高中物理的数学基础——矢量篇(其一)

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2020年2月8日

1绪论

物理学中有各种物理量，像质量、密度、能量、温度、压强等，在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小，这类物理量叫做标量；而像位移、速度、加速度、动量、力、力矩等，除数量的大小外还具有一定的方向，这类物理量叫做矢量。人教版高中物理教科书早在必修一便讲述了位移、速度等矢量，但却没有详细论述这个数学概念的始末。高中数学教材虽然比较充分地做了这些工作，但大部分同学直到高中二年级才有机会一览其面目。余是以为此文，以期不使矢量成为众人之拦路虎也。

余在此不打算引入过多的物理背景来介绍这个概念，亦不希望大家被纷繁芜杂的数学公式绕晕。余愿力求每一个高一新生都看得懂此文。所以我在参考其他教材的基础上，将矢量的相关知识点进行降维处理。另一方面，本文也要拓展一些高中数学教材上不曾讲过之物，如矢量的外积等。本人才疏学浅，难免有错漏或不宜之处，还请各路大神斧正。

本文中大量知识点被放在练习题的位置上，读者请务必认真对待练习题，勿浪费练习之神奇效用。

2矢量及其相关定义

数学上，既有大小又有方向的量被称为矢量（或向量）。我们常常用一条有方向的线段，即有向线段来表示矢量。

图1表示的是以A 点为起点，以B 点为终点的有向线段，其可代表一

个矢量，记作−→AB 。有时也可以用一个带箭头的字母来表示一个矢量，例

如 v 。有些打印稿也使用粗体字母来表示矢量，例如v ，其意义与 v 相同。

但需要注意的是，使用描粗英文字母的方法手写向量是不规范的行为，应

改用标于其上的箭头。其中，有向线段的长度表示矢量的大小，箭头的方

向表示矢量的方向。

图1:矢量−→AB 如果两个矢量a 和b 的长度相等且方向相同，我们就说这两个矢量是相等的，记作a =b 。

也就是说，经过平行移动后能完全重合的矢量是相等的。矢量的大小叫做矢量的模，用绝对值符号来表示。如矢量−→AB 的模记作|−→

AB |。模等于单位长度的矢量叫做单位矢量。模等于0的矢量叫做零矢量，也记作0或 0。此时可见矢量符号非常重要，如果省略则意义完全改变。由于零矢量的起点与终点重合，所以它的方向可以看作任意的。

现在我们来考虑两个矢量之间的夹角。对于两个矢量a 和b 而

言，我们总是可以通过平移的操作使它们的起点重合，如图2所示。

此时图示的角φ即为两个矢量之间的夹角，并记为ˆ(a ,b )。我们规

定0◦≤φ≤180◦。当两个矢量方向完全相同时，它们的夹角为0◦。

当两个矢量方向完全相反时，它们的夹角为180◦。若两个矢量同向

或者反向，我们称这两个矢量平行。若两个矢量间的夹角等于90◦，

我们称这两个矢量垂直。图2:矢量a 和b 之间的夹角零矢量是个特殊的矢量。由于零矢量的方向任意，所以零矢量和任意矢量的夹角大小均可以在0◦到180◦间任意取值。可以认为，零矢量与任意其他向量平行，也可以认为零矢量与任意

其他向量垂直。

在三维空间下，有关矢量的定义照样成立。我们仍可将待讨论的所有矢量之起点平移至同一点。特殊地，若如是平移后起点和所有终点在同一个平面上，则称这些矢量共面；若起点和所有终点在同一条直线上，则称这些矢量共线。可见，两个平行的矢量是共线的，两个共线的矢量也必定平行。、

用直角坐标系来描述空间和表示其中的矢量是基本的方法之一。我们先从二维平面说起。在建立O-xy 直角坐标系之后，对于某矢量v ，我们总可以通过平移的方法将其起点平移至坐标原点，经此操作后若矢量的终点坐标为(x 0,y 0)，则我们记v =(x 0,y 0)，并分别称x 0和y 0为矢量v 的x 轴分量大小和y 轴分量大小。

如图3所示，在该O-xy 坐标系下，矢量−→OA 满足−→

OA=(1,2)，且

其x 轴分量大小等于1，y 轴分量大小为2。使用勾股定理进行简单计算可知该矢量的模满足|−→OA |=√5

。图3:矢量的直角坐标示例

练习题2

1.判断矢量(1,2)是否和矢量(2,4)平行，并说明理由。

2.判断矢量(-1,1)是否和矢量(-3,-3)共线，并说明理由。

3.判断矢量(-2,1)是否和矢量(1,2)垂直，并说明理由。

4.判断矢量(-2,1)是否和矢量(1,2)垂直，并说明理由。

5.若某矢量(x 0,y 0)既与矢量v 平行又与其垂直，且x 0=0，试计算v 的模。

6.判断题：(x 1,y 1)=(x 2,y 2)当且仅当x 1=x 2和y 1=y 2同时成立。3二维矢量的数乘

设矢量v =(x 0,y 0)，则对于某实数λ，数乘λv 定义为另一个矢量，其坐标为

λv =(λx 0,λy 0).

当λ>0时，矢量的数乘相当于如下操作：保持矢量的方向不变，将其长度扩大或缩小至原长的λ倍。当λ<0时，该操作不仅改变了矢量的长度，还使矢量反向。当λ=0时，运算结果恒为零矢量。

我们可以举一些例子。如v =(1,2)，它的两倍2v 就等于(2,4)，它的三倍3v 就等于(3,6)，他的负一倍−1v 就等于(−1,−2)。另如a =(√3,23)，它的两倍2a 等于(2√3,43)，它的三倍3a 等于(3√3,2)，他的负一倍−1a 就等于(−√3,−23

)。练习题3

1.证明1乘以任何矢量都等于该矢量本身。

2.判断题：两个矢量相等当且仅当它们的模相等且它们的方向相同。你能否根据本题结果证明如下等式？

−1−→AB=−→

BA

3.证明矢量数乘满足结合律，即对任意的矢量v 、实数λ和µ，都有如下等式成立。

λ(µv )=µ(λv )=(λµ)v

4二维矢量的加减

设矢量a =(x 1,y 1)，矢量b =(x 2,y 2)，他们的和a +b 定义为另一个矢量，其坐标为

a +

b =(x 1+y 1,x 2+y 2).(1)

他们的差a −b 也定义为一个矢量，其坐标为

a −

b =(x 1−x 2,y 1−y 2).

(2)若矢量v =(1,2)，矢量a =(√3,23)，则有如下两式。

a +

b =(1+√3,83)a −b =(1−√3,43)说白了，矢量的加减就是把对应分量进行相应加减。容易看到，等式a −b =a +(−1b )成立。这个等式中同时出现了加减和数乘，但却没什么毛病，这意味着矢量加减和数乘的定义非常细致。可见，两个矢量相减等同于前一个矢量加上后一个矢量的“反向矢量”。

取矢量a =(1,2)，b =(2,3)，则显然a +b =(3,5)，而b +a =(3,5)也成立。换而言之，等式a +b =b +a 是成立的。这不免让人好奇矢量的加法是否也满足加法交换律。事实上，只要稍微把这些计算改写一下，把确定的数字改成字未知量，我们就能证明加法交换律。

下面我们来证明矢量加法满足交换律，即a +b =b +a ：设a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，则

a +

b =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(x 2+x 1,y 2+y 1)=b +a

证毕。其中第二个等号来源于练习题2的第6题。

用同样的思路和方法我们可以证明出很多其他的性质，我们把它们留作习题。总而言之，矢量加减和数乘的运算律和实数的运算律有很高的相似度。

一个定义不是凭空出现的。矢量加减法的定义具有很强的几何

背景，可以归结为三角形法则或者平行四边形法则。如图4所示，

若平面上有三个点A,B,C ,则可以证明总有−→AB +−→BC=−→AC 。换而

言之，若一串矢量首尾相连，则他们的和等于从最初的起点指向

最后的结局的有向线段表示的矢量。如果把这些矢量看作物理中

的位移，那么这个法则将显得非常自然：假如小明有一天从A 点走

图4:三角形法则到B 点，再从B 点走到C 点，结果就和小明从A 点走到C 点是一样的；第一段过程中小明发生的

位移是−→AB ，第二段过程中则是−→BC ，那么两段位移的总和自然是−→AC 。