万有引力与天体运动

万有引力与天体运动
一、 基本题型
1． 求天体的质量(或密度)
①根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体半径求天体的质量
由mg=G 2R
Mm
得 G g R M 2=.（式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速
度和天体的半径．）
[例1]宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落在星
球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ.
②根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量
卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得
222224T
mr mr r v m r Mm G πω===
若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ，可求得中心天体的质
量为G r GT r G rv M 322
3224ωπ=== [例2]下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ）
A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r
B.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r
C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r
2． 人造地球卫星的运动参量与轨道半径的关系问题
根据人造卫星的动力学关系ma T
mr mr r v m r Mm G ====222
224πω 可得2
323,4,,r
GM
a GM r T r GM r GM v ====πω
由此可得线速度v 与轨道半径的平方根成反比；角速度ω与轨道半径的立方的平方根成反比，周期T 与轨道半径的立方的平方根成正比；加速度a 与轨道半径的平方成反比．
[例3]两颗人造卫星A 、B 绕地球做圆周运动，周期之比为8:1:=B A T T ，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）
A. 2:1:,1:4:==B A B A v v R R
B. 1:2:,1:4:==B A B A v v R R
C. 1:2:,4:1:==B A B A v v R R
D. 2:1:,4:1:==B A B A v v R R
3． 地球同步卫星问题
卫星在轨道上绕地球运行时，其运行周期（绕地球一圈的时间）与地球的自转周期相同，这种卫星轨道叫地球同步轨道，其卫星轨道严格处于地球赤道平面内，运行方向自西向东，运动周
期为23小时56分（一般近似认为周期为24小时），由22
24T
mr r Mm G π=得人造地球同步卫星
的轨道半径km r 4
1024.4⨯=，所以人造同步卫星离地面的高度为km 4
106.3⨯,利用
r v m r
Mm G 2
2=可得它运行的线速度为3.07 km/s.总之，不同的人造地球同步卫星的轨道、线速
度、角速度、周期和加速度等均是相同的．不一定相同的是卫星的质量和卫星所受的万有引力．
人造地球同步卫星相对地面来说是静止的，总是位于赤道的正上空，其轨道叫地球静止轨道．通信卫星、广播卫星、气象卫星、预警卫星等采用这样的轨道极为有利一颗静止卫星可以覆盖地球大约40％的面积，若在此轨道上均匀分布3颗卫星，即可实现全球通信或预警．为了卫星之间不互相千扰，大约30左右才能放置1棵，这样地球的同步卫星只能有120颗．可见，空间位置也是一种资源。

[例4]关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是（ ）
A.已知它的质量是1.24 t ，若将它的质量增为2.84 t ，其同步轨道半径变为原来的2倍
B.它的运行速度为7.9 km/s
C.它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播
D.它距地面的高度约为地球半径的5倍,所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的
36
1
4． 求天体的第一宇宙速度问题
人造地球卫星的线速度可用r v m r
Mm G 2
2=求得r GM v =可得线速度与轨道的平方根成
反比，当r=R 时，线速度为最大值，最大值为7.9 km/s. (实际上人造卫星的轨道半径总是大于地球的半径，所以线速度总是小于7.9 km/s ）这个线速度是地球人造卫星的最大线速度，也叫第一宇宙速度．发射人造卫星时，卫星发射的越高，克服地球的引力做功越大，发射越困难，所以人造地球卫星发射时，一般都发射到离地很近的轨道上，发射人造卫星的最小发射速度为7. 9 km/ s.
在其他的星体上发射人造卫星时，第一宇宙速度也可以用类似的方法计算，即
v=
R
GM
=gR ，式中的M 、R 、g 分别表示某星体的质量、半径、星球表面的重力加速度． [例5]若取地球的第一宇宙速度为8 km/s ，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（ ）
A. 2 km/s
B. 4 km/s
C. 16 km/s
D. 32 km/s
5． 地面上物体随地球自转做圆周运动问题
因地球自转，地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运动，这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用，物体做圆周运动的向心力是由这两个力的合力提供，受力分析如图所示．
实际上，物体受到的万有引力产生了两个效果，一个效果是维持
物体做圆周运动，另一个效果是对地面产生了压力的作用，所以可以将万有引力分解为两个分力：一个分力就是物体做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力，如图所示．这个重力与地面对物体的支持力是一对平衡力．在赤道上时这些力在一条直线上．
在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律可得其动力学关
系为222
24T
mR ma mR N R Mm G πω===-向，式中R 、M 、ω、T 分别为地球的半径、质量、
自转角速度以及自转周期。

b a
c 地球 当赤道上的物体“飘”起来时,必须有地面对物体的支持力等于零，即N=0，这时物体做圆周运动的向心力完全由地球对物体的万有引力提供.由此可得赤道上的物体“飘”起来的条件是：由地球对物体的万有引力提供向心力。

以上的分析对其它的自转的天体也是适用的。

[例6]地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ,要使赤道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的( )
A.
g
a
B.
a
a
g + C.
a
a
g - D.
a
g 二、 配套练习
1．（2004年江苏）若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的是 （ ）
A. 卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大
B. 卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小
C. 卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大
D. 卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小
2． 宇宙飞船绕某行星表面作匀速圆周运动，已知飞船离行星表面高度是h ，周期T ，该行星半径为R ，则根据h 、T 、R 我们可以求出：（ ） A ．飞船运动的加速度 B 、飞船运动的速率 C 、该行星表面的重力加速度 D 、该行星的密度
3．(单选)如图所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：
A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度；
B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度；
C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上
的c ；
D ．a 卫星由于某种原因，轨道半径变小，其线速度将变大
4．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图10所示。

则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：
A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。

C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速度大于它在轨道2上经过Q 点时的速度。

D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3
上经过P 点时的加速度
5．(单选)某星球质量为地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，在该星球表面从
图10
某一高度以10 m/s 的初速度竖直向上抛出一物体，从抛出到落回原地需要的时间为（g 地=10 m/s 2） （ ）
A ．1s
B ．91s
C ．181s
D ．36
1
s
6．（2004年上海）火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆。

已知火卫一的周期为7小时39分。

火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（ ）
A ．火卫一距火星表面较近。

B ．火卫二的角速度较大
C ．火卫一的运动速度较大。

D ．火卫二的向心加速度较大。

7．宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重中，下列说法中正确的是
A.宇航员仍受重力的作用
B.宇航员受力平衡
C.宇航员受的重力正好充当向心力
D.宇航员不受任何作用力
8．“连续物”是指和天体紧紧连接在一起的物体，“小卫星群”是指环绕天体运动的许多小星体的总称。

据观测，在土星的外层有一个环，为了判断此环是土星的连续物还是土星的小卫星群，可测出环中各层的线速度v 和该层到土星中心的距离R ，进而得出v 和R 的关系，下列说法中正确的是 （ ）
A ．若v 和R 成正比，则此环是连续物
B ．若v 和R 成正比，则此环是小卫星群
C ．若v 2和R 成反比，则此环是小卫星群
D ．若v 2和R 成反比，则此环是连续物 二、填空：
9．某物体在地面上受到的重力为160N ，将它放置在卫星中，在卫星以 a=g/2的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物相互挤压力为90N 时，卫星到地面的距离是_ __ _km ，地球半径为 6.4×103km.取g=10m/s 2
10．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器在地球和月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力相等时，这飞行器距地心距离与距月心距离之比为 。

11．地球的第一宇宙速度为V ，若某行星的质量是地球的6倍,半径是地球的1.5倍,则该行星的第一宇宙速度为___________ 三、计算：
12.如图，火箭内的实验平台上放有质量为18kg 的测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度a=g/2竖直匀加速上升，g=10m/s 2试求：
（1） 火箭刚起动时，测试仪器对实验平台的压力是多大？
(2)火箭升至地面的高度为地球半径的一半，即h=R/2时，测试仪器对实验平台的压力又是多大？
13．甲、乙两颗人造地球卫星在同一轨道平面上的不同高度处同向运动（可视为匀速圆周运动），甲距地面的高度为地球半径的0.5倍,乙距地面的高度为地球半径的5倍,两卫星的某一时刻正好位于地球表面某点的正上空.求：(1)两卫星运行的线速度之比?(2)乙卫星至少要经过多少周期,两卫星间的距离才会达到最大?
万有引力与天体运动 参考答案
例题： 例1．[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，
再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．
根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为2
2
1gt y =
设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2
2
2
2)()2
1
(L vt gt =+ ○1
当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2
222)3()2()21(L vt gt =+ ②
在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G 2R Mm
③
联立以上三个方程解得2
2
332Gt
LR M = 而天体的体积为334R V π=
，由密度公式V
M
=
ρ得天体的密度为R Gt L 223πρ=。

例2．D 例3．C 例4．D 例5．C 例6．B
9．4
1092.1⨯km 10．1:9 11．2V
12．270N,170N
13．2：1；T/2。