静电感应与导体接地

1 静电感应与导体接地
将导体置于带电体附近，在导体表面的不同位置将会出现正、负感应电荷，当这种静电感应发生并达到静电平衡时，由于感应电荷在导体内部任意 一点处产生的电场抵消了此处施感电荷的电场，便给出了内部场强为零，整个导体是等势体的结论。

导体接地可以说是一种导体与大地共同发生的静电感应现象，在接地前后导体表面电荷的数量及分布情况发生了变化，将影响其附近电场线及等势面的地域分布，从而使周围空间各点的场强和电势发生改变。

-1。

.1枕形导体的接地
将原来不带电的枕珙导体B 置于带电荷量＋Q 的带电体A 附近，在B 的远端和近端将分别感应出等量正负电荷。

（图1－甲）画出了此时电场线的分布情况，在导体B 近端由于负电荷报吸收的电场线只能来自施感电荷，因此A B ϕϕ>；而从B 远端出发的电场线既然不可能被其近端的负电荷所吸收（这就与B 为等势体的说法矛盾），便只能终止于无穷远处，所以是0A B ϕϕϕ∞>>=。

另外，由A 出发的电场线只能部分被B 吸收还表
明枕形导体两端感应电荷量，均小于施感电荷量Q 。

现在如果将导体B 接地，在远端接地时自然是由大地提供的自由电子中和远端的正电荷；而对于近端接地，一种说法认定被中和掉的将是近端的负电荷（理由是大地中的自由电子因被B 左端负感应电荷所斥，无法实现与正电荷中和），然而非如此。

可以设想，若近端负感应电荷被中和，在施感电荷和远端感应电荷均带正电条件下，它们在导体内部的电势标量叠加，怎么可能得到导体电势与大地零电势相等的结果呢？因此这里被中和掉的同样还应是远端的正电荷。

这是由于接地前的导体B 作为等势体，其电势高于在地的零电势，且无论哪一端接地，在接地前其与大地零电势不等和情况是一样的。

因此接地过程必然是由大地提供的自由电子在电场力作用下，向电势较高导体B 运动，以中和B 远端的正电荷，而且只要B 远端沿尚存在末被中和的正电荷，此处就会继续发出终止于无穷远处的电场线，说明其电势仍高于大地，这将继续吸引在地中的自由电子向B 运动，直到导体B 中的正电荷
甲
乙
图1
被全部中和掉为止。

当然在实际分析这一问题时，是要考虑其近端负电荷对在地中自由电子的排斥作用的，但此时施感电荷对大地中的自由电子吸引作用更不容忽视。

其实，正是由于近端负感应电荷在数量及影响上均小于施感电荷，在施感电荷的库仑引力起主要作用的情况下，才能将大地中自由电子不断地吸引上来，使近端的负电荷的积累数量大于远端正电荷，这就破坏了导体B 接地前的静电平衡。

另外，接地前是左负右正感应电荷产生的合场强，抵消了施感电荷在导体内部（例如中点）产生的方向向右的电场，而接地后仅由左端的负感应电荷产生电场，就足以抵消施感电荷在此处产生的大小、方向不变的电场，这是否表明此过程中大地同时还提供了较多的自由电子，使接地后左端的负感应电荷的数量也比接地前有所增加呢？这个问题有待证实。

1。

.2金属球壳的接地
球壳接地问题，可分为带电体开始位于其内部及外部两种情况。

1.2. 1带电体A 位于球壳的内部
如图2，将带正电的带电体A 置于原来不带电的空心球壳B 的中心，由于静电感应，将使B 的内、外表面分别带上等量负感应电荷和正感应电荷，电场线的分布如图2－甲。

这里外辐射电场线在球壳内部的间断，即是
0E 内＝的佐证。

在这种全封闭的情况
下，内、外表面感应电荷的电量相等，而且由于内外表面感应电荷在壳外任意一点处对场强的贡献作用的抵消，使壳外任意一点处的电场强度、电势与球壳不存在时完全一样。

另外，带电休A 不是位于球心，则
球壳内表面的电荷分布将是不均匀的，而外的电荷分布仍均匀，这是由于在壳层内部不存在电场时，球壳外表面同一种上感应电荷的相斥作用，使它们彼此尽量远离的缘故。

现在如果将球壳外表面接地，则壳内的一切将不会发生变化，但球壳外表面的正感应电荷将被 大地中的自由电子所中和，使壳外电场不复存在，球壳与大地共同构成了电势为零的等势体。

对于球壳内的a 点、壳层中b 点和壳外的c 点，依据图中电场线的方向及疏密程度确
(乙)
图2
定的场强及电势间的关系，在接地前是E E 0a c b E >>=，0a b c ϕϕϕ>>>；在接地后是
0a
b c E E E '''>==，0a b c ϕϕϕ'''>==。

1.2.2带电体位于球外部
.这种情况类似于带电体附近的枕形导体。

若A 带正电，则未接地时球壳近端的远端分别感应出等量的负电荷和正电荷（如图3－甲），接地后远端的正电荷被中和（如图3－乙），与枕形导体不同的是，此时利用球壳开关的中心对称关系，还能得出定量的结果。

设点电荷Q 距球心的距离为r ，则施感电荷在球心处产生的场强2kQ r 向左，感应电荷在球心处产生的场强2kQ r
向右；施感电荷在球心处产生的电势
kQ
r
，即为接地前导体球壳的电势（由于正负感应电荷数量相同，到球心的距离也相等，因此它们在球心处产生电势标量和为零），此电势高于大地电势。

在接地后由于远端正电荷被中和，壳上只存在近端负电荷，这些负电荷在球心处产生的场强大小仍为2kQ
r
向右，但球心处的电势却为零。

由此可知，这此负电荷在球心处产生的电
势为kQ r -，负感应电荷伯总量
等于R
Q r
-（R 为球壳的半径），
此时接地后负感应电荷对球面上的场强与电势的贡献，可以等效为一种比较简单的结果。

为此我们设想将导体一球移走，用球内一假想电荷q '来代替球面上感应电荷，这时通过轴对称关系可知，这个假想中的点电荷必定位于AO 连线上。

现取q '位于B 处，它到球心的距离为b ，根据对AO 连线上与球面直径两交点P 1、P 2处电势为零的条件可写出：
（甲）
（乙）
图3
P 图4
00kQ
kq r R R b kQ kq r R R b '⎧+=⎪⎪++⎨'⎪+=⎪--⎩由此解得：2
R q Q r
R
b r
⎧'=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 当然此时该结果是否具有一般性，还须通过球面上任意一点P 3来验证：因为2
R b r
=实，
际代表着△OBP 3与△OP 3A 相似，于是从
33BP R AP r
=得：
3333/0/kq kQ R r kQ kQ
BP AP R r AP AP '-+=⋅+= 这就证实了P 3处的电势确实为零，我们最初的设想合理。

如果再过P 3作圆的切线将图4中的E 施和E 感分另沿切线方向和法线方向分解，则由
()233233sin AP AP BP BP sin A r r
R A R θ+⋅=⋅＝可给出()22
33
sin sin A R A AP r BP θ+=⋅，即场强E 施和E 感的切向分量
()23sin kQ
A AP θ⋅+和()2
3/sin k R r Q A BP ⋅大小相等，说明它们的矢量和必定沿半径3P O 指向圆心，这就验证了静电平衡时，导体表面的电场线与导体表面垂直的关系，且此时对合场
强的计算，仍可用三角形相似关系求解。

由于在3P 处33
AB /E BP E r BP 2合施r-R ＝＝
，所以22222
333kQ
AP r R r R E E r BP r BP --⋅⋅
⋅⋅合施＝＝。

再由33BP R r AP =可得：()
2222
3
2
2
232
2cos r R kQ r R kQ
E R AP R
r
R rR θ--⋅=⋅+-合＝这就是用
r 、R 及θ表示球面上任意一点处的场强大小的公式。

特别是当θ＝1800时有
()
12
r R E kQ R r R -=
⋅+；当θ＝00＝时有()
2r R
E kQ R r R +=⋅-；它们分别与施感电荷Q 及假想
电荷q '（即把球面上全部感应电荷集中在B 点的R
q Q r
'=-）在P 1及P 2处场强反向叠加的结果一致。

1。

.3平行板电容器接地
两完全相同的金属板A 、B ，开始时A 带正电Q ，B 不带电，现用绝缘手柄将A 移至距B 板d 处，如图5。

对在将B 与大地相连的电键S 闭合前后，两板带电情况及板间场强、电势差的变化过程分析如下：
在电键闭合前达到静电平衡时，B 板上、下表面分别带等量负电荷和正电荷，为给出这时两板上的电荷分布情况，可在A 板内部取点M ，此时的M E 就是上述四面上均匀分布的电荷在该点产生的电场（都是匀强电场）的叠加，且各场强方向都沿垂直极板的方向。

因B 板上、下表面等量异号电荷在M 点产生的合场强为零，所以必然是A 板上、下表面施感电荷在该点产生的合场强也为零，这就要求A 板的电荷量在上、下两面均匀分布以满足条件0M E =的要求，因此A 板的上、下表面是各带2
Q
+的电荷量。

与此相应的则是B 板上表面带2Q
-
（理想平行电容间的电场线，只能全部从带正电的极板指向带负电的极板）下表面带2Q +，两板间的场强2u Q E d cd ==，电势差2Q
U c
=。

继续讨论电键闭合后的情况，这时由大地提供的自由电子已经全部中和了B 板下表面的正电荷，使B 板只带负电荷。

这些净电荷分布在B 板的上表面，B 板内部N 点场强中的B E 上就是由它们产生的。

而B E 下则必定由A 板的施感电荷所产生。

由于施感电荷的总电量为＋Q ，因此B E 0合＝就意味着B 板上表面感应电荷总量为－Q ，再应用A 板内部合场强为零的条件便可确认A 板正施感电荷全部分布在A 板的下表面（否则A E 合肯定不为零，其方向向下
）。

U E Q d cd
''=
＝
，电势差Q
U c '=。

与电键断开时的情况相比，场强和板间电势差均增为原来的2倍，这个表示
B 板上表面感应电荷在接地后倍增的量化结果，可以是间接地验证了前面两问题中关于枕形导体和金属球壳近端感应电荷的总量在接地后有所增加的猜想。

A
B
图5
+Q/2
(甲)
N B 下
(乙)
图6。