第五章练习题_2

1- x 2

1+ x 2

♦ ♥

⎰

1 ⎰ ⎰ ⎰ x

⎰ ⎰

0 0

一、填空题

1. 根据定积分的几何意义，则

⎰

定积分练习题

A

2x - x 2 dx = .

♣x ,

0 ≤ x < 1 2. 已知 f (x ) = ♠

2 - x , 1 ≤ x ≤ 2 ，则⎰ x f (t )dt = .

♠0, 其他 3. 已知函数 f (x ) 为连续函数，且 F (x ) = x

xf (t )dt ，则 F '(x ) = .

1

4. 已知函数 f (x ) 在区间[0,1] 上连续，且 f (x ) = 1

1+ x

2 + x ⎰0 f (x )dx ，则 f (x ) =

.

5. 已知⎰ 4 f (x )dx = 1 ，则 ⎰ 2

x f (x 2

)dx = . 0 6. 已知 xe x

为函数 f (x ) 0

的一个原函数，则 1 xf '(x )dx = .

7.

1

(x 2 arctan x + -1 1- x 2 )dx = .

1 8. 反常积分 1 dx 是 （收敛、发散），

+∞ e - x

dx =

.

⎰-1 x 2 二、计算下列定积分 1

1- x

2

2

2 ⎰0

3

2

1

x 3

1. ⎰ 0

1+ x

2

dx ；

2.

⎰ 0

| x

- x | d x ； 3.

⎰

-2

min{1, x }dx ；

4.

⎰ 0

1+ x

2

dx ；

5.

1

1 dx ； 6.

x +

3

1

dx ；7.

1

x 2 e

ln 2

xdx ；

8.

1

B

1

(x + | x |)e -|x |dx ；

-1

1. 比较下列积分值的大小

π

π

π

（1）

⎰

4

ln(sin x )dx 、 ⎰ 4 ln(cos x )dx 、 ⎰ 4 ln(cot x )dx ；

k π 2

（2） 设 I =

e x sin xdx ，比较 I 、 I 、 I 的大小.

k

⎰

1

2

3

2. 求下列极限

n

1

n

k

k x e t

x - t dt

0 ⎰0

(1+ t

)e t

2

- x 2

dt （1） lim n ∑ 2 2 ；（2） lim ∑ ln(1+ ) ；（3） lim ；（4） lim n →∞ k =1 n + k n →∞ k =1 n n x →0 x →+∞x 3. 设函数 f (x ) 连续，且lim f (x )

= A 存在， ϕ(x ) = ⎰ 1 f (xt )dt ，求ϕ'(x ) ，并讨论ϕ'(x ) 在 x = 0 处的

连续性.

x →0 x

0 4. 已知函数 f (x ) 具有三阶连续导数，点(3, 2) 为曲线的拐点，曲线 y = (3, 2) 处的切线交于点(2, 4) ，求 3

(x 2

+ x ) f '''(x )dx .

0 f (x ) 在点(0, 0) 处的切线与在点

1

5. 设函数 f (x ) 在闭区间[0,1] 上可导，且 f (1) = 2 2 e

1- x 2

f (x )dx ，求证：在(0,1) 内至少存在一点ξ ，

使得 f '(ξ ) = 2ξ f (ξ ) .

6. 设函数 f (x ) 在闭区间[0,1] 上可导，且 f (0) ⋅ f (1) < 0 ，| f '(x ) |≤ 1，求证： | ⎰ 1 f (x )dx | < 1

.

0 2 7. 设函数 f (x ) 在闭区间[a , b ] 上连续，且 f (x ) > 0 ，求证[⎰ b f (x )dx ][⎰ b 1

dx ] ≥ (b - a )2 .

a a f (x )

2 +

x 3 2 ⎰ ⎰

⎰ 0

⎰

2