线性矩阵不等式(LMI)的 MATLAB求解
MATLABLMI工具在鲁棒稳定性分析中的应用
收稿日期：2003-07-01修订日期：2003-08-08作者简介：高金凤：（1978-），女，助教，主要研究方向为不确定时滞系统的鲁棒控制与NCS 稳定性分析。
MATLAB LMI 工具在鲁棒稳定性分析中的应用高金凤，潘海鹏（浙江工程学院自动化所，浙江杭州310033）摘要：针对一类普遍存在的不确定时滞系统，基于线性矩阵不等式（LMI ）的描述进行系统的稳定性分析，得到了用一个线性矩阵不等式系统的可行性表示的鲁棒稳定性滞后依赖型条件。
介绍了如何利用MATLAB 软件中的LMI 工具箱进行分析与设计，据此计算出最大的允许时滞界。
针对此类系统的鲁棒稳定性分析给出了数值算例。
关键词：线性矩阵不等式；稳定性；鲁棒控制；时滞中图分类号：TP13；TP319文献标识码：A文章编号：1001-4551（2003）05-0106-03Application of MATLAB L MI for Rob st Stability AnalysisGAO Jin-feng ，PAN Hai-peng（Department of Automation ，Zhejiang Institute of Science and Technology ，Hangzhou 310033，China ）Abstract ：This paper is concerned about the robust stabiiity probiem of a ciass of time-deiay systems with norm-bounded uncer-tainties.A deiay-dependent sufficient condition for the robust stabiiity is derived and is expressed as the feasibiiity probiem of a certain iinear matrix ineguaiity（LMI ）system.The LMI tooibox is introduced in detaii ，and a maximum deiay bound is obtained by soiving a corresponding convex optimization probiem.Furthermore ，a numericai exampie is given to iiiustrate the proposed resuits.Key words ：LMI ；stabiiity ；robust controi ；deiay1引言在线性矩阵不等式使用之前，许多控制问题是用Riccati不等式方法来解决的［1~3］，而Riccati 不等式的求解带有一定的保守性。
matlab怎么解不等式方程
Matlab如何解不等式方程介绍在数学中，不等式方程是一种包含不等式（如大于、小于、大于等于、小于等于等）的方程。
解不等式方程是找到满足不等式条件的变量的取值范围。
Matlab是一种功能强大的数值计算软件，可以用于解决各种数学问题，包括解不等式方程。
本文将详细介绍如何使用Matlab解不等式方程。
解不等式方程的基本步骤解不等式方程的基本步骤如下： 1. 将不等式方程转化为Matlab可识别的形式。
2. 使用Matlab的求解函数来求解不等式方程。
3. 根据求解结果得到不等式方程的解。
下面将详细介绍每个步骤。
步骤一：将不等式方程转化为Matlab可识别的形式在使用Matlab求解不等式方程之前，我们需要将不等式方程转化为Matlab可识别的形式。
Matlab中常用的不等式符号包括：“>”（大于）、“<”（小于）、“>=”（大于等于）和”<=“（小于等于）。
例如，我们有一个不等式方程：2x + 3 > 7。
我们可以将其转化为Matlab可识别的形式：2*x + 3 > 7。
步骤二：使用Matlab的求解函数求解不等式方程Matlab提供了一些专门用于求解不等式方程的函数，如solve和fsolve。
这些函数可以帮助我们求解不等式方程，并得到满足不等式条件的变量的取值范围。
使用solve函数求解不等式方程solve函数是Matlab中常用的求解方程的函数，它可以用于求解不等式方程。
solve函数的基本用法如下：syms xeqn = 2*x + 3 > 7;sol = solve(eqn, x);上述代码中，我们首先定义了一个符号变量x，然后定义了不等式方程2*x + 3 > 7，最后使用solve函数求解该不等式方程，并将结果存储在变量sol中。
使用fsolve函数求解不等式方程fsolve函数是Matlab中用于数值求解方程的函数，它也可以用于求解不等式方程。
Matlab工具箱解LMI 线性矩阵不等式详解
• mincx求解器
• 第一步：建立矩阵不等式，变量命名为X，不 等式组命名为LMIs。
• 第二步：将目标函数Trace(X)写成cTX形式。用 函数mat2dec建立c。
• Mat2dec的调用格式：定义与X同阶的矩阵W， mat2dec(LMIs, W)返回的是W与X对应元素乘 积的和。（延申，257页，defcx等）
提取结果和验证结果：evallmi和 showlmi
• 用法： • EVALSYS = evallmi(LMISYS,DECVARS)：计算出矩阵
不等式中所有决策变量项的值（矩阵形式？）； • [LHS,RHS]=showlmi(LMISYS,N)：给出第N个线性矩
阵不等式的左边和右边的矩阵值。
• lmiterm([-1 1 1 0],0); • lmiterm([-1 2 1 0],B'*P1); • lmiterm([-1 2 2 0],P3*B+B'*P2);
• lmis=getlmis;
• 四、观察所建立的矩阵不等式的信息
• 使用函数lmiinfo(lmisys)，lmibr(lmisys)， matnbr(lmisys)可以提取所建立的不等式 lmisys的信息。
其它命令
• 1、用于求个数的命令： • lminbr(lmisys)：给出系统中线性矩阵不等式的个数；
matnbr(lmisys)：给出系统中矩阵变量的个数； decnbr(lmisys)：给出系统中决策变量的个数。 • 2、用于查看相关信息的命令： • lmiinfo(LMISYS)：给出线性矩阵不等式系统的信息； DECX = decinfo(LMISYS,XID) ：给出决策变量和矩阵变 量之间关系的一些详细信息。
Matlab中LMI(线性矩阵不等式)工具箱使用教程
% S2 is 1 by 1 matrix S2 = lmivar(1, [1 0]); % Type of 2, size 1 by 2 M = lmivar(2, [1 2]); 定义完成变量之后，我们就该用 lmiterm 来描述 LMI 中的每一个项了。Matlab 的官方 文档提示我们，如果要描述一个 LMI 只需要描述上三角或者下三角元素就可以了，否则会 描述成另一个 LMI。 When describing an LMI with several blocks, remember to specify only the terms in the blocks on or below the diagonal (or equivalently, only the terms in blocks on or above the diagonal). 语法为：lmiterm(termID,A,B,flag) termID 是一个四维整数向量，来表示该项的位置和包含了哪些矩阵变量。 termID(1)可以为+p 或者-p，+p 代表了这个项位于第 p 个线性矩阵不等式的左边，-p 代表了这个项位于第 p 个线性矩阵不等式的右边。注意：按照惯例来讲，左边通常指较小 的那边。 termID(2:3): 1、对于外部变量来说，取值为[0,0]; 2、对于左边或者右边的内部变量来说，如果该项在(i,j)位置，取值[i,j] termID(4): 1、对于外部变量，取值为 0 2、对于 A*X*B，取值 X 3、对于 A*X'*B，取值-X flag(可选，值为 s）: 因为：(A*X*B) + (A*X*B)T = A*X*B + B'*X'*A'，所以采用 s 来进行简写。 比如：针对 A*X + X'*A' 我们采用笨方法： lmiterm([1 1 1 X],A,1) lmiterm([1 1 1 -X],1,A') 那么简写就是 lmiterm([1 1 1 X],A,1,'s') 接下来我们就看该论文中的算例吧：(1,1)位置是 -Q+Bd*S2*Bd'+Ad*S1*Ad';
一种含扰动项的非线性系统执行器故障估计方法
收稿日期：2020-01-11修回日期：2020-03-11基金项目：2019年辽宁省教育厅科学研究经费资助项目（L201906）作者简介：孙延修（1981-），男，河北邯郸人，硕士，副教授。
研究方向：非线性系统观测器。
*摘要：现代控制系统的安全性与可靠性是各领域研究的热点之一，系统故障诊断与估计的方法越来越引起人们的重视。
针对一类含有外部扰动的非线性系统，研究了系统执行器故障估计问题。
通过设计一种增广系统观测器对原系统中的执行器故障进行估计；考虑到系统中的非线性扰动项，利用线性矩阵不等式（LMI ）方法给出了观测器存在的充分条件并保证误差系统渐近稳定。
同时，通过设定性能指标减少了外部扰动对执行器故障估计的影响；通过数值算例验证了执行器故障估计方法的有效性，表明该估计方法能够较好的对系统中的执行器故障进行鲁棒估计。
关键词：外部扰动，非线性系统，执行器故障，线性矩阵不等式，状态观测器中图分类号：TP391.9文献标识码：ADOI ：10.3969/j.issn.1002-0640.2021.03.007引用格式：孙延修.一种含扰动项的非线性系统执行器故障估计方法［J ］.火力与指挥控制，2021，46（3）：38-42.一种含扰动项的非线性系统执行器故障估计方法*孙延修（沈阳工学院基础课部，辽宁抚顺113122）A Method of Actuator Fault Estimation forNonlinear System With Disturbance TermSUN Yan-xiu（Basic Course Department ，Shenyang Institute of Technology ，Fushun 113122，China ）Abstract ：The safety and reliability of modern control system is one of the hotspots in variousfields ，more and more attention has been paid to the fault diagnosis and estimation of the system.For a class of nonlinear systems with external disturbances ，the problem of actuator fault estimation is studied.Firstly ，an augmented system observer is designed to estimate actuator faults in the original system ；Secondly ，considering the nonlinear disturbance term in the system ，the sufficient conditions for the existence of the observer are given by using the LMI method to ensure the asymptotic stability of the error system ，at the same time ，the influence of external disturbance on actuator fault estimation is reduced by setting performance index.Finally ，the effectiveness of the actuator fault estimation method is verified by a numerical example ，which shows that the method can estimate the actuator fault in thesystem robustly.Key words ：external disturbance ，nonlinear system ，actuator failure ，linear matrix inequality ；state observerCitation format ：SUN Y X.A method of actuator fault estimation for nonlinear system with disturbance term ［J ］.Fire Control &Command Control ，2021，46（3）：38-42.0引言目前，控制系统对稳定性及可靠性的要求越来越高。
Matlab中的LMI工具箱的研究与使用
Matlab中的LMI工具箱的研究与使用Matlab中的LMI工具箱的研究与使用摘要：由于内点算法可以利用计算机求解高阶矩阵不等式，使得线性矩阵不等式（LMI）在控制理论得以应用，因而线性矩阵不等式在控制系统分析、设计中扮演着越来越重的角色。
在毕业设计中，我学习了LMI理论，Matlab中LMI工具箱的使用，研究了常见的控制问题与LMI关系以及其表达式，并研究了基于LMI方法的鲁棒控制器设计问题，推导了如何将鲁棒控制器设计问题转化为LMI形式，给出了通过求解LMI方程构造控制率的算法。
LMI是一种较新的方法，可以在控制系统的许多领域得以应用，如鲁棒控制、非线性控制预测控制等有着巨大的潜力。
关键词：线性矩阵不等式；LMI工具箱；控制系统The research and use of the Matlba LMI toolboxStudent majoring in Automation SUN Peng-kunTutorAbstract：Due to the interior point algorithm can use computer to solve high order matrix inequality,It makes the linear matrix inequality (LMI) in the control theory to application and linear matrix inequality (LMI) played more and more heavy role in the control system analysis and design. At the graduation design, I studied the LMI theory, in the use of Matlab LMI toolbox, and studies the problem of common control with LMI relations and its expression,and I studied the problem of the robust contoeller design that based on lmi method, how totransform the robust controller design problem into the LMI form, and given by solving the LMI equation of tectonic control algorithm. LMI is a new method, it can be used in many control system fields, such as robust control, nonlinear control predictive control, and it has great potential.Key words: linear matrix inequality; LMI toolbox; control system;robust control引言线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。
matlab中不等式组的解法
Matlab中不等式组的解法不等式组的解法线性规划（LP,Linear Programming）是优化问题的一种工具Matlab中最优化工具箱中线性规划函数——linprogLinprog函数的用法Linprog 函数的用法提出问题Finds the minimum of a problem specified by ,min ,,T A x b f x such that Aeq x beq lb x ub ⋅≤ ⋅= ≤≤ are vectors, A and Aeq are matrices,,,,,f x b beq lb ubLinpro函数的用法分析问题主要形式:x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x = linprog(problem)[x,fval] = linprog(...)[x,fval,exitflag] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)Linpro 函数的用法x = linprog(f,A,b) solves min f*x such that A*x ≤b.x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) solves the problem above while additionally satisfying the equality constraints Aeq*x =beq. Set A =[ ] and b =[ ] if no inequalities exist.x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) defines a set of lower and upper bounds on the design variables, x, so that the solution is always in the range lb ≤x ≤ub. Set Aeq =[ ] and beq =[ ] if no equalities exist.x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) sets the starting point to x0. This option is only available with the medium-scale algorithm (the LargeScale option is set to 'off' using optimset). The default large-scale algorithm and the simplex algorithm ignore any starting point. x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) minimizes with the optimization options specified in the structure options. Use optimset to set these options.分析问题问题的描述Linpro 函数的用法解决问题Example ：Find x that minimizes 目标函数subject to约束条件12312312123203244232300, 0, 0x x x x x x x x x x x −+≤++≤+≤≤≤≤123()546f x x x x =−−−Linpro函数的用法输入下列指令：>> f = [-5; -4; -6]；>> A = [1 -1 13 2 43 2 0];>> b = [20; 42; 30];>> lb = zeros(3,1);x= linprog(f,A,b,[],[],lb);输出结果：x =0.000015.00003.0000。
matlab lmi工具箱使用实例
MATLAB（Matrix Laboratory）是一款广泛应用于科学计算和工程领域的专业软件，其功能强大、灵活性高，并且具有丰富的工具箱支持。
LMI（Linear Matrix Inequality）工具箱是MATLAB中的一种工具箱，用于解决线性矩阵不等式相关的问题。
本文将介绍LMI工具箱的基本使用方法，并结合具体实例进行详细讲解。
一、LMI工具箱的安装1.确保已经安装了MATLAB软件，并且软件版本是R2015b及以上版本。
只有在这些版本中，LMI工具箱才会被自动安装。
2.在MATLAB的命令行中输入“ver”，可以查看当前安装的工具箱列表，确认LMI工具箱是否已经成功安装。
二、LMI工具箱的基本功能1. LMI工具箱主要用于解决线性矩阵不等式问题，例如矩阵的稳定性分析、最优控制问题等。
2. LMI工具箱提供了一系列的函数和工具，能够方便地构建和求解线性矩阵不等式问题，同时也包括了一些经典的稳定性分析方法和控制器设计方法。
三、LMI工具箱的基本使用方法1. 定义变量：在使用LMI工具箱时，首先需要定义相关的变量。
可以使用“sdpvar”函数来定义实数变量，使用“sdpvar”函数和“size”函数可以定义矩阵变量。
2. 构建约束：在定义变量之后，需要构建线性矩阵不等式的约束条件。
可以使用“sdpvar”变量的线性组合来构建约束条件，使用“>=”来表示大于等于关系。
3. 求解问题：构建好约束条件之后，即可使用“optimize”函数来求解线性矩阵不等式问题。
在求解问题时，可以指定优化的目标函数和一些额外的约束条件。
四、LMI工具箱的实例应用下面我们通过一个具体的实例来演示LMI工具箱的使用方法。
假设有一个线性时不变系统，其状态方程可以表示为：$\dot{x} = Ax + Bu$其中，A和B分别为系统的状态矩阵和输入矩阵。
我们希望设计一个状态反馈控制器K，使得系统在闭环下能够保持稳定。
线性矩阵不等式的LMI工具箱求解
一、线性矩阵不等式的LMI 工具箱求解 （一）可行性问题（LMIP ）1、可行性问题描述系统状态方程：[]1122331000210-414x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P ，使得：TA P +P A =Q -成立，其中Q 为正定矩阵。
那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：TA P +P A <0这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB 的LMI 工具箱进行判断。
2、仿真所需要用到的命令setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述； X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的内容； LMISYS = getlmis ：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS ；X = dec2mat(LMISYS,DECV ARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。
[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin 大于0时，表明LMI 系统不可行，P 阵无解，系统不稳定，tmin 小于0时，便可以用dec2mat 函数求解出P矩阵。
3、仿真结果可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。
进一步用dec2mat函数求解出P矩阵。
得：（二）特征值问题(EVP)1、EVP 问题描述该问题对应矩阵工具箱中的LMI 约束的线性目标函数最小化优化问题。
一般采用mincx 求解器求解。
考虑这样一个优化问题：m in ().. 0TTT ra c e X s t A X X A X B B X Q +++<其中：5342154067; 3; 562.78314228A B Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、仿真用到的命令DECV ARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,...) ：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；[copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt 返回全局最优的决策变量,xopt 返回决策变量的最优解。
LMI(线性矩阵不等式)工具箱介绍学习
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
LMI线性矩阵不等式工具箱
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）：feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
LMI线性矩阵不等式培训讲学
(5)
其中，Xi
∈
Rqi×pi
是一个矩阵，而∑n i=1
qi
×
pi
=
m，所有矩
阵变量的列堆叠起来，形成单个向量变量x。
于是我们考虑下面常用形式的函数：
F (X1, X2, · · · , Xn) = F0 + G1X1H1 + G2X2H2 + · · · + GnXnHn
4
∑n
= F0 + GiXiHi
7
找P > 0，使得
AT P + P A > 0
(14)
这是一个关于变量P > 0的LMI可行性问题，然而，给定满
足该问题的任意的P > 0，明显地集合
P
=
{
βP
:
标量β
>
}
0
(15)
中任意矩阵都满足上述问题。
P > 0和(14)所描述的LMI约束，可以等价地组成一个LMI：
AT P + P A 0 < 0
9
%可行 ( 是稳定的A) 当且仅当 tmin<0
tmin
运行结果：
Lyap = 1
Solver for LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x ) 10
This solver minimizes t subject to L( x ) < R( x ) + t∗I
The best value o f t should be negative for f e a s i b i l i t y
Iteration :
线性矩阵不等式的LMI工具箱求解
一、线性矩阵不等式的LMI 工具箱求解 （一）可行性问题（LMIP ）1、可行性问题描述系统状态方程：[]11223301000210-414x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&& 在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P ，使得：T A P+PA=Q -成立，其中Q 为正定矩阵。
那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：T A P+PA<0这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB 的LMI 工具箱进行判断。
2、仿真所需要用到的命令setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述； X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的内容； LMISYS = getlmis ：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS ；X = dec2mat(LMISYS,DECVARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。
[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin大于0时，表明LMI系统不可行，P阵无解，系统不稳定，tmin小于0时，便可以用dec2mat 函数求解出P矩阵。
3、仿真结果可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。
进一步用dec2mat 函数求解出P 矩阵。
得：（二）特征值问题(EVP)1、EVP 问题描述该问题对应矩阵工具箱中的LMI 约束的线性目标函数最小化优化问题。
一般采用mincx 求解器求解。
考虑这样一个优化问题：min ().. 0TTTrace X s t A X XA XBB X Q +++<其中：5342154067; 3; 562.78314228A B Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、仿真用到的命令DECVARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,...) ：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；[copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt 返回全局最优的决策变量,xopt 返回决策变量的最优解。
线性矩阵不等式(LMI)的 MATLAB求解
线性矩阵不等式(LMI)的 MATLAB 求解©
作者：dynamic
Sky 时间：2008.12.10
版权：All Rights Reserved By
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b 一、LMI 工具箱概述 ..................................................................................................................................................6 a 1.系统描述 ...........................................................................................................................................................6
对lmi变量的操作dec2matmat2dec将求解器的输出转化为矩阵变量值通过给定的矩阵变量值返回决策向量3lmifeaspmincxdefcxgevpevallmishowlmidellmidelmvarsetmvarma4lmi结果验证与修改5lmi系统信息的提取decinfodecnbrlmiinfolminbrmntnbr以决策变量的形式表示每个输入的矩阵变量得到决策变量的个数查询现存lmi系统的信息得到问题中lmi的个数得到问题中矩阵变量的个数tlab验证lmi的可行性lmi限制下线性目标的极小值在mincx命令中第一ctx目标lmi限制下的广义特征值最小化由决策变量的给定值来验证所有的变量项返回一个已经评估的lmi的左右边从系统中删除一个lmi从问题中移除一个矩阵变量将一个矩阵变量赋予指定值ky三lmi工具箱函数详解1
基于线性矩阵不等式方法设计状态反馈控制器
实验7 基于线性矩阵不等式方法设计状态反馈控制器7.1 实验设备同实验1。
7.2 实验目的1、学习基于线性矩阵不等式（LMI ）方法设计线性系统状态反馈控制器问题；2、通过编程、上机调试，掌握利用LMI 的系统状态反馈控制器设计方法7.3 实验原理说明考虑系统的状态空间模型xAx Bu =+& (1) 其中，n x R ∈是状态向量，是控制输入，m u R ∈A 和B 分别是适当维数的已知常数矩阵。
在状态反馈u Kx = (2)作用下，使得闭环系统()xA BK x =+& (3) 是渐近稳定的。
考虑Lyapunov 函数，则由Lyapunov 稳定性理论可知，闭环系统(3)是渐近稳定的，当且仅当以下不等式有可行解，其中T V x Px =0P >T P P =。
()()T A BK P P A BK P +++−0< (4)对式(4)分别左乘和右乘1P −，可得(5)1()()T P A BK A BK P P −+++−<110−−令1X P −=，。
则式(5)可重写为1Y KP −=()()T AX BY AX BY X +++−<0 (6)因此，若以下线性矩阵不等式()()000T AX BY AX BY X ⎡⎤+++<⎢−⎣⎦⎥ (7) 成立，那么闭环系统（3）渐近稳定，且所设计的状态反馈控制器增益是。
1K YX −= 由于式(7)是一个线性矩阵不等式，可以应用MATLAB 中的LMI 求解器feasp 求取可行解 (,X Y )。
7.4 实验步骤1、状态反馈控制器的设计，采用MATLAB 的m-文件编程；2、在MATLAB 界面下调试程序，并检验是否运行正确。
例7.1 为了对以上提出的反馈控制器设计方法进行验证，我们采用一直流伺服电机模型。
选取转速1x 和电枢电流2x 作为状态变量，其系统的状态方程为1122010.3903.852020x x Ax Bu u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡=+=+⎢⎥⎢⎥⎤⎢⎥⎢−−⎥⎣⎦⎣⎣⎦⎣⎦&&⎦ 试设计一个状态反馈控制器u ，使得闭环系统是渐近稳定的。
Matlab控制系统工具箱的鲁棒控制设计指南
Matlab控制系统工具箱的鲁棒控制设计指南导言：在现代科学和工程领域中，控制系统的设计和优化是一个重要的任务。
传统的控制理论往往以线性模型为基础，但实际系统往往包含非线性效应和外部干扰，这使得系统的稳定性和性能更加复杂和困难。
为了解决这些问题，研究者们发展了鲁棒控制理论，以提高系统对不确定性和变化的稳定性和性能。
Matlab控制系统工具箱为工程师和科学家们提供了一套方便强大的工具，用于鲁棒控制设计和分析。
本文将介绍Matlab控制系统工具箱中鲁棒控制设计的基本概念和方法。
I. 鲁棒控制基础在深入了解Matlab控制系统工具箱之前，我们先来回顾一下鲁棒控制的基本概念和原则。
鲁棒控制的目标是设计一个控制器，使得系统对于不确定性和干扰具有鲁棒性，即系统在各种不确定性条件下依然能保持稳定和良好的性能。
鲁棒控制的设计方法主要包括鲁棒性分析和合成控制器设计。
在Matlab中，我们可以使用鲁棒控制工具箱来进行鲁棒性分析。
鲁棒性分析的目标是确定系统的不确定性或变化对系统稳定性和性能的影响。
通过鲁棒分析，我们可以评估系统的稳定性邻域、性能衰减和鲁棒性指标等，从而为合成控制器设计提供依据。
II. 鲁棒控制器设计在Matlab控制系统工具箱中，常用的鲁棒控制器设计方法有H∞控制、μ合成控制和基于线性矩阵不等式（LMI）的方法。
1. H∞控制H∞控制是一种广泛应用于线性系统的鲁棒控制方法。
它基于H∞性能标准，通过最小化系统输入和输出的敏感性函数，来设计具有鲁棒性的控制器。
在Matlab中，我们可以使用“hinfstruct”函数来进行H∞控制器设计。
该函数可以根据给定的性能权重和鲁棒性要求，自动生成鲁棒控制器。
2. μ合成控制μ合成控制是一种基于频域分析的鲁棒控制方法。
它通过最小化系统的复合不确定性，来设计具有鲁棒性和鲁棒性指标的控制器。
在Matlab中，我们可以使用“synthesis”函数来进行μ合成控制器设计。
Matlab LMI(线性矩阵不等式)工具箱中文版介绍及使用教程
⎧ 0,
struct (i,
j)
=
⎪ ⎨
n,
⎪⎩− n,
如果X (i, j) = 0 如果X (i, j) = xn 如果X (i, j) = −xn
例 2：考虑具有三个矩阵变量 X1、X 2 和 X 3 的线性矩阵不等式系统，其中 z X1 是一个 3 × 3 维的对称矩阵； z X 2 是一个 2 × 4 维的长方矩阵；
的决策变量是矩阵 X 中的独立元 x1、x2、x3 。根据对策性，矩阵变量 X 可以写成
⎡1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡0 0⎤ X = x1 ⎢⎣0 0⎥⎦ + x2 ⎢⎣1 0⎥⎦ + x3 ⎢⎣0 1⎥⎦
将矩阵 A 和上式代入矩阵不等式（2），经整理，可得
⎡− 2 2⎤ ⎡ 0 − 3⎤ ⎡0 0 ⎤
XB⎤
−
S
⎥ ⎦
<
0
(6)
X >0
(7)
S>I
(8)
用命令 lmivar 和 lmiterm 给出线性矩阵不等式系统（6）~（8）的内部描述如下：
setlmis([])
X=lmivar(1,[6 1]) S=lmivar(1,[2 0;2 1])
% 1st LMI lmiterm([1 1 1 X],1,A,’s’) lmiterm([1 1 1 S],C’,C) lmiterm([1 1 2 X],1,B) lmiterm([1 2 2 S],-1,1)
AT X + XA < 0
(2)
也是一个线性矩阵不等式，其中的 X 是一个矩阵变量。我们以一个二阶矩阵
A
=
⎡− 1
⎢ ⎣
0
2⎤ − 2⎥⎦
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3.LMI 解算器 .......................................................................................................................................................8 4.LMI 结果验证与修改 .......................................................................................................................................8 5.LMI 系统信息的提取 .......................................................................................................................................8 三、LMI 工具箱函数详解 ..........................................................................................................................................9 1.确定 LMI 系统的函数 ......................................................................................................................................9 2.对 LMI 变量的操作 ........................................................................................................................................13 3.LMI 求解器命令 .............................................................................................................................................14 4.结果验证和修改.............................................................................................................................................. 21 5.LMI 系统信息提取 .........................................................................................................................................24 LMI 系统实例分析 ............................................................................................................................................................25 命令行形式解答 ........................................................................................................................................................25 GUI 形式解答 ............................................................................................................................................................27
k 三、3 类标准的 LMI 控制问题 ..................................................................................................................................5 S 1.可行性问题 .......................................................................................................................................................5
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2.线性目标最小化问题........................................................................................................................................ 5 3.广义特征值最小化问题.................................................................................................................................... 5 LMI 工具箱介绍和使用 ......................................................................................................................................................6
4.结果验证 ...........................................................................................................................................................6
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y 一、LMI 的一般表示 ..................................................................................................................................................3
b 一、LMI 工具箱概述 ..................................................................................................................................................6 a 1.系统描述 ...........................................................................................................................................................6
LMI 控制工具箱，采用内点法的 LMI 求解器，这些求解器比经典的凸优化算法速度有了显著提高。另方方面， 它采用了有效的 LMI 结构化表示，在求解和计算领域做出了重大贡献。
LMI 基础知识 ......................................................................................................................................................................3
t 二、LMI 工具箱函数列表 ..........................................................................................................................................8 a 1.确定 LMI 系统的函数 ......................................................................................................................................8 M 2.对 LMI 变量的操作 ..........................................................................................................................................8