复数的向量表示PPT课件

o
ax
8
巩固知识 典型例题
例2 用向量表示下列复数：
z1 1 2i，z2 3 i，z3 1.5i，z4 2．
解 如图所示，向量OZ1、OZ2、OZ3、OZ4
分别表示复数 z1、z2、z3、z4．
-3 -2
y
2
z1
1
-1
o1
z4
2x
z2
-1
z -1.5 3
-2
9
运用知识 强化练习
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第7章 复数
§7.3 复数的向量表示
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2
创设情境 兴趣导入
任何一个实数a都可以用数轴上的一个点表示． 例如，实数1.5可以用数轴上的点A表示
3
动脑思考 探索新知
一.复数的向量表示 由复数相等的定义知，任何一个复数 z a bi(a，b R) 都对应唯一的有序
b
Z(a,b)
Ｏ
a
x
5
巩固知识 典型例题
例1 用复平面内的点表示复数：
y
z1(3,4)
4
z1 3 4i，z2 3 4i，z3 2i，z4 3．
3
2
解 如图所示，表示复数 z1 的点是 Z1(3，4)，
1
表示复数 z2的点是 Z2 (3， 4)，
-3
o -2 -1
（1）当点 Z(a,b)在某个象限内时，其辐角可以由 tan b 和点Z(a,b)
a
所在的象限确定；
（2）当点Z(a,b) 分别在正半实轴、负半实轴、正半虚轴或负半虚轴上
时，其辐角分别为0、π、π 、 π ．
22
y
当复数 z a bi 0时，对应的向量是零向量，辐角可以取任意值. b
由题意知 又 所以
z3 ( 2)2 (1)2 3,
tan 1 2 ,
2 2 arg z3 35.3 180 144.7.
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巩固知识 典型例题
例6 求下列各复数的模与辐角主值． (1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．
意知
z2 12 (1)2 2．
又 所以
tan 1 1,
1
arg
z2


π． 4
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巩固知识 典型例题
例5 求下列各复数的模与辐角主值． (1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．
（3）由 a 2,b 1 知点Z3( 2, 1)在第三象限，故辐角为第三象限的角．
O为始点，点Z为终点作位置向量 OZ ，那么向量 OZ 由点Z唯一确定；
反之，点Z（a，b）（即复数 z a bi ）
y
也可以由向量 OZ 唯一确定. 于是复数
b
Z(a,b)
z a bi 与向量 OZ 之间具有一一对应
关系（复数0与零向量对应），因此， 复数 z a bi 可用向量 OZ 表示．
实数对(a，b)，而有序实数对(a，b)又对应直角坐标平面内的唯一的一个点Z ， 其坐标为(a，b)。
于是，复数 z a bi(a，b R) 可以用直角坐标系中的点Z(a，b)表示．
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（如图）. b
Z(a,b)
Ｏ
a
x
4
动脑思考 探索新知
在复平面内，x轴上的点都表示实数，y轴 上除去原点以外的点都表示纯虚数，因此，一 般将x轴称为实轴，y轴称为虚轴.
当复数 z 0 时，以实轴的正半轴为始边，
o
向量 OZ 为终边的角 叫做复数z a bi 的辐角．
ax
非零复数z a bi 的辐角都有无穷多个，其中区间[0,2 ) 内的辐角叫做
辐角主值，记作 arg z．
11
动脑思考 探索新知
当复数 z a bi 0 时，辐角可以由对应点Z(a,b) 的位置确定，分为 如下两种情况：
一般地，复平面内表示一对共轭复数 z a bi和z a bi 的点 Z(a，b) 和Z (a， b) 关 于实轴对称.
y
z1(3,4)
4
3
2
1
-3
o -2 -1
-1
-2
-3
z3 (0 , 2) z4 (3, 0)
1 23 x
z2 (3, 4)
-4
7
动脑思考 探索新知
如图所示，设复平面内的点Z（a，b）表示复数 z a bi，以原点
指出图中各点所表示的复数．
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动脑思考 探索新知
二.复数的模和辐角
向量 OZ 的模叫做复数 z a bi 的模（如图），记做 z 或 a bi ，
即 z a bi OZ a2 b2
y
特别地，当b=0时，z=a，于是 z a ，此
b
Z(a,b)
时z的模等于实数a的绝对值.
-1
表示复数z3的点是 Z3(0，2)， 表示复数 z4 的点是 Z4 (3，0)．
-2 -3
z2 (3, 4)
-4
z3 (0 , 2) z4 (3, 0)
1 23 x
6
巩固知识 典型例题
在例1中，z1 3 4i 与 z2 3 4i 是 共轭复数，它们所对应的点 Z1与 Z2 关于 实轴对称．
又
tan 3 3，
1
所以
arg
z1

π． 3
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巩固知识 典型例题
例4 求下列各复数的模与辐角主值． (1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．
（2）由a 1,b 1知点 Z2(1，1) 在第四象限，故辐角为第四象限的角．由题
向量 OZ 的模叫做复数 z a bi 的模，记做 z 或 a bi ，即 z a bi OZ a2 b2．
o
Z(a,b)
ax 12
巩固知识 典型例题
例3 求下列各复数的模与辐角主值．
(1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．
解 （1）由a 1，b 3 知点 Z1(1，3) 在第一象限，故辐角为第一象限 的角．由题意知
z1 12 ( 3)2 2．
（4）由 a 0,b 5 0 知，
z4
02
52
5，arg z4

π． 2
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运用知识 强化练习
求下列复数的模和辐角主值．
(1)z1 4 4i；(2)z2 25i．
(1)z1 3 i；(2)z2 4．
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自我反思 目标检测
什么叫做复数的模？如何求复数的模？