母子型相似三角形模型 典型

母子型相似三角形

【知识要点】

一、直角三角形相似

1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 基本图形（母子三角形）举例：

1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA

（2）△ACD ∽△CBD 中，2

CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中，2

BC BD AB =

△CDA ∽△BCA 中，2

AC AD AB =

2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC

结论：△ACD ∽△ABC 中，2

AC AD AB =

【例题解析】

类型一：三角形中的母子型

【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=

,SΔBCD ∶SΔABC=2∶3,则CD=______.

【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.

【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的

延长线于F ，求证：

FC FB FD ⋅=2

D

C

B

A

【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽

类型二：直角三角形中的母子型

【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB

于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2

DF FG FH =•

【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.

【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.

【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.

类型三：四边形中的母子型

【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：

2BC CG CD =•。

2.如图，菱形ABCD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，求证：

21

2AD DE DB =

•。

类型四：圆中的母子型

【例1】1.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ， 求证：2

EB DE AE =•。

H

G

F E

D

C

B

A

A

A

A

C

B

2.如图，PA 切⊙O 于A ，AB 为⊙O 的直径，M 为PA 的中点，连BM 交⊙O 于C ，

求证：（1）2

AM MC MB =• （2）∠MPC=∠MBP 。

“K 字型”相似专题复习

【活动一】

K 字型相似基本图形1:

条件：B ，C ，E 三点共线,∠B=∠ACD=∠E=90° 结论：△ABC ∽△CED

【应用】 1．如图，已知点A （0，4）、B （4，1），BC ⊥x 轴于点C ，点P 为线段OC 上一点，且PA ⊥PB ．则点P 的坐标为 2．如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC 上任取一点E ，连接DE ，作EF ⊥DE ，交直线AB 于点F ． （1）若点F 与B 重合，求CE 的长；

（2）若点F 在线段AB 上，且AF=CE ，求CE 的长． 3．（1）如图②，已知点A （-2，1），点B 在直线y=-2x+3上运动，若∠AOB=90°，求此时点B 的坐标；

（2）如图③，过点A （-2，1）作x 轴与y 轴的平行线，交直线y=-2x+3于点C 、D ，求点A 关于直线CD 的对称点E 的坐标．

D

O A

B

C

E

C

O

A

P

B

M A

B C D

E

【活动二】

K 字型相似基本图形2:

条件：B ，D ，C 三点共线,∠B=∠EDF=∠C= α 结论：△BDE ∽△CFD

证明：

【应用】

1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OA=7，BC=1，AB=5，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点0、点A 重合．连接CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．

（1）直接写出点B 的坐标 ．

（2）当点P 在线段OA 上运动时，使得∠CPD=∠OAB ，且BD: AD=3:2 ，求点P 的坐标．

αα

α

B

C

E F

D