一、四边形与特殊四边形的关系课件
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九年级数学中考专题(空间与图形)-第九讲《四边形(一)》课件(北师大版)
F D
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2
中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第五章 四边形 第特殊的平行四边形课件
点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝
°时，四边形BECD
是矩形．
12/9/2021
第二十九页，共六十四页。
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠OEB＝∠ODC. 又∵O为BC的中点， ∴＝. 在△BOE和△COD中，
【答案】 (1)BO，CO，OE，OD(方法不唯一) (2)∠BCD，∠BDC，OD，∠ODB(方法不唯一)
12/9/2021
第三十二页，共六十四页。
证明一个四边形是矩形的常用方法有：(1)首先证明这个 四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角或者证明其对 角线相等；(2)直接证明四边形有三个角都是直角.注意不能将 两个判定方法相混淆.
12/9/2021
第二十四页，共六十四页。
命题(mìng 正方形的性质(xìngzhì)与判定(8年4考) tí)点3 7．(2017·河南 9 题)我们知道：四边形具有不稳定性．如图，
在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB
在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O.固定点 A，B，把正方
12/9/2021
第三十八页，共六十四页。
(2)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝ . ∵△ADE≌△CDF， ∴AE＝ ， ∴BE＝ ， ∴∠BEF＝∠BFE.
【答案】 (1)CD，∠C，∠CFD，∠CFD，∠C，CD (2)CB，CF，BF
12/9/2021
第三十九页，共六十四页。
证明一个四边形是菱形的常用方法有：(1)首先证明这个 四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等或者对角线互 相垂直；(2)直接证明四边形的四条边都相等.注意不能将两个 判定方法混淆.
北师大版四年级下册数学《四边形分类》(课件)
）。
（2）只有一组对边平行的四边形叫作（ ）。
谈谈你的收获！
平行四边形
梯形
三角形
3.只剪一刀。
4.拼一拼。 下面哪两个图形能拼成长方形、平行四边形、梯形？剪下附页3图3 中的图形试一试。
4.拼一拼。
5.判断：
（1）任何一个四边形，不是梯形就是平行四边形。
（
）
（2）正方形也是平行四边形。（
）
（3）梯形是特殊的平行四边形。（
）
6.填空：
（1）两组对边分别平行的四边形叫（
北师大版小学四年级数学下册第二单元《认识三角形和四边形》
四边形分类
复习： 1.三角形可以怎么分类？
2.三角形三条边之间的关系是什么？
活动一：分一分
1
2
3
4
5
6
7
8
四人一组合作要求： （1）先观察各个四边形的特点，然后组内交流分一分。 （2）说说你们小组分类的标准是什么。
活动一：分一分
1
2
3
4
1.请将下面的图形进行分类，和同伴交流你的分法。剪下教 材附页3图2中的图形试一试。
2.在点子图上按要求画图。
··················· ··················· ··················· ··················· ···················
5
6
7
8
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
1
36
只有一组对边平行的四边形叫梯形。 2
4
7
两组对边都不平行动二：议一议
正方形、长方形、平行四边形之间有什么关系？
正方形
21、正方形与特殊四边形的综合PPT课件
中考新突破 · 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
18Biblioteka 202X权威 ·预 测1. 如图所示，矩形 ABCD 的面积为 10 cm2，它的两条对角线交于点 O1，以 AB、
AO1 为邻边作平行四边形 ABC1O1，平行四边形 ABC1O1 的对角线交于点 O2，同样以
中考新突破 · 数学(江西)
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三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
10
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH. ① 请 判 断 四 边 形 EFGH 的 形 状 为 __正__方__形____ ， 此 时 AE 与 BF 的 数 量 关 系 是 __A_E_＝__B__F__； ②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函 数关系式及面积y的取值范围．
中考新突破 · 数学(江西)
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三年中考 · 讲练
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第一部分 教材同步复习
20
2. 在 Rt△AEB 中 ， ∠AEB ＝ 90° ， 以 斜 边 AB 为 边 向 Rt△AEB 外 作 正 方 形 ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O(如图1)．
(1)求证：EO平分∠AEB； (2)试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．BD的长度增大 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变
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人教版四年级上册数学课件-第五单元第7课时认识梯形、平行四边形的关系(共15张PPT)
教科书第66页例4
我们认识了长方形、正方形……
长方形和正方形可以看成特殊 的平行四边形吗？为什么？
四年级上册数学课件-第五单元第7课 时 认识梯形、平行四边形的关系 人教版(共15张PPT)
四年级上册数学课件-第五单元第7课 时 认识梯形、平行四边形的关系 人教版(共15张PPT)
我们可以用下面的图来表示四边形之间的关系。
正方形 长方形 平行四边形
平行四边形 长方形
正方形
长方形 平行四边形
正边形
①
②
③
四年级上册数学课件-第五单元第7课 时 认识梯形、平行四边形的关系 人教版(共15张PPT)
四年级上册数学课件-第五单元第7课 时 认识梯形、平行四边形的关系 人教版((将正确答案的序号填在括号里)
二、在图中各画一条线段，把图形分成两个不 同的梯形。
四年级上册数学课件-第五单元第7课 时 认识梯形、平行四边形的关系 人教版(共15张PPT)
答案不唯一。
四年级上册数学课件-第五单元第7课 时 认识梯形、平行四边形的关系 人教版(共15张PPT)
五 课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 特殊梯形：两个腰相等的等腰梯形；有 一个角是直角的直角梯形。
一 复习导入
你能写出下面这图形的名称吗？
圆 平行四边形 三角形 正方形
四年级上册数学课件-第五单元第7课 时 认识梯形、平行四边形的关系 人教版(共15张PPT)
四年级上册数学课件-第五单元第7课 时 认识梯形、平行四边形的关系 人教版(共15张PPT)
二 新课探究
教科书第66页例3
你见过下面这样的图形吗？他们有什么
▷ 特殊的梯形： 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
《平行四边形的性质》PPT课件(第1课时)
（来自教材）
知3－练
证明：在▱ABCD中，因为AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE. 因为E为BC的中点，所以BE＝CE. FBE＝DCE， 在△FBE和△DCE中，BE＝CE , BEF＝CED， 所以△FBE≌△DCE.所以BF＝CD. 又因为AB＝CD，所以BF＝AB，即点B为AF的中 点．
（来自教材）
知3－讲
导引：根据BM平分∠ABC和AB∥CD可以判定△BCM 是等腰三角形，从而得到BC＝MC＝2，再结合 ▱ABCD的周长是14得到CD的长，进而得到DM的 长．具体过程如下： ∵在▱ABCD中，AB∥CD，BM是∠ABC的平分 线，∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2. 又∵▱ABCD的周长是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝ 3.
2. 数学表达式：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC.
（来自《点拨》）
知3－讲
例3 [中考·玉林]如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC
的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的
周长是14，则DM等于( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
（来自《点拨》）
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可 能出现等腰三角形，如本题中由AB∥CD和BM平分 ∠ABC就得到△BCM是等腰三角形；在平行四边形 的边的计算中，“平行四边形相邻两边之和等于平行 四边形的周长的一半”会经常用到．
（来自《点拨》）
知3－练
1 在▱ ABCD 中，已知AB=3，AD=2，求▱ ABCD的
第二十二章 四边形
平行四边形的性质
第1课时
中考数学专题复习课件-专题4-特殊四边形相关的证明与计算
(2)在BC边上取点F,使BF=
,连接OF;
(3)在CD边上取点G,使CG=
,连接OG;
(4)在DA边上取点H,使DH=
,连接OH.
由于AE=
+
=
+
=
+
=
.
可证S =S =S =S =S . △AOE 四边形EOFB 四边形FOGC 四边形GOHD △HOA
答案 3;2;1;EB;BF;FC;CG;GD;DH;HA
解析 (1)证明:∵EG垂直平分DC,∴DE=CE,
∴∠EDC=∠ECD.
∵CD平分∠ECG,∴∠ECD=∠DCG.∴∠EDC=∠DCG.
∴DE∥GC. (1分)
同理DG∥EC.∴四边形DGCE是平行四边形.
∵DE=CE,∴四边形DGCE是菱形. (2分)
(2)∵四边形DGCE是菱形,∴DG=DE=6.
解析 (1)证明:∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴DE= 1
2
1
BC=FC,DF= 2
AC=EC.
(1分)
∵AC=BC,∴DE=FC=DF=EC. (2分)
∴四边形DFCE是菱形. (3分)
(2)过点E作EH⊥BC于点H,如图.
∵AC=BC,∴∠A=∠B.∵∠A=75°,∴∠C=180°-∠A-∠B=30°. (4分)
图1,图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做 格点. (1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°; (2)在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积 的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积 没有剩余(画出一种即可).
四边形ppt课件
四边形ppt课件
REPORTING
目录
• 四边形基本概念与性质 • 平行四边形特征及判定方法 • 梯形特征及判定方法 • 多边形内角和与外角和计算公式 • 相似四边形判定定理及其证明过程 • 四边形在生活中的实际应用场景举例
PART 01
四边形基本概念与性质
REPORTING
四边形定义及分类
四边形定义
对角线互相平分的四边形是 平行四边形。
示例：已知四边形ABCD中 ，AB//CD，AD//BC，求证 ：四边形ABCD是平行四边 形。
矩形、菱形、正方形特殊性质
矩形特殊性质 矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等且互相平分。
矩形、菱形、正方形特殊性质
• 矩形是轴对称图形，对称轴是两条对角线的所在 直线。
计算六边形外角和
已知六边形边数为6，根据多边形外角和计算公式，六边 形外角和为360°。
PART 05
相似四边形判定定理及其 证明过程
REPORTING
相似四边形定义与性质
定义
两组对边分别成比例且夹角相等的四边 形称为相似四边形。
VS
性质
相似四边形的对应角相等，对应边成比例 ，面积比等于相似比的平方。
THANKS
感谢观看
REPORTING
多边形外角和计算公式推导
要点一
外角定义
要点二
公式推导
多边形的外角是指一个顶点处的外角等于相邻两个内角之 和的补角。
由于一个多边形的每个顶点处都有一个外角，且这些外角 的和等于360°，因此多边形外角和的计算公式为：360°。
应用实例分析
计算五边形内角和
已知五边形边数为5，根据多边形内角和计算公式，五边 形内角和为（5-2）×180°=540°。
REPORTING
目录
• 四边形基本概念与性质 • 平行四边形特征及判定方法 • 梯形特征及判定方法 • 多边形内角和与外角和计算公式 • 相似四边形判定定理及其证明过程 • 四边形在生活中的实际应用场景举例
PART 01
四边形基本概念与性质
REPORTING
四边形定义及分类
四边形定义
对角线互相平分的四边形是 平行四边形。
示例：已知四边形ABCD中 ，AB//CD，AD//BC，求证 ：四边形ABCD是平行四边 形。
矩形、菱形、正方形特殊性质
矩形特殊性质 矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等且互相平分。
矩形、菱形、正方形特殊性质
• 矩形是轴对称图形，对称轴是两条对角线的所在 直线。
计算六边形外角和
已知六边形边数为6，根据多边形外角和计算公式，六边 形外角和为360°。
PART 05
相似四边形判定定理及其 证明过程
REPORTING
相似四边形定义与性质
定义
两组对边分别成比例且夹角相等的四边 形称为相似四边形。
VS
性质
相似四边形的对应角相等，对应边成比例 ，面积比等于相似比的平方。
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REPORTING
多边形外角和计算公式推导
要点一
外角定义
要点二
公式推导
多边形的外角是指一个顶点处的外角等于相邻两个内角之 和的补角。
由于一个多边形的每个顶点处都有一个外角，且这些外角 的和等于360°，因此多边形外角和的计算公式为：360°。
应用实例分析
计算五边形内角和
已知五边形边数为5，根据多边形内角和计算公式，五边 形内角和为（5-2）×180°=540°。
四边形的认识ppt课件
总结词
对于特殊类型的四边形，如平行四边形、矩形等，有特定 的面积计算方法。
详细描述
对于平行四边形，如果知道其底和高，可以直接使用公式 A=底×高计算面积；对于矩形，可以使用公式A=长×宽 计算面积。
总结词
特殊四边形面积的求解方法需要依据具体的形状和条件来 确定。
详细描述
对于其他特殊类型的四边形，如梯形、菱形等，需要依据 其特定的性质和条件来求解面积，可能需要使用到一些复 杂的几何定理和公式。
四边形的周长和面积计算公式 与三角形的周长和面积计算公 式不同。
THANKS
感谢观看
详细描述
在建筑领域，四边形被广泛应用。矩形作为四边形的一种，因其稳定性和易于实 现的功能性，常被用于构建房屋、桥梁等建筑的基本框架。此外，斜交四边形、 平行四边形等也常用于建筑设计中，以实现特定的视觉效果和功能需求。
艺术中的四边形
总结词
四边形在艺术领域中常被用作构图的基础，以创造平衡和美感。
详细描述
在绘画、摄影和设计等领域，艺术家们经常使用四边形作为构图的基础。四边形的特性，如平衡、对称和稳定性 ，使得它们成为创造艺术作品时的理想选择。通过使用四边形，艺术家们可以创造出具有平衡感和美感的作品。
科技中的四边形
总结词
在科技领域，四边形常被用于计算机图形学、机器人技术等 领域。
详细描述
在计算机图形学中，四边形是构建二维图像的基本单元。例 如，矩形四边形被用于屏幕上的窗口和图标。此外，在机器 人技术中，四边形结构被用于构建机器人的移动部分和机械 臂，以实现精确的运动和稳定性。
详细描述
根据边的长度和角度的不同，四边形可以分为多种类型。其中，平行四边形是一组相对 边平行，其他两边相等的四边形；矩形是所有角都是直角的平行四边形；菱形是所有边 相等的平行四边形；正方形是所有角都是直角且所有边相等的四边形。这些不同类型的
平行四边形复习课件2022——2023学年人教版八年级下册数学
3.(2021•云南20题8分)如图，四边形ABCD是矩形，E，F分别 是线段AD，BC上的点，O是EF与BD的交点．若将△BED沿 直线BD折叠，则点E与点F重合． (1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若ED＝2AE，AB•AD＝3 3 ，
求EF•BD的值．
(1)证明：由折叠的性质可知△BED ≌△BFD， ∴BE＝BF, DE＝DF, ∠EBD＝∠FBD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠FBD， ∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE. ∵BE＝BF，DE＝DF， ∴BE＝BF＝DE＝DF， ∴四边形BEDF是菱形．
（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形是什么形状？为 什么？
走进中考
1.(2019•云南20题8分)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求
两条平行线中，一条直线
D H C b 上任意一点到另一条直线的距
离叫做两条平行线之间的距离.
a 平行线之间的距离处处相等。
2.三角形的中位线定理：
A
D
E
B
C
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于 第三边的一半．
3.直角三角形斜边上的中线：
A
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
五、中点四边形（拓展）
∠ADO的度数．
(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又 ∵∠AOB ＝ 2∠OAD ， ∠AOB ＝ ∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC ＝ AO ＋ OC ＝ 2AO ， BD ＝ BO ＋ OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
中考数学复习方案第五单元四边形第24课时特殊平行四边形一课件
别是 AC,AB 上的动点,连结 PE,PM,则 PE+PM 的最小值是
A.6
B.3 3
C.2 6
图24-10
D.4.5
(
)
[答案] C
[解析]作 M 关于 AC 的对称点 M',显然 E,P,M'三点在同一直线上,当 EM'⊥AD
时,EM'最短,此时 PM+PE 最小,如图.
依题意,sin∠DAC=
AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形 AMCN 是矩形,这个条件是 (
1
A.OM=2AC
B.MB=MO
C.BD⊥AC
D.∠AMB=∠CND
图24-2
)
[答案] A
[解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
∵对角线 BD 上的两点 M,N 满足 BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即 OM=ON,
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.
图24-6
例1 [2019·青岛]如图24-6,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长
AE至G,使EG=AE,连结CG.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.
3
32 +(3 2)2
3
=3,
所以 EM'=AC·sin∠DAC=6 2 ×
3
3
=2 6.
即 PM+PE 的最小值为 2 6,故选 C.
考向三 正方形的性质与判定的应用
例3 [2019·长沙]如图24-11,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF, AF与BE相交于点G.
A.6
B.3 3
C.2 6
图24-10
D.4.5
(
)
[答案] C
[解析]作 M 关于 AC 的对称点 M',显然 E,P,M'三点在同一直线上,当 EM'⊥AD
时,EM'最短,此时 PM+PE 最小,如图.
依题意,sin∠DAC=
AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形 AMCN 是矩形,这个条件是 (
1
A.OM=2AC
B.MB=MO
C.BD⊥AC
D.∠AMB=∠CND
图24-2
)
[答案] A
[解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
∵对角线 BD 上的两点 M,N 满足 BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即 OM=ON,
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.
图24-6
例1 [2019·青岛]如图24-6,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长
AE至G,使EG=AE,连结CG.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.
3
32 +(3 2)2
3
=3,
所以 EM'=AC·sin∠DAC=6 2 ×
3
3
=2 6.
即 PM+PE 的最小值为 2 6,故选 C.
考向三 正方形的性质与判定的应用
例3 [2019·长沙]如图24-11,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF, AF与BE相交于点G.
《正方形的性质与判定》特殊平行四边形PPT(第1课时)教学课件
再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可
F
得正方形；
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB .
第一章 特殊平行四边形
正方形的性质与判定
第1课时
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.了解正方形的定义及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明正方形的性质定理.（重点） 3.应用正方形的性质定理解决相关问题.（难点）
导入新课
活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？ 四个角呢？
A M
B
P
D
N C
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
课堂小结
矩形
平行四边形
一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分且相等）
菱形
正方形
请同学们动手完成以上证明？
A
D
O
B
C
提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形 的定理来完成该题.
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
一 正方形判定的定理
动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使
四边形课件ppt
正方形的面积计算公 式：面积 = 边长 × 边长
矩形的面积计算公式 ：面积 = 长 × 宽
02 矩形
矩形的定义
矩形的定义
矩形是有一个角是直角的平行四边形，也称为长方形。
矩形是特殊的平行四边形
矩形具有平行四边形的性质，同时也有特殊的性质和判定方法。
矩形的性质
对边相等
矩形的两条对边相等，这是平行 四边形的普遍性质。
03 梯形
梯形的定义
总结词
简单描述梯形的定义。
详细描述
梯形是一种四边形，其中有两边平行，而另外两边不平行。这两组边在梯形的顶 部和底部相交，形成一个开口。
梯形的性质
总结词
简单描述梯形的性质。
详细描述
梯形有一个平行四边形的性质，即其对角线互相平分。此外，梯形的两腰不等长。
梯形的判定
总结词
简单描述如何判断一个四边形是否为梯形。
四边形课件
contents
目录
• 四边形的定义与性质 • 矩形 • 梯形 • 平行四边形 • 菱形 • 正方形 • 四边形间的关系
01 四边形的定义与性质
四边形的定义
01
02
03
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边 形叫做平行四边形。
矩形的定义
有一个角是直角的平行四 边形叫做矩形。
正方形的定义
邻边相等且四个角都是直 角的平行四边形叫做正方 形。
四边形的性质
平行四边形的性质
对边平行且相等，对角相 等，邻角互补，对角线互 相平分。
矩形的性质
四个角都是直角，对角线 相等且互相平分。
正方形的性质
四个角都是直角，四条边 都相等，对角线相等且互 相垂直平分。
人教版八年级数学下册《特殊的平行四边形》复习课件
AE的长为（
A.4
）
B. 3
C.10
D.12
A
D
F
G
B
E
C
例
如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别
在正方形ABCD的边上，且AH=2，连接CF.
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形。
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积。
D
G
C
F
H
A
A
C
O
B
N
）
矩形的探究性问题
A
例 如图，在△ABC中，DE分别是AB，
AC的中点，连接DE并延长至点F，使
E F = D E ， 连 接 C F.
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形。
（2）探究：当△ABC满足什么条件时，
B
四边形ADCF是矩形，并说明理由。
D
E
F
C
N
A
B
如图，已知AD//BC，AB//CD，∠B=∠BCD.
4、正方形既是矩形，又是菱形；
5、理解矩形、菱形、正方形的关系。
框架
矩形
正方形
平行四边形
菱形
定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（特殊在角）
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。（特殊在边）
正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形。
点PQ分别在BD，AD上，则PA+PQ的最小值为_______。
Q
A
D
P
E
B
C
CD在∠MON的内部，顶点A,B分别在射
A.4
）
B. 3
C.10
D.12
A
D
F
G
B
E
C
例
如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别
在正方形ABCD的边上，且AH=2，连接CF.
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形。
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积。
D
G
C
F
H
A
A
C
O
B
N
）
矩形的探究性问题
A
例 如图，在△ABC中，DE分别是AB，
AC的中点，连接DE并延长至点F，使
E F = D E ， 连 接 C F.
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形。
（2）探究：当△ABC满足什么条件时，
B
四边形ADCF是矩形，并说明理由。
D
E
F
C
N
A
B
如图，已知AD//BC，AB//CD，∠B=∠BCD.
4、正方形既是矩形，又是菱形；
5、理解矩形、菱形、正方形的关系。
框架
矩形
正方形
平行四边形
菱形
定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（特殊在角）
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。（特殊在边）
正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形。
点PQ分别在BD，AD上，则PA+PQ的最小值为_______。
Q
A
D
P
E
B
C
CD在∠MON的内部，顶点A,B分别在射
大单元特殊的平行四边形课件山东省泰安市泰山区泰山学院附属中学2022—2023年鲁教版(五四制)数学
是菱形． 故答案为：90.
特殊的平行四边形
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例1
练习2.(2)若∠EBC＝60°，AD＝12，DC＝3.当BE＝______时，四边形
BFCE是菱形．
练习1 思路分析：
例2
练习2
例3 练习3
解：当BE＝6时，四边形BFCE是菱形． ∵AC＝BD，∵∴∠ACEBC＝60°，BE＝BC， ∴△EBC是 －BC＝BD－BC，即AB＝DC. 又∵AE＝DF，∠A＝∠D等，边三角形，∴BE＝EC＝6. ∴平行四边 ∴△ABE≌△DCF(SAS)． ∴BE＝CF，∠ABE＝∠DCF形. BFCE是菱形． 故答案为：6. ∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥CF. ∴四边形BFCE是平行四边 形． ∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，∴BC＝6.
目 录
特殊的平行四边形
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1．理解矩形的概念． 2．探索并证明矩形的性质定理及判定定理． 3．理解菱形的概念． 4．探索并证明菱形的性质定理及判定定理． 5．理解正方形的概念，以及平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 6．探索并证明正方形的性质定理及判定定理．
特殊的平行四边形
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1.边：矩形的对边平行且相等ABA//BC=DC,DA,DA/D/=①BC, BC .
(2)由(1)得MN＝AC. ∵四边形ABCD是 平行四边形， ∴AB＝CD＝2，AD∥BC， ∴∠ABC＋∠BAD＝180°， ∴∠ABC＝ 45°. ∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB ＝2， ∴MN＝2.
特殊的平行四边形
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例1
二、菱形的性质与判定 例2.(1)如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若