高中物理的数学基础——矢量篇(其一)

高中物理的数学基础——矢量篇（其一）百度贴吧高中物理吧@浪漫主义学派2020年2月8日1绪论物理学中有各种物理量，像质量、密度、能量、温度、压强等，在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小，这类物理量叫做标量；而像位移、速度、加速度、动量、力、力矩等，除数量的大小外还具有一定的方向，这类物理量叫做矢量。

人教版高中物理教科书早在必修一便讲述了位移、速度等矢量，但却没有详细论述这个数学概念的始末。

高中数学教材虽然比较充分地做了这些工作，但大部分同学直到高中二年级才有机会一览其面目。

余是以为此文，以期不使矢量成为众人之拦路虎也。

余在此不打算引入过多的物理背景来介绍这个概念，亦不希望大家被纷繁芜杂的数学公式绕晕。

余愿力求每一个高一新生都看得懂此文。

所以我在参考其他教材的基础上，将矢量的相关知识点进行降维处理。

另一方面，本文也要拓展一些高中数学教材上不曾讲过之物，如矢量的外积等。

本人才疏学浅，难免有错漏或不宜之处，还请各路大神斧正。

本文中大量知识点被放在练习题的位置上，读者请务必认真对待练习题，勿浪费练习之神奇效用。

2矢量及其相关定义数学上，既有大小又有方向的量被称为矢量（或向量）。

我们常常用一条有方向的线段，即有向线段来表示矢量。

图1表示的是以A 点为起点，以B 点为终点的有向线段，其可代表一个矢量，记作−→AB 。

有时也可以用一个带箭头的字母来表示一个矢量，例如 v 。

有些打印稿也使用粗体字母来表示矢量，例如v ，其意义与 v 相同。

但需要注意的是，使用描粗英文字母的方法手写向量是不规范的行为，应改用标于其上的箭头。

其中，有向线段的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。

图1:矢量−→AB 如果两个矢量a 和b 的长度相等且方向相同，我们就说这两个矢量是相等的，记作a =b 。

也就是说，经过平行移动后能完全重合的矢量是相等的。

矢量的大小叫做矢量的模，用绝对值符号来表示。

如矢量−→AB 的模记作|−→AB |。

模等于单位长度的矢量叫做单位矢量。

模等于0的矢量叫做零矢量，也记作0或 0。

此时可见矢量符号非常重要，如果省略则意义完全改变。

由于零矢量的起点与终点重合，所以它的方向可以看作任意的。

现在我们来考虑两个矢量之间的夹角。

对于两个矢量a 和b 而言，我们总是可以通过平移的操作使它们的起点重合，如图2所示。

此时图示的角φ即为两个矢量之间的夹角，并记为ˆ(a ,b )。

我们规定0◦≤φ≤180◦。

当两个矢量方向完全相同时，它们的夹角为0◦。

当两个矢量方向完全相反时，它们的夹角为180◦。

若两个矢量同向或者反向，我们称这两个矢量平行。

若两个矢量间的夹角等于90◦，我们称这两个矢量垂直。

图2:矢量a 和b 之间的夹角零矢量是个特殊的矢量。

由于零矢量的方向任意，所以零矢量和任意矢量的夹角大小均可以在0◦到180◦间任意取值。

可以认为，零矢量与任意其他向量平行，也可以认为零矢量与任意其他向量垂直。

在三维空间下，有关矢量的定义照样成立。

我们仍可将待讨论的所有矢量之起点平移至同一点。

特殊地，若如是平移后起点和所有终点在同一个平面上，则称这些矢量共面；若起点和所有终点在同一条直线上，则称这些矢量共线。

可见，两个平行的矢量是共线的，两个共线的矢量也必定平行。

、用直角坐标系来描述空间和表示其中的矢量是基本的方法之一。

我们先从二维平面说起。

在建立O-xy 直角坐标系之后，对于某矢量v ，我们总可以通过平移的方法将其起点平移至坐标原点，经此操作后若矢量的终点坐标为(x 0,y 0)，则我们记v =(x 0,y 0)，并分别称x 0和y 0为矢量v 的x 轴分量大小和y 轴分量大小。

如图3所示，在该O-xy 坐标系下，矢量−→OA 满足−→OA=(1,2)，且其x 轴分量大小等于1，y 轴分量大小为2。

使用勾股定理进行简单计算可知该矢量的模满足|−→OA |=√5。

图3:矢量的直角坐标示例练习题21.判断矢量(1,2)是否和矢量(2,4)平行，并说明理由。

2.判断矢量(-1,1)是否和矢量(-3,-3)共线，并说明理由。

3.判断矢量(-2,1)是否和矢量(1,2)垂直，并说明理由。

4.判断矢量(-2,1)是否和矢量(1,2)垂直，并说明理由。

5.若某矢量(x 0,y 0)既与矢量v 平行又与其垂直，且x 0=0，试计算v 的模。

6.判断题：(x 1,y 1)=(x 2,y 2)当且仅当x 1=x 2和y 1=y 2同时成立。

3二维矢量的数乘设矢量v =(x 0,y 0)，则对于某实数λ，数乘λv 定义为另一个矢量，其坐标为λv =(λx 0,λy 0).当λ>0时，矢量的数乘相当于如下操作：保持矢量的方向不变，将其长度扩大或缩小至原长的λ倍。

当λ<0时，该操作不仅改变了矢量的长度，还使矢量反向。

当λ=0时，运算结果恒为零矢量。

我们可以举一些例子。

如v =(1,2)，它的两倍2v 就等于(2,4)，它的三倍3v 就等于(3,6)，他的负一倍−1v 就等于(−1,−2)。

另如a =(√3,23)，它的两倍2a 等于(2√3,43)，它的三倍3a 等于(3√3,2)，他的负一倍−1a 就等于(−√3,−23)。

练习题31.证明1乘以任何矢量都等于该矢量本身。

2.判断题：两个矢量相等当且仅当它们的模相等且它们的方向相同。

你能否根据本题结果证明如下等式？−1−→AB=−→BA3.证明矢量数乘满足结合律，即对任意的矢量v 、实数λ和µ，都有如下等式成立。

λ(µv )=µ(λv )=(λµ)v4二维矢量的加减设矢量a =(x 1,y 1)，矢量b =(x 2,y 2)，他们的和a +b 定义为另一个矢量，其坐标为a +b =(x 1+y 1,x 2+y 2).(1)他们的差a −b 也定义为一个矢量，其坐标为a −b =(x 1−x 2,y 1−y 2).(2)若矢量v =(1,2)，矢量a =(√3,23)，则有如下两式。

a +b =(1+√3,83)a −b =(1−√3,43)说白了，矢量的加减就是把对应分量进行相应加减。

容易看到，等式a −b =a +(−1b )成立。

这个等式中同时出现了加减和数乘，但却没什么毛病，这意味着矢量加减和数乘的定义非常细致。

可见，两个矢量相减等同于前一个矢量加上后一个矢量的“反向矢量”。

取矢量a =(1,2)，b =(2,3)，则显然a +b =(3,5)，而b +a =(3,5)也成立。

换而言之，等式a +b =b +a 是成立的。

这不免让人好奇矢量的加法是否也满足加法交换律。

事实上，只要稍微把这些计算改写一下，把确定的数字改成字未知量，我们就能证明加法交换律。

下面我们来证明矢量加法满足交换律，即a +b =b +a ：设a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(x 2+x 1,y 2+y 1)=b +a证毕。

其中第二个等号来源于练习题2的第6题。

用同样的思路和方法我们可以证明出很多其他的性质，我们把它们留作习题。

总而言之，矢量加减和数乘的运算律和实数的运算律有很高的相似度。

一个定义不是凭空出现的。

矢量加减法的定义具有很强的几何背景，可以归结为三角形法则或者平行四边形法则。

如图4所示，若平面上有三个点A,B,C ,则可以证明总有−→AB +−→BC=−→AC 。

换而言之，若一串矢量首尾相连，则他们的和等于从最初的起点指向最后的结局的有向线段表示的矢量。

如果把这些矢量看作物理中的位移，那么这个法则将显得非常自然：假如小明有一天从A 点走图4:三角形法则到B 点，再从B 点走到C 点，结果就和小明从A 点走到C 点是一样的；第一段过程中小明发生的位移是−→AB ，第二段过程中则是−→BC ，那么两段位移的总和自然是−→AC 。

类似地，我们可以把小明的路分成更多段。

如图5左侧所示，首尾相连的a ,b ,c 的和就是从最初的起点指向最后的结局的矢量a +b +c 。

如图5中部所示，首尾相连图5:三角形法则应用实例的a 1,a 2,a 3,a 4,a 5的和就是从最初的起点指向最后的结局的矢量s 。

图5右侧告诉我们平行四边形法则和三角形法则其实是同一回事。

当矢量a 和b 的起点重合时，若仍然要用三角形法则，则需要进行恰当的平移。

过程中，−→AD 被平移至−→BC ，相当于以线段AD 和线段AB 为邻边构造了一个平行四边形，而我们所需要的a +b 就等于−→AC ，亦即平行四边形的对角线。

这种取对角线的法则被叫做平行四边形法则，它被广泛应用于求合力或者合速度的物理分析之中。

练习题41.试用本节中的(1)式证明三角形法则或平行四边形法则。

可以参考下图。

2.观察等式−→AB −−→AC =−→AB +−→CA =−→CA +−→AB =−→CB 。

试给出每一个等号的依据，并由该等式叙述矢量相减的三角形法则。

3.试证明矢量的加法结合律a +(b +c )=(a +b )+c 。

4.试证明矢量运算的第一分配率(λ+µ)a =λa +µa 。

5.试证明矢量运算的第二分配率λ(a +b )=λa +λb 。

6.试用三角形定则证明|a +b |≤|a |+|b |及|a −b |≤|a |+|b |，并分别指出不等式恰好取等号时两向量应满足的条件。

5小结本篇主要涉及矢量的概念、二维矢量的数乘与加减、二维矢量的直角坐标表示等内容。

所提知识点完全被包含于高中数学教材，实属于最基本之矢量知识内容。

读者需谙熟之，以备将来看下一篇之使用。

6阶段练习题1.设u =a −2b +2c ，v =−a +3b −c ，试用a ,b ,c 表示2u −3v 。

2.试证明：若矢量a =0，则b 与a 平行当且仅当存在唯一实数λ使得b =λa 。

3.如果平面上一个四边形的对角线相互平分，试用向量证明它是平行四边形。

4.平面上有O,A,B,C 四点，其中C 是AB 中点。

求证：−→OC=−→OA +12−→AB 。

4.平面上有O,A,B,C 四点，其中C 是AB 中点。

求证：−→OC=12−→OA +12−→OB 。

5.平面上有O,A,B 三点。

记BC 的五个五等分点依次为D 1,D 2,D 3,D 4,D 5，试用−→OA 和−→AB 分别表示−→OD 1,−→OD 2,−→OD 3,−→OD 4,−→OD 5。

6.平面上有O,A,B 三点。

记BC 的五个五等分点依次为D 1,D 2,D 3,D 4,D 5，试用−→OA 和−→OB 分别表示−→OD 1,−→OD 2,−→OD 3,−→OD 4,−→OD 5。

7.平面直角坐标系O-xy 上，有以下各点：O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)，C(3,-4)，D(-3,0)，E(−12,-1)，F(3,-3)，G(-2,-4)，H(π,e )。