复变函数论第三版课后习题答案解析

13．试证 在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。
证设 ，因为f(0)无定义，所以f(z)在原点z=0处不连续。
当z0为负实轴上的点时，即 ，有
所以 不存在，即 在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。
14．设
求证 在原点处不连接。
证由于
可知极限 不存在，故 在原点处不连接。
所以，复数列zn=xn+i yn以z0=x0+i y0为极限．
20. 如果复数列{zn}合于limnzn=z0，证明limn(z1+z2+ ... +zn)/n=z0．
当z0时，结论是否正确？
【解】(1)> 0，K+，使得n>K，有|znz0| </2．
记M= |z1z0| + ... + |zKz0|，则当n>K时，有
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ，
解（1） 。即直线 。
（2） ，即为椭圆 ；
（3） ，即为双曲线 ；
（4） ，即为双曲线 中位于第一象限中的一支。
11．函数 将z平面上的下列曲线变成 平面上的什么曲线 ？
（1） ；（2）
解 ， ，可得
（1） 是 平面上一直线；
（2） ，
于是 ，是 平面上一平行与v轴的直线。
。
证由于
及
有
6. 设|z| = 1，试证：| (a z+b)/(b*z+a*) | = 1．(z*表示复数z的共轭)
第一章习题解答
（一）
1．设 ，求 及 。
解：由于
所以 ， 。
2．设 ，试用指数形式表示 项方程 。
解： 。
4．证明 ，并说明其几何意义。
证明：由于
所以
其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z1，z2，z3三点适合条件： , 。证明z1，z2，z3是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
例：zn= (1)n·n，n+．显然limnzn=．
但k+，有(z1+z2+ ... +z2k)/(2k) = 1/2，
因此数列{(z1+z2+ ... +zn)/n}不趋向于．
[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．]
2．如果 ，试证明
（1） ；（2）
解（1）
（2）
4．设 ，试证
（3）
解：令 ，
由 ，得 ，即 ；
故点 的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。
（4） ；
解：令
由 ，得 ，即
故点 的轨迹是以直线 为边界的梯形（包括直线 ；不包括直线 ）；不是区域。
（5） ；
解：点 的轨迹是以原点为心，2为半径，及以 为心，以1为半径的两闭圆外部，是区域。
（6） ；
16. 试问函数f(z) = 1/(1–z)在单位圆|z| < 1内是否连续？是否一致连续？
【解】(1)f(z)在单位圆|z| < 1内连续．
因为z在内连续，故f(z) = 1/(1–z)在\{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆|z| < 1内连续．
(2)f(z)在单位圆|z| < 1内不一致连续．
证设直角坐标系的平面方程为 将
代入，得
令 ，则 ，上式即为 。
反之：将 ，代入
得
则有 ；即为一般直线方程。
8．证明： 平面上的圆周可以写成
其中A、C为实数， 为复数，且 。
证明：设圆方程为
其中 当 时表实圆；
将 代入，得
即
其中
且 ；
反之：令 代入
得 其中
即为圆方程。
10．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。
证由于 ，知 的三个顶点均在单位圆上。
因为
所以， ，
又
故 ，
同理 ，知 是内接于单位圆 的一个正三角形。
6．下列关系表示点 的轨迹的图形是什么？它是不是区域。
（1） ；
解：点 的轨迹是 与 两点连线的中垂线，不是区域。
（2） ；
解：令
由 ，即 ，得
故点 的轨迹是以直线 为边界的左半平面（包括直线 ）；不是区域。
故实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限．
() 若实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限，则> 0，
N1+，使得n>N1，有|xnx0| </2；
N2+，使得n>N2，有|yny0| </2．
令N= max{N1,N2}，则n>N，有n>N1且n>N2，
故有|znz0| = | (xnx0) +i(yny0)||xnx0| + |yny0| </2 +/2 =．
解：点 的轨迹是位于直线 的上方（不包括直线 ），且在以原点为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。
（7） ；
解：点 的轨迹是以正实轴、射线 及圆弧 为边界的扇形（不包括边界），是区域。
（8）
解：令
由 ，得
故点 的轨迹是两个闭圆 的外部，是区域。
7．证明：z平面上的直线方程可以写成 （a是非零复常数，C是实常数）
| (z1+z2+ ... +zn)/nz0| = | (z1z0) + (z2z0) + ... + (znz0) |/n
( |z1z0| + |z2z0| + ... + |znz0|)/n
= ( |z1z0| + ... + |zKz0|)/n+ ( |zK+1z0| + ... + |znz0|)/n
17. 试证：复数列zn=xn+i yn以z0=x0+i y0为极限的充要条件是实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限．
【解】() 若复数列zn=xn+i yn以z0=x0+i y0为极限，
则> 0，N+，使得n>N，有|znz0| <．
此时有|xnx0||znz0| <；|yny0||znz0| <．
令zn= 1–1/n，wn= 1–1/(n+ 1)，n+．
则zn,wn都在单位圆|z| < 1内，|znwn|0，
但|f(zn)f(wn)| = |n(n+ 1) | = 1 > 0，故f(z)在单位圆|z| < 1内不一致连续．
[也可以直接用实函数f(x) = 1/(1–x)在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E= {z| Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可．]
M/n+ (nK)/n·(/2)M/n+/2．
因limn(M/n) = 0，故L+，使得n>L，有M/n</2．
令N= max{K,L}，则当n>K时，有
| (z1+z2+ ... +zn)/nz0|M/n+/2 </2 +/2 =．
所以，limn(z1+z2+ ... +zn)/n=z0．
(2) 当z0时，结论不成立．这可由下面的反例看出．