§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
纯弯曲梁的正应力实验参考书报告
《纯弯曲梁的正应力实验》实验报告一、实验目的1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力计算公式二、实验仪器设备和工具3.XL3416 纯弯曲试验装置4.力＆应变综合参数测试仪5.游标卡尺、钢板尺3、实验原理及方法在纯弯曲条件下，梁横截面上任一点的正应力，计算公式为σ= My / I z式中M为弯矩，I z为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。
为了测量梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，在梁的纯弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。
实验采用半桥单臂、公共补偿、多点测量方法。
加载采用增量法，即每增加等量的载荷△P，测出各点的应变增量△ε，然后分别取各点应变增量的平均值△ε实i，依次求出各点的应变增量σ实i=E△ε实i将实测应力值与理论应力值进行比较，以验证弯曲正应力公式。
四、实验步骤1.设计好本实验所需的各类数据表格。
2.测量矩形截面梁的宽度b和高度h、载荷作用点到梁支点距离a及各应变片到中性层的距离y i。
见附表13.拟订加载方案。
先选取适当的初载荷P0（一般取P0 =10％P max左右），估算P max（该实验载荷范围P max≤4000N），分4～6级加载。
4.根据加载方案，调整好实验加载装置。
5. 按实验要求接好线，调整好仪器，检查整个测试系统是否处于正常工作状态。
6.加载。
均匀缓慢加载至初载荷P 0，记下各点应变的初始读数；然后分级等增量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值εi ，直到最终载荷。
实验至少重复两次。
见附表27.作完实验后，卸掉载荷，关闭电源，整理好所用仪器设备，清理实验现场，将所用仪器设备复原，实验资料交指导教师检查签字。
附表1 （试件相关数据）附表2 （实验数据）P 50010001500200025003000载荷N △P 500500500500500εP -33-66-99-133-166△εP -33-33-34-334平均值-33.25εP -16-33-50-67-83△εP -17-17-17-162平均值16.75εP 00000△εP 00001平均值0εP 1532476379△εP 171516163平均值16εP 326597130163△εP 33323333 各 测点电阻应变仪读数µε5平均值32.75五、实验结果处理1.实验值计算根据测得的各点应变值εi 求出应变增量平均值△εi ，代入胡克定律计算应变片至中性层距离（mm ）梁的尺寸和有关参数Y 1－20宽 度 b = 20 mm Y 2－10高 度 h = 40 mm Y 30跨 度 L = 620mm （新700 mm ）Y 410载荷距离 a = 150 mm Y 520弹性模量 E = 210 GPa （ 新206 GPa ）泊 松 比 μ= 0.26惯性矩I z =bh 3/12=1.067×10-7m 4 =106667mm 4。
等直梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
等直梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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纯弯曲,横截面上某点的正应力
纯弯曲,横截面上某点的正应力
纯弯曲、横截面上某点的正应力是非常重要的力学概念，它是一种重要的力学现象，它的发现和研究可以帮助我们更好地了解力学中的性质。
本文将介绍纯弯曲、横截面上某点的正应力的基本概念、形成原因和应用，并结合具体实例进行讨论。
首先，我们来介绍纯弯曲和横截面上某点的正应力的基本概念。
对于单位长度的弯曲体，在分析时，其表面上的正应力大小将随着横截面的变化而变化。
而横截面上某点的正应力是弯曲体横截面上单位深度方向的法线正应力的数值，它是弯曲体的形变特性的体现。
第二，纯弯曲、横截面上某点的正应力是由哪些原因导致的呢？在实际应用中，纯弯曲、横截面上某点的正应力是由两个因素决定的：一是材料的弹性模量，另一个是外力的大小。
如果弯曲体的材料弹性模量越大，横截面上某点的正应力就会越大；如果外力越大，横截面上某点的正应力也会越大。
最后，我们来看看纯弯曲、横截面上某点的正应力在工程中的应用。
纯弯曲、横截面上某点的正应力可以用于预测被弯曲体易变形、异常变形的发生，在施工中可以根据测量的值来控制变形程度，从而达到预期的工程效果。
此外，纯弯曲、横截面上某点的正应力也可以用于计算吊装负荷，以及结构能否承受外界荷载，这些对桥梁、建筑物及其他结构的设计都有着重要的意义。
通过上述介绍，我们可以看到纯弯曲、横截面上某点的正应力具有重要的力学意义，它可以用于结构的计算和优化，以及预测被弯曲
体的变形，为工程的建造和结构设计提供坚实的理论基础。
理论力学第七章梁的应力
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4 64
d 3 W Z 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3
32
(14)
矩形截面
IZ
bh 3 12
WZ
bh 2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h0/2)
q=40kN/m
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
k
d
o
k'
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
maxFISzSb*z
4FS 3A
式中 A πd 2 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁
z
k
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
，环的平均半径为r0，由于 «r0 故可假设
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
d
o
k'
o'
y
（b）切应力的方向与圆周相切.
A
C
FAY
1.5m l = 3m
解：
B
x
FBY
FS 90kN
x
90kN 1. 绘制内力图
x
M
梁横截面上的应力
• 二、梁的正应力强度条件（课本第三节）
设σmax是发生在梁最大处的工作应力，则:
m a x 工 作
最大工作 应力
材料的 许用应力
上式即为梁弯曲时的正应力强度条件。
对于等截面直梁，若材料的拉、压强 度相等( 塑性材料)，则最大弯矩的所在面 称为危险面，危险面上距中性轴最远的点 称为危险点。此时强度条件可表达为:
m'
b
m n
h z
y
τ
τo
FQ
τ
x
m'
dx
y
m
n
一、矩形截面梁的剪应力
FQ S bI z
z
IZ : 整个截面对中性轴z轴的惯性矩；
b : 横截面在所求应力点处的宽度； SZ*: 横截面上距中性轴为 y 的横线以外部 分的面积 A*对中性轴的静矩。
max
τmax
FQ
FS
Q z,max
例5：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，
许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试
校核此梁的强度。
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
CL8TU12
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
25 . kN M (k Nm ) 25 .
105 . kN
20
3 2 0 1 0 M 15 max t 2 W 0 . 1 0 . 2 z 1 12 .5 6 3 0 M P a <[]
纯弯曲,横截面上某点的正应力
纯弯曲,横截面上某点的正应力正应力是力学中一种重要的力量，其定义为物体在某一横截面上某点承受的内力。
本文旨在通过对纯弯曲体系中，横截面上某点的正应力的计算，来探究正应力的特征。
首先，我们要考虑的是定义一个纯弯曲的状态，即横截面的弯曲程度由曲面的曲率参数确定。
曲面的曲率可以通过计算曲面的曲率弧度表示，以及由改变曲面形状而得到的曲率分布函数来进行表示和估算。
其次，我们需要考虑的是纯弯曲体系中，横截面上某点的正应力。
可以使用容积与体积差异来计算此类正应力，其不受外部物体作用时，是根据物体表面的形状变化与空间几何变化而进行计算。
此外，在纯弯曲体系中，横截面上的正应力还可以通过分析曲面对弯曲曲率的敏感性，或者将曲率分布函数作为模型参数，再使用有限元高斯梯度收敛方法进行计算，以此来求得横截面上某点的正应力。
总之，正应力是一个重要的力量，因此，在计算纯弯曲体系中，横截面上某点的正应力时，要考虑到曲面的曲率参数，以及容积与体积差异，以及分析曲面对弯曲曲率的敏感性等因素。
本文仅讨论了利用容积与体积差异和有限元高斯梯度收敛方法进行纯弯曲体系中，横截面上某点的正应力计算的方法，但是，还有其他各种数学和力学模型可以用来计算此类正应力，以评估物体表面形状变化对正应力的影响。
随着我们对正应力及其影响因素的深入理解，有助于我们更好地设计、开发和分析物体表面形状变化对正应力的影响，从而实现设计出具有更高强度和耐久性的产品。
综上所述，本文详细探讨了纯弯曲体系中，横截面上某点的正应力的计算方法，认为曲面的曲率分布函数，容积和体积差异以及收敛方法等因素，都可以用来计算此类正应力，以此来评估物体表面形状变化对正应力的影响。
借此，我们可以进一步推进力学理论，为设计出更具有强度和耐久性的有形物体奠定基础。
纯弯曲梁横截面上的正应力课件
正应力指的是在受力物体的单位面积 上所承受的垂直作用力，也称为法向 应力。
正应力的计算
正应力的大小可以通过公式σ=F/A来 计算，其中σ为正应力，F为作用力， A为受力物体的横截面积。
横截面上的正应力分布
均匀分布
在纯弯曲梁的横截面上，正应力呈现出均匀分布的特点。即在整个析法
通过数学公式推导，求解梁横截面上的应力分布和最大应力 值。
有限元法
利用有限元分析软件，建立梁的有限元模型，通过计算求解 梁横截面上的应力分布和最大应力值。
05
纯弯曲梁的实例分析
实例一：简单梁的弯曲分析
简单梁是指长度远大于高度和宽 度的梁，其弯曲变形可以简化为
纯弯曲变形。
纯弯曲梁的受力分析
01
02
03
受力特点
纯弯曲梁在弯曲过程中， 只受到弯矩的作用，没有 剪力和扭矩。
弯矩分析
弯矩是使梁产生弯曲变形 的力矩，其大小取决于外 力的大小和作用点位置。
应力分布
由于弯矩的作用，梁的横 截面上会产生正应力和剪 应力，其中正应力是本节 重点讨论的内容。
纯弯曲梁的位移分析
位移特点
横截面上的正应力分布不再呈现对称性，需要采用更精确的分析方法进行计算。
实例三：实际工程中的纯弯曲梁分析
在实际工程中，纯弯曲梁的应 用非常广泛，如桥梁、建筑结 构等。
对于实际工程中的纯弯曲梁， 需要考虑材料特性、载荷大小 和分布、支撑条件等因素对正 应力的影响。
实际工程中的纯弯曲梁分析需 要采用有限元分析、实验测试 等方法进行验证和优化。
脆性断裂失效
当梁受到的应力超过材料的强度极限 时，会发生脆性断裂失效，导致梁断 裂。
强度条件的建立
梁在纯弯曲时,其横截面的正应力变化规律
梁在纯弯曲时,其横截面的正应力变化规律
1梁的弯曲
梁是在结构中常见的构件，用于支撑和阻挡重力，是结构物的基本构件。
当梁处于纯弯曲应力下时，在其截面上会产生正应力，及其变化规律。
2弯曲结构横截面正应力
弯曲结构横截面正应力是梁在纯弯曲应力下产生的力。
它可以按照弧形分布推算出来，根据梁的截面面积、弯矩和弯曲系数来分析梁的弯曲情况，从而来求出正应力的分布规律。
3纯弯曲梁的正应力变化规律
纯弯曲梁的正应力变化主要受船的截面积、弯矩和弯曲系数的影响。
当梁在纯弯曲状态下时，由于重心线和向心线之间的差异，梁上从内至外应力依次递减，而到达弯曲中心处，正应力偏移量最大，此外弯曲中心处应力绝对值最小，这也是为什么钢梁一般实施抗拔上的原因。
此外，梁的弯曲情况也受到梁的弹性系数的影响，当梁弯曲靠近支点时，正应力偏移量逐渐减小，同时应力绝对值也随之增大，以致当到达支点时，偏移量为零而应力绝对值最大。
4结论
总而言之，纯弯曲梁的正应力变化是受梁截面积、弯矩和弯曲系数等因素影响的，其变化遵循弧形分布，弯曲中心处应力绝对值最小，而靠近支点处应力绝对值最大。
因此，在进行梁的设计分析和布置时，必须考虑梁的弯曲正应力的变化及其影响，以确保梁的正常工作和使用。
梁的弯矩和应力关系式【最新】
第17讲教学方案——弯曲正应力第七章弯曲应力§7-1纯弯曲正应力梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横弯曲。
剪力Q是横截面切向分布内力的合力；弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。
所以横弯梁横截面上将同时存在剪应力τ和正应力σ。
实践和理论都证明，其中弯矩是影响梁的强度和变形的主要因素。
因此，我们先讨论Q = 0，M = 常数的弯曲问题，这种弯曲称为纯弯曲。
图6-1所示梁的CD段为纯弯曲；其余部分则为横弯曲。
与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。
1．变形关系——平面假设考察等截面直梁。
加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线，和与轴线平行的纵线，如图6-2a所示。
然后在梁的两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图图6-2b所示。
可以发现梁表面变形具有如下特征：（1）横线（m-m和n-n）仍是曲线，只是发生相对转动，但仍与纵线（如a-a，b-b）正交。
（2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。
根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。
与扭转时相同，这一假设也称平面假设。
此外，还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。
根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层。
如图6-3所示。
中性层与横截面的交线为截面的中性轴。
横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为零。
下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律。
考察梁上相距为dx 的微段（图6-4a ），其变形如图6-4b 所示。
其中x 轴沿梁的轴线，y 轴与横截面的对称轴重合，z 轴为中性轴。
则距中性轴为y 处的纵向层a-a 弯曲后的长度为θρd y )(+，其纵向正应变为ρθρθρθρεy d d d y =-+=)( （a ） 式（a ）表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。
纯弯曲梁的正应力实验报告
姓名：班级：学号：实验报告纯弯曲梁的正应力实验一、实验目的：1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力公式二、实验设备及工具：1.材料力学多功能试验台中的纯弯曲梁实验装置2.数字测力仪、电阻应变仪三、实验原理及方法：在纯弯曲条件下，根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到梁横截面上任意一点的正应力，计算公式：σ=My/I z为测量梁横截面上的正应力分布规律，在梁的弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。
贴法：中性层一片，中性层上下1/4梁高处各一片，梁上下两侧各一片，共计五片。
采用增量法加载，每增加等量荷载△P（500N）测出各点的应变增量△ε，求的各点应变增量的平均值△ε实i，从而求出应力增量：σ实i=E△ε实i将实验应力值与理论应力值进行比较，已验证弯曲正应力公式。
四、原始数据：五、实验步骤：1.打开应变仪、测力仪电源开关2.连接应变仪上电桥的连线，确定第一测点到第五测点在电桥通道上的序号。
3. 检查测力仪，选择力值加载单位N或kg，按动按键直至显示N上的红灯亮起。
按清零键，使测力计显示零。
4.应变仪调零。
按下“自动平衡”键，使应变仪显示为零。
5.转动手轮，按铭牌指示加载，加力的学生要缓慢匀速加载，到测力计上显示500N，读数的学生读下5个测点的应变值，（注意记录下正、负号）。
用应变仪右下角的通道切换键来显示第5测点的读数。
以后，加力每次500N，到3000N 为止。
6.读完3000N应变读数后，卸下载荷，关闭电源。
六、实验结果及处理：1.各点实验应力值计算根据上表数据求得应变增量平均值△εPi，带入胡克定律计算各点实验值：σ实i=E△εPi×10-62.各点理论应力值计算载荷增量△P=500N弯矩增量△M=△P/2×a应力理论值计算σ理i=∆M∙YiI z（验证的就是它）3.绘出实验应力值和理论应力值的分布图以横坐标表示各测点的应力σ实和σ理，以纵坐标表示各测点距梁中性层的位置。
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
第七章 梁的应力和强度计算
q=3.6kN/m
A Q B
例7-4.1 矩形(bh=0.12m0.18m）
截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切 应力之比,并校核梁的强度。 – 解：画内力图求危面内力
qL 2
L=3m
qL 2
+
x
FS max
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
-4kNm x
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
M max s 校核强度： s max 、校核强度： Wz M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
确定许可载荷：M max
Wz [s ]
14
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
③横向线与纵向线变形后
仍正交。
5 ④横截面高度不变。
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的 变形，作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转
动，距中性轴等高处，变形相等。
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 （横截面上只有正应力）
纵向对称面
中性层
中性轴
x 1
15 60kNm
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
梁平面弯曲时横截面上的正应力,材料力学
Iz M
1 / 为梁轴线变形后的曲率 EI越大 1 / 越小 EI 梁的抗弯刚度
3、纯弯曲时正应力公式的推导
( y) E
y
M 该点的弯矩 Iz 截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩
4、纯弯曲时正应力分布关系 对某一截面而言，M和Iz 若都是确定的，当 横截面的弯矩为正时，则 ( y )沿截面高度 的分布规律:
实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截 面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。
弯曲正应力公式
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁但公式中的M应为所研 究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。
1、梁横力弯曲时横截面上的正应力 对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大 的横截面上，其大小应为:
2.9 107 mm 4
y2 200 53.2 146.8 mm
4、应力计算 考察C截面，弯矩为正
C截面下边受拉上边受压
M C y1 12 106 53.2 22MPa 7 Iz 2.9 10
C
M C y2 12 106 146.8 60.74MPa 7 Iz 2.9 10
⑴
截面关于中性轴对称
z
t max
c max
M Wz
t
Wz ——截面的抗弯截面系数
⑵ 截面关于中性轴不对称
max
z
t
My max Iz
max
c
My max Iz
c
几种常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
材料力学07弯曲应力ppt课件
x
y 26
dA1
s
, b s
顶面有 ,存在.
两截面M 不等—— s 不等
(X 0)
左侧面
dx
N1
M
A1 sdA1 I z
A1 ydA1
右侧面
MS
z
Iz
dM
S
* z
, b( dx ) 0
Iz
FS
,
dM dx
S
z
Izb
FS
S
z
Izb
(∵切应力互等 )
2s
h
2 ( bdy )y s
bh2
M
0
4
s
4M bh2
2. 按沿梁高线性分布:
s max
M h2 Iz
s
6M bh2
s1 2 s2 3
(相差三分之一)
13
[例2]:
15KN
6KN
求B截面K点应力
B
1m
1m
解： M
3
6kNm
s
My Iz
90
K 90
60
120 ( 拉? 压应力? )
IZ
bh3 12
第七章 弯曲应力
§1 弯曲正应力 §2 正应力强度条件 §3 弯曲剪应力 §4 剪应力强度条件 梁的合理截面 §5 非对称截面梁弯曲弯曲中心 §6 考虑塑性的极限弯矩
1
概述
＋
－F
Q
Fa
－
M
CD段：只有弯矩没有剪力－ 纯弯曲
AC和BD段：既有弯矩又有剪力－ 剪切弯曲
2
剪力FS
弯矩M
切应力τ
正应力s
先分析纯弯梁横截面的正应力s ，
§7-1-纯弯曲梁横截面上的正应力
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 平面假设
横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线， 只是绕横截面上某个轴旋转了一个角度。
推断：
1、由于横截面与轴线始终保持垂直，说明横截面间无相对错动，无剪 切变形，无切应力。
2、纵向线有伸长和缩短变形，横截面上有纵向应变，有正应力。
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
3、圆环形截面
d
d
z
D
Iz
64
D4 (1 4 ),
Wz
32
D3 (1 4 )
y
D
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
思考：
Wz ?
Z
h
b
d
[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]
若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉、压应力并不相等，这时 应分别进行计算。
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 思考题1：
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 一、纯弯曲和横力弯曲的概念
剪力“FQ” 切应力“τ”； 弯矩“M” 正应力“σ”
１、纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应
力的弯曲）。 2、横力弯曲（剪切弯曲）
梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应 力的弯曲）。
M
E
Iz
1 M
EIz
M y
Iz
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
3、静力学关系 M y
Iz
σ-横截面上任一点处的正应力 M-横截面上的弯矩 y-横截面上任一点到中性轴的距离
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
y 0, 0,
中性轴上正应力为零。
y ymax, max
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剪力“FQ” 切应力“τ”； 弯矩“M” 正应力“σ”
１、纯弯曲
梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应 力的弯曲）。 2、横力弯曲（剪切弯曲） 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应
力的弯曲）。
Fl 5000N 2m M max 4 4 2500N m
2、求截面的惯性矩及有关尺寸
I z 111 4 cm
y1 1.84cm y2 (7 1.84)cm 5.16cm
3、计算最大应力
M max 2500N m T ,max y1 5.16102 m m 116.2MPa Iz 111108 m m4 M max 2500N m c,max y2 1.84102 m m 41.4MPa Iz 111108 m m4
3、圆环形截面
d
d D Iz
z
D (1 ), Wz
4 4
32
64
D 3 (1 4 )
y
D
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
思考：Βιβλιοθήκη Wz ?hZ
b
d
[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]
若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉、压应力并不相等，这时
应分别进行计算。
117.4 MPa M max h 内max Iz 2 14.4 103 N m 8 102 m 8 4 73610 m 2 78.3 MPa
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
例7-2 一受集中载荷的简支梁，由18号槽钢制成，如图7-7(a)所示。已知
梁的跨度 l=2 m，F=5 kN。求此梁的最大拉应力和最大压应力。 解：1、作弯矩图
Z
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 3、静力学关系
F 0 dA 0
x
A
E
A
y dA 0
ydA 0
E
A
A
ydA yc A S x 0
A 0, yc 0
中性轴必过截面的形心。
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 3、静力学关系 mz (F ) 0
cd yd y cd d
ρ—中性层的曲率半径
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
2、物理关系
应用拉压胡克定律
E
E y
横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离y成正比。
1
? 中性轴的位置？
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 3、静力学关系
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
d
Z
中性轴
y
中性层 O
o1
o1
纵向对称面
dx
Y
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 三、正应力计算公式
1、几何关系 中性层：纤维长度不变 中性轴：中性层与横截面的交线。通常用Z表示。
cd cd cd
( y)d d yd
max
M Wz
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 四、截面惯性矩与抗弯截面模量
1、矩形截面
Iz
1 3 1 bh , Wz bh 2 12 6
c h
z
y b
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
2、圆形截面
Iz
64
d 4 , Wz
32
d3
d
c
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
对。
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
思考题2：
图示截面的抗弯截面系数WZ =_________。
h
Z
A.
d 3
1 2 bh 32 6
B.
d 4
1 3 bh 64 12
b
1 d 4 1 3 C. ( bh ) d 32 6
答案：C
1 d 4 1 3 D. ( bh ) h 32 6
M y dA 0
A
M
E
A
y dA
2
A
E
A
y 2 dA
令 I z y 2 dA
横截面对中性轴Z的惯性矩。 1 M E M Iz EIz
M y Iz
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 3、静力学关系
M y Iz
σ -横截面上任一点处的正应力
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 平面假设
横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线， 只是绕横截面上某个轴旋转了一个角度。
推断：
1、由于横截面与轴线始终保持垂直，说明横截面间无相对错动，无剪 切变形，无切应力。 2、纵向线有伸长和缩短变形，横截面上有纵向应变，有正应力。
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 思考题1：
梁发生平面弯曲时，其横截面绕______旋转。 A.梁的轴线 答案 B. B.中性轴 C.截面的对称轴 D.截面的上（或下）边缘
扭转时横截面才绕轴线旋转，A不对。弯曲时横截面是绕中性轴旋转。
中性轴不一定是对称轴，中性轴过形心，不会在上、下边缘，所以C、D不
d
Iz d 4 bh3 d Wz , 其中I z , ymax ymax 64 12 2
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
解：1、作弯矩图，求最大弯矩
M
1 2 ql max 2 20103 N / m 1.2 2 m 2 2 14.4 kN.m
2、计算横截面的惯性矩
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
F A a
Q图
(+)
F B a F a
F
Fa
M图
(+)
(-)
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力 二、实验观察与假设
简支梁CD段 变形之前
横向线：Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ；
纵向线：ab，cd
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
变形之后 横向线：直线，与轴线垂直，倾斜了一个角度dθ 纵向线：曲线，ab缩短，cd伸长。
BH 3 bh3 Iz 12 12 6 123 3 83 ( )cm4 12 12 736 cm4
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
3、计算应力
M max H 外max Iz 2 14.4 103 N m 12102 m 8 4 73610 m 2
M-横截面上的弯矩 y-横截面上任一点到中性轴的距离
§7-1 纯弯曲梁横截面上的正应力
y 0, 0,
中性轴上正应力为零。 上、下边缘处正应力最大。
y ymax , max
M M max ymax Iz Iz ymax
Iz 令 Wz ymax
抗弯截面模量