lxy理论力学(II) 非惯性系中的质点动力学

小球相对非惯性基的运动已知
FT
xC l0 vt yC 0
xC yC 0
x : 0 mg cos FT m 2 (l0 vt)
Fe
FC

y : 0 mg sin m(l0 vt) 2mv
G
Fωe
15
刚体动力学/非惯性基下刚体动力学/平面平动/解
18
例2–4 一平板与水面成角, 板上有一质量为 m 的小球, 如图示. 若不计摩擦等阻力, 问平板以多大的加速度向右平移时, 小球能保 持相对静止? 若平板又以这个速度的两倍向右平移时, 小球沿板向
上运动. 问小球沿板走了l 距离后, 小球的相对速度是多少?
解: (1) 令板向右平移, 则无科氏惯 性力.
1
C
转aω动e C向心牵连O2 r加C 速a度ωeC 小球C牵连惯性力 F e
切向牵连惯性力
(l0 vt) 2 FαemaCe mdefaFαeCαe
方向已知
Fωe
Fαe m(l0 vt)
法向牵连惯性力
Fωe方向已m知aωe C
Fωe ml 2
（3）当质点相对动参考系静止时，有ar=0,vr=0,又FIC=0,则
F FIe 0
上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考 系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性 力相互平衡。
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有ar=0，则
F FIe FIC 0
方向已知
x 0
aωe C
Fe
x
aαeC
Fωe
13
刚体动力学/非 惯性基下刚体动力学/平面平动/解
非惯性基
RO 0
O
(t)
e

O
摆长


(t
)
z
l
Ol0v(tt)
z
O
切向牵连惯性力 Fαe m(l0 vt)

法向牵连惯性力 Fωe ml 2 小球aCCC科氏2加速O度 vCr aCC 2v
在相对运动中所作的元功之和。积分上式，有
1 2
mv
2 r

1 2
mv
2 r0
WF
WIe
(1-4)
上式表明：质点在非惯性参考系中相对动能的变化，等于作用 在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和。这一 规律称为质点相对运动动能定理的积分形式。值得注意的是科 氏惯性力始终垂直与相对速度，所以在相对运动中不作功。
C
F F
bsint
e maCe C maCC
EXIT
9
C牵非惯连惯性刚惯性基体性基力：动O机力0F架学ee/0O非(m惯eb性基机2 架下si在n刚作体t简)动x谐力振学动/平面x平动/F解e
C科氏惯性力 F C 0
C
受力分析
重力 弹簧力
粘性阻尼力


G mgx

F1 F2

kcx(xCCx

l0
)
x
xC y
O
F1
G
F2
RO
质心相对运动定理
mxC mg
k ( xC

l0 )

cxC

y
0
mb
2
O0 sin t
质心相对运动方程
mxC cxC kxC ma2 sint
y´
若相对静止, 则受力如图
由几何法可得:
Fge
x´ Fge mg tg

y
FN mg
mae mg tg
o´ ae g tg
ae ?
o
x
19
( 2 ) 若板的平移加速度 ae 2g tg 而小球沿板走了l 距离
y´
Fge

FN mg
ae ?
则牵连惯性力 Fge 2mg tg
0
1 mR22 sin2
2
max

m gR 1 cos max
sin2 max

2g R2
1 cos max
1 cos2 max

2g R2
1 cos max
1
cos max
1
cos max

2g R2
1
cos max
ae : 牵连加速度 aC : 科氏加速度；
: 非惯性参考系角速度， vr : 质点相对动参考系速度
dvr dt
: 为vt对时间的相对导数 ,上式两端乘dr
有
m
dvr dt
dr

F
dr
FIe
dr
FIC
dr
注意到vr

dr dt
,且科氏惯性力垂直于
vr
,
有FIC

O
RO 0 (t)
小球C牵连加速度
e 摆长

O


(t
)
z
aCe ateC
l
Ol0v(tt)
z
aαeC aωe C
O

转动切向牵连加速度
aαeC

O
rC
aαeC (l0 vt)
方向已知
v

y
y
0
rC
dr

0,则
mvr dvr F dr FIe dr
17
若以WF 和WIe表示力F和牵连惯性力FIe在质点相对位移上的元 功，则有
d( 1 2
mv
2 r
)

WF
WIe
(1-3)
上式称为质点相对运动动能定理的微分形式，即：质点在非惯
性系中相对动能的增量，等于作用于质点上的力与牵连惯性力
O

v
x 0

y
y
0
FT
C
Gx
16
§2-2 非惯性系中质点的动能定理
与惯性参考系中推导动能定理不同，在非惯性系中，由于质点 的运动微分方程中含有惯性力，因此需重新推导该定理
质点的相对运动动力学基本方程为
m dvr dt
F FIe FIC
式中：FIe mae 为牵连惯性力 FIC maC 2m vr 为科氏惯性力
maa F
考虑 aa ar ae aC aC为科氏加速度
则 mar mae maC F 或 mar F mae maC
令 FIe mae , FIC maC
mar F FIe FIC
4
动力学
第二章 非惯性力系中的质点动力学
mar F FIe FIC
上式称为非惯性系中的质点动力学基本方程, 或称为质点相对 运动动力学基本方程. 其中FIe 称为牵连惯性力,FIC 称为科氏惯 性力, 可以理解为非惯性参考系中对于牛顿第二定律的修正项. 它们具有力的量纲, 且与质量有关, 因而称之为惯性力.
在动参考系中,上式可以写成微分方程形式,即
m
~d 2r dt 2
z
O
切向牵连惯性力 Fαe m(l0 vt)

法向牵连惯性力 Fωe ml 2
科氏惯性力
F C 2mv
方向已知
v

y
y
0
rC
C
受力分析 重力 G mg
质心相对运动定理 mrC

约束力


FT


Fa Fn Fe FC
x 0
x
当机架在作简谐振动 bsint 时，
建立振子的相对运动方程。
bsint
8
[非解惯]性刚基基惯点体：性O动机为基力架振学O子O0/的非平e惯e0衡性位基置下刚体动力学/平面x0平动x/F解e
xC 0 振子的重力与弹簧力平衡
位形机架在R作O 简R谐O振x 动
(t) 0
方向已知
v
科F氏C 惯性力maCC F C 2mv
方向已知
x 0
Fe
aCC

y
y
0
rC
C
x
vCr
FC
Fωe
14
刚体动力学/非 惯性基下刚体动力学/平面平动/解
非惯性基
RO 0
O
(t)
e

Oபைடு நூலகம்
摆长


(t
)
z
l
Ol0v(tt)
单自由度强迫振动方程
xC 0
振子的重 力与弹簧 力平衡
mg kl0
EXIT 10
刚体动力学/非惯性基下刚体动力学/平面平动/例
[例]
变摆长的摆套在环上，摆绳原长 为l0，以匀速v向下拉 小球视为质点，质量为m
O
l0 v
建立此摆的的动力学方程
11
刚体动力学/非惯性基下刚体动力学/平面平动/解
xC y
O
RO aO
(b0 b sin t)
(b 2 sin t
)
x
RO
C牵连加速度aCe
C牵连惯性力

aO Fe



O rC
(mb 2

O2
rC
sin t
)
x
y
0
O0
C科氏加速度
aCC


2O
vCr


C科氏惯性力 F C 0

F

FIe

FIC
上式称为非惯性系中的质点运动微分方程，或称为质点相对 运动微分方程。应用该方程时，一般取适当的投影形式。
5
动力学
第二章 非惯性力系中的质点动力学
*几种特殊情况
（1）当动参考系相对定参考系做平动，aC=0,FIC=0,则
mar F FIe
（2）当动参考系相对定参考系做匀速直线运动，FIe=FIC=0,则
[解] 惯性基
O

e
0
以小球为对象 摆长 l l0 vt
O
非惯性基 O e x轴与摆绳重合
位形 RO 0
(t)
设定正向

O O
(t)z (t)z

v
x
0

y
y
0
C
x
12
刚体动力学/非 惯性基下刚体动力学/平面平动/解
非惯性基
解: 设小球能达到的最大偏角为 max
小球受力如图示:
R
FN

其中, Fge m2 Rsin
0
Fge
0

m
由相对运动的动能定理
gR 1 cos max

F max
0
ge
d
R
sin
mg
0 mgR1 cos max
max m2R sin dR sin


0
21
1
cos max
1
cos max

2g R2
1
cos max


0
R
FN

Fge
1 cos
max
1

cos
max

2g R2


0
mg
max1 cos1 1 00
max 2
cos1
2g R2
mar F
上式表明，对这样的参考系，牛顿定律也适用。故所有相对于 惯性参考系作匀速直线平移的参考系都是惯性参考系。另外可 以看出，参考系作惯性运动时，质点的相对运动不受牵连运动 的影响。也即发生在惯性参考系中的任何力学现象，都无助于 发觉该参考系本身的运动情况，以上称为相对性原理。
6
动力学
第二章 非惯性力系中的质点动力学
上式称为质点的相对平衡方程。可见在非惯性参考系中，质 点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不同的。
7
动力学
第二章 非惯性力系中的质点动力学
[例] 图示一测振仪。
仪器的机架内有一质量为m的
振子，当机架随着外界运动时
，振子相对与机架产生相对运
动，振子上的笔将在机架的滚
筒上记录下振子的相对运动。
令振子上的弹簧刚度为k，粘 性阻尼系数为c。
1
动力学
第二章 非惯性力系中的质点动力学
牛顿第一定律和牛顿第二定律只适用 于惯性参考系，对于非惯性参考系是不适 用的。本章将建立非惯性系中的质点动力 学基本方程及动能定理。但这里的时间、 质量及空间尺度的度量都是绝对的，速度 也远小于光速，研究对象仍为宏观物体的 机械运动，因此仍属于古典力学（或称经 典力学）范畴。
x´ 由相对运动的动能定理:
1 2
m Vr2

0

mg l
sin

Fge
l
cos
o´
Vr 2gl sin
20
例 2 – 5 半径为 R 的环形管, 绕铅垂轴 z 以匀角速度 转动. 管内有
一质量为 m 的小球, 原在最低处平衡. 小球受微小干扰而沿圆管上
升, 忽略管壁的摩擦, 求小球能达到的最大偏角.
2
动力学
第二章 非惯性力系中的质点动力学
第二章 非惯性系中的质点动力学
§2–1 非惯性系中质点动力学的基本方程 §2–2 非惯性系中质点动力学的动能定理
3
动力学
第二章 非惯性力系中的质点动力学
§2-1 非惯性系中质点动力学的基本方程
在非惯性系中,质点动力的基本方程不同于惯性系
如图,设质点M相对O’x’y’z’运动,选取一惯 性参考系Oxyz作为定参考系.则有
x : 0 mg cos FT m 2 (l0 vt) y : 0 mg sin m(l0 vt) 2mv
摆的的动力学方程
(l0 vt) 2v g sin 0
约束力
FT m 2 (l0 vt) mg cos