杨辉三角与二项式系数PPT优秀课件

探究３、横行规律 1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 各个数字为奇数？ 2n-1
第0行
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
行的
则第2n行的数字有什么特点？ 除两端的1之外都是偶数.
想从一第想三：个如数图起，，写任出一斜数线都上等各于行前数两字个的数和的，和有;什么 规这律就？是著名的斐波那契数列 。
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现 的（Blaise Pascal, 1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡 三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可 见我国古代数学的成就是非常值得自豪的．
ab1
11
ab2 a b3
121 1331百度文库
即 C r r C r r 1 C r r 2 C n r 1 C n r 1 ( n r )
根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角 中，第m条斜线(从左上到右下)上前n个数字的 和，等于第m+1条斜线上第n个数。
即 C r 0 C r 1 1 C r 2 2 C n n 1 r 1 C n n r 1 ( n r )
C r r C r r 1 C r r 2 C n r 1 C nr 1 (n>r)
根据 C r 0 C r 1 1 C 对 r 2 2 C n n 称 1 r 1 C n n r 1 ( 性 n r )
结论：杨辉三角中，第m条斜线(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
第0行
1
第1行 第2行 第3行
11
探
12 1
究 ４
13 3 1
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 …7…0 56 28 8 1
第三条斜线上：1+3+6+10=
20 C63
第四条斜线上：1+4+10= 15 C64
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
C 11＋＋11＋＋11＋＋ ．．．．．．＋＋11＝＝ 1 （（第第11条条斜斜线线 ）） n
C C 1 1 C 2 1 C 3 1 C n 1 1n2 （第2条斜线 ） C C 2 2 C 3 2 C 4 2 C n 2 1n3 （第3条斜线 ）
想一想：（07）湖南理（15）将杨辉三角中的奇数换成
1，偶数换成0，得到如图所示的0——1数表，从上往下
数：第一次全行的数都为1 的是第一行，第二次全行的
数都为1 的是第3行，……第n次全行的数都为1 的是第 2n－1 行
第一行
11
第二行
101
第三行
1111
第四行
10001
第五行
110011
分析：本题是对杨辉三角的考察，一行全１即本身全 为奇数，因此，我们继续探究下表
卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日 本等国均有译本出版，流传世界。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》 一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等 于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用 过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．
2、杨辉三角的基本性质和对称性
对 称 性：杨辉三角形的每一行中的数
字左右对称.
即Cnr Cnnr
基本性质：杨辉三角形的两条斜边都是
数字1，而其余的数都等于它肩上的两个
数字相加. 即 Cn r Cn r 1 1Cn r1
练习1:
（04. 上海春季高考）如上表，在由二项式
系数所构成的杨辉三角形中，第_3_4___行中
第2行
121
第二3行项式(a+b)n展1开式3 的二3 项1 式系数
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 杨辉三1 角6 的…1各5…行…20数…字…15的6和等1 于与 第第n之式n行-1系对行1 数应1C n1的的C nC1(和1an2 C+为nb2…1)2…nn…的。C…展nrC11…开nCr nr式…1 的……各C个nn12二C nn 项11 1
ab4
14641
ab5 1 5 10 10 5 1
ab6 1 6 15 20 15 6 1
……
……
abn
c
0 n
c
1 n
c
2 n
……
c
r n
……
c n1 n
c
n n
三、教学过程 探究１： 杨辉三角之雾里看花
1、与二项式定理的关系：
表中的每个数都是二项式
C 系数，第n行的第r+1个数是
"杨辉三角"与二项式系数 高二（16）班
教学目标
1.了解杨辉及杨辉三角的有关历史； 2. 对杨辉三角进行探究； 3.能利用杨辉三角进行简单的应用
杨
一、引入
辉
三
角
一
——
之数学史话
一一
一 二一
一 三 三一
一 四 六 四一
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
二、杨辉简介:
杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学 教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷 （1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三 卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二
从左至右第14与第15个数的比为 2 : 3 .
n(n1)(n12)
Cn13:Cn14
1！ 3 n(n1)（n13)
14 2 n13 3
1！ 4
n34
探究２：研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1+1+1=
6

C
1 6
第二条斜线上：
1+2+3+4+5= 15 C62
r n
第n行各数的和为２n
尝 2、对称性：
表中的数字左右对称 ，即
试探 Cnr Cnnr
索
3、结构特征：除底边上1以外的各数，都等于它肩上的两数之和，
即
Cn r Cn r 1 1Cn r1
总结数的排列规律:
１、杨辉三角第n行各数的特点
第0行
1
第1行 杨辉三角的第1n行1中的数对应于