第02章 受迫振动

上式右边第一项随时间衰减，称为暂态响应，第二项是持 续振动，称为稳态响应。待定常数A、由初始条件确定。 系统的最后振动状态只剩下稳态响应，下面研究稳态 响应与频率的关系。稳态振动（2.4）的频率与激励频率相 同，振幅| X |和相位差 是激励频率的函数，由（2.3）、 （2.4）式，将它们写成无量纲参数形式 F0 F0 k | X | 2 2 2 2 m k (0 2 ) 2 (20 ) 2 (k m ) (c )
F0 1 k 2
图2.5
当激励频率等于系统的固有频率时，即共振时，从 （2.15）式看，系统的稳态解为 F0 1 F0 1 x2 sin t , 振幅 2 2 k 1 s k 1 s 但再经仔细研究，无穷大的振幅不是瞬间达到的，而 是逐渐建立的。实际上，这时特解的假设模式应改为如下 形式 x2 X 2t sin( 0t ) 代入无阻尼受迫振动方程 0 x ( F0 / m) sin 0t x 得 即
放大率b
s
相角
s
由图可见，对于小阻尼和无阻尼情况，在s = 1附近， 放大因子有明显的极大值，这种现象称为共振，对应的激 励频率称共振频率，附近的幅频特性曲线称为共振峰。共 振频率的准确值由db /ds = 0 导出
m 0 1 2 2
(2.8)
当阻尼较小时，共振频率近似等于固有频率。因此，对受 迫振动，固有频率同样是一个重要的系统参数。共振峰的 高度为 1 bm (2.9) 2 1 2 幅频曲线 当＝ 2 / 2, b m 1 b (0); 因此当b 2 / 2时， 已没有共振峰。因此系统共振峰的高度和陡削程度由阻尼唯 一确定，定量关系由系统品质因数Q 描述： 1 (2.10) Q b s 1 2
由此得无阻尼受迫振动方程的特解为 X 00 X 00 x2 t sin(0t ) t cos0t (2.18) 2 2 2 X 00 t 随时间线性增长，如图2.6。 可见共振振幅 2
X 00 t 2
图2.6
例2.1 在图示系统中,已知m, c, k1, k2, f0和。求系统动力学方 程和稳态响应。
取广义坐标 ，本题为完整非定常系统。
m
x R cos l cos( ) y R sin l sin( )
O
R
B
l
( x, y )

x
sin l ( ) sin( ) R x cos l ( ) cos( ) R y 2 2Rl ( ) cos l 2 ( ) 2 2 y 2 R 2 v2 x
2 ( X 0 0 sin 0t )
2 X 2 0 cos( 0t ) X 2 02t sin( 0t )
2 2 X 2 0 t sin( 0t ) X 0 0 sin 0t
2 X 2 0 cos( 0t ) X 0 02 sin 0t 所以 90, X 0 0 X2 2
1 2 1 2 T I 0 mv 2 2 由Lagrange方程有
即
d T T 0 dt
d l 2 ( )] Rl ( ) sin 0 [ Rl dt
R 2 R (1 ) l l
显然，对小阻尼系统，可得 (2.11) Qb ,
m
b
Q
Q/ 2
1 参见图2.3, 当b Q / 2 时， 2 2 由(2.6)式解出对应的频率比为 s1 1 2 2 2 1 2 1 s2 1 2 2 1
2 2Fra Baidu bibliotek
1 2
图2.3
例2.2 离心摆激振器的力学模型如图所示。转子以角 速度 转动，由于激振扭距的作用，转子产生扭转振动
m sin t
转子每转一周简谐激振 n 次，为消减扭振采用一单铰接于 圆盘的B点，OB = R，摆长为 l，摆锤质量为m。不考虑初 值影响时求扭振振幅与单摆振幅的 o B 比，并讨论用单摆减震。（提示： l R 转子转速较高时，重力与质量力 相比很小，对于摆的影响可以忽 略不计。） 例2.2图 y 解：用Lagrange方程建立系统动力学程， m
§2.1 线性系统的受迫振动
1. 简谐激励的受迫振动 简谐激励力写成复数形式为 F (t ) F0ei t 阻尼系统受迫振动方程为 cx kx F0ei t m x
F(t)
图2.1 (2.1)
这是一个线性常系数非齐次常微分方程，激励项显含时间 变量t，因此系统成为非自治系统。线性方程的解可用叠加 法，即方程的全解＝齐次通解＋非齐次特解。齐次通解上 一章已求出，为
2
H ( ) e i
2
arctan{(k2 m )c /[k1k2 (k1 k2 )m ]}
所以
x z1 e
i (t )
z2 e
i (t )
返回得实数解为
x (k1 k2 ) F0 H ( ) sin(t ) c F0 H ( ) cos(t )
x1 k1
k1
x
F0 sin t
k2
图E 2.2
m
k2
m
F0 sin t
c
c 例2.1图
解：由Newton第二定律，得：
1 0 k2 ( x x1 ) k1 x1 cx k2 ( x x1 ) F0 sin t mx
(k1 k2 )mx k2cx k1k2 x cmx (k1 k2 ) F0 sin t c F0 cos t
t
图2.4
在实际系统中，总有阻尼存在，（2.16）式中的第一、 二项会很快衰减，当激励频率与固有频率接近时，会出现 一种特殊的振动现象，即拍振现象。解释如下： 令s = 1+2，上述条件下（2.16）式变为 X0 x (sin t s sin 0 t ) 2 1 s X0 (sin t sin 0 t ) 4 X0 ( sin 0 t ) cos 0 t 2 (2.17) X (t ) cos 0 t 因此，x可看成是振幅（X(t)）按慢频率（慢节拍）周期变 化（振幅不恒定、慢变）、位移按快频率变化（位移快变） 的周期振动，时间历程曲线如图2.5。
稳态响应 x2 | X | sin( t ) 全解 x Ae
t
sin( d t ) | X | sin( t )
(2.13)
或 x e t ( B sin d t C cos d t ) | X | sin( t ) 激励 F0 cos t 稳态响应 x2 | X | cos( t ) 全解 x Ae t sin( d t ) | X | cos( t ) 或 x e t ( B sin d t C cos d t ) | X | cos( t )
于是特解为
H ( )
1
x2 | X | e
i ( t )

i ( t ) e (2.4) (k m 2 ) 2 (c ) 2
F0
方程（2.1）的全解为为 x(t ) Ae t sin( d t ) | X | ei ( t )
(2.5)

1
所以 s2 s1
2 1 2 0 0
(2.12)
0 因此 Q
称为系统的带宽。 (2.11)、(2.12)式表明， 品质因素Q同时表征 了共振峰曲线的高度 和陡削程度，即Q越 大，则共振峰越高、 越陡削。
当系统的激励为正弦函数和余弦函数时，方程（2.1） 的解为 激励 F0 sin t
(1)
( 2)
由(2)式解出 x1 代入（1）式，得到关于 x 得系统动力学方程
(3)
i t 设方程（3）右边两项对应的稳态复数解分别为 z1eit 和 z2 e
得：
z1 (k1 k2 ) F0 H ( )
z2 cF0 H ( )
其中：H ( )
1 [k1k 2 (k1 k 2 )m 2 ] i[k 2 c cm 3 ]
(2.14)
上式中各个参数重写如下：
其中 A、 或 B、C由初始条件确定，
0 , d 0 1 2 ,
F0 X , 而X 0 2 2 2 k (1 s ) (2s ) X0
tan1
2s 1 s2
2. 受迫振动的过渡过程 系统从开始受到激励到稳态振动，有一个过程，称 为过渡过程。研究过度过程有实际意义，如机器的通过 共振问题。为简单起见，只说明无阻尼系统的过度过程。 在（2.13）式中，令阻尼等于零，得全解为 X0 (2.15) x ( B sin 0t C cos 0t ) sin t 1 s2 (0) x 0 ，得 代入初始条件 t 0 : x(0) x0 , x 0 x X0 x sin 0t x0 cos 0t (sin t s sin 0 t ) (2.16) 2 0 1 s 上式右边第一、二项是由初始条件引起的自由振动，第三 项是激励作用下的稳态振动，第四项是激励引起的自由振 动，这一项需要特别注意。振动的时间历程曲线如图2.4。
x1 Ae t sin( d t )
i t x Xe 非齐次特解用试凑法，设特解为 2 （2.1），得 X H ( ) F0 ,
，代入 (2.2)
k m 2 ic H()是激励频率 的复变函数，称为系统的频率响应函数， 简称频响函数。 H()写成指数形式为 1 i i H ( ) | H ( ) | e e (k m 2 ) 2 (c ) 2 (2.3) c 1 tan k m 2

02 X 0
2 0
(1 / ) (20 ) /
2 2 2 0 2
4 0

X0 (1 s 2 ) 2 (2 s) 2
c 1 20 1 2 s tan tan tan 2 2 2 k m 0 1 s2
1
F0 其中 X 0 为系统的静态位移， s 为频率比。 0 k
第二章 受迫振动
§2.1 线性系统的受迫振动 §2.2 几个简化的实际例子 §2.3 任意周期激励的响应 §2.4 非线性系统的受迫振动 §2.5 线性系统的瞬态响应
第二章 受迫振动
系统在外界激励下产生的振动称为 受迫振动，系统的受迫振动状态称为响 应。激励既可以是外界提供的直接的力、 力偶，也可能是间接作用因素，如温度、 电磁场、位移等变化。按激励随时间的 变化形式，可分为周期、瞬态和随机激 励，本章学习周期和瞬态激励下，系统 响应的求解方法和规律。
|X| 定义振幅放大因子 b 为 b ( s ) ，则可得 | X0 | 1 幅频特性 b (s) (1 s 2 ) 2 ( 2s ) 2
(2.6) (2.7)
2s 相频特性 tan 1 s2 幅频特性曲线和相频特性曲线如图2.2。
1
图2.2 幅频特性曲线和 相频特性曲线