正定二次型的性质及应用
二次型的正定性及其应用
毕业论文题目：二次型的正定性及其应用学生姓名：孙云云学生学号：0805010236系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别：2012 届指导教师：李远华目录摘要 (1)前言 (2)1 二次型的概念 (2)1.1 二次型的矩阵形式 (3)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (4)3 二次型的应用 (9)3.1 多元函数极值 (9)3.2 线性最小二乘法 (13)3.3 证明不等式 (15)3.4 二次曲线 (18)结论 (18)致谢 (19)参考文献 (19)二次型的正定性及其应用学生：孙云云指导老师：李远华淮南师范学院数学与计算科学系摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。
通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。
关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrixand its applicationsStudent: Sun YunYunInstructor: Li YuanHuaDepartment of mathematics and Computational Science, HuainanNormal UniversityAbstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves.Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application前言二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。
二次型的正定性
05
二次型的正定性的扩展
向量空间中的二次型
01
二次型是向量空间中一种重要的数学工具，它通过二次方程式来定义和描述空 间中的形状和结构。
02
向量空间中的二次型可以用来描述和度量向量的长度、夹角和距离等几何属性 ，以及表达和计算向量的数量积、向量积和混合积等重要概念。
03
二次型的正定性是向量空间中二次型的一个重要属性，它与矩阵的正定性密切 相关。
02
二次型的正定性的判定
判定方法一：顺序主子式
总结词
顺序主子式是判断二次型是否为正定的一个重要方法，当二次型的顺序主子式均 为正时，二次型为正定。
详细描述
对于给定的二次型，可以通过将矩阵进行初等行变换和列变换，将其化为上三角 矩阵，然后查看其主子式是否均为正，若均为正，则该二次型为正定。
判定方法二：特征值法
应用三：二次型的数值稳定性分析
总结词
通过二次型的正定性可以分析数值稳定性。
详细描述
在数值分析中，数值稳定性是一个重要的问题。当进行 数值计算时，如果计算过程中产生的误差会随着计算的 进行而逐渐放大，那么就说这个计算过程是不稳定的。 通过分析二次型的正定性，可以判断数值计算过程是否 稳定。具体来说，如果二次型是正定的，那么该数值计 算过程就是稳定的；如果二次型是非正定的，那么该数 值计算过程就可能是不稳定的。
正定二次型是一种特殊的二次型，其对应的矩阵具有正定的特征值。这意味 着所有的特征值都是大于零的，因此正定二次型的特征值一定大于零。
性质三
总结词
对于任何一个正定二次型，其行列式值与矩阵范数之间存在一定的关系。
详细描述
矩阵的范数是一个衡量矩阵大小的量度，它与矩阵的行列式值之间存在一定的关系。对于正定二次型而言，其 行列式值与矩阵范数之间存在一种特定的关系，这种关系可以通过数学公式进行描述。
正定二次型的性质及应用
目录摘要 (2)关键词 (2)Abstract (2)Keywords (2)前言 (2)1预备知识 (2)1。
1二次型定义 (2)1。
2正定二次型定义 (3)2 正定二次型的性质 (3)3 正定二次型的应用 (7)3。
1正定二次型在解决极值问题中的应用 (7)3.2正定二次型在分块矩阵中的应用。
(9)3。
3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9)3.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10)3。
5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 (12)3.6正定二次型在欧氏空间中的应用(欧氏空间的内积与正定矩阵） (12)3。
7正定二次型在解线性方程组中的应用 (12)3.8正定二次型在物理力学问题中的应用。
(13)结束语………………………………………………………………………………。
.…….…。
13参考文献 (14)正定二次型的性质及应用摘 要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等. 关键词:正定二次型；正定矩阵;合同;初等变换；分块矩阵The properties and Applications of positive definiteQuadratic FormsAbstract :In this paper ，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples ， we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions 、studying the polynomial root and applications in physics et al.Keywords :positive definite quadratic form ； positive definite matrix ； congruence ； elementary transformation ；partitioned matrix.前言二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用。
二次型的正定性
二次型的正定性是什么
二次型的正定性
对于一个给定的对称矩阵A，如果对于所有的非零向量x，都有`x^T*A*x>0`，则称A为正定矩阵；如果对于所 有的非零向量x，都有`x^T*A*x>=0`，则称A为半正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于零；正定矩阵的特征值都是正数；正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
在弹性力学中，应力-应变关系可以表示为一个二次型。这个二次型的正定性 可以用来判断材料的弹性和稳定性。
05
二次型的正定性的扩展
高阶二次型
01
高阶张量
高阶张量是多个矩阵的张量积，可以 视为高阶矩阵。
02
高阶二次型的定义
高阶二次型是由高阶张量计算得到的 ，可以视为多个矩阵的张量积和。
03
高阶二次型的性质
高阶二次型具有与二阶二次型类似的 性质，包括正定性、负定性和不定性 等。
复二次型
复数矩阵
复数矩阵是矩阵的一种形式，每个元 素都可以表示为实部和虚部的形式。
复二次型的定义
复二次型是由复数矩阵计算得到的， 可以视为多个复数矩阵的乘积。
复二次型的性质
复二次型具有与二阶二次型类似的性 质，包括正定性、负定性和不定性等 。
二次型正定性的应用
在数学中，二次型的正定性主要用于 判定一些数学问题的有解性和解的唯 一性，如线性方程组求解、矩阵的特 征值计算等问题。
在物理学中，二次型的正定性主要用 于描述一些物理量的性质，如动能、 势能、转动惯量等。
在经济学中，二次型的正定性用于描 述一些经济变量的关系，如成本函数 、收益函数等。
用特征向量证明二次型的正定性
总结词
矩阵的特征向量是矩阵固有的性质，反映了矩阵对基础 向量的作用效果。
正定二次型
正定二次型一、定义正定二次型是线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论中，正定二次型是正定矩阵基于向量内积的一种自然推广。
正定二次型在数学分析、优化问题以及统计学中有着广泛的应用。
设A是一个n阶方阵，A是一个n维列向量，则称二次型A(A)=AAAA为矩阵A的对应二次型。
如果对于任意的非零向量A，都有A(A)>0，则称二次型A(A)为正定二次型。
二、性质正定二次型具有以下性质：1. 正定二次型的矩阵A一定是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置等于自身，所以对任意的A，都有AAAA=AA(AAA)=AAAA。
2. 正定二次型的特征值全为正数。
设A是正定二次型的矩阵，对于A 的任意一个特征向量A，我们有AA=AA。
由于正定二次型对于任意非零向量A的取值都大于零，所以对于特征向量A，有AAAA>0，这等价于AA(AA)>0，即A>0。
因此，正定二次型的特征值全为正数。
3. 正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
正定二次型可以通过配方法化简为标准型。
化简的过程就是通过正交变换将原二次型变为标准型。
正交变换保持向量的长度不变，所以正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
4. 正定二次型的零空间只包含零向量。
设二次型A(A)=AAAA是正定二次型，如果A(A)=0，那么由于A≠0，所以AAAA=0，根据正定二次型的定义，A=0。
三、应用正定二次型在数学的许多领域有着广泛的应用。
1. 凸优化凸优化是数学中的一个重要分支，而正定二次型在凸优化问题中扮演着重要的角色。
对于一个凸优化问题，如果目标函数是一个正定二次型，那么这个优化问题就是一个凸优化问题。
通过对正定二次型进行分析，我们可以得到其极小点，并进一步解决凸优化问题。
2. 统计学在统计学中，正定二次型常常出现在协方差矩阵、精确度矩阵等概念中。
协方差矩阵描述了多个变量之间的关系，而正定二次型可以通过协方差矩阵定义一个正态分布的概率密度函数。
5-4 正定二次型
（2）由 A 正定，则 A 的特征值全大于零，因此 | A | 0 .
注意（1）定理5.13是判别二次型正定性的两个必要条
件。 （2） 从定理5.13易知，正定矩阵必为可逆矩阵. （3）A 负定当且仅当 A 正定. 因此有 推论 A 为负定矩阵，则 （1） A 的主对角线元 aii 0 i 1, 2,, n ； （2） A 1 A 0
A 80 0, 因此 f 为负定.
21 上一页 下一页 返 回
例4
t 为何值时,二次型
2 2 2 f t ( x1 x2 x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
负定. 解. 二次型的矩阵 则
t 1 1 A 1 t 1 1 1 t
x T Bx x T ( E AT A) x x T x x T AT Ax x T x ( Ax )T Ax ,
则
x 0, x T x 0, ( Ax )T ( Ax ) 0.
26 上一页 下一页 返 回
T 0 x 从而，当 时， Bx 0.
证明
x 0, x Ax 0 , x Bx 0; x T ( A B) x 0
T T
3. A负定当且仅当 –A 正定.
18 上一页 下一页 返 回
例1 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
t 1 1 t 1 t 0, 0, 1 t 1 0 1 t 1 1 t
解得 t 1
22 上一页 下一页 返 回
正定二次型的矩阵
正定二次型的矩阵
正定二次型是指当输入向量不为零时，二次型的值始终大于零。
这意味着它所对应的矩阵的特征值都是正的。
在线性代数中，正定二次型矩阵具有重要的应用，例如用于等式约束和规划问题的求解。
以下是关于正定二次型矩阵的一些基本性质和应用：
性质：
1.正定二次型矩阵的秩等于其阶数。
2.正定二次型矩阵的行列式始终大于零。
3.正定二次型矩阵可以被用于求解优化问题，例如可以用于最小化某个目标函数的约束问题。
4.正定二次型矩阵可以通过进行主元素的分解来求出其特征值和特征向量。
应用：
1.正定二次型矩阵在机器学习领域中被广泛应用，例如用于支持向量机算法的求解。
2.正定二次型矩阵也可以被用于求解一些非线性规划问题，例如广义最小二乘问题和拟牛顿法。
3.正定二次型矩阵也可以被用于计算图像处理和数字信号处理中的优化算法。
总之，正定二次型矩阵是线性代数中非常重要的概念。
它与许多优化算法和规划问题有着密切的关系。
通过深入研究正定二次型矩阵，我们可以更好地理解这些领域中的问题，并提出更有效的算法和解决方案。
第三节 正定二次型
任意二次型f X T AX总可以经可逆线性变换X CY 化为标准形
f 1 y12 L n yn2.
其中非零项的项数是确定的，等于二次型矩阵A的秩．
定义 二次型f 的矩阵的秩称为二次型f 的秩．
设实二次型f X T AX的秩为r,则存在可逆线性变换X CY ,
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 t 取何值时 , 二次型
f x2 y2 5z2 2txy 2xz 4 yz
解
正定? f的矩阵为
1 A t
t 1 1 2 ,
1 2 5
由 a11 1 0, 1 t 1 t 2 0, 1 t 1 t 1
A t 1 2 5t 2 4t 0, 解得 4 t 0 . 5
型,并称对称矩阵A是正定的;如果对任何 0都有
f (x) 0,则称 f 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定的.
例如 f x2 4 y2 16z2 为正定二次型
f x12 3x22
为负定二次型
三、正(负)定二次型的判别
定理7.3.1实二次型 f X T AX 为正定的充要条件
是 : 它的标准形的n个系数全为正 , 即它的正惯 性指数等于 n .
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
作业 P141 5(1),(3),6,7
思考题
设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 矩阵C A 0 是否为正定矩阵.
0 B
思考题解答
解 C是正定的. 因为,设Z (xT , yT )T 为m n维向量,其中x, y分
正定二次型判定方法
正定二次型判定方法正定二次型是数学中重要的概念之一，它在很多领域中都有着广泛的应用。
在线性代数中，正定二次型是指对于任意非零向量，其二次型值都大于零。
本文将介绍正定二次型的判定方法。
我们需要了解什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常表示为Q(x)=x^TAx，其中x是一个n维列向量，A是一个对称矩阵。
二次型在很多问题中起到了至关重要的作用，比如在优化问题、概率统计和物理学中。
对于一个二次型，我们希望能够判断它是否是正定的。
如果一个二次型是正定的，那么它具有以下性质：1. 二次型的所有特征值都大于零；2. 对于任意非零向量x，有x^TAx>0。
那么如何判断一个二次型是否正定呢？有以下几种方法：1. 特征值判定法：计算对称矩阵A的所有特征值，如果所有特征值都大于零，则二次型是正定的。
这是一种常用的判定方法，但需要计算所有的特征值，计算复杂度较高。
2. Sylvester判准则：根据A的主子式的符号判断。
一个n阶矩阵A的主子式是A的前k行和前k列所组成的子矩阵的行列式，记作Dk。
如果A的所有主子式Dk的符号交替，即D1>0，D2<0，D3>0，...，(-1)^(n-1)Dn>0，则二次型是正定的。
这种方法通过计算主子式的符号来判断二次型的正定性，计算复杂度较低。
3. 正定矩阵的定义：如果一个矩阵A满足对任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵，对应的二次型是正定的。
这种方法直接使用正定矩阵的定义进行判断，判断过程较为直观。
总结起来，判断二次型是否是正定的方法有特征值判定法、Sylvester判准则和正定矩阵的定义。
这些方法各有优缺点，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，正定二次型的判定方法可以帮助我们解决很多问题。
比如在优化问题中，我们希望找到一个使目标函数取得最小值的向量，可以通过判断二次型的正定性来确定是否存在最小值。
二次型正定主对角线元素大于0证明
二次型正定主对角线元素大于0证明（最新版）目录1.引言2.二次型正定的定义和性质3.证明方法一：平方法4.证明方法二：正交化方法5.结论正文1.引言在线性代数中，二次型是一个重要的概念。
二次型正定是二次型的一种性质，它有着广泛的应用。
本篇文章将介绍如何证明二次型正定主对角线元素大于 0。
2.二次型正定的定义和性质二次型是一个关于变量的二次函数，它可以写成矩阵的形式。
如果一个二次型的标准形式（即主对角线元素为 1，其他元素为 0）的行列式大于 0，那么这个二次型就是正定的。
二次型正定的性质有：（1）如果一个二次型是正定的，那么它的任意一个正交变换后仍然是正定的。
（2）如果一个二次型的主对角线元素都大于 0，那么这个二次型就是正定的。
3.证明方法一：平方法我们可以通过平方法来证明二次型正定主对角线元素大于 0。
具体步骤如下：设二次型为 A，其中 A 的主对角线元素为 a_ii（i=1,2,...,n）。
我们需要证明 a_ii>0。
我们先将二次型 A 表示成矩阵的形式，然后对矩阵 A 进行平方操作，即求矩阵 A 的特征值。
由于 A 是正定的，所以它的所有特征值都是实数。
我们设 A 的特征值为λ_i（i=1,2,...,n）。
根据特征值和特征向量的定义，我们可以得到以下等式：Ax = λ_ix，其中 x 是特征向量。
我们对上述等式进行平方操作，得到：A^2x = λ_i^2x。
由于 A^2 是 A 的矩阵乘以 A 的矩阵，所以 A^2 的特征值是 A 的特征值的平方。
即：λ_i^2 = a_ii。
由于 A 是正定的，所以它的所有特征值都大于 0。
因此，a_ii = λ_i^2 > 0。
所以，我们证明了二次型正定主对角线元素大于 0。
4.证明方法二：正交化方法我们也可以通过正交化方法来证明二次型正定主对角线元素大于 0。
具体步骤如下：设二次型为 A，其中 A 的主对角线元素为 a_ii（i=1,2,...,n）。
正定二次型的性质与应用论文
河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计正定二次型的性质与应用作者姓名：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2013届数学B班二〇一三年四月二十八日目录中文摘要、关键字 (2)1 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)1.1 二次型的概念 (3)1.2 二次型的矩阵形式 (3)1.3 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 实正定矩阵的判定方法及证明 (4)2.1 利用定义判定 (4)2.2 利用标准型判定 (4)2.3 利用主子式判定 (8)2.4 其他常用判定 (11)3 实正定矩阵的应用 (15)3.1 用正定矩阵的定义来证明一些结论 (15)3.2 正定矩阵在数学分析上的应用 (17)3.2.1 多元函数的极值问题 (17)3.2.2 正定矩阵在积分中的应用 (19)3.3 正定矩阵在运筹中的应用 (19)3.3.1 具有约束方程的最优化问题 (19)3.4 用正定矩阵来证明不等式 (20)3.5 正定矩阵在几何中的应用 (21)3.5.1二次曲面的标准型 (21)参考文献 (23)英文摘要、关键字 (24)正定二次型的性质及应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师高锁刚作者王敬摘要：本文以矩阵和向量为工具,研究了一种特殊的函数,即二次型。
然而在它的实际应用中许多二次型都是实二次型,其中最重要的一类是正定二次型。
本文主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用,文中给出了实对称正定矩阵的多个判定定理和重要结论,从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具。
全文共分三章,第一章主要叙述二次型及正定二次型、正定矩阵的定义；第二章主要列举说明正定性矩阵的几个判别方法；第三章简单地罗列一些实例来阐述实矩阵正定性的应用。
关键字：正定矩阵正定二次型特征值实对称矩阵1 正定二次型与正定矩阵的概念1.1[1] 二次型的概念设P 是一个数域,ij a ∈P, n 个文字1x ,2x ,…,n x 的二次齐次多项式()n n n x x a x x a x x a x a x x x f 11311321122111212...22,...,,++++=n n x x a x x a x a 22322322222...2++++......+2n nn x a +=∑∑==n i nj jiij xx a 11()n j i a a ji ij ,...2,1,,==称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.当ij a 为实数时, f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项,即),,,(21n x x x f =2221112...n n d x d x d x +++则称f 为标准型. 1.2 二次型的矩阵形式二次型),,,(21n x x x f 可唯一表示成),,,(21n x x x f =T x Ax ,其中12(,,...,)T n x x x x =,()ij n n A a ⨯=为对称矩阵,称上式为二次型的矩阵形式,称A 为二次型的矩阵（A 必是对称矩阵）,称A 的秩为二次型f 的秩.1.3 正定二次型与正定矩阵的概念设),,,(21n x x x f =Tx Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵）,如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >,则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥,则称f 为半正定二次型,称A 为半正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c <,则称f 为负定二次型,称A 为负定矩阵；如果0),,,(21≤n c c c f ,称f 为半负定二次型,称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型,称A 为不定矩阵.2 实正定矩阵的判定方法及证明2.1 利用定义判定定理1 实对称矩阵A ∈n n R ⨯是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维非零列向量x , 即n R x ∈≠0,使0>Ax x T .定理2[2] 实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 1是正定矩阵的充分而且必要条件是0>i d , n i ,2,1=.证明：实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 1是正定的充要条件是对任意的n 维非零列向量x , 即n R x ∈≠0,有T x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 10>x , 令T x )0,,0,1( =,则得01>d ,同理,分别令x 为所有的单位列向量,则可得0>i d ,n i ,,2,1 =,所以定理可证.定理3 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是对任意的n R x ∈≠0,使二次型Ax x T 的秩和符号差均等于n .证明：因为实对称矩阵A 是正定矩阵,所以存在二次型Ax x T 为正定二次型,其规范形为22221n y y y +++ ,所以正惯性指数为n ,即得二次型Ax x T 的秩和符号差均等于n .所以A 是正定矩阵.2.2 利用标准型判定定理 4 [2] 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是A 与单位矩阵E合同，即存在实非奇异矩阵C ，使E AC C T =.证明：必要性,因为实对称矩阵A 是正定矩阵,所以矩阵A 对应的二次型Ax x T为正定二次型,可经过一适当的非退化线性替换TY X =化为规范形22221ny y y +++ ,对应的矩阵为单位矩阵E . 即()()TY A TY T EY Y T =,所以()EY Y Y AT T Y T T T =,故可证得A 合同于单位矩阵E . 充分性, 若A 合同于矩阵E ,则存在可逆矩阵B ,使得A =T B EB .任意取X≠0, BX Y ==()12,,T n y y y ,则有Y ≠0.于是有Y Y EBX B X AX X T T T T ===22212n y y y ++ >0,定理可以得证.定理5 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的所有特征根都大于零.证明：必要性, A 为正定矩阵,若A 的全部特征值n λλλ,,,21 不全大于0,不妨设01≤λ. 则存在正交矩阵P 使得有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n TAP P λλλ21成立. 令(),,,,21n P ααα = 则有i i i A αλα=()n i ,,2,1 =,即i α为A 的属于特征值i λ的特征向量.特别的,取单位特征向量01≠β,即111βλβ=A .于是11111βλβββT T A =01≤=λ,而这与A 为正定矩阵相矛盾,所以A 的全部特征值n λλλ,,,21 都大于0.充分性,A 的特征值为n λλλ,,,21 ,则存在正交矩阵T ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-n T AT T AT T λλλ 211则有121-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T T A n λλλ. 任意取0≠X ,则有Y Y X T TX AX X n T T n T T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλ2121, 其中T X Y T T =()0,,,21≠=n y y y ,于是得AX X T 02222211>+++=n n y y y λλλ ,即有A 为正定矩.定理6[3] 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 是半正定矩阵且0≠A . 证明：必要性, 因为A 是正定矩阵,则A 一定是半正定矩阵,且0≠A .充分性, 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由于A 是半正定矩阵可知，i λ()n i ,,2,10 =≥，又021≠⋅⋅⋅=n A λλλ ,故()n i i ,,2,10 =>λ，所以A 是正定矩阵.定理7 实对称矩阵n n R A ⨯∈ 是正定矩阵的充分而且必要条件是存在实可逆矩阵C ,使得C C A T=.证明：必要性,若A 是实对称正定矩阵,则存在实可逆矩阵C 使得EC C A T =C C T =,其中E 为n 阶单位矩阵.充分性,因为存在实可逆矩阵C ,使得C C A T =,并且有C C A T =EC C T=,其中E 为n 阶单位矩阵.即实对称矩阵A 合同于E ,所以可得A 为正定矩阵.定理8 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在实列满秩矩阵n m P ⨯, 使P P A T =.证明：必要性, 因为A 为正定矩阵, 则存在n 阶实可逆矩阵C , 使得C C A T =()()n m n TnnC -⨯⨯=0()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n C 0. 令 =P ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n C 0,则 P P A T =, 其中P 为n m ⨯列满秩矩阵. 充分性,n m P ⨯为实列满秩矩阵,则P P T 为n 阶可逆矩阵, 故对任意的n R X ∈,0≠X , 则由秩m C =, 知,0≠CX 并且有0)(>==PX PX PX P X AX X T T T T ，即A 为正定矩阵.定理9[4] 对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对任意的实n 阶可逆方阵C ,使得AC C T 都是正定的.证明：必要性,首先()TT AC C AC C T =,对任意n R X ∈,0≠X ,由秩n C =,知,0≠CX 由于A为正定矩阵,故()()(),0>=CX A CX X AC C X TT T即AC C T 为正定矩阵.充分性,AC C T 正定,则对任意的n R X ∈,0≠X ,由秩C n =,知,0≠TX 并且()()CX A CX T =()0>X AC C X T T ,即可得A 为正定矩阵.定理10 实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是存在实可逆上三角矩阵R ,使R R A T =.证明：必要性,由于A 是实对称正定矩阵,所以存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =.且存在矩阵Q 和R 使得QR P =,其中Q 为n 阶正交矩阵，R 为n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵，从而有P P A T =QR Q R T T =R R T =.充分性,因为存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ,使得R R A T =. 则显然矩阵R 可逆, 即可证得A 是正定矩阵.定理11 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的下三角矩阵U ,使得U U A T =.（证明同上）2.3 利用主子式判定定理12 实对称矩阵nn R A ⨯∈ 是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零.证明：必要性, 因为A 是实对称正定矩阵,所以存在二次型()n x x x f ,,,21 ∑∑===ni nj j i ij x x a 11是正定的.且对于每个k ,n k ≤≤1令()k k x x f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij x x a 11.对于任意一组不全为零的实数k b b ,,1 ,有()k k b b f ,,1 ∑∑===k i kj j i ij b b a 11=()0,,0,,,1 k b b f .0>所以()k k x x f ,,1 是正定的. 由正定矩阵的行列式大于零可知,k f 的行列式,01111>kkk k a a a a n k ,,1 =. 所以可证得矩阵A 的一切顺序主子式都大于0.充分性, 对n 作数学归纳法.当1=n 时, ().21111x a x f =由条件中011>a ,显然可得()1x f 是正定的. 假设对于1-n 元二次型成立,现在来证明n 元二次型的情形.令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ,=β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-n n n a a ,11 , 于是矩阵A 可以分块写成A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn Ta A ββ1. 由于A 的顺序主子式全大于零,所以1A 的顺序主子式也全大于零. 由归纳法假设可以知道,1A 是正定矩阵,即存在可逆的1-n 阶矩阵P 使得11-=n T E P A P ,此处1-n E 可代表1-n 阶单位矩阵.令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001P C , 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡100T P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn T a A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡100P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-nn TT n a P P E αα1. 再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1012αT n P E C , 则有2112C AC C C T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101P E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn T T n a P P E αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--101αT n P E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-ααT T nn n PP a E 001.最后再令21C C C =, ,ααT T nn PP a a -=则有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a AC C T 11 . 两边同时取行列式,可有a A C =2.因为0>A ,所以0>a . 于是可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 . 所以矩阵A 可与单位矩阵E 合同,并且可以证得矩阵A 是正定矩阵.定理13 实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的一切主子式均大于零.证明：必要性, (利用反证法)设A =()ij n n a ⨯是正定矩阵,假如可存在k 阶主子矩阵111212122212,0k k k k k k k ki i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a A A a a a =<则可根据k i A 是k 阶实对称矩阵,并由引理知可存在k 阶正交矩阵P ,使得P P A k T i k ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=βββ21 此处k βββ,,,21 为k i A 的特征值.由于k i A <0,且k i A =k βββ 21可知k i A 的特征值k βββ,,,21 中至少有一个小于0.推至一般性,设1β<0,令T Y =()1,0,,0 ,则可有Y ≠0并且k T i Y A Y =1u <0,再令T X =12(,,,)n x x x ,则有当{}12,,,k i i i i ∈ 时,可得i i x y =；当i 为其他时,得0i x =.则有X ≠0,且T X AX =k T i Y A Y =1u <0,而这与A 为正定矩阵的假设相矛盾.充分性, 假设k i A 是A 的一个k 阶主子矩阵, 则由于k i A 任意的一个顺序主子式均是A 的一个主子式,所以可知它们都大于0.所以可得k i A 为正定矩阵.定理可以得证.定理14[5] 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是A 的一切主子矩阵均为正定矩阵.证明：必要性,A 正定, 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.显然 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =也是实对称矩阵.由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111的k 个顺序主子式均为A 的k 个主子式,所以k 个主子式都大于零, 从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =为正定矩阵.充分性,若实对称矩阵A 的一切主子矩阵均是正定矩阵,则矩阵A 的一切主子式全都大于零,即可证得A 是正定矩阵.2.4 其他常用判定定理15 若A 是实对称正定矩阵，则1-A 也是实对称正定矩阵. 证明：由于A 是实对称正定矩阵,则0>A ,所以A 可逆.又因()(),111---==A A A T T所以可得1-A 也是实对称矩阵.设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由A 正定有()n i i ,,2,10 =>λ，1-A 的全部特征值为01>iλ()n i ,,2,1 =，即可得1-A 为正定矩阵.定理16 若A 是实对称正定矩阵，则对于任意的整数m ，m A 都是正定矩阵. 证明：I 当0=m 时，显然是正定矩阵.II 当0<m 时，由于m m -=，则有()mm A A 1-=，且1-A 也是正定矩阵，故只需假定m 为正整数即可.（i ）当m 为偶数时，由于A A T =，并且⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22m Tm m A A A ，所以可得m A 是正定的； （ii ）当m 为奇数时，由于A 是正定矩阵，所以存在实可逆矩阵C ，使得C C A T=; 由此可得：2121212122----==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m m m CA C A AA A A A A A Tm m Tm m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--2121m m CA CA T从而m A 是正定矩阵.定理17 若A 是n 阶实对称正定矩阵，则有*A 也是正定矩阵（其中*A 表示A 的伴随矩阵）.证明：已知*A =,1n n R A A ⨯-∈且()(),***==A A A T T又由于A 是正定矩阵，所以0>A .设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，则由A 是正定矩阵有()n i i ,,2,10 =>λ,于是有*A 的n 个特征值11211,,,---n A A A λλλ 也都大于零，即可证得*A 也是正定矩阵.定理18 实对称正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵. 证明：设实对称矩阵A 是正定矩阵，矩阵B 与矩阵A 合同，即存在可逆矩阵P ，使有AP P B T =成立，由于A 是正定矩阵，可知对于任意的n 维非零列向量X , 即nR X ∈≠0,有0>AX X T ,所以令PX Y =，则有0≠PX ，有0)()(>=CX A CX BY Y T T ，所以矩阵B 是正定矩阵，所以定理可得证.定理19 任意两个同阶实对称正定矩阵的和还是正定矩阵,更一般地,正定矩阵的正线性组合也是正定矩阵.证明：设A 、B n n R ⨯∈ 都是正定矩阵,同时又可设0,>b a , 因而对于任意的n R x ∈≠0, 可有0)(>+=+Bx bx Ax ax x bB aA x T T T .所以对于任意的两个同阶的正定矩阵的和仍是正定矩阵.而多于两个矩阵时，可以按照相同的方式进行处理, 并且可以利用数学归纳法给出具体的证明：（1）当2=n 时，由上可知命题结论成立；（2）假设当1+<k n 时有命题结论成立,以下可以证明1+=k n 时命题结论仍成立. 设121,,,+k k A A A A 是同阶的正定矩阵,并且有0,,,,121>+k k b b b b .下证1111+++++k k k k A b A b A b 也为正定矩阵.因而可得对于任意的n R x ∈≠0 有0)(11111111>+++=+++++++x A x b x A x b x A x b x A b A b A b x k T k k T k T k k k k T ,此式中的每一项均为正.所以可以得到当1+=k n 时, 结论成立.综合以上的（1）、（2）可知,对于一切的自然数n ,正定矩阵的正线性组合也仍为正定矩阵.定理20 对于任何的实对称矩阵A ,必存在实数0,0>>βα,使得A E α+与A E +β都是正定矩阵.证明：实对称矩阵A 的所有的特征根都是实数,所以不妨记其中一个绝对值最大的特征根为ολ,只要取οβλ>,则可有A E +β是正定矩阵.假设Q 是正交矩阵,使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n TAQ Q λλ 1则AQ Q EQ Q Q A E Q T T T +=+ββ)(=ββ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ +1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=1n βλβλ+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭由于0i βλ+>()1,2,,i n = ,可得A E +β也是正定矩阵.而当取1αβ=时,则有0α>,()1E A E A αββ+=+也是正定矩阵,于是定理可以得证.定理21 若A 、B 都是实对称矩阵,并且BA AB =,则AB 也必为正定矩阵. 证明：易知AB 的特征根均大于零,且有当AB BA =时,可有AB BA A B AB T T T ===)(,所以AB 又是对称矩阵,从而可得AB 是正定的.定理22 实对称矩阵=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T为正定矩阵的充分而且必要条件是1A 和21123A A A A T --都是正定矩阵.证明：当1A 可逆时,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A ET 1120⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A E 0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21123100A A A A A T 必要性, 若A 正定,那么1A 也正定,11-A 存在. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-E A A E P 0211, 则P 可逆,所以AP P T 也正定.从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21123100A A A A A T 为正定矩阵,因此它的主子矩阵1A 和21123A A A A T--都为正定矩阵.充分性,由于1A 和21123A A A A T --都是正定矩阵,且两个正定矩阵的和也是正定矩阵，可知 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211231A A A A A T 为正定矩阵. 又可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221A A A A A T=()TP 1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112300A A A A A T 1-P ,即可证得A 为正定矩阵.定理23 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在正交的向量组n ααα,,,21 使得.2211Tn n T T A αααααα+++=证明：必要性,因为A 是正定矩阵,所以存在正交矩阵Q ,使得Q Q A n T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ 21,T n Q ),,(21βββ =, 令 i i i βλα=()n i ,,2,1 =为正交向量组, 则可得.2211Tn n T T A αααααα+++=充分性,Tn n T T A αααααα+++= 2211= )(21T n TT ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n ααα 21 T T T = （T 为正交矩阵）, 显然可证得A 是正定矩阵.3 正定矩阵的应用3.1 用正定矩阵的定义来证明一些结论例 3.1 设A ,B 是n n ⨯实对称矩阵,A 是正定阵,证明：存在实可逆阵T ,使T B A T )(+'为对角阵.证 由于A 是正定阵,从而合同于单位阵E ,即可知存在实可逆阵Q ,使E AQ Q ='. 而BQ Q '仍是实对称矩阵,从而存在正交阵P ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=''n P BQ Q P λλ 1)(,其中n λλ,,1 是BQ Q '的特征值,若令QP T =,则可有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+'n T B A T λλ11)(1 . 例 3.2 设B 为n 阶实对称矩阵,且正定. A 为m n ⨯实矩阵, T A 为A 的转置矩阵.试证：BA A T 为正定矩阵的充分而且必要条件是秩m A =)(.证 充分性 因为BA A BA A T T T =)(.0,1≠∈∀⨯x R x n ,由秩m A =,知()n j i a a ji ij ,...2,1,,==,而A 为正定阵,故0)()()(>=Ax B Ax x BA A x T T T ,此即BA A T 为正定阵.必要性 利用反证法.若秩m A <,则有0=Ax 有非零实数解0x 存在,即00=Ax ,但00≠x ,并且由BA A T 为正定矩阵,可知)()()(00000Ax B Ax x BA A x T T T=< ①另一方面,因为00=Ax ,所以m A =.0)()(00=Ax B Ax T ②由于①、②矛盾,故秩m A =)(.例 3.3 设A 是n 阶正定矩阵,B 是n 阶半正定矩阵,求证: A B A B +≥+,当且仅当0B =或n 1=时等号成立.证 由A 0>可知,存在n 阶的可逆矩阵P ,使得T P BP n E =成立,所以有()T T n P A B P E P BP +=+,且T T n P A B P E P BP +=+又因为T P BP 是半正定矩阵,设T P BP C ==()ij C ,则可有Tn E P BP +=11121212221211nnn n nnc c c c c c c c c ++=12121111n n n n n c c c c ---+++++其中i c 是C 的所有i 阶主子式之和,1,2,,i n = .而又因为0T C P BP =≥,并且它的所有主子式都是非负的,因此可得T n E P BP +≥1n +n c =n E +T P BP =T P AP +T P BP所以T P A B P +≥()TP A B P +由此可得A B A B +≥+当0B =或1n =时，显然有A B A B +≥+成立；当0B ≠且1n >时，易知T P BP C =0n n ⨯≠,于是可得至少有一个ij c ≠0,此时C 的一阶主子式ii c ,jj c 均不能为零,否则00ijijc c =2ij c -0<,这与C 是半正定矩阵矛盾.于是1c 0>,进一步可有T n E P BP +1>n c +,从而得A B A B +≥+成立.3．2 正定矩阵在数学分析上的应用3.2.1 多元函数的极值问题例3.4 求函数321232221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值.解 因为2211123x x x f +=∂∂，212212x x x f +=∂∂，2233+=∂∂x x f，令01=∂∂x f ，02=∂∂x f，03=∂∂x f ，得驻点T x )1,0,0(0-=，T x )1,144,24(1--=.又)(x f 的各二阶偏导数为12126x xf =∂∂，12212=∂∂∂x x f ，2312=∂∂∂x x f ，2222=∂∂xf ，0322=∂∂∂x x f ，2232=∂∂xf ，得（黑塞）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x x H .在点0x 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0x H ，而)(0x H 的顺序主子式：0det 1=H ,0144212120det 2<-==H ,0296)(det det 03<-==x H H ,因此)(0x H 不定，0x 不是极值点.在点1x 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1x H ，而)(1x H 的顺序主子式：0144det 1>=H ，014421212144det 2>==H ， 0280220212212144det 3>==H ， 故)(1x H 为正定矩阵，T x )1,144,24(1--=为极小值点，极小值为6913)1,144,24()(1-=--=f x f .3.2.2 正定矩阵在积分中的应用例3.5 证明：椭球体331j 11ij i j i a x x ==Ω=∑∑：的体积等于1/24/3,Aπ-其中()33ijA a ⨯=是正定矩阵.证明 A 是正定矩阵，∴∃正交矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321λλλAT T T，0>i λ，)3,2,1(=i 为A 的特征值 令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---131211λλλB 作变换TBY y y y TB x x x X =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321，则此变换的Jacobi 行列式为2121321)(--=====AB B T TB J λλλ13312321j 13()ij iji x a x xx x x A x x ==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑=Y Y BY B Y ATBY T B Y AX X TTT T T T T =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==321λλλ 1/212312312311T T X AX Y Y dx dx dx dx dx dx Ady dy dy -Ω≤≤∴===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1/24/3Aπ-3.3 正定矩阵在运筹中的应用3.3.1 具有约束方程的最优化问题例 3.6 某地区计划明年修建公路x 百公里和创建工业园区y 百公顷，假设收益函数为xy y x f =),(，受所能提供的资源（包括资金、设备、劳动力等）的限制，x 和y 需要满足约束条件369422≤+y x ，求使),(y x f 达到最大值的计划数x 和y .解 由于约束方程369422=+y x 刻画的不是坐标平面上单位向量的集合，我们需要做变量变换.将这个约束方程写成1)2()3(22=+yx ， 再设31x x =，22yx =，即13x x =，22x y =，则约束方程可以写成 12221=+x x ，而目标函数变成2121216)2)(3()2,3(x x x x x x f ==.现在的问题就成为求216)(x x x F =在1=x x T下的最大值，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21x x x .设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0330A ，则 Ax x x F T =)(，A 的特征值是3±.属于31=λ的单位特征向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121.由此得，当211=x ，212=x 时，)(x F 取得最大值3，即当12.22331≈==x x 百公里，41.1222≈==x y 百公顷时，收益函数),(y x f 去的最大值3.3.4 用正定矩阵来证明不等式例3.7 证明不等式2224222x y z xy xz ++>-（其中,,x y z 是不全为零的实数）证明 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--++=z y x z y x xz xy z y x f 301051111),,(2235222则有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=301051111P 的各阶顺序主子式为 01>，045111>=--，0731051111>=----， 所以P 是正定矩阵00,0x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴∀≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有0f >故可得原不等式成立.3.5 正定矩阵在几何中的应用3.5.1二次曲面的标准型 例3.8 在3R 中化简二次方程03828322620828102222=-++-+-++-z y x zx yz xy z y x ，并判断其曲面形状.解 二次项相应的对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10410421410141A .A 的特征多项式为)18)(18)(9(+--=-λλλλI A ，特征值为91=λ，182=λ，183=λ，对应的单位特征向量构成的正交矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12221222131P .令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x P z y x ，方程化为 0938316343222222=-'-'+'-'-'+'z y x z y x ， 配方得1)34(2)31(2)31(222=+'-+'+-'z y x .令31-'=x X ，31+'=y Y ，34+'=z Z ，得122222=-+Z Y X ，故原方程表示的曲面为单叶双曲面.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M],北京:高等教育出版社,2003.[2] 线性代数/余长安编著.—武汉：武汉大学出版社,2010.1[3] 胡跃进.广义正定矩阵的一个不等式[J],阜阳师范学院学报（自然科学版）,2001.18（1）：10-11.[4] 张禾瑞,郝丙新. 高等代数（第三版）[M],北京:高等教育出版社,1983.[5] 钱吉林.高等代数解题精粹（修订版）[M],北京:中央民族大学出版社,2002.Properties and Applications of positive definite quadratic form Summary: Based on the matrix and vector tool, we study a kind of special function, quadratic form. However many quadratics in practical application are real quadratic form, with one of the most important class being positive definite quadratic form. This paper focuses on the positive definiteness and application of the real matrix. This paper presents several discrimination methods of the real symmetric positive definite matrix and important conclusions, which allow people to make better use of this tool in the positive definite matrix. The paper is divided into three chapters, the first chapter mainly describes the definition of the quadratic, positive definite quadratic form and the positive definite matrix; the second chapter cited several matrix discrimination method of the description positive definiteness; the third chapter simply list some examples to illustrate the application of the positive definiteness of a real matrix.Keyword: positive definite quadratic form positive definite matrixcharacteristic value necessary and sufficient condition real symmetric matrix。
利普希茨函数的正定二次型
利普希茨函数的正定二次型导语：正定二次型是数学中的一个重要概念，它在优化问题、矩阵理论等多个领域中起到重要作用。
而利普希茨函数是一类具有有界斜率的函数，也是数学中的一个基本概念。
本文将结合这两个概念，详细阐述利普希茨函数的正定二次型，探讨其性质和应用。
一、正定二次型的定义和性质正定二次型是指二次型矩阵的特征值全部大于零，在优化问题中具有重要的意义。
对于一个n阶矩阵A，其正定二次型定义为：Q(x)=x^T Ax，其中x为n维实向量。
正定二次型的性质包括：1.正定二次型的特征值全部大于零。
2.正定二次型的矩阵A是对称的。
3.正定二次型的矩阵A的秩为n。
4.正定二次型的矩阵A的行列式大于零。
二、利普希茨函数的定义和性质利普希茨函数是一类具有有界斜率的函数，它在分析、控制论等领域中有广泛应用。
对于一个定义在实数集上的函数f(x)，如果存在一个正实数L，使得对于任意的x1和x2，都有|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|，那么我们称f(x)为利普希茨函数，而L为利普希茨常数。
利普希茨函数的性质包括：1.利普希茨函数是有界函数。
2.利普希茨函数的导数存在且有界。
3.利普希茨函数是一致连续的。
三、利普希茨函数的正定二次型利普希茨函数的正定二次型是指由利普希茨函数构造的满足正定性质的二次型函数。
具体来说，我们可以通过将利普希茨函数的平方作为二次型函数的系数，构造一个正定二次型。
即，对于一个利普希茨函数f(x)，其正定二次型定义为：Q(x)=x^T(f(x))^2x。
利普希茨函数的正定二次型具有以下性质：1.正定二次型的特征值全部大于零。
2.正定二次型的矩阵是对称的。
3.正定二次型的矩阵的秩为n。
4.正定二次型的矩阵的行列式大于零。
四、利普希茨函数的正定二次型的应用利普希茨函数的正定二次型在优化问题和控制理论中有广泛应用。
在优化问题中，正定二次型可以作为目标函数或约束条件，用于求解最优解。
在控制理论中，正定二次型可以用于设计控制系统的性能指标，如稳定性、鲁棒性等。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，它在各个数学领域中都有着广泛的应用。
正定二次型在优化问题、矩阵分解、信号处理等领域都有着重要的作用。
了解正定二次型的性质和判别方法对于深入理解和应用线性代数具有重要意义。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及判别方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用正定二次型。
一、正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。
设f(x_1,x_2,...,x_n)是关于n个变量的二次齐次多项式，即f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j其中a_{ij}是常数。
如果对任意非零向量x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，都有f(x)>0，那么我们称f(x)是正定二次型。
简单来说，正定二次型就是一个对于任意非零向量都是正的二次齐次多项式。
正定二次型具有许多重要的性质，下面我们来介绍其中的一些。
1. 正定二次型的矩阵表示设f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j是一个正定二次型，那么我们可以把这个二次型表示为矩阵的形式，即A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}这个矩阵就是正定二次型对应的矩阵表示，通常我们把这个矩阵记作A。
而矩阵A是一个对称矩阵，它的对角元素就是二次型中的系数a_{ij}。
正定二次型和对称矩阵之间有着密切的关系。
二次型的正定性及其性质
二次型的正定性及其性质二次型是数学中一个非常重要的概念，也是各种数理模型中必不可少的一部分。
二次型的正定性是其性质之一，对于二次型的求解和优化有着非常重要的意义。
本文将介绍二次型的正定性及其性质，以及其在实际应用中的意义。
一、二次型的定义和表示二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次函数，其中 $A$ 是一个$n\times n$ 的实对称矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。
一般情况下，二次型是所有 $n$ 维实向量上的定义域。
实对称矩阵 $A$ 是二次型的系数矩阵，也是二次型的重要特征。
二、二次型的正定性二次型的正定性是指对于所有非零的 $x$，都有 $x^TAx>0$，即二次型的取值全部大于 $0$。
简单来说，二次型的正定性就是指其取值范围全部在正半轴上。
其逆定义为负定性，即对于所有非零的$x$，都有$x^TAx<0$。
还有一种定义是半正定性（或半负定性），即对于所有非零的 $x$，都有 $x^TAx\ge 0$（或 $x^TAx\le 0$）。
正定性和负定性的性质非常相似，下面我们以正定性为例，讨论其性质。
三、正定性的性质1. 正定性是矩阵的特征正定性是指针对一个特定的实对称矩阵 $A$，其对应的二次型是正定的。
如果我们改变实对称矩阵 $A$，那么其对应的二次型的正定性也会随之改变。
2. 正定性是线性的如果我们将两个实对称矩阵 $A$ 和 $B$ 相加，那么其对应的二次型的正定性也会相加。
具体地，对于所有非零的 $x$，都有$(x^TAx)+(x^TBx)>0$，所以矩阵之和的正定性可以保持不变。
3. 正定性是半正定性的推广正定性和半正定性之间存在非常密切的关系。
如果一个实对称矩阵 $A$ 在对角线元素为正的情况下是半正定的，那么其对应的二次型在对应的坐标轴上是正定的。
换言之，正定性是半正定性的推广，而半正定性是指在坐标轴上的正定性。
4. 正定性和二次型的最小值正定性和二次型的最小值之间也存在密切的联系。
正定二次型
正定二次型正定二次型是线性代数中一种重要的二次型形式，它在数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及一些应用。
1. 定义对于一个n维向量x=(x1,x2,...,x n)T，其中x i表示向量x的第i个分量。
正定二次型是指具有如下形式的二次型：Q(x)=x T Ax其中A是一个$n \\times n$的对称矩阵，x T表示向量x的转置。
如果对于任意的非零向量x，都有Q(x)>0，则称二次型Q(x)为正定二次型。
2. 性质正定二次型具有一些重要的性质，下面将介绍其中几个性质。
2.1 对称性正定二次型的矩阵A是一个对称矩阵，即A=A T。
这是因为对于任意的向量x，都有x T Ax=x T(A T x)=(x T Ax)T=x T A T x。
因此，正定二次型的矩阵A是对称的。
2.2 正定性与正定矩阵的关系正定二次型与正定矩阵之间有着紧密的联系。
一个$n \\times n$的对称矩阵A 是正定矩阵，当且仅当对于任意的非零向量x，都有x T Ax>0。
而正定二次型Q(x)是由矩阵A定义的，因此正定矩阵与正定二次型是等价的概念。
2.3 正定矩阵的特征值对于一个正定矩阵A，它的特征值都大于零。
这是因为如果A的一个特征值为$\\lambda$，对应的特征向量为x，那么有$Ax = \\lambda x$。
进而，我们可以得到$x^T A x = x^T (\\lambda x) = \\lambda (x^T x) > 0$。
由于x是非零向量，x T x> 0，因此必有$\\lambda > 0$。
2.4 正定矩阵的行列式对于一个正定矩阵A，它的行列式大于零。
这是因为正定矩阵的特征值都大于零，而行列式是特征值的乘积，因此正定矩阵的行列式也大于零。
3. 应用正定二次型在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍两个典型的应用。
3.1 正定二次型在优化问题中的应用正定二次型经常出现在优化问题的目标函数中。
线性代数及其应用第7节正定二次型
例如 实二次型
f (x1 , x2 , x3) = x12 + x22 + 2x32 为正定二次型； g (x1 , x2 , x3) = –x12 – 2x22 – 3x32 为负定二次型； h (x1 , x2 , x3) = x12 + x22 – 3x32是不定的， 因为h (1 ,0 ,0) = 1 > 0，h (0 ,0 ,1) = –3 < 0； k (x1 , x2 , x3) = x12 + x22 也是不定的， 因为k (1 ,0 ,0) = 1 > 0，k (0 ,0 ,1) = 0．
三、正定二次型的判别定理
定理 12 实二次型 f(x) = xTAx 为正定的充
分必要条件是: 它的标准形的 n 个系数全为正，
即它的规范形的 n 个系数全为 1，亦即它的正 惯性指数等于 n .
定 理 12 实 二 次 型 f(x) = xTAx 为 正 定 的 充
分必要条件是: 它的标准形的 n 个系数全为正，
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件
是: A 的特征值全为正.
定理 13 对称矩阵 A 为正定的充分必要条
件是: A 的各阶顺序主子式都为正, 即
a110,
a11 a21
a120,,a11
a22
an1
a1n 0;
ann
对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是: 奇数阶顺 序主子式为负, 而偶数阶顺序主子式为正, 即
第 7 节 正定二次型
惯性定理
正定二次型的概念
举例
正定二次型的判别定理
这个定理称为惯性定理, 这里不予证明.
二次型的标准形中正系数的个数称为二次
型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性 指数. 若二次型 f 的正惯性指数为 p，秩为 r ,
正定二次型判断方法
正定二次型判断方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，在实际应用中具有广泛的应用。
判断一个二次型是否正定的方法是线性代数中最基本的问题之一，也是非常重要的。
本文将介绍正定二次型的概念、性质和判定方法。
一、正定二次型的概念和性质1.1 正定二次型的定义设f(x1,x2,...,xn)是一个n元二次齐次函数，则称f(x1,x2,...,xn)是正定二次型，如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,...,xn)，都有f(x)>0。
（1）正定二次型的值域是正实数。
（3）正定二次型的解析式一定是一个关于字母的二次有理函数。
（4）正定二次型的非零二次型矩阵一定是可逆矩阵。
对于二元二次型f(x1,x2)=2x1^2+2x2^2-x1x2，我们可以验证该二次型是否正定。
根据定义，我们需要对于任意的非零向量(x1,x2)，都有f(x)>0。
即需要满足如下条件：2x1^2+2x2^2-x1x2>0化简得：由于x1^2和x2^2始终是非负数，并且当x1=x2=0时，x1^2+x2^2+\frac{1}{2}x1x2=0，因此只要证明\frac{1}{2}x1x2的系数大于等于0，就能证明f(x)是正定的。
根据矩阵乘法的定义可得到f(x)=x^T\begin{bmatrix}2 & -\frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} x由于该矩阵是正定矩阵（两个特征值均为正数），因此该二次型是正定的。
2.1 特征值法设二次型为f(x)=x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵，λ1,λ2,...,λn为矩阵A的n 个特征值，则有如下结论：当A是正定矩阵时，有λ1>0,λ2>0,...,λn>0。
2.2 主元法当二次型f(x)对应的矩阵A是可逆矩阵时，有如下结论：当二次型的系数矩阵A的顺序主子式（行列式）都大于0时，二次型成为正定的。
二次型判定方法及应用
二次型判定方法及应用二次型是高等数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、物理学、经济学等领域。
二次型的判定方法主要有正定、负定、半正定和半负定四种类型，这些判定方法在实际问题中具有重要的应用价值。
首先，我们来回顾二次型的定义。
对于n元变量x1，x2，...，xn和常数a11，a12，...，ann，二次型可以表示为：Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ... + 2an-1nxn-1xn其中，a11，a22，...，ann为二次型的系数，x1，x2，...，xn为变量，Q(x)表示该二次型。
接下来，我们将讨论四个二次型判定方法的定义、性质和应用。
1. 正定：若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)>0，称二次型Q(x)为正定二次型。
正定二次型的系数满足以下性质：- 系数矩阵A=(aij)为实对称正定矩阵；- 系数aii>0，1≤i≤n；- 正定二次型的极值点为唯一的极小值点，且该极小值点为原点。
正定二次型在优化问题中经常出现，例如，最优化问题的约束条件若是等式形式，将其通过拉格朗日乘数法转化为等价的含有二次项的目标函数，然后利用正定二次型的特性来求解最优解。
2. 负定：若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)<0，称二次型Q(x)为负定二次型。
负定二次型的系数满足以下性质：- 系数矩阵A=(aij)为实对称负定矩阵；- 系数aii<0，1≤i≤n；- 负定二次型的极值点为唯一的极大值点，且该极大值点为原点。
负定二次型在最优化问题中也有应用，例如，在极大极小值问题中，如果一个目标函数的Hessian矩阵是负定的，那么该函数在极小值点处取得极小值。
3. 半正定：若对于任意的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)≥0，称二次型Q(x)为半正定二次型。
正定、半正定二次型的性质及应用的开题报告
研究方法：查阅资料，列出提纲，撰写论文、修改、定稿。
三、对本课题将要解决的Байду номын сангаас要问题及解决问题的思路与方法、拟采用的研究方法（技术路线）或设计（实验）方案进行说明，论文要写出相应的写作提纲
解决的主要问题：讨论正定、半正定二次型的性质；利用正定、半正定二次型的性质来研究它们的一些简单应用。
[4]曹璞.《正定矩阵的判定与性质》[J].南都学坛，1994(3)：117-129
[5]史荣昌、魏丰.《矩阵分析》[M].北京：北京理工大学出版社，2010:134-139.
[6]费伟劲.《线性代数》[M].上海:复旦大学出版社，2007:169—192.
.
五、毕业论文（设计）进程安排
2009年3月1日～2009年3月8日,查阅相关资料,学习理论知识；完成开题答辩并填写开题报告。
正定半正定二次型的性质及应用学生姓名学号所在院系数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业班指导教师2012正定半正定二次型的性质及应用一选题的目的及研究意义在高等代数中在二次型中正定二次型占有特殊的地位本文主要探讨常见的正定二次型以及半正定二次型的判定
毕 业 论 文﹙设 计﹚开 题 报 告
题 目正定、半正定二次型的性质及应用
六、指导教师意见
1．对开题报告的评语
2．对开题报告的意见及建议
指导教师（签名）：
年 月 日
所在院（系）审查意见：
负责人签字(盖公章)
年 月 日
2009年3月10日～2009年3月30日,按提纲要点，完成论文的框架；整理论文框架并完成论文雏稿。
2009年4月2日～2007年4月20日，完成整篇论文的撰写。
6.2 正定二次型
1 t −1 1 t =1− t2 ＞0, t 1 2 = −(5t 2 + 4t )＞0, 1＞0 , t 1 ＞ −1 2 5
1 − t 2 ＞0 4 因此 2 解之得 − ＜t＜0 ＜ 5 5t + 4t ＜0
4 故当 − ＜t＜0 时,该二次型为正定二次型 ＜ 该二次型为正定二次型. 该二次型为正定二次型 5
3 1 1 a11=3＞0 , 3 1 = 5＞0, 1 2 0 = 8＞0, ＞ 1 2 1 0 2 的各阶顺序主子式都大于0, 即A的各阶顺序主子式都大于 由定理 知 的各阶顺序主子式都大于 由定理4知 该二次型为正定二次型. 该二次型为正定二次型
另外,此题也可将二次型化为标准型 各项 另外 此题也可将二次型化为标准型,各项 此题也可将二次型化为标准型 系数均为正,该二次型是正定的 该二次型是正定的. 系数均为正 该二次型是正定的 例8 取何值时, 问t取何值时 二次型 取何值时
则 k1 , k2 ,⋯, kr 中正项的个数与 h1 , h2 ,⋯, hr中正项的 个数相等. 个数相等 二次型的标准型中,正项项数 称为正惯性指 二次型的标准型中 正项项数 p 称为正惯性指 称为负惯性指数 负惯性指数,而正负惯性指数 负项项数 数,负项项数 r-p 称为负惯性指数 而正负惯性指数 的差称为符号差, 所以这个定理也称为惯性定理 惯性定理. 的差称为符号差 所以这个定理也称为惯性定理 定义3 设有二次型f(x 定义 设有二次型 1 ,x2 , … ,xn) = xTAx ， 如果对任意的x≠0 (x∈Rn),都有 如果对任意的 ∈ 都有 （1） xTAx ＞0 ，则称 f 为正定二次型，相应 ） 为正定二次型， 地矩阵A称为正定矩阵 称为正定矩阵； 地矩阵 称为正定矩阵； 为负定二次型， （2） xTAx ＜0 ，则称 f 为负定二次型，相应 ） 地矩阵A称为负定矩阵 称为负定矩阵； 地矩阵 称为负定矩阵；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
目录摘要 (2)关键词 (2)Abstract (2)Keywords (2)前言 (2)1预备知识 (3)1.1二次型定义 (3)1.2正定二次型定义 (3)2 正定二次型的性质 (3)3 正定二次型的应用 (7)3.1正定二次型在解决极值问题中的应用 (7)3.2正定二次型在分块矩阵中的应用. (10)3.3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9)3.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10)3.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 (13)3.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵） (13)3.7正定二次型在解线性方程组中的应用. (13)3.8正定二次型在物理力学问题中的应用. (14)结束语 (13)参考文献 (15)正定二次型的性质及应用摘要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等.关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵The properties and Applications of positive definiteQuadratic FormsAbstract：In this paper，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions、studying the polynomial root and applications in physics et al. Keywords：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence;elementary transformation；partitioned matrix.前言二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用.1 预备知识1.1 二次型定义设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,...,,21的二次齐次多项式()+++++++=n n n n n x x a x a x x a x x a x a x x x f 222222112112211121222,...,, …+2nnn x a称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型. 1.2 正定二次型的定义定义1 实二次型()n x x x f ,...,,21称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()0,...,,21>n c c c f .定义2 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X '正定.2 正定二次型的性质性质1 实二次型()n x x x f ,...,,21=2222211n n y d y d y d +++是正定的当且仅当n i d i ,,2,1,0 =>.证明 必要性.因为()n x x x f ,...,,21=2222211n n y d y d y d +++ 是正定的，所以对于任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()0,...,,21>n c c c f .于是取一组不全为零的实数：,0,0,1,0,,0,0 （这里第i 个为1，其余1-n 个为0），有),0,0,1,0,,0,0( f =n i d i ,,2,1,0 =>.充分性显然.性质2 n 元实二次型()n x x x f ,...,,21是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n.证明 设二次型()n x x x f ,...,,21经过非退化实线性替换变成标准型2222211n n y d y d y d +++ . （1）上面的讨论表明，()n x x x f ,...,,21正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型(4)是正定的当且仅当n i d i ,,2,1,0 =>，即正惯性指数为n .性质3 正定二次型()n x x x f ,...,,21的规范形为22221n y y y +++ ，正定二次型的规范性矩阵为单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.性质4 实二次型. ()n x x x f ,...,,21=AX X '，正定的必要条件为0>A 证明 有实二次型知A 是一正定矩阵，因为A 与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C 使C C EC C A ''==.两边取行列式，就有02'>==C C C A .性质5 实二次型()n x x x f ,...,,21=AX X '为正定的充分必要条件是A 的特征值都是正数.性质6 若A 是正定矩阵，则1-A 也是正定矩阵.证明 如果A 正定，则由性质2知0>A ，因而A 可逆，且其存在可逆矩阵T ,使T T A '=，将等式两边取逆有1'1'][--=T T A ，令'1)(-=T C ，于是EC C C C A ''1==-，所以1-A 也是正定矩阵.性质7 若A 是正定矩阵，则对任意的实数k ，kA 也是正定矩阵.证明 因为A 正定，所以对任意n 维实向量0≠X ，都有0'>AX X ，若0>k ，则0)()(''>=AX X k X kA X ，故kA 为正定矩阵.性质8 若A 是正定矩阵，则A 的伴随矩阵*A 也是正定矩阵.证明 因为A 正定，因而0>A ，且有性质四知1-A 也正定，而*A =1-A A ，又由性质5知*A 为正定矩阵性质9 正定矩阵只能与正定矩阵合同.证明 若A 正定，则A 与单位矩阵E 合同，若B 也正定，则B 也与E 合同，即A 、B 都与单位矩阵E 合同，故A 、B 合同.反之，若A 、B 合同，且A 正定，即A 与单位矩阵E 合同，所以B 也与E 合同，故B 也为正定的.综上，结论成立.性质10 若A 、B 为正定矩阵，则B A +也为正定矩阵.证明 因为A 、B 为正定矩阵，故AX X '，BX X '为正定二次型，于是X B A X )('+=BX X AX X ''+也必为正定二次型，故B A +为正定矩阵.性质11 若A 是正定矩阵，则对任意的正数k ，k A 也是正定矩阵. 证明 因为A 正定，那么当m k 2=时，m m m m k A A A A A ')(==，m A 为实可逆矩阵，所以k A 正定； 当12+=m k 时，m m k AA A A ')(=，因而k A 与A 合同，有性质7知k A 为正定矩阵.所以无论哪种情况，k A 都正定.性质12 实二次型()n x x x f ,...,,21∑∑===n i nj j i ijx x a11=AX X '，矩阵A 的主对角线上的元素都大于零.证明 因为A 是正定矩阵，于是对任何021≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X ，恒有()n x x x f ,...,,21=011'>=∑∑==ni nj j i ij x x a AX X ，其中),,2,1,(n j i a ij =为A 的元素，令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00100 I X （i 行）,,,2,1n i =那么,0'>=ii i i a AX X ,,,2,1n i =证毕.性质13 实二次型∑∑===n i nj j i ij n x x a x x x f 1121),,( =AX X '是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.证明 先证必要性.设二次型∑∑===n i nj j i ij n x x a x x x f 1121),,(是正定的.对于每个k ，n k ≤≤1，令∑∑===n i nj j i ij k k x x a x x f 111),,(我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数k c c ,,1 ，有0)0,,0,,,(),,(1111>==∑∑== k n i nj j i ij k k c c f c c a c c f因此),,(1k k x x f 是正定的.由性质4，k f 的矩阵行列式n k a a a a kk k k ,,1,01111 =>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.这就证明了矩阵A 的顺序主子式大于零.再证充分性.对n 作数学归纳法. 当1=n 时，21111)(x a x f =，由条件011>a 显然有)(1x f 是正定的.假设充分性的判断对于1-n 元二次型已经成立，现在来证n 元的情形. 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n a a a ,11 ，于是矩阵A 可以分块写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn a a a A A '1.既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 级矩阵G 使11'-=n E G A G ,这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵.令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001G C ,于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-nn n nn a G a a G E G a a a A G AC C ''1'1'1'1100100. 再令⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-10'12a G E C n ， 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----a GG a a E a G E a G a a G E G a E C AC C C nn n n nn n n ''1'1''1'121'1'2001010. 令21C C C =，a a GG a a nn =-''，就有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a AC C 11' . 两边取行列式，a A C =2.有条件，0>A ，因此0>a .显然⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 111111111.这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型),,(1k k x x f 是正定的.根据归纳法原理，充分性得证.3 正定二次型的应用3.1 正定二次型在解决极值问题中的应用定理1 设n 元实函数()n x x x f ,...,,21在点0p 的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数()n x x x f ,...,,21在点0p 近旁有性质：1) 若AX X '正定，则0p 为极小点； 2) 若AX X '负定，则0p 为极大点； 3) 若AX X '不定，则0p 非极大或极小点；4) 其余情形时，()n x x x f ,...,,21在0p 性质有待研究余项R 的性质来确定. 特别当()n x x x f ,...,,21是二次函数时，R =0只要AX X '半正（负）定，则0p 为极小（大）点.例1 求函数)ln(22y x xy z +=的极值.解 222222)l n (yx y x y x y z x +++=,，222222)ln(y x xy y x x z y +++=. 解方程组⎩⎨⎧==00yx z z ，易得⎩⎨⎧±==10y x ，⎩⎨⎧=±=01y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=e y e x 2121，（符号任意搭配）， 22222)()3(2y x y x xy z xx ++=，222222)()3(2y x y x xy z yy ++=，2224422)()(2)ln(y x y x y x z z yxxy ++++==. 于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=yy yxxy xxz zz z A ，经计算得⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-0220)21,21()21,21(AA正定；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--2002)21,21()21,21(AA负定；⎪⎪⎭⎫⎝⎛==±±0220)1,0()0,1(A A 不定.故，在)1,0(),0,1(±±，z 不取极值；在)21,21(),21,21(eeee--点，z 取极小值，e z 21-=极小；在)21,21(),21,21(ee e e --点，z 取极大值，e z 21=极大.3.2 正定二次型在分块矩阵中的应用.例2 设A ，B 分别是n m ⨯阶正定矩阵，试判定分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00是否为正定矩阵.解 可证C 是正定矩阵.因为A ，B 都是实对称矩阵，从而C 也是实对称矩阵且任意的0,≠∈+X R X n m ，令=CX X '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21'2'100),(X X B A X X 2'21'1BX X AX X +=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21'x x X ，其中，m R X ∈1，n R X ∈2，且至少有一个是非零向量，于是=CX X '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21'2'100),(X X B A X X 2'21'1BX X AX X +=0>. 故C 是正定矩阵.3.3 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用例3 设n 次实系数多项式)(x f 的根为n x x x ,,,21 ，令kn kk k x x x S +++= 21， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---22121110n nn n n S S S S S S S S S S . 证明 易证'TT S =,这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---11211111n n n n x x x T.必要性 设n x x x ,,,21 是n 个互异实根，因为T 是范德蒙行列式，所以T 0≠，即T 是非奇异的.又因为''TET TT S ==,所以S 与E 合同，即S 正定.充分性 设S 是正定的，所以T 0≠，那么i x 互异.若n x x x ,,,21 中有非实数，例如1x ，那么1x 的共轭数1x 也是)(x f 的根不妨设12x x =.因为T 是非奇异的.所以线性方程组nj a x a x a a x a x a a x a x a n n j j n n n n ,,30111110111110111110 =⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=+++=+++------ （2）有唯一解0),,,,('110≠=-n a a a a .因为S 是正定的，所以，作为二次型的SY Y f '=是正定的,由（2）式有2011)0,,0,1,1('''-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=== a TT a Sa a f .这与f 是正定即S 是正定的矛盾，所以n x x x ,,,21 中不能有非实数的复数，所以n x f 的)(个根为互异的实根.3.4 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用例4 利用直角坐标变换化简如下二次曲面方程.032682223222=++--+++z y x xy z y x其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--==200021013),1,3,4(),,,(''A B z y x X .作平移代换,),,(,321'a a a a a Y X =-=，则有03)(2)()(''=+-+--a Y B a Y A a Y即0322''''''=+-++--a B Y B Aa a AY a Aa Y AY Y令32''+-=a B Aa a β又因为A A AY a Aa Y ==''',所以0)(2''=+--βY B Aa AY Y适当选取a ，使B Aa =，由秩3==A A 秩知：B Aa =（线性方程组）有唯一解：21,1321===a a a . 由29-,,'=β可得B a A ，又因为A 是可逆实对称阵，所以存在正交阵T 使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321'λλλAT T ， 其中21=λ，2552+=λ，2553-=λ 为A 的特征根.作正交线形替换),,(,'3'2'1'Z Z Z Z TZ Y ==,则 23'22'21'23'322'221'1'2552552Z Z Z Z Z Z AY Y -+++=++=λλλ. 即，原方程可以化简为23'22'21'2552552Z Z Z -+++. 3.5 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用众所周知线形方程组可能无解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-+++00022112222212*********n s ns n n s s s s b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 即任意一组s 21,...,,x x x 都可能使∑=-+++=ni i s is i i b x a x a x a y 12211)( 不等于零，我们设法找00201,...,,s x x x 使y 最小，这样00201,...,,s x x x 称为方程组的最小解，这种问题就叫最小二乘法问题.若记A 为上述线性方程组的系数矩阵，T n b b b B ),(21 =，于是使得y 值最小的X 一定是方程组AX X '=B X '的解，而其系数矩阵A A '是一个正定矩阵，它的惯性指数等于n ，因此这个线性方程组是有解的，这个解就是最小二乘解. 3.6 正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）定理 设V 是R 上的欧氏空间，那么V 的内积与n 阶正定矩阵是一一对应的.3.7 正定二次型在解线性方程组中的应用.例5 （1）用矩阵给出平面上n 个点),(i i i y x P 共线的充分必要条件（2）设A 是n 阶满秩矩阵，试证，'')(X AA X 是一个正定二次型，这里()n x x x X ,...,,21=.解 （1）设直线b kx y +=，n 个点共线是指线性方程组（把b k ,看成未知量）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+nn y b kx y b kx y b kx 2211 有解，所以n个点),(i i i y x P 共线⇔所以方程组有解⇔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n y xy x x x 11111111秩秩 . （2）设A 是n 阶满秩矩阵，令AX Y =',其中),,,(21n y y y Y =，则'1'')(Y A X -=是非退化现行替换，且22221''')(n y y y YY X AA X +++== ，由此可以看出，此二次型的正惯性指数与秩都等于n ，所以'')(X AA X 是正定二次型.3.8 正定二次型在物理力学问题中的应用.因为在物理力学问题中经常需要同时将两个二次型转化为标准型来实现，这事应用中很重要的一个问题.命题 设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶实对矩阵，则存在n 阶可逆矩阵S ，使得Λ==BS S E AS S '',,其中Λ为对角阵.证明 因为A 是正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵1S ，使得E AS S =1'1，令BS S B '=显然1B 仍为实对称矩阵，所以存在n 阶正交矩阵2S ，使得Λ==),,(2121'2n diag S B S λλλ .取S S S =21，则有n E S S S AS S S S S A S S AS S ====2'221'1'221'21')()()(Λ===21'1'221'21')()()(S BS S S S S B S S BS S另外正定二次型在研究系统的稳定性、广义重积分、物理学电阻器功率的消耗等方面都有广泛的应用.结束语以上内容是对正定二次型的研究，归纳之后总结出来的，对正定二次型，本文给出2个定义，13个性质并证明，在例题的形式下，运用这些定义跟性质阐述了正定二次型在不同方面的7种应用，可见其应用广泛，我认为对正定二次型的总结是很必要的.当然，本文只列举了正定二次型的部分应用.参考文献：[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.[2]郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001. [3]杨子胥.高等代数习题解（上下册）[M].济南：山东科学技术出版社. [4]张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984. [5]杨子胥.高等代数精选题解[M].北京：高等教育出版社，2009. [5]高等代数与解析几何(下) [M]．北京:高等教育出版社,2003 [6]高等代数与解析几何(上) [M]．北京:高等教育出版社,2003 [7]苏育才,姜翠波,张跃辉.矩阵理论[M]．上海:科学出版社,2006[9] Johns on CR ，RAHon ．Matrix Analysis[M]．New York ：Cambridge University Press ，1985．Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。