弦定理得22222cos 2ba C ab b ac +<-+=即 222c b a >+；同理可证，当C ∠为钝角时，222c b a <+． 2．练习．（1）在ABC ∆中，已知3,5,7===c b a ，求A ．（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形 （3）在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小． 练习答案： （1）32π=A （2）B （3）32π=C五、要点归纳与方法小结本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．。
余弦定理(1)
1 复习：已知A=300 ,C=450,b=16,解三角形 2若将条件C=450改成c=8，如何解三角形？
1.余弦定理
A c B a b C
a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC
你能用文字说明吗？
三角形任何一边的平方等于 其他两边平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍.
（2）a=3,b=4,c= 37 ，求最大角； （3）a：b：c=1： 3 ：2,求A，B，C.
（4）已知:a=7,b=8,c=5,试判断此三角形的形状. (5) 在不等边△ABC中，a是最大边，若a² <b² +c² ， 则A的取值范围。
总结
（1）余弦定理适用于任何三角形； （2）余弦定理的作用：
2.余弦定理的应用
(1)已知两边及夹角，求第三边和其 他两个角； 例1.已知b=8,c=3,A=600求a.
解： ∵a2=b2+c2－2bccosA
=64+9－2×8×3cos600
=49 a=7
(2)已知三边，求三角
例2.已知:a=7,b=8,c=3,求A.
思考：已知:a=7,b=8,c=3,
a、已知三边，求三个角 ； b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角；
c、判断三角形的形状； （3）由余弦定理可知：
A90 a2 b2 c2； A90 a2 b2 c2； A90 a2 b2 c2.
想一想： 余弦定理能够解决什么问题？
a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC
余弦定理(1)
精确到1m.
解 在ABC中,由余弦定理, 得
AB 2 CA2 CB 2 2CA CB cos C
C
182 2 126 2 2 182 126 cos 630
所以 AB 168 m .
答 A, B 两地之间的距离约为168 m .
28178.18,
例 3 用余弦定理证明 : 在ABC中,当C为锐 角时, a b c ;当C为钝角时, a b c .
1.如何将向量等式 BC BA AC 数量化? 2.当 ABC中 A 90 余弦定理又 会有怎样的变化?你有什么发现?
3.余弦定理有哪几种表示形式?
4.如果角C为钝角, 那么a 2 b2与c 2的大小如何？
自学检测:
P15 练习1
上述等式表明, 三角形任何一边的平方 等于其他两边平 方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的两 倍.这样, 我们得到 余弦定理cos ine theorem :
例1 在ABC 中,
1已知 b 3, c 1, A 60 , 求 a ; 2已知 a 4, b 5, c 6, 求 A 精确到0.10 .
0
解
1由余弦定理, 得
a b c 2bc cos A
2 2 2
32 12 2 3 1 cos 60 0 7, 所以 a 7 .
2 2 2 2 2 2
分层训练
一.必做题
P15 练习2,3
二.选做题
P15练习4
作业P16 1,2
2由余弦定理, 得
b 2 c 2 a 2 5 2 62 4 2 cos A 0.75 , 2bc 256
所以 A 41.4 0 .
高中数学必修五 第一章余弦定理
【例】在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，
求证：a2 b2
c2
sin A B
. sin C
【规范解答】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
b2=a2+c2-2accosB，
∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.
整理得：a2 b2
c2
a cos B bcos A， c
【解析】∵c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，
∴［c2-(a2+b2)］2-a2b2=0，∴c2-(a2+b2)=±ab，
cos C a2 b2 ∴cC2=1210°或60°.
2ab
2
角形中最大内角，
由余弦定理
∴C=120°. cos C a2 b2 c2 1，
2ab
2
正、余弦定理的综合应用 【名师指津】正、余弦定理的综合应用
正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解 三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实 际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系 式的运用：
【例3】在△ABC中，若sinA-2sinBcosC=0，试判断△ABC的 形状.
【规范解答】方法一：∵sinA-2sinBcosC=0,∴由正弦定
理知a=2bcosC,再由余弦定理得 a a2 b2 c2 ,
2b
2ab
∴b2=c2,b=c,.故△ABC为等腰三角形.
方法二：由sinA=sin(B+C),∴有sinBcosC+cosBsinC2sinBcosC=0,即sinCcosB-cosCsinB=0,sin(CB)=0,∴C-B=0,即C=B.故△ABC为等腰三角形.
余弦定理(1)
解法一:cos 15°=cos(45°-30°)= 6+ 2,
4
sin 15°=sin(45°-30°)= 6- 2.
4
由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C =4+8-2 2×
( 6+ 2)=8-4 3,∴c= 6- 2.
由正弦定理,得 sin A=������sin C = 2 × 6- 2=1.
这个式子中有几个量？从方程的角 度看已知其中三个量，可以求出第四个 量，能否由三边求出一角？
推论： cos A b2 c2 a 2
2bc cos B a 2 c2 b2
2ac cos C a 2 b2 c2
2ab
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
你还有其它方法证明余弦定理吗？
思考1： a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2abcosC
你还有其它方法证明余弦定理吗？ 两点间距离公式，三角形方法.
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2abcosC
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
高中数学必修二(人教版)《6.4.3第一课时 余弦定理》课件
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则
此人
()
A．不能作出这样的三角形
B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形
D．能作出一个钝角三角形
解析：设三角形的三条高所在的三边长分别为 a，b，c，利用三角形面积相 等，得到113a＝111b＝15c，即 a∶b∶c＝13∶11∶5，故三角形三边长可设为 13m,11m,5m，m>0，因为 13m 是三角形中最长的边，设它的对角为 A，由 余弦定理得 cos A＝5m22＋×151mm×21－1m13m2＝－12130<0，所以角 A 为钝角．故此人能作出 一个钝角三角形． 答案:D
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元 二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用 余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
【对点练清】
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝2，cos(A
＋B)＝13，则 c＝
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32＝ 22，
∵C∈(0，π)，∴C＝π4.∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝172π，∴A＝π6，B＝172
π，C＝π4.
[方法技巧] 已知三角形的三边求角的基本步骤
【对点练清】 1．已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 中各角的度数．
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
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§1.1.2余弦定理
【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法； 2.会运用余弦定理解决两类基本的三角形问题； 【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本运用； 【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用； 一、复习回顾：1 正弦定理： ；变形： ； 2.正弦定理可以解决的两类问题：(1) ； (2) . 二、知识探索：
思考1：在ABC ∆中，已知b AC c AB ==,和角A ，求另一边BC ？能用正弦定理求吗？是否可以利用
初中学过的勾股定理来证明？ 1.余弦定理： ； ； ； 请大家用文字来描述一下余弦定理： . 探究1：余弦定理是否可以利用向量的方法来证明？请大家试试看。
2.余弦定理的变形： ； ； ； 3.余弦定理及其变形的基本作用： ； ；
思考2：勾股定理与余弦定理的关系 。
三、知识运用： 例1：在ABC ∆中，已知ο
60,26,32=+==B c a ，求b 和角A.
说明：试用两种方法来解决这个问题。
例2：在ABC ∆中，已知21,29,20===c b a ，解三角形。
例3：在ABC ∆中，已知bc c b a ++=2
22，求角A.
例4：在ABC ∆中，已知6:5:4sin :sin :sin =C B A ，求cos A:cos B:cos C.
四．练习题
1.在ABC ∆中，一定成立的等式是：
A ．
B ．
C ．
D ．
7.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为：
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
8.若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是： A ．直角三角形 B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
9、在ABC △中，AB =45A =o
，75C =o
，则
BC =（ ） Ａ．3-
Ｃ．2
Ｄ．3
+10、在ABC ∆中，若30,4A a b ∠===o ，则满足条件的ABC
∆（ ） A ．不存在 B ．有一个 C ．有两个 D 不能确定 11、在ABC ∆
2sin b A =，则
B 等于（ ）
A ．60o
B ．30o
C ．60
o
或120o
D ．30o
或150o
12、在ABC ∆中，已知3AB =，BC 4AC =，则边AC 上的高为（ ）
A B C ．3
2
D ．13、在ABC ∆中，若6,3,5AB BC AC ===，则ABC
S ∆=（
）
A B ． C D ．14、在ABC ∆中，135,B =o 15C =o ，5a =则此三角形的最大边长为 ______
15、在ABC V 中，已知5,8,30b c B ===︒，求,,C A a 。
16.设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a=2b sin A. (1)求B 的大小； （2）若a=33,c=5,求b 五．小结 六．作业。