相似三角形判定定理

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三角形的相似性质与判定定理

三角形的相似性质与判定定理
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似)。

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角成正比,那么这两个三角形相近(简叙为:两边对应成比例且夹角成正比,两个三角形相近。

)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的`三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。

)
1、相近三角形对应角成正比，对应边变成比例。

2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3、相近三角形周长的比等同于相近比。

4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相近三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相近比相同，内切圆、外接圆面积比是相近比的平方。

相似三角形判定与性质定理

(1)相似三角形的对应角相等.
(2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(4)相似三角形的周长比等于相似比.
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
判定方法
证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

方法一（预备定理）
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）
方法二
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似。

(AA')
方法三
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似（SAS）
方法四
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(SSS)
方法五（定义）
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的定义和判定方法

相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。

相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。

下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。

1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。

具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。

2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。

相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。

通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。

相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。

以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。

相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。

相似三角形的判定定理是什么

相似三角形的判定定理是什么
1、有两角对应相等；两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例。

2、所有等腰直角三角形相似，所有的等边三角形都相似。

3、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

4、平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似。

5、三边对应平行的两个三角形相似。

扩展资料
相似三角形的性质
1、相似三角形的'对应角相等
2、相似三角形对应边的比、对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
3、相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方；
4、相似三角形具有传递性：如果两个三角形分别于同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。

5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。

6、全等三角形可以看做相似比为1的特殊的相似三角形，凡是全等的三角形都相似。

相似三角形判定复习(一)

A E
C
二、证明题：证明题： 1.D为 ABC中AB边上一点边上一点， 1.D为△ABC中AB边上一点， ∠ACD= ∠ ABC. A 2=AD AB. 求证：求证：AC =AD·AB. 2.△ABC中 BAC是直角是直角， 2.△ABC中,∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC BC的直线边中点M而垂直于斜边BC的直线 CA的延长线于的延长线于E AB于D,连交CA的延长线于E，交AB于D,连AM. 求证：求证：① △ MAD ∽△ MEA B ② AM2=MD · ME D 如图，AB∥CD，AO=OB， 3. 如图，AB∥CD，AO=OB， E DF=FB，DF交AC于 DF=FB，DF交AC于E，求证：求证：ED2=EO · EC. A
复习（复习（一）
一、相似三角形的判定定理：相似三角形的判定定理：
A'
定理1 两角对应相等，两三角形相似。定理1：两角对应相等，两三角形相似。 ∠A' ∠A= ∠A ⇒△ABC∽△A'B'C' B' ABC∽△ B C C' ∠B' ∠B= ∠B A 定理2 两组边的比相等且夹角相等，定理2：两组边的比相等且夹角相等，两三角形相似。两三角形相似。 AB BC = ABC∽△ B C A 'B ' B ' C ' ⇒ △ABC∽△A'B'C' ∠B' ∠B= ∠B B C 定理3 三组边的比相等，两三角形相似。定理3：三组边的比相等，两三角形相似。
解: ∵ DE∥BC ∴∠ADE= ∠B, ∠EDC=∠DCB=∠A ① ∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC D ② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B ∴△ADE∽ △CBD ③ ∵ △ADE ∽ △ABC B △ADE ∽ △CBD ∴ △ABC ∽ △CBD ④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC ∴ △ADC ∽ △DEC

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质相似三角形是几何学中的重要概念，它们在很多问题的解决中起着关键作用。

本文将介绍相似三角形的判定方法以及相似三角形的一些性质。

一、相似三角形的判定方法1. AA相似定理AA相似定理是相似三角形的判定方法之一。

当两个三角形的对应角度相等时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，且∠B = ∠E，那么这两个三角形是相似的。

2. SSS相似定理SSS相似定理是相似三角形的判定方法之二。

当两个三角形的对应边长成比例时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC 和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形是相似的。

3. SAS相似定理SAS相似定理是相似三角形的判定方法之三。

当两个三角形的一个对应边成比例，且两个对应边夹角相等时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF和∠A = ∠D，那么这两个三角形是相似的。

二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质相似三角形的对应角是相等的。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。

3. 高度与边成比例性质相似三角形的对应边上的高度成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AD/DF = BE/EF = CF/DE。

4. 面积与边长平方的比例性质相似三角形的面积与对应边长的平方成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，则S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2，其中S(ABC)表示三角形ABC的面积，S(DEF)表示三角形DEF的面积。

5. 定理勾股定理性质边长成比例的三角形中，对应边长的平方和成比例。

相似三角形的性质与定理

相似三角形的性质与定理相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

掌握相似三角形的性质与定理对于解决几何问题具有重要意义。

本文将介绍相似三角形的基本性质、判定方法以及一些重要的相似三角形定理。

一、相似三角形的基本性质1. 成比例边性质：若两个三角形相似，则它们的对应边成比例。

2. 对应角性质：若两个三角形相似，则它们的对应角相等。

3. 对应边比例相等性质：若两个三角形对应角相等，则它们的对应边成比例。

二、相似三角形的判定方法1. AA相似法则：若两个三角形的对应角相等，则它们相似。

证明：设∠A≌∠D，∠B≌∠E，通过辅助线段可以证明∠C≌∠F，进而得出三角形ABC与三角形DEF相似。

2. SSS相似法则：若两个三角形的对应边成比例，则它们相似。

证明：设AB/DE = BC/EF = AC/DF，通过辅助直线可以证明∠A≌∠D，∠B≌∠E，∠C≌∠F，进而得出三角形ABC与三角形DEF相似。

三、相似三角形的重要定理1. 直角三角形的两个直角边与斜边上对应的角相等，即斜边夹角定理。

定理表述：若两个直角三角形的两个直角边成比例，则它们相似。

证明：设ABC和DEF为直角三角形，且∠B和∠E为直角。

由于两个直角边成比例，即AB/DE = BC/EF，而直角三角形中∠A = ∠D = 90°，所以由SSS相似法则可得ABC与DEF相似。

2. 一般三角形的角平分线定理：角平分线将对边分成两段，这两段的比等于除这个角所对的边的两边上相等部分的比。

定理表述：若角ABC的内角∠BAC和∠ABC的平分线交于点D，则AD/CD = AB/CB。

证明：通过角平分线定理的几何证明，可以得出定理成立。

3. 相似三角形的高线定理：相似三角形的高线与底边成比例。

定理表述：若两个相似三角形ABC和DEF，且∠A = ∠D，则高AD与高DE的比等于底边BC和EF的比，即AD/DE = BC/EF。

证明：通过辅助线段可以证明∠C ≌∠F，并通过高线的定义和相似三角形的性质得出AD/DE = BC/EF。

初中数学知识点：相似三角形的三个判定定理

初中数学知识点：相似三角形的三个判定定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
要点诠释：
（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
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三角形相似的判定方法

三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。

二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

三角形相似判定定理

三角形相似判定定理
《三角形相似判定定理》，即两个三角形的相似性可以由它们的三个内角和三条边的比例来判定。

它是由古希腊数学家赫拉克利特提出的，也被称为赫拉克利特定理。

根据赫拉克利特定理，如果两个三角形的三个内角相等，那么它们就是相似的。

这是因为两个相似的三角形的内角一定是相等的。

此外，如果两个三角形的两个内角相等，而第三个内角不相等，但它们的三条边的比例是相同的，那么它们也是相似的。

赫拉克利特定理是一个重要的数学定理，它被广泛应用于几何学中，可以用来解决许多复杂的几何问题。

它也被用于绘制图形，如绘制三角形，圆形，椭圆等，甚至可以用来解决更复杂的几何问题。

《三角形相似判定定理》是一个重要的数学定理，它可以用来判断两个三角形的相似性，也可以用来解决许多几何问题。

证明相似的四种判定

一．证明相似的四种判定1、两角对应相等，两三角形相似。

2、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

3、三边对应成比例，两三角形相似。

4、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例。

平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明。

）扩展资料：常用的判定定理有以下6条：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。

）（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

）（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

）（SSS）判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。

）判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

）（HL）判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。

相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。

两个直角三角形相似的判定定理

两个直角三角形相似的判定定理
两个直角三角形相似的判定定理是高中数学中的一个重要定理，主要用于解决与直角三角形相似性有关的问题。

本文将介绍两个直角三角形相似的判定定理及其证明，以及相似性在几何学中的应用。

1. 判定定理一：若一个直角三角形的两条直角边分别等于另一个直角三角形的两条直角边或者分别等于另一个直角三角形的一条非直角边和一条斜边，则这两个直角三角形是相似的。

对于判定定理一，我们需要使用勾股定理进行证明。

假设ΔABC和ΔDEF是两个直角三角形，并且AB=DE，AC=DF，BC=EF。

根据勾股定理可知：
AB²=AC²-BC² ，DE²=DF²-EF²
代入等式可得：
将等式左右两边同时加上BC²和EF²，可得：
因此，两个直角三角形ΔABC和ΔDEF是相似的。

a/sinB=b/sinA，c/sinE=d/sinF
BC=EF
a/b = c/d
两个直角三角形相似的判定定理在几何学中的应用十分广泛。

例如，在三角形相似问题中，我们可以使用判定定理一得出两个直角三角形之间的相似性，从而进一步解决整个问题。

此外，这个定理还可以应用于计算机视觉、机器人学、虚拟现实等领域。

相似三角形的判定定理1

相似三角形的判定定理1
正式版判定定理
假设ABC和PQR是具有相似三角形的两个三角形，设四边分别为a、b、c、p、q、r，则可以推出以下判定定理：
定理：如果ABC和PQR是相似三角形，则有：
1. 对任意sidesABC，sidePQR之比为常数：
a/p=b/q=c/r=k (其中k是一定的常数）
2. 对任意angles ABC，angles PQR都相等：
∠A=∠P、∠B=∠Q、∠C=∠R。

证明：
证明：可以先根据side ratio 定理告诉我们，如果两个三角形的三边的比值定值，那么这两个三角形就是相似的。

因此，先假设ABC和PQR是相似的三角形，则有：
a/p=b/q=c/r=k (其中k是一定的常数）
这个等式表明了这两个三角形的三边长的比值是一定的，即使任意一边ABC乘以相同的常数，也会得到PQR，这符合side ratio 定理的要求。

接着我们考虑角度。

因为ABC和PQR是相似的三角形，所以有：
∠C =∠A+∠B =∠R+∠Q
将式子同时除以pqr 则可以得到：
∠C/∠R=∠A/∠P=∠B/∠Q
这表明的是在两个相似的三角形中，对应角的比值也是一定的，而且乘以相同的常数也会得到一致的结果。

经过上述证明，可以得出相似三角形的判定定理：
定理：如果ABC和PQR是相似三角形，则有：
1. 对任意sidesABC，sidePQR之比为常数：
a/p=b/q=c/r=k (其中k是一定的常数）
2. 对任意angles ABC，angles PQR都相等：
∠A=∠P、∠B=∠Q、∠C=∠R。

相似三角形判定基础知识

一、定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

二、性质定理(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应边成比例;(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;(4)相似三角形的周长比等于相似比;(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.(6)不必是在同一平面内的三角形里。

(7)若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项(8)相似比等于面积比的算术平方根。

三、判定方法1、预备定理平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

(这是相似三角形判定定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)2、判定定理常用的判定定理有以下6条:判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为:两角对应相等，两个三角形相似。

)(AA)判定定理2如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)(SAS)判定定理3如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似。

)(SSS)判定定理4两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

(简叙为:三边对应平行，两个三角形相似。

)判定定理5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

(简叙为:斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

)(HL)判定定理6如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1:1)(简叙为:全等三角形相似)。

相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。

四、一定相似符合下面的情况中的任何一种的两个(或多个)三角形一定相似:1.两个全等的三角形全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1:1。

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

相似性是几何学中的基本概念之一，研究相似三角形的判定与性质对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。

本文将从判定相似三角形的条件和相似三角形的性质两个方面进行论述。

一、判定相似三角形的条件1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。

2. AA判定法：如果两个三角形的两个角度分别相等，则这两个三角形是相似的。

例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，∠B = ∠Y，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角度相等，且两个对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，AB/XY = BC/YZ = AC/XZ（其中AB表示边AB 的长度），则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。

4. SSS判定法：如果两个三角形的三个对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足AB/XY = BC/YZ = AC/XZ，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。

二、相似三角形的性质1. 对应边比值相等性质：相似三角形的对应边的比值相等。

即，若三角形ABC与三角形XYZ相似，则有AB/XY = BC/YZ = AC/XZ。

2. 对应角度相等性质：相似三角形的对应角度相等。

即，若三角形ABC与三角形XYZ相似，则有∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z。

3. 定理一：如果一个三角形的一个角较大，那么它对应的边也较大。

4. 定理二：如果两个三角形的对应边比值相等（即相似），则它们的对应角度也相等。

5. 定理三：如果两个角相等，则它们所对应的边的比值相等。