1.2 余弦定理(1)
2.1.2余弦定理课件ppt(
sin C＝c·sian A＝
6＋ 2
2·22＝ 2
6＋ 4
2，∴C＝75°，
由三角形内角和定理，得 B＝180°－75°－45°＝60°.
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当 c＝ 6－ 2时，由正弦定理，得
sin C＝c·sian A＝
6－ 2·22＝ 22
6－ 4
2，
∴C＝15°，∴B＝180°－15°－45°＝120°.
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当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形， ∴a＝3.
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规律方法 已知三角形的两边与一角解三角形，必须 先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边 的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第 三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定 理建立一元二次方程，解方程求出第三边互动
当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 12＝1. ∴A＝90°，C＝60°. 法二 由 b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3 3×12＝323知本题有两 解．由正弦定理得 sin C＝csibn B＝3 33×12＝ 23， ∴C＝60°或 120°，当 C＝60°时，A＝90°， 由勾股定理得 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
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规律方法 已知三边解三角形的方法及注意事项： (1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小． (2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小； 由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角 对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确 定第三个角的大小． (3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为 锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．
1_2余弦定理(1)
1.2余弦定理（1）（时间：）1.掌握余弦定理的内容；2.掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的证明及其应用.余弦定理的证明，余弦定理在解三角形时应用思路.读记教材交流问题1：余弦定理的内容是什么？问题2：怎么推导余弦定理？问题3：由余弦定理怎么判断角的大小？问题4：利用余弦定理能够解决斜三角形中的哪些类型问题？中，【例1】在ABC（1）已知3=b ，1=c ，︒=60A ，求a ；（2）已知654===c b a ，，，求A cos ，A tan ．【例2】用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．： ：1．在ABC ∆中，（1）已知︒=60A ，4=b ，7=c ，求a ； （2）已知7=a ，5=b ，3=c ，求A ．2.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能构成（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不是钝角三角形3.在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小．4.两游艇自某地同时出发，一艇以h km /10的速度向正北行驶，另一艇以8/km h 的速度向北偏东060方向行驶，问：经过30min ，两艇相距多远？一、填空题1．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ＝________.2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝______________.3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________．4．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B ＝____________.5．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于________．7．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状 为________．8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．9．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为________．10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.二、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积．水平提升13．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是____________．14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．1.2余弦定理(一)答案作业设计1．120° 2. 3 3.π6解析 ∵a>b>c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 4．2解析 b cos C ＋c cos B ＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 5．30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12，∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a<c ，∴A<60°，A ＝30°. 6.34解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34. 7．直角三角形解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形． 8．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°. 9．45°解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .10．－23解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3. 11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x ＝7. 所以，所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos (A ＋B)＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b)2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 13.3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC·sin C ＝ 3.14．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a·b 2＋c 2－a 22bc ＋b·a 2＋c 2－b 22ac ＋c·c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。
1.1.2余弦定理黑底白字
变式训练3 如图所示,在△ABC中,已知BC=15 4 3 AB:AC=7:8,sinB= , 求BC边上的高AD的长. 7
思悟升华
1.解斜三角形时,要注意将正弦定理与余弦定 理有机结合起来,要根据条件灵活选用正,余弦 定理. 2.要注意三角形中常见的结论: (1)A+B+C=π; (2)大边对大角,反之亦然; (3)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
余弦定理习题
1.在△ABC中, 角B, C的对边分别是a ,b,c,则 下列等式不成立的是( A.a =b +c -2bccosA B.b =c +a -2acosB b +c -a C.cosA= 2bc 2 2 2 a +b +c D.cosC= 2ab
2 2 2 2 2 2 2 2 2
)
2.已知△ABC满足B 60 , AB=3,AC= 7, BC的长等于( ) A.2 B.1 C.1或2 D.无解
3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .
3 4.在△ABC中, AB 2, BC 1, cos C , 4 则AC .
5.在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角 形为 .
6.在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大 角和sinC.
典例导语
类型一 例1 利用余弦定理解三角形 在 ABC中,已知b=3,c=2 3,A =30 ,
求边a, 角C和角B.
变式训练1 已知在 ABC中,a:b:c=2: 6:( 3+1), 求 ABC的各角度数.
类型二
判断三角形的形状
例2 在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=2bc且 sinA=2sinBcosC,是确定△ABC的形状.
高二数学必修5第1章第 3课时学案
高二数学必修5第1章第 3课时学案
1.2余弦定理（一）
［学习目标］
掌握余弦定理及其证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．
［自学质疑］范围：课本P 13～15．
1．在直角三角形ABC 中，角A 是直角，三边长c b a ,,有什么关系？该结论对任意三角形也成立吗？
2．已知三角形ABC 中的1,3==c b 及角060=A ，这样的三角形唯一确定吗？画图试一试．你能利用学过的数学知识求出a 边长度吗？
3．已知三角形ABC 中的边长b 、c 及角A ，你能用类似的方法求出a 边吗？你能写出三角形ABC 中其它相类似的结论吗？余弦定理也可以写成怎样的形式？
4．尝试解决Ｐ14的例1、例2，并小结一下余弦定理可以解决哪些类型的三角形问题．
5．如果要求在例1（1）中，求出角B的大小，你能有几种方法？
6.尝试解决Ｐ14的例3,思考它与勾股定理的异同，并解决下列问题：
三角形三边长为：2，3，x；若三角形为
①为锐角三角形，求x的范围；②为钝角三角形，求x的范围
7.你能解决教材
P练习题吗？动动手有问题与同学或老师交流．
8
[矫正反馈]
1、习题
P练习题：1、3、4；习题1．2：3、7
16
2、导学练．。
1.2 余弦定理(第1课时)
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
A.30 B.45 C.135
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
(1)在△ABC中，已知a 2 b 2 c 2 2ab，则角C （B ） D.150
(2)在△ABC中，B 60，b 2 ac，则△ABC是（ D ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
(3)若三角形的三边长的比 为5 : 7 : 8，则它的最大角和最小 角 的和是（ B ） A.90 B.120 C.135 D.150
(4)若△ABC的各边满足(a b) 2 c 2 4，且C 60，则ab的值为 4 2 （ A ）A. B.8 4 3 C.1 D. 3 3
Yanhui Jian
zhumuxiansheng@
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
21 (5)在△ABC中，若a 2，b 3，C 60，则sin A _________ 7
(6)在△ABC中，已知a 3，b 4，c 6，则bc cos A ca cos B 61 ab cosC的值为________ 2
即： BC b c
a a (b c) (b c)
2 2
b b ， bc b c cos A， c c2
a 2 b2 2bc cos A c 2即：a 2 b2 c 2 2bc cos A
1.2 余弦定理(1)
余弦定理
余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a = b + c − 2bc cos A 2 2 2 b = a + c − 2ac cos B 2 2 2 c = a + b − 2ab cos C
)750
116 − 30 3 2
C
B
D
小结: 小结:
余弦定理： 余弦定理：
推论: 推论:
a = b + c − 2bccos A
2 2 2
b2 + c2 − a2 cos A = 2bc
Hale Waihona Puke 2 2 2c +a −b co s B = 2 2 2 b = a + c − 2accosB 2 ca
2 2 2
变式训练 1
在△ABC 中，边 a，b 的长是方程 x2－ ，
5x＋2＝0 的两个根，C＝60°，求边 c. ＋ ＝ 的两个根， ＝ ，
解 由题意：a＋b＝5，ab＝2. 2 2 2 2 2 由余弦定理得 c ＝a ＋b －2abcos C＝a ＋b －ab＝(a 2 2 ＋b) －3ab＝5 －3×2＝19.∴c＝ 19. b) 3ab 5 3 2 19. c
已知三边， 已知三边，求其余角
变式:在△ABC 中，已知 a=10, b=8, c=7, 变式: =10, 判断△ABC的形状 的形状. 判断△ABC的形状. 已知三边， 已知三边，判断三角形形状
练习、 练习、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断△ABC的 ABC中 a=4、b=5、c=6，判断△ABC的 形状. 形状.
人教版中职数学(拓展模块)1.2《余弦定理正弦定理》教案
课题内容
正弦定理
课型
复习课、新授课
课时
1课时
教学
目标
知识与技能
过程与方法
情感、态度价值观
学习正弦定理；复习二倍角公式，讲解习题
通过一起学习及复习前节课内容，让学生巩固二倍角公式及学习正弦定理
培养学生的抽象思维能力，养成良好的思维习惯
教学重点
与难点
重点：正弦定理及其应用。
难点：正弦定理及其应用。
教学方法
讲解法 问答法 集体教学法 练习法
使用教具
学情简析
学生的基础知识比较薄弱，要有所铺垫，由易到难，循序渐进。
教 学 过 程（内容不能少于150个字）
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
导
入
1、课堂常规
清点人数、师生问好
师生问好
准
备
部
分
一、复习二倍角公式
1、公式复习
2、练习讲解
3、巩固练习
1、以提问的方式让学生背出（或读出）4个公式；
记下作业要求
下ห้องสมุดไป่ตู้，养成教育
作业
布置
课作：课本第15页练习第1题；家作：
板书
设计
二倍角公式、正弦定理公式、例题、练习题
教学
后记
由于数学课一个星期只有一节，因此在上星期所学的内容下星期有可能就会忘记掉，因此在上课时需先复习下前面缩学知识，且学生基础一般，需尽量讲得简单。
授课教师：
示范与讲解
1、教师由直角三角形的正弦和余弦延伸到任意三角形的正弦、余弦。
2、讲解例题
3、出示练习题
5、讲解习题
1、认真听取并记住公式。
版高中数学 第一章 1.11.1.2 余弦定理 NO.1 课堂强化 新人教A版必修5
【创新方案】2013版高中数学 第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理 NO.1 课堂强化 新人教A 版必修51．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析：∵a >b >c ，∴C 为最小角．由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋32－1322×7×43＝32. ∴C ＝π6. 答案：B2．(2011·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝2 3sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：根据正弦定理，由sin C ＝2 3sin B 可得c ＝2 3b ，把它代入a 2－b 2＝3bc得a 2－b 2＝6b 2.即a 2＝7b 2，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·2 3b ＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.答案：A3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( )A ．－14B.14 C ．－23 D.23解析：由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，不妨设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k (k ＞0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝k 2＋k 2－k 22×3k ×2k ＝－14.答案：A4．在△ABC 中，b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos B ＝________.解析：∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2. ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34. 答案：345．(2012·济宁高二检测)△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________．解析：当B 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c >b b 2>a 2＋c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋x >4x 2<7. ∴1<x <7.当C 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c ，c 2>a 2＋b 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋4>x ，x 2>25.∴5<x <7.答案：1<x <7或5<x <76．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ，由余弦定理：AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10·x cos 60°.即x 2－10x －96＝0.解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°.在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD， ∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.。
苏教版数学必修五：1.2余弦定理(一)作业纸
课题：§1.2余弦定理（一） 总第____课时班级_______________姓名_______________1．已知△ABC 中，7,5,3a b c ===，则= .2．在锐角三角形中，角A 、B 满足03)sin(2=-+B A ，则角C = .3．已知△ABC 中，o60=A ，最大边和最小边的长是方程0892=+-x x 的两实根，则边长BC 是 .4．在中，，则最大角的余弦值是 . 5．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝ . 6．已知△ABC ，31,2,2+===c b a ，则A= .7．已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程02322=-+x x 的根，则第三边长是 .8．△ABC 中已知∠A=60°，AB ：AC=8：5，面积为103，则其周长为 . 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41(a 2+b 2－c 2)，则∠C 的度数是_______．10．已知△ABC ，其面积S △ABC ＝312，bc ＝48，b – c ＝2，则a= ．A ABC ∆1413cos ,8,7===C b a11．在△ABC 中，已知o 150,2,33===B c a ，求b 的长和△ABC 的面积12．根据下列条件，判断△ABC 的形状：（1） C A B sin sin cos 2=⋅;（2）222)cos cos (A b B a b a +=-13. 已知圆内接四边形ABCD 中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，如何求四边形ABCD 的面积？三、作业错误分析及订正：1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。
职业高中1.1.2余弦定理教案
1.2.1余弦定理教学过程设计2、勾股定理：在ΔABC 中，当∠A=90°时, .=AC 222a b c =+=AC CcBAb a1、向量相关知识：（1）向量加法的三角形法则：（2）向量减法的三角形法则：（3）向量的模：一，复习引入CABBC AB +BA -BC =a 2a3、向量的数量积：a •b==|a|•|b|•cos α二、引入新课师：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考．我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC 的关系．给出余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,有从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清楚认识．我们不仅要认识到，∠C为锐角时有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知的转化在数学中经常碰到．三、证明余弦定理师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的．这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦．现在我们已学完了三角函数，无论∠α是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论．我们仍就以∠C为主进行证明．证明：设AB=c,BC=a,AC=b 得a =b-c |a|²= a •a= (b-c)•(b-c) = b •b -2bc +c •c=|b|²-2|b|•|c|cosA+|c|²=b²+c²-2b •c •cosA 同理可证②③ABbcCa师：余弦定理的另一种证法，启发学生回答很，A ，B 两点间的距离如何求？生：|AB|2=(acosC －b)2+(asinC －0)2 =a 2cos2C －2abcosC+b 2+a 2sin2C =a 2+b 2－2abcosC ， 即c 2=a 2+b 2－2abcosC ．师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法．这种方法以后还要详细学习．余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：a 2=b 2+c 2－2bccosA ． c 2=a 2+b 2－2abcosC ． b 2=a 2+c 2－2accosB ．若用三边表示角，余弦定理可以写为四、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．五、余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．六、应用举例例题1在△A B C 中，已知a =6,b =3,∠C =120°,求△A B C 的其他元素。
1.2 余弦定理(1)
1.2 余弦定理（1）江苏省靖江高级中学 朱锦萍教学目标：1. 掌握余弦定理及其证明方法；2. 初步掌握余弦定理的应用；3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．教学重点：余弦定理及其应用． 教学难点：用解析法证明余弦定理．教学方法：发现教学法．教学过程：一、问题情境在上节中，我们通过等式AC BA BC +=的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．Cc Bb Aa sin sin sin ==．探索1 还有其他途径将向量等式AC BA BC +=数量化吗？ 二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段． 因为AC BA BC +=（如图1），所以）（）（AC BA AC BA BC BC +⋅+=⋅222AC BA AC BA +⋅+=ABC图1222cos 2)180bA cb c ACA +-=+-︒+=即 A bc c b a cos 2222-+=， 同理可得 B ac c a b cos 2222-+=，Cab B a ccos 2222-+=．上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．三、建构数学对任意三角形，有余弦定理：A bc c b acos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=， Cab b a ccos 2222-+=．探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理． 师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法． 方法一：如图2建立直角坐标系，则)0,(),sin ,cos (),0,0(b C A c A c B A ． 所以()()22222222sin cos sin cos bc A c A c A c b A c a -+=+-=A bc c b cos 222-+=．同理可证：B ac c a b cos 2222-+=，Cab b a ccos 2222-+=．方法二：若A 是锐角，如图3，由B 作AC BD ⊥，垂足为D ，则A c AD cos =．图2BCAD 图3所以，22222222(AC AD )AC AD 2AC AD BDa D C BD BD =+=-+=+-⋅+A bc c b AD AC BD ADACcos 22-)(22222-+=⋅++=，即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显然成立．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． 方法三：由正弦定理，得)sin(2sin 2C B R A R a +==． 所以)cos cos sin sin 2sincoscos (sin4)(sin 422222222C B C B C B C B R C B R a++=+= ]cos cos sin sin 2sin )sin 1()sin 1([sin 422222C B C B C B C B R +-+-=)]cos(sin sin 2sin[sin 4222C B C B C B R +++=A C RB RC R B R cos )sin 2)(sin 2(2sin4sin42222-+=A bc c b cos 222-+=．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． 余弦定理也可以写成如下形式：bc ac b A 2cos 222-+=，ca ba c B 2cos 222-+=，abcb a C 2cos 222-+=．探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？ 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四、数学运用 1．例题．例1 在ABC ∆中，（1）已知︒===60,1,3A c b ，求a ；（2）已知,6,10,7===c b a 求最大角的余弦值． 解 （1）由余弦定理，得 760cos 13213cos 222222=︒⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， 所以 7=a ．（2） 因为b a c <<，所以B 为最大角， 由余弦定理，得28576210762cos 222222-=⨯⨯-+=-+=caba c B ．例2 用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．证明：当C ∠为锐角时，0cos >C ，由余弦定理得22222cos 2ba C ab b ac +<-+=即 222c b a >+；同理可证，当C ∠为钝角时，222c b a <+． 2．练习．（1）在ABC ∆中，已知3,5,7===c b a ，求A ．（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形 （3）在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小． 练习答案： （1）32π=A （2）B （3）32π=C五、要点归纳与方法小结本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．。
浅谈正弦定理与余弦定理的等价性
浅谈正弦定理与余弦定理的等价性
1 正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理是数学中两个重要定理，它们都可以用来求出在等边三角形中求对边相互关系，也可以求出三角形的面积。
这两个定理具有十分重要的等价性。
1.1 正弦定理
正弦定理可以用以下公式表示：sinA/a=sinB/b=sinC/c，其中A,B,C 为三角形的三个内角，a，b，c为三角形的三条边长。
这一定理是由欧几里德在他的几何元素中提出的，用来求出等边三角形中各个边的长度比例关系。
1.2 余弦定理
余弦定理可以表述为以下公式：a2=b2+c2-2bc cosA，其中A,B,C 为三角形的三个内角，a，b，c为三角形的三条边长。
该定理也是欧几里德在几何元素中提出的，它可以用来求出等边三角形中各边之间的夹角大小或者是求出三角形的面积。
2 等价性
由正弦定理和余弦定理的定义可以看出，它们之间具有一种等价性，它们都可以用来求出三角形的面积。
通过把余弦定理中的右端用二项式展开式表示，就可以解释出正弦定理与余弦定理的等价性。
这也就是说，在求解三角形时，可以用正弦定理求出对应的边之间的长度比例和夹角大小，再根据它们求出三角形的面积；或者是直接用余弦定理，然后用二项式展开式求出面积。
3 结论
从上述讨论可以看出，正弦定理与余弦定理有着一定的等价性，它们在求解三角形的面积方面具有相同的效果，只是表示方式不一样而已。
用任何一个定理都可以精确的求出相应的三角形的面积，这就是正弦定理与余弦定理的等价性所在。
§1 1.2 余弦定理
A b C c B
联系已经学过的知识和方法， 联系已经学过的知识和方法，可用什 么途径来解决这个问题？ 么途径来解决这个问题？
BC中，设BC=a, AC=b, AB=c. ABC中 已知a, b和 求边c 已知a, b和∠C，求边c？
BC=1，CD=1， BCD=135° 解：在△BCD 中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°. 因为 BD 2 = BC 2 + CD 2 − 2 BC ⋅ CD cos ∠BCD
= 12 + 12 − 2 ×1×1cos135o = 2 + 2 .
所以 BD ≈ 1.8 .
在△ABD 中，AB=1, BD =
例1：如图所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点 如图所示，有两条直线AB和CD相交成80° AB 相交成80 是Ｏ.甲、乙两人同时从点Ｏ分别沿OA,OC方向出发，速 乙两人同时从点Ｏ分别沿OA,OC方向出发， OA,OC方向出发 度分别是4km/h,4.5km/h.3小时后两人相距多远（ 度分别是4km/h,4.5km/h.3小时后两人相距多远（结果精 4km/h,4.5km/h.3小时后两人相距多远 确到0.1km） 确到0.1km）? 0.1km
答：3小时后两人相距约16.4km. 小时后两人相距约16.4km.
例 2:右 图是公元前约 400 年古希腊数学家泰特托斯用来构造 的图形. 无理数 2, 3, 5,... 的图形.试计算图中线段 BD 的长度及 的大小（ 0.1,角度精确到 ∠DAB 的大小（长度精确到 0.1,角度精确到 1°）
C
B
运用正弦定理能解怎样的三角形？ 运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； 已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边和其中一边的对角. 已知三角形的任意两边和其中一边的对角. 那么，已知两边及其夹角， 那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边 呢？已知三条边，又怎么求出它的三个角？ 已知三条边，又怎么求出它的三个角？
三角形余弦定理
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B
a b
c2 a 2 b2 2ab cos C
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
A
c
B
利用余弦定理可
cos B a2 c2 b2 2ac
以解决什么类型 的三角形问题？
cos C a2 b2 c2 2ab
学以致用
例1.在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求 AC
B
A
解：由余弦定理得
120°
AC2 AB2 BC 2 2 AB BC cos B
2
A 60
cos B a2 c2 b2 ( 6)2 ( 3 1)2 22 ( 3 1)
2ac
2 6
2 2
B 45
C 180 A B 180 60 45 75
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
课堂小结
余弦定理：
推论:
b2 c2 a2
a 2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
2ca
cos C a2 b2 c2
b2 c2 a2 A为钝角
当堂检测
1.2余弦定理
1.2 余弦定理教学目标：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．教学重点：重点是余弦定理及其证明过程．教学难点：难点是余弦定理的推导和证明．教学过程：1. 创设情景，提出问题．问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A ，B 两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．2. 构建模型，解决问题．学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C ，然后量出AC ，BC 的长度，再测出∠ACB ．△ABC 是确定的，就可以计算出AB 的长．接下来，请三位板演其解法．法1：（构造直角三角形）如图2，过点A 作垂线交BC 于点D ，则｜AD ｜＝｜AC ｜sin C ，｜CD ｜＝｜AC ｜cos C ，｜BD ｜＝｜BC ｜－｜CD ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜cos C ，所以， 22||||||BD AD AB += C BC AC BC AC cos ||||2||||22⋅⋅-+=．C法2：（向量方法）如图3，因为AB AC CB =+，所以，22()AB AC CB =+222cos(),AC CB AC CB C π=++⋅⋅- 即 C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．法3：（建立直角坐标系） 建立如图4所示的直角坐标系，则A （｜AC ｜cos C , ｜AC ｜sin C ），B （｜BC ｜, 0），根据两点间的距离公式，可得22)0sin |(||)|cos |(|||-+-=C AC BC C AC AB ，所以，C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．活动评价：师生共同评价板演．3. 追踪成果，提出猜想．师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边长，则有C ab b a c cos 2222-+=成立．类似的还有其他等式， A cb b c a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=．正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C 进行分类讨论，即分角C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点C间的距离公式来解决，等等．4. 探幽入微，深化理解．问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C 为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 222c b a >+，222c b a <+；C ab b a c cos 2222-+=是边长a 、b 、c 的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=． 5. 学以致用，拓展延伸．练习：1．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，求角C ．2．（1）在△ABC 中，若045,6,13==+=A c b ，解这个三角形．（2）在△ABC 中，1,60,30===c B b ，求a ．学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式abc b a C 2cos 222-+=；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．。
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练习
（1）在ΔABC中，已知a 7,b 5,c 3，求A．
练习
（1）在ΔABC中，已知a 7,b 5,c 3，求A．
练习
（1）在ΔABC中，已知a 7,b 5,c 3，求A．
练习
（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ）
A. 能组成直角三角形
B. 能组成锐角三角形
探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证2 a 2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ca cosC a 2 b2 c 2
2ab
探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？
利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
高中数学 必修5
复习正弦定理：
a b c 2R sin A sin B sin C
应 用： 1. 两角和任意一边, 求其它两边和一角; 2.两角和其中一边对角, 求另一边的对
角，进而可求其它的边和角.
二、猜想命题，证明定理：
• 直角三角形中,设∠A=90°则有
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
C. 能组成钝角三角形
D. 不能组成三角形
练习
（3）在ABC中，已知a2 b2 ab c2, 试求C的大小．
（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
例1
在ABC中， （1）已知b 3, c 1, A 60，求a; （2）已知a 7,b 10, c 6,求最大角的余弦．
例2
用余弦定理证明：在ABC中，当C为锐角时， a2 b2 c2；当C为钝角时，a2 b2 c2．