高考数学专题：立体几何中的二面角的求法课件PPT
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高中新课标数学-二面角课件
设平面的一个法向量为 = (1 , 1 , 1 ),
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版 选择性必修 第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二 面 角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版 选择性必修 第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二 面 角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义
二面角(1)PPT教学课件
面内且与棱CD成45º角，又AB与平面 成30º，求二
面角－CD－ 的大小。
C AO
B
D
C
解：作BC于C，连结AC 过C作COCD于O，连结OB 由三垂线定理可得： BOCD
则 ∠BOC是二面角 CD的平面角
设AO =a 在RtAOB中，BO=a, AB= 2a
在RtACB中，BAC= 30º, AB=
直圆所在的平面，C是圆上任一点， C
则二面角P-BC-A的平面角为:
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角 l 内一 点，且P到两个半平面的距离都
β
B
P
等于P到棱的距离的一半，则这
个二面角的度数是多少？ 60º
O
l
A
2021/01/21
9
THANKS FOR WATCHING
从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫
做二面角的面。
小 结
二、二面角的表示方法：
二 面 角 －AB－ 二 面 角 C－AB－ D
二 面 角 － l－
三、二面角的平面角： 1、二面角的平面角必须满足
三个条件
四、二面角的平面角的作法2：、二面角的平面角的大小与
D N
③设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
∴CO=a，DO=a， PC 2 a ， PD 2a
又∵∠MPN=60º
∴CD=PC 2a
∴∠COD=90º
一“作” 二“证”
因此，二面角的度数为90º
三“计算”
2021/01/21
5
二面角
例2. A为二面角－CD－ 的棱CD上一点，AB在平
面角－CD－ 的大小。
C AO
B
D
C
解：作BC于C，连结AC 过C作COCD于O，连结OB 由三垂线定理可得： BOCD
则 ∠BOC是二面角 CD的平面角
设AO =a 在RtAOB中，BO=a, AB= 2a
在RtACB中，BAC= 30º, AB=
直圆所在的平面，C是圆上任一点， C
则二面角P-BC-A的平面角为:
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角 l 内一 点，且P到两个半平面的距离都
β
B
P
等于P到棱的距离的一半，则这
个二面角的度数是多少？ 60º
O
l
A
2021/01/21
9
THANKS FOR WATCHING
从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫
做二面角的面。
小 结
二、二面角的表示方法：
二 面 角 －AB－ 二 面 角 C－AB－ D
二 面 角 － l－
三、二面角的平面角： 1、二面角的平面角必须满足
三个条件
四、二面角的平面角的作法2：、二面角的平面角的大小与
D N
③设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
∴CO=a，DO=a， PC 2 a ， PD 2a
又∵∠MPN=60º
∴CD=PC 2a
∴∠COD=90º
一“作” 二“证”
因此，二面角的度数为90º
三“计算”
2021/01/21
5
二面角
例2. A为二面角－CD－ 的棱CD上一点，AB在平
二面角的求法 PPT课件 人教课标版
高中数学课件
二面角的求法
α
ι
β
一、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角。
二、二面角的平面角
从棱上一点P分别在两 个半平面内作与棱垂直的 射线PA、PB则∠APB叫做二 面角 α-l-β的平面角。
ι
γ
P A
β
B
α
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
二面角的求法
α
ι
β
一、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角。
二、二面角的平面角
从棱上一点P分别在两 个半平面内作与棱垂直的 射线PA、PB则∠APB叫做二 面角 α-l-β的平面角。
ι
γ
P A
β
B
α
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
高一数学二面角的求法课件
二面角、
二面角的平面角 。
一找（作）二证三算
３、三种作法：
2021/11/20
第十一页，共14页。
1、定义法 2 、垂面法
3、三垂线法
2021/11/20
第十二页，共14。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。以二面角的棱上任意一点为端 点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。3）角
No 的边都要垂直于二面角的棱。二面角的平面角的作法：—— 1、定义法。2、证明 1中的角就是
所求的角。二面角两面内的图形具有一定的对称性。二面角的平面角的作法：——2、垂面法。 二面角的平面角的作法：——3、垂线法。二面角A--BC--D。课堂小结
Image
第十四页，共14页。
如何度量二面角
B
二面角的平面角：
O
l
A
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作
垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二
面角的平面角。
2021/11/20
第二页，共14页。
注意： 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
A
A
l
O
二面角B--B’C--A
例 4.在正A三 B A 1 C 棱 B 1C 1 中 A 柱 C 1 , A1 A 2,连A 1B 接 ,A 1C ,求二 A A 面 1BC 的 角正
垂面 —— 垂线法
A1
C1 B1
2021/11/20
F
A
C
第十页，共14页。
D
B
课堂小结
1、两个概念 ：
２、三个步骤：
人教版高中数学必修二二面角的求法最新ppt课件
请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：
试一试：
S
例1、如图：在三棱锥S-ABC中，
SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平
E
分SC,分别交AC、SC于D、E，且 SA=AB=a,BC= 2 a.
D A
C
求：平面BDE和平面BDC所成的二
面角的大小。
B
规范训练一
1、（本小题为2007年山东高考试卷理科 19题） 如已图知，：在DC直=D四C1棱=2柱ADA=B2ACBD,-AAD1⊥B1DC1CD, 1A中B/，/DC
α β
αβ γ
αA C Bβ
探究准备：
答：相等或互补
2、两个平面的法向量
的夹角与这两个平面
α
所成的二面角的平面
角有怎样的关系？
β
互补
m α
β m
相等
探究一：
试一试：
S
例1、如图：在三棱锥S-ABC中，
SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平
E
分SC,分别交AC、SC于D、E，且 SA=AB=a,BC= 2 a.
D
1
A
1
F D
A
P
C
1
B
1
C B
解法二：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连 接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线；
因为是直棱柱，所以AA ⊥ 底面ABCD,
过A做AE⊥PB,垂足为E,连1接EF,
由三垂线定理可知，EF⊥PB,
∴同∠解AE法F一即可为知二，面等角腰D1△-PABP-BD, 的∠平P=面3角00，；
探究准备：
答：1、二面角是指从一条直线出发的两
2025届高中数学一轮复习课件《二面角》ppt
∵PA＝AB＝2，∴AC＝BC＝ 2，PO＝ 3，∴OD＝ 2 2， ∴二面角 P-AC-B 的正切值是OPOD＝ 6.
高考一轮总复习•数学
(2)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D 为 AC 的中点．
第16页
①证明：平面 AA1C1C⊥平面 DBC1； ②若 AB＝2，且二面角 D-BC1-C 的正切值为 615，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积．
－ 即 －
2x1＋ 2y1＋
2z1＝0， 2z1＝0，
设平面 ABF 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)，
取 x1＝1，则 y1＝z1＝AA··nn＝＝00，，
即
2x2＝0，
－ 2y2＋
2z2＝0，
得 x2＝0，取 y2＝1，则 z2＝1，n＝(0,1,1)．
高考一轮总复习•数学
第14页
对点练 1 (1)如图， 设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上， 若 PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角 P-AC-B 的正切值是____6____．
高考一轮总复习•数学
第15页
(1)解析： 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD，易知 OD⊥AC，PD⊥AC，∴∠PDO 是二面角 P-AC-B 的平面角．
在 Rt△AB1C 中，S△AB1C＝12AB1·AC＝12B1C·AE，所以 AE＝ABB11·CAC＝2×2
2＝2
2 .
23
3
高考一轮总复习•数学
在 Rt△ADE 中，sin∠AED＝AADE＝ 2 ＝ 2 3. 22 3
所以∠AED＝60°，所以二面角 A-B1C-B 的大小为 60°.
第11页
高考一轮总复习•数学
高二数学 二面角(二) ppt(通用)
CD, ∵AE//CD,且AE=1 2
P CD
∴AE//FG,AE=FG,
从而四边形AEGF是平行四边形,
∴AF//EG, EG 平面PEC,
∴AF//平面PEC
A
.
E
B
B
C
.F
.
G
D
C
能力·思维·方法
8.在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D=
6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB
第九章 直线、平面、简单几何体
第7课时 二面角(二)
要点·疑点·考点
1.熟练掌握求二面角大小的基本方法：
(1)先作平面角，再求其大小；
(2)直接用公式
cos
S射 S原
2.掌握下列两类题型的解法：
(1)折叠问题——将平面图形翻折成空间图形.
(2)“无棱”二面角——在已知图形中未给出二面角 的棱.
基础题例题
面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
解法二:取BC的中点F, 连接BD、EF, ∵E为BC的中点, ∴EF//BD,
D1
∵BD//B1D1, ∴EF//B1D1,
. C1
M
∴∴平E面FA、BBC1DD1∩共平面面，EB1D1F=EF，A1
B1
作BG⊥EF交FE的延长线于G,
连接B1G, 则∠B1GB是平面B1D1E
折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45°，设
E、F分别为AB、PD的中点. P1
A
D
(1)求证：AF∥平面PEC；
(2)求二面角P-BC-A的大小；
证明:（2）∵CD⊥平面PAD, ∴平面PAD⊥平面ABCD
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2021届高考数学专题：立体几何中的 二面角 的求法 课件
二、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
m n
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
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出S△SCD与S△SAB即可，
故所求的二面角θ应满足
cos SSAB
S SCD
S B
C
1 11
=2
1 3 2
2
2
A
D
6
=
3
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例：如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC,
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例∠A：B如C=图9,0在°底，面SA是⊥一平直面角A梯C，形S的A=四A棱B=锥BSC-=A1B，CDA中D=，1AD. ∥BC,
求面SCD与面SAB所成的角的大小。
点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
l
P
B
A
P1
B1
A1
二面角的大小用它的平面角的大小来度量 ∠APB= ∠A1P1B1
注意: 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角的范围: 0180
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一、几何法：
1、定义法:
以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内 分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就
是此二面角的平面角。
2、三垂线法:在一个平面内选一点A向另一平面 作垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
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例：如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC,
∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD= 1 .
求面SCD与面SAB所成的角的大小。
2
解法1：可用射影面积法来求，这里只要求
3、垂面法: 过二面角内一点A作AB⊥ 于B，作AC⊥ 于C，面
ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
a
A
A
A
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O B
B
a O
C
O a
B
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4.射影面积法
A B
C
A1Biblioteka B1C1cos S射影多边形
∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD=
1 2
.
求面SCD与面SAB所成的角的大小。
解法2：（三垂线定理法） 延长CD、BA交于点E，连结SE， S
SE即平面CSD与平面BSA的交线.又∵DA⊥平面SAB，∴过A
B
C
点作SE的垂线交于F.如图. ∵AD＝ 1 BC 且AD∥BC 2
S多边形
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二、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
αm
n
β
如图：二面角的大小等于<m ,n>
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复 习: 二面角的定义:
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角
l
的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示方法
二面角－AB－
A
C
B
二面角－ l－
D
l
B
A
二面角C－AB－ D
F
E
A
B
D
C
二面角C－AB－ E
二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端
几点说明：
（1）定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的 一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂 线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算， 不是我们首选的方法。
（2）三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一 个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结 这个点和棱上的垂足。此法得出的平面角在直角三角形中， 计算简便，所以我们常用此法。
F
A
D
∴△ADE∽△BCE ∴EA＝AB＝SA
又∵SA⊥AE ∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点，
E
AF 1 SE 2 SA 2
2
2
2
又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE
评∴注由三：垂常线规定理法得求D解F⊥步SE骤：一作：作出或找出相应空间角；
∴二∠D证FA：为通二面过角简的单平面的角判, 断或推理得到相应角；三求：通过计 ∴ta算nD求FA出＝相DF应AA 的22角。即所求二面角的正切值.
高中数学核心素养——直观想象
高考立体几何中二面角的求法
考点分析：
立体几何是历年高考必考的热点，试 题难度中等，命题的热点主要有空间线 面位置关系的证明和空间角的求解；试 题背景有折叠问题，探索性问题等，考 查同学们的空间想象能力、逻辑思维能 力以及转化与化归思想的应用能力，解 决此类问题一般有常规方法和向量方法 ，用向量法解决此类问题可以化繁为简 ，降低题目的难度．
（3）垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为 这一点不好选择，所以此法一般不用。
以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
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（4）射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证 明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公 式,这种方法避免了找平面角，如果面积计算较简单，可用 此方法。 （5）当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为简洁明 快．用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的 夹角大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以 根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面 角一般是比较明显的．