复数的向量表示PPT课件
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复数的概念及复数的几何意义ppt课件
几何意义
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的向量表示
例2.复数z
sin
3
i cos
6
,则 z
6
__2___
例3.复数z=4+ti的模小于5,则实数t的取值范围是_________. -3 < t < 3
例4.已知实数m满足不等式│log2m+4i│≤5,
则m的取值范围是_________. 1 m 8 8
Copyright © Sino-i Technology Limited All rights reserved
(1)|z|=4;
(2)2<|z|<4.
y
y
o
x
Copyright © Sino-i Technology Limited All rights reserved
o
x
Sino-i Technology Ltd.
1.IT复SM平/ IT面IL 问题
例1.当实数m为何值时,复数
(m2-
8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面中的对应点: (1)位于第四象限;
5.2 复数的向量表示 ITSM / ITIL
任何一个复数z = a + bi ,都可以由一个有序实数对( a , b) 唯一确 定;有序实数对( a , b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的.
复数z = a + bi 可用点Z(a,b)表示,这个建
y
立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复
平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴.
(1)若z1 z2 ,求的值;
6
(2)若z1 z2 ,求的值. Copyright © Sino-i Technology Limited All rights reserved
2024届新高考一轮复习人教A版 第5章 第5讲 复数 课件(53张)
的点位于( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(4)(2022·浙 江 卷 ) 已 知 a ， b ∈ R ， a ＋ 3i ＝ (b ＋ i)i(i 为 虚 数 单 位 ) ， 则
( B) A．a＝1，b＝－3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
D．a＝1，b＝3
(5)(2022·全国甲卷)若 z＝1＋i，则|iz＋3 z |＝( D )
＝ －42＋－32＝5，故选 B.
解法二：依题意可得 i2·z＝(3－4i)i，所以 z＝－4－3i，则|z|＝
－42＋－32＝5，故选 B.
6．(2022·全国新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝( D )
A．－2＋4i
B．－2－4i
C．6＋2i
D．6－2i
[解析] (2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.
－ 7．(2019·全国卷Ⅱ，2,5 分)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点
位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 由题意，得－z ＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－
2)，位于第三象限，故选 C.
考点突破 · 互动探究
考点一
复数的基本概念——ห้องสมุดไป่ตู้主练透
题组二 走进教材
2．(必修2P73T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a 的值为( B )
A．1
B．2
C．1或2
D．－1
[解析] 依题意，有aa2－－13≠a＋0，2＝0， 解得 a＝2.故选 B.
7.1复数的概念PPT课件(人教版)
若a, b, c, d R,
a bi c di
典型例题
例2 已知(2 x 1) i y (3 y)i ，其中x, y R
求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
讲 课
2x 1 y 1 (3 y)
解得 x 5 , y 4
2
人
：
邢
启 强
8
巩固练习
⑴已知 x y x 2y i 2x 5 3x y i ,
2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”C
的( )
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所
对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范
围.
讲
m 3 m 2或1 m 2
y 5
5
O
x
–5
16
巩固练习 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i
求证:对一切实数m，此复数所对应的点不可 能位于第四象限.
解题思考：
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
讲
课
人
：
邢
启 强
17
课堂小结
知识点：
1.虚数单位i的引入； 复数的代数情势:
7.1 复数的概念
复数的几何意义
新课引入 数系的扩充与复数的概念
自然数 用图形表示数集包含关系：
数
23?
系
正有理数
的 扩
a bi c di
典型例题
例2 已知(2 x 1) i y (3 y)i ，其中x, y R
求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
讲 课
2x 1 y 1 (3 y)
解得 x 5 , y 4
2
人
：
邢
启 强
8
巩固练习
⑴已知 x y x 2y i 2x 5 3x y i ,
2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”C
的( )
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所
对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范
围.
讲
m 3 m 2或1 m 2
y 5
5
O
x
–5
16
巩固练习 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i
求证:对一切实数m，此复数所对应的点不可 能位于第四象限.
解题思考：
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
讲
课
人
：
邢
启 强
17
课堂小结
知识点：
1.虚数单位i的引入； 复数的代数情势:
7.1 复数的概念
复数的几何意义
新课引入 数系的扩充与复数的概念
自然数 用图形表示数集包含关系：
数
23?
系
正有理数
的 扩
复数的概念_课件
复数的几何意义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个 复数叫做互为共轭复数(conjugate complex number).虛部不 等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用z表 示，即如果z=a+bi.那么z=a-bi.
若z1，z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎 样的关系?
数组成呢？
a＋bi（a，b∈R
2.把形如a＋）bi（a，b∈R）的数叫做复数，全体复数所成
的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？
C＝{a＋bi|a，b∈R}
复数的概念
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形 式叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚 部。
思考：在复平面内，原点(0，0)，点(2，0)，点(0，－1)，点(-2 ，3)所表示的复数分别是什么？0，2，－i，－2＋
3i.
复数的几何意义
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示， 面有序实数对与复数是一一对应的。你能用平酉向量来表示复数嘿?
1.设复数z1=4+3i, z2=4-3i, (1)在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量; (2)求复数z1，z2的模，并比它们的模的大小.
关于x轴对称
1.说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为 1).
B
D
D
总结 复数的概念
数系的扩充与复数的引入
复数的基本概念和组成部 分
复数和有序数对的对应关 系
数系每次扩充的基本原则： 第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾 。
我们设想引入一个新数，用字母i表示，使这个数是－1的平方根 ，即 i2＝－1，那么方程 ＋1＝0的根是什么？
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第4节 复数 课件(50张)
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
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内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
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内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
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2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
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5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
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内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
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内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
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2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
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5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.
复数PPT课件
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数 Z m 2 m 2 ( m 2 1 ) i是
（1）实数;（2）虚数 ;（3）纯虚数.
(1)m1; (2)m1; (3)m2.
4、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就
说这两个复数相等．即如果 a,b,c,dR ，那么
a b i c d i a c ,b d
特别地，a+bi=0 a0,b0. 注： 两个复数（除实数外）只能说相等或不相 等，而不能比较大小.
5、共轭复数
实部相等,虚部互为相反数的两个复数 互为共轭复数.
第
①解决实际问题的需要 由于计数的需要产生了自然数；为了表示具
有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的 需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如 正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生 了无理数（既无限不循环小数）。
②解方程的需要。
为了使方程 x+5=3 有解，就引进了负数； 为了使方程 3x=5 有解，就要引进分数；为了 使方程 x2=2 有解，就要引进无理数。
二、实数集的进一步扩展
——— 数集的第四次扩展（R→?） 问题2 : 解方程 x²= - 2
x 2i,x2i
问题3 解方程 (x +1)²=-2
x 12 i,x 12 i
二、复数
1、复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位. 全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
复数的几何意义 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册(共25张PPT)
[跟踪训练 2]
1、在复平面内,A,B,三点对应的复数分别为1,2＋i,－1＋2i. （1）求向量 ―A→B ，―A→C ，―B→C 对应的复数； （2）若ABCD为平行四边形,求D对应的复数．
解析（1）设 O 为坐标原点，由复数的几何意义知： ―O→A ＝(1,0)，―O→B ＝(2,1)，―O→C ＝(－1,2)， 所以―A→B ＝―O→B －―O→A ＝(1,1)， ―A→C ＝―O→C －―O→A ＝(－2,2)，―B→C ＝―O→C －―O→B ＝(－3,1)， 所以―A→B ，―A→C ，―B→C 对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－
[跟踪训练 1]
1、实数 x 取什么值时，复平面内表示复数 z＝x2＋x－6 ＋(x2－2x－15)i 的点 Z： (1)位于第三象限； (2)位于直线 x－y－3＝0 上．
解析 因为 x 是实数，所以 x2＋x－6，x2－2x－15 也是实数．
x2＋x－6<0，
(1)当实数 x 满足
即－3<x<2 时，点 Z 位于第
自主预习,回答问题
阅读课本70-72页,思考并完成以下问题
1、复平面是如何定义的,复数的模如何求出？ 2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实 数还是虚数？
要求：学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问 题。
知识清单
1．复平面
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 2复数 z＝a＋bia，b∈R
x2－2x－15<0，
三象限．
(2)当实数 x 满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即 3x＋6＝0，
x＝－2 时，点 Z 位于直线 x－y－3＝0 上．
《复数基础知识》课件
02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。
【课件】复数的几何意义+课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
此类问题可根据复数的实部与虚部 应满足的条件列出方程(组)，通过 解方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练1 求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋ (m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面内的x轴上方；
解 ∵点Z在x轴上方， ∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2.
例2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对
应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
解 记O为复平面的原点， 由题意得O→A＝(2,3)，O→B＝(3,2)，O→C＝(－2，－3). 设O→D＝(x，y)，则A→D＝(x－2，y－3)，B→C＝(－5，－5). 由题意知，A→D＝B→C，所以xy－－23＝＝－－55，， 即xy＝＝－－32，， 故点D对应的复数为－3－2i.
D.4
解析 ∵z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R， ∴|z|＝ x＋12＋x－32＝ 2x2－4x＋10 ＝ 2x－12＋8≥ 8＝2 2(当且仅当 x＝1 时取等号). ∴|z|的最小值为 2 2.
(2)已知复数 z1＝x2＋ x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意 x∈R 均有|z1|>|z2| 成立，则实数 a 的取值范围是___－__1_，__12_ __.
知识梳理
1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴， y轴叫做 虚轴 ，实轴上的点都表示 实数 ；除了 原点 外，虚轴上的 点都表示 纯虚数 . 2.复数集C中的数和复平面内所有的点组成的集合是 一一对应 的， 即复数z＝a＋bi ←一――一――对――应→ 复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种 几何意义.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合. 3.常见误区：虚数不能比较大小，虚 数的模可以比较大小.
复数的几何表示ppt课件
指数表示式为
z
3 i
e10 .
内容小结
1.复数的模、辐角、幅角主值; 2.复数的各种表示法.
各种表示法可相互转化,
思考题
1.是否任意复数都有辐角?
它的模为零而辐角不确定.
作业
习题一: 1(2)(4)、2、4(1)(6) 7,8(3)(4)(5)
例4 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
2.用复平面上的向量表示复数
向量 OP与复数 z 一x 一iy对应，故用它表示复数.
y
P
z x iy
z
o
x
注意： 复数 z，点 z，向量 z 可视为同一个概念。
y
z 与 z 在复平面上关于实轴对称. y r
z x yi
O
x
x
z x yi
二、复数的模和幅角
复数z 的模：向量 OP的长度， 记作
由于z 位于第三象限，
arg z arctan ( 1 ) π 3
arctan
1 3
π .
y
3
x
1
arctan y
x
arctan y
x
arctan y x
arctan y x
例2 证明复平面上的三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，
6
6
5π i
z 4e 6 . 习惯上取主辐角
例5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
z sin i cos ;
5
5
解 r z 1,
sin
复数的向量表示课件
向量 OZ ,由点 Z (a, b) 唯一确定.
复数 z a bi
一一对应
点 Z (a, b)
向量 OZ
注意点：（1）复数z a bi 用小写z来表示
(2)向量 OZ 与点Z (a, b)用大写字母表示
例:1.用复平面的点和向量分别表示表示复数:
2, i, 3 2i, 3 2i,
如图:两个共轭复数 3 2i, 3 2i,
0 -1
-2
-3
D
1 2 3x
B(1,-3)
3
3
5
如图(左),正方形的面积
5
S 88 64
5
3
如图(下),长方形的面积
S 135 65
tan 2
5 tan 3
8
21485 203322
5
8
3
5 3
小结、布置作业
1.复数与点的对应关系 2.复平面的建立 3.复数的向量表示 4.复数的模
是关于实轴 x 轴对称的.
结论:两个共轭复数 z 和
z , 它们在复平面内所对C(-3,2)
应的点是关于 x 轴对
y
3 2 1 A(2,0)
称的-----共轭复数的几
-3
-2
-1
0 -1
12 B(0,-1)
3x
何性质
-2 D(-3,-2) -3
测试题
1.在复平面内,下列复数所对应的点在 第四象限的是( B ).
对 Z (a, b) 一一对应。
2 .复平面的建立
在直角坐标系中,
y
b
z : a bi
横坐标为实部 a ,
纵坐标为虚部 b 的
o
a
x
点 Z(a,b) 来表示复数 z a bi.
复数 z a bi
一一对应
点 Z (a, b)
向量 OZ
注意点：（1）复数z a bi 用小写z来表示
(2)向量 OZ 与点Z (a, b)用大写字母表示
例:1.用复平面的点和向量分别表示表示复数:
2, i, 3 2i, 3 2i,
如图:两个共轭复数 3 2i, 3 2i,
0 -1
-2
-3
D
1 2 3x
B(1,-3)
3
3
5
如图(左),正方形的面积
5
S 88 64
5
3
如图(下),长方形的面积
S 135 65
tan 2
5 tan 3
8
21485 203322
5
8
3
5 3
小结、布置作业
1.复数与点的对应关系 2.复平面的建立 3.复数的向量表示 4.复数的模
是关于实轴 x 轴对称的.
结论:两个共轭复数 z 和
z , 它们在复平面内所对C(-3,2)
应的点是关于 x 轴对
y
3 2 1 A(2,0)
称的-----共轭复数的几
-3
-2
-1
0 -1
12 B(0,-1)
3x
何性质
-2 D(-3,-2) -3
测试题
1.在复平面内,下列复数所对应的点在 第四象限的是( B ).
对 Z (a, b) 一一对应。
2 .复平面的建立
在直角坐标系中,
y
b
z : a bi
横坐标为实部 a ,
纵坐标为虚部 b 的
o
a
x
点 Z(a,b) 来表示复数 z a bi.
复数的向量表示
例2:解方程:3z+|z|=1-3i. 解:设z=x+yi(x,y∈R),则3(x+yi)+|x+yi|=1-3i,即 3x+ x 2 y 2 +3yi=1-3i.
3 x x 2 y2 1 x 0 . 由复数相等的条件得: 3 y 3 y 1
所以z=-i. 延伸1:已知z=|z|i,求复数z的对应点的轨迹.
解:设z=x+yi(x,y∈R),则x+yi=
x 0 x 0 . 2 2 x y y 0 y
x
2
y i.
2
所以复数z的对应点的轨迹是虚轴的上半轴和原点 (即轨迹是一条射线).
例3:设全集为C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z ∈C},若z∈A∩(CCB),求复数z在复平面内对应点的 轨迹. 解:由||z|-1|=1-|z|∈R,得|z|-1≤0,即|z|≤1;
b O a x
复数z=a+bi
一一对应
复平面点Z(a，b)
这是复数的一种几何意义.
2.共轭复数 当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数 称为共轭复数.特别地,虚部不等于0的两个共轭复数 也叫做共轭虚数. __ __ 复数z的共轭复数用 z 表示,即z=a+bi,则 z =a-bi. __ z R 的充分必要条件是 z z . __ z∈{纯虚数}的充分必要条件是 z z_且z 0. _ 复平面内与一对共轭复数对应的点Z和 Z 关于实轴 对称. y Z:a+bi
-b O a b __ x
Z :a-bi
3.复数的向量表示 设复数z=a+bi对应点Z(a,b),连结OZ,则向量OZ表示复 数z,(规定实数0与零向量对应). y 一一对应 Z:a+bi 复数z=a+bi 平面向量OZ b 我们常把复数z=a+bi说成点Z或向 量OZ,并规定,相等的向量表示同 O a x 一个复数. 向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模(绝对值),记作|z|或 |a+bi|.即|z|=|a+bi|=r=a2+b2≥0. 模的几何意义:表示该复数在复平面内对应点与原点 之间的距离. __ 显然有 | z | | z | . z 0 | z | 0 . 注意:任意两个复数不一定可以比较大小,但它们的模 由于都是非负的实数,所以一定能比较大小.
复数的向量表示
复数模的性质： （） = z 1 z （2）z1 − z 2 ≤ z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 （3） 1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 z z1 z1 （4） = （z 2 ≠ 0） z2 z2
1 例1.求复数z1 = 3 + 4i及z 2 = − − 2i的模, 2 并且比较它们的模的大小.
是复数z= 点Z(a,b), 向量 OZ 是复数 a + bi ( a , b∈R) ∈ 的另外两种表示形式,它们都是复数 它们都是复数z= 的另外两种表示形式 它们都是复数 a + bi 的几何表示. 的几何表示
复数z= 复数 a + bi ( a , b∈R) ∈
一一对应
复平面上的点Z(a,b) 复平面上的点
2 2
4.复数 复数模的图形问题 复数,复数模的图形问题 复数 复数z=icosθ,θ∈[0,2π)的几何表示是 ) 的几何表示是( 例1.复数 复数 ∈ 的几何表示是 (A)虚轴 (B)虚轴除去原点 虚轴; 虚轴除去原点; 虚轴 虚轴除去原点 (C) 线段 线段PQ,点P,Q的坐标分别为 的坐标分别为(0,1),(0,-1); 点 的坐标分别为 (D) C中线段 中线段PQ,但应除去原点 但应除去原点. 中线段 但应除去原点 C 例2.设z= x + yi ( x , y∈R),在复平面上画出满 设 ∈ 在复平面上画出满 足下列条件的点Z的集合所表示的图形 的集合所表示的图形: 足下列条件的点 的集合所表示的图形 (1)x∈R＋且y∈R; (2) │x│≤4且0<│y│<2; (3) ∈ ∈ 且 │z│≤2且x+y=2; 且 (4)z= x + yi, x<0, y>0,且x2 +y2 <9. 且
《复数的几何意义》课件
复数的共轭是保持实部不变，虚部取相反数的复 数。
复数的幅角
复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角。
复数的几何运算
1
复数的加减法
将实部和虚部分别相加或相减。
复数的乘法
2
将模相乘，幅角相加。
3
复数的除法
将模相除，幅角相减。
复数的幂运算
4
将模的幂乘以幅角。
应用举例
电路分析
复数可以用来分析交 流电路中的电流、电 压和功率。
振荡电路设计
复数在振荡电路的频 率分析和滤波器设计 中起重要作用。
信号处理
复数可以用来分析和 处理信号的频谱和相 位。
图像处理
复数在图像处理中用 于表示和变换图像。
结论
1 复数具有重要的几何意义和应用价值 2 掌握复数的坐标表示、运算和几何
意义是掌握复数的关键
复数在数学和物理领域具有广泛的应用，深
复数的运算包括加减法、乘法、除法和幂运算。
复数的坐标表示
笛卡尔坐标系
使用实数轴和虚数轴来表示复数。
极坐标系
使ห้องสมุดไป่ตู้模和幅角来表示复数。
复数的几何意义
复平面
复数可以在复平面上表示， 实部为x轴坐标，虚部为y轴 坐标。
复数在平面内的表示
复数表示平面内的点或向量。
复数的模
复数的模表示复数到原点的 距离。
复数的共轭
入理解复数对我们的学习和工作具有重要价
通过学习与实践，我们可以掌握复数的基本
值。
概念、运算规则和几何意义，从而更好地应
用于不同领域。
《复数的几何意义》PPT 课件
欢迎来到《复数的几何意义》PPT课件！在这个课件中，我们将探索复数的世 界，了解复数的定义、表示和运算，以及复数在几何中的意义和应用。让我 们开始这个精彩的旅程吧！
复数的幅角
复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角。
复数的几何运算
1
复数的加减法
将实部和虚部分别相加或相减。
复数的乘法
2
将模相乘，幅角相加。
3
复数的除法
将模相除，幅角相减。
复数的幂运算
4
将模的幂乘以幅角。
应用举例
电路分析
复数可以用来分析交 流电路中的电流、电 压和功率。
振荡电路设计
复数在振荡电路的频 率分析和滤波器设计 中起重要作用。
信号处理
复数可以用来分析和 处理信号的频谱和相 位。
图像处理
复数在图像处理中用 于表示和变换图像。
结论
1 复数具有重要的几何意义和应用价值 2 掌握复数的坐标表示、运算和几何
意义是掌握复数的关键
复数在数学和物理领域具有广泛的应用，深
复数的运算包括加减法、乘法、除法和幂运算。
复数的坐标表示
笛卡尔坐标系
使用实数轴和虚数轴来表示复数。
极坐标系
使ห้องสมุดไป่ตู้模和幅角来表示复数。
复数的几何意义
复平面
复数可以在复平面上表示， 实部为x轴坐标，虚部为y轴 坐标。
复数在平面内的表示
复数表示平面内的点或向量。
复数的模
复数的模表示复数到原点的 距离。
复数的共轭
入理解复数对我们的学习和工作具有重要价
通过学习与实践，我们可以掌握复数的基本
值。
概念、运算规则和几何意义，从而更好地应
用于不同领域。
《复数的几何意义》PPT 课件
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当复数 z 0 时，以实轴的正半轴为始边，
o
向量 OZ 为终边的角 叫做复数z a bi 的辐角．
ax
非零复数z a bi 的辐角都有无穷多个，其中区间[0,2 ) 内的辐角叫做
辐角主值，记作 arg z．
11
动脑思考 探索新知
当复数 z a bi 0 时，辐角可以由对应点Z(a,b) 的位置确定，分为 如下两种情况：
意知
z2 12 (1)2 2．
又 所以
tan 1 1,
1
arg
z2
π． 4
14
巩固知识 典型例题
例5 求下列各复数的模与辐角主值． (1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．
（3）由 a 2,b 1 知点Z3( 2, 1)在第三象限，故辐角为第三象限的角．
向量 OZ 的模叫做复数 z a bi 的模，记做 z 或 a bi ，即 z a bi OZ a2 b2．
一般地，复平面内表示一对共轭复数 z a bi和z a bi 的点 Z(a，b) 和Z (a， b) 关 于实轴对称.
y
z1(3,4)
4
3
2
1
-3
o -2 -1
-1
-2
-3
z3 (0 , 2) z4 (3, 0)
1 23 x
z2 (3, 4)
-4
7
动脑思考 探索新知
如图所示，设复平面内的点Z（a，b）表示复数 z a bi，以原点
O为始点，点Z为终点作位置向量 OZ ，那么向量 OZ 由点Z唯一确定；
反之，点Z（a，b）（即复数 z a bi ）
y
也可以由向量 OZ 唯一确定. 于是复数
b
Z(a,b)
z a bi 量对应），因此， 复数 z a bi 可用向量 OZ 表示．
b
Z(a,b)
Ｏ
a
x
5
巩固知识 典型例题
例1 用复平面内的点表示复数：
y
z1(3,4)
4
z1 3 4i，z2 3 4i，z3 2i，z4 3．
3
2
解 如图所示，表示复数 z1 的点是 Z1(3，4)，
1
表示复数 z2的点是 Z2 (3， 4)，
-3
o -2 -1
o
ax
8
巩固知识 典型例题
例2 用向量表示下列复数：
z1 1 2i，z2 3 i，z3 1.5i，z4 2．
解 如图所示，向量OZ1、OZ2、OZ3、OZ4
分别表示复数 z1、z2、z3、z4．
-3 -2
y
2
z1
1
-1
o1
z4
2x
z2
-1
z -1.5 3
-2
9
运用知识 强化练习
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.
第7章 复数
§7.3 复数的向量表示
.
2
创设情境 兴趣导入
任何一个实数a都可以用数轴上的一个点表示． 例如，实数1.5可以用数轴上的点A表示
3
动脑思考 探索新知
一.复数的向量表示 由复数相等的定义知，任何一个复数 z a bi(a，b R) 都对应唯一的有序
指出图中各点所表示的复数．
10
动脑思考 探索新知
二.复数的模和辐角
向量 OZ 的模叫做复数 z a bi 的模（如图），记做 z 或 a bi ，
即 z a bi OZ a2 b2
y
特别地，当b=0时，z=a，于是 z a ，此
b
Z(a,b)
时z的模等于实数a的绝对值.
o
Z(a,b)
ax 12
巩固知识 典型例题
例3 求下列各复数的模与辐角主值．
(1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．
解 （1）由a 1，b 3 知点 Z1(1，3) 在第一象限，故辐角为第一象限 的角．由题意知
z1 12 ( 3)2 2．
又
tan 3 3，
1
所以
arg
z1
π． 3
13
巩固知识 典型例题
例4 求下列各复数的模与辐角主值． (1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．
（2）由a 1,b 1知点 Z2(1，1) 在第四象限，故辐角为第四象限的角．由题
（4）由 a 0,b 5 0 知，
z4
02
52
5，arg z4
π． 2
16
运用知识 强化练习
求下列复数的模和辐角主值．
(1)z1 4 4i；(2)z2 25i．
(1)z1 3 i；(2)z2 4．
17
自我反思 目标检测
什么叫做复数的模？如何求复数的模？
-1
表示复数z3的点是 Z3(0，2)， 表示复数 z4 的点是 Z4 (3，0)．
-2 -3
z2 (3, 4)
-4
z3 (0 , 2) z4 (3, 0)
1 23 x
6
巩固知识 典型例题
在例1中，z1 3 4i 与 z2 3 4i 是 共轭复数，它们所对应的点 Z1与 Z2 关于 实轴对称．
（1）当点 Z(a,b)在某个象限内时，其辐角可以由 tan b 和点Z(a,b)
a
所在的象限确定；
（2）当点Z(a,b) 分别在正半实轴、负半实轴、正半虚轴或负半虚轴上
时，其辐角分别为0、π、π 、 π ．
22
y
当复数 z a bi 0时，对应的向量是零向量，辐角可以取任意值. b
实数对(a，b)，而有序实数对(a，b)又对应直角坐标平面内的唯一的一个点Z ， 其坐标为(a，b)。
于是，复数 z a bi(a，b R) 可以用直角坐标系中的点Z(a，b)表示．
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（如图）. b
Z(a,b)
Ｏ
a
x
4
动脑思考 探索新知
在复平面内，x轴上的点都表示实数，y轴 上除去原点以外的点都表示纯虚数，因此，一 般将x轴称为实轴，y轴称为虚轴.
由题意知 又 所以
z3 ( 2)2 (1)2 3,
tan 1 2 ,
2 2 arg z3 35.3 180 144.7.
15
巩固知识 典型例题
例6 求下列各复数的模与辐角主值． (1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．