第四章平面体及回转体的截切讲解
教学课件：第四章-平面体及回转体的截切
通过精心的截切，产品设计师可以 提升产品的美观度和市场竞争力。
雕塑艺术的截切实例
雕塑艺术的创意表达
雕塑作品的象征意义
通过截切平面体和回转体，雕塑艺术 家可以表达出独特的创意和艺术风格。
通过特定的截切，雕塑艺术家可以赋 予作品特定的象征意义和内涵，引发 观众的共鸣和思考。
雕塑作品的层次感
圆形平面的截切
总结词
圆形平面的截切分为三种情况，分别是圆心与平面垂直、圆心与平面斜交和圆在平面内。
详细描述
当圆心与平面垂直时，截面是一个圆，其半径等于原圆的半径。当圆心与平面斜交时，截面是一个椭圆，其长轴 等于原圆的直径，短轴等于原圆的半径。当圆在平面内时，截面是一个圆，其半径等于原圆的半径减去平面与圆 心的距离。
椭圆形平面的截切
总结词
椭圆形平面的截切分为三种情况，分别是椭圆的长轴 与平面垂直、椭圆的长轴与平面斜交和椭圆在平面内 。
详细描述
当椭圆的长轴与平面垂直时，截面是一个椭圆，其长 轴等于原椭圆的长轴，短轴等于原椭圆的短轴。当椭 圆的长轴与平面斜交时，截面是一个类似鸡蛋形状的 椭圆，其长轴等于原椭圆的长轴，短轴等于原椭圆的 短轴。当椭圆在平面内时，截面是一个椭圆，其长轴 等于原椭圆的长轴减去平面与椭圆中心的距离，短轴 等于原椭圆的短轴减去平面与椭圆中心的距离。
教学课件：第四章-平面 体及回转体的截切
• 引言 • 引言 • 平面体的截切 • 回转体的截切 • 截切的应用与实例 • 总结与思考
01
引言
平面体截切的定义与特点
定义
用一个平面去截切一个平面体，得到的是平面的截面图形。
特点
截面图形的形状和大小取决于平面体的形状和截平面的位置 。
第四章回转体及截切
四、 作图步骤
1.根据截平面位置与曲面立体表面的性质，判别截交线的 形状和性质 2.根据截平面位置与曲面立体所处位置，决定采用什么方 法求共有点 3.求出截交线上的特殊点 4.根据需要求出若干个一般点 5.光滑且顺次的连接各点，做出截交线，并且判别可见性 6.最后，补全可见与不可见部分的轮廓线，并擦除被切割 掉的轮廓线
一、圆球的形成
以半圆为母线，绕其直径所在轴线回转一周 形成的面称为球面。球面围成球体，简称球。
二、 圆球的画法
球投影作图步 骤： （1）先用细点 画线画出对称中 心线，确定球心 的三个投影位置； （2）再画出三 个与球直径相等 的圆。
三、 圆球的投影特点
由单纯的球面 形成，它的三 个投影均为圆， 其直径与球的 直径相等。
圆锥投影作图步骤： （1）用细点画线画 出轴线的正面和侧面 投影以及画出圆锥水 平投影的对称中心线； （2）画出锥底面的 三面投影； （3）画出锥顶点s的 投影； （4）画出各投影轮 廓线。
三、 圆锥的投影特点
四、圆锥可见性的判别
五、圆锥表面上取点
1）辅助素线法 2）辅助圆法
圆球的投影
一、圆球的形成 二、圆球的画法 三、圆球的投影特点 四、圆球投影可见性的判别 五、圆球表面上取点
组合；
1"
2．求出截交线上的特殊
点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ ；
3．出一般点Ⅳ、Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各 点，作出截交线，并且 判别可见性；
5．整理轮廓线。
4 2
平面与 圆球相交
一、平面与圆球相交所得截交线形状 二、 求圆球截交线点的方法 三、 例题
一、平面与 圆球相交所得截交线形状
圆
二、求圆球截交线上点的方法
二、 圆锥的投影
工程制图第四章
相贯线为两个相同 的椭圆，椭圆平面 垂直于两轴线所决 定的平面。
例：已知两轴相交圆柱孔的水平和侧面投影，作出其相贯 线的正面投影。 分析：两圆 柱孔是等直 径孔，它们 的相贯线为 椭圆。两回 转体的轴线 都平行于正 面，相贯线 的正面投影 为直线。
小结： 小结：
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面 多边形，多边形的边是截平面与棱面的交线。 二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截平面与被截立 体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 三、解题方法与步骤 1.空间及投影分析 1）分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的形状。 2）分析截平面与被截立体对投影面的相对位置以确定截交线 的投影特性。
a" 4" • •3" •c" d" • 2" • •Fra bibliotek•1"
b" •
b'
2 d • •• 4 b• •a
• ••3 1c
完成后的相贯线三视图
三、相贯线的特殊情况
1.两回转体共轴线相交 两回转体有一个公共轴线相交时，它们的相贯线都是 平面曲线——圆。
圆柱与球共轴 圆柱与圆锥共轴
2.两圆柱体直径相等且轴线相交
一、平面与圆柱体相交
截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱 轴线的相对位置。
P
PH
截平面与圆柱轴线 平行，截交线为矩形
P
P
Pv Pv
截平面与圆柱轴线 垂直截交线为圆
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
例1：求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 投影，完成侧面投影。 2' c'(d')• d"• 3'(4') • a'(b') • 4"• • b"• 2" • • 1"
第四章 截交线
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39
【例题十六】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和 侧面投影 。
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4-17 动画演示
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40
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41
§4.2 同轴叠加回转体截交线的画法
求取：分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。 [例十七]已知圆锥被两个平面P、Q所截，求截交线的水平投影和侧
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4-1 动画演示 上一页
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6
（二）作图
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7
【例三】已知六棱柱被P、Q面所截切，求截交后交线的各投影。 （一）分析
截平面P是正垂面，Q是侧平面， 正面投影都有积聚性。 求截交线的H、W面的投影。
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二、求取：同平面立体 对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。
三、 注意： ①同平面立体； ②连线：多点光滑相连；找点 ：特殊点（转向轮廓线上 点如最高、最底、最前、最后、最 左、最右）； 一般点。 ③同平面立体； ④曲面立体截交线要明确其特点：
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（二）作图
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【例四】已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图
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4-2 动画演示
机械制图04基本体及其截断
三个视图分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。
O
O1
圆球的三视图画图步骤： O
2.在圆球表面取点
★特殊位置点
c´
b´
a´ a״
c
O1
b״
c״
a b
圆球表面取点
★辅助圆法
k
1
m
(2 )
(2)
圆的半径？
1
(2)
k
1
(m)
1
44..22 平平面面与与立立体体相相交交
2'
•
•••
1 3
2
• • 1"
•
• 3"
•
• 2"
分析：圆锥台的切口 由三个平面切割而成， 分析各截交线的空间 形状和投影特性。
切口圆锥台的视图和立体图。
1' 3‘(4’)
2'
• • 1"
•
• 3"
•
• 2"
•
•••
1 3
2
三、球体的截断
用任何位置的截平面截割圆球，截交 线的形状都是圆。
当截平面平行于某一投影面时，截交 线在该投影面上的投影为圆的实形，其 它两面投影积聚为直线。
2. 棱柱表面取点
已知棱锥表面的点A、B、C的投影a’、b’、c，求其它两面投影。
C′
C″
a
a
(b)
b
b
c
a
由于棱柱的表面都是平 面，所以在棱柱的表面上取 点与在平面上取点的方法相 同。 点的可见性规定：
若点所在的平面的投影 可见，点的投影也可见；若 平面的投影积聚成直线，点 的投影也可见。
平面体及回转体的截切
二 平面体的截切
• 截交线是直线且会组成封闭的平面多边形 • 截交线的每条边是截平面与棱面（底面）的交线 • 截交线的每个点是截平面与立体上棱线（底边）的交点 • 截交线的边数取决于截平面与形体表面的相交数
与4个面相交 与5个面相交 与6个面相交
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一、求平面立体截交线的方法
三、求平面立体截交线实例 例1：求五棱柱被P平面截切后的投影。
作 分图析步：骤： 作P连平棱出截面线完交为与 整线正截 侧投垂平 投影面影，与 面侧的面交全点部投相影交。
Ⅲ Ⅳ
Ⅱ Ⅴ
Ⅰ
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三、求平面立体截交线实例 例1：求五棱柱被P平面截切后的投影。
作图步骤： 整理轮廓线， 完成左视图
分作析图：步骤： 截作擦 交除侧水 线被平 的切截 已 去空 交 间知线的形投外状影形线
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例题5：求圆柱被平面截切后的侧面投影。
作图步骤： 完成侧面投 影
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例题6：求圆筒被平面截切后的侧面投影。
分 作析 图：步骤： 截作擦 交除圆两水 线被筒侧平 的切侧平 面 已 去 面空 与 间知与的圆投形投外内影圆柱状影形柱体线体的孔 的 截 交截线交线
平面体及回转体的截切
1 截交线的概念与性质 2 平面体的截切 3 曲面体的截切
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一 截交线的概念与性质
一、截交线概念
⒈ 截切——用平面截切立体，并切去立体一部分。
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⒉截平面——用来切割立体的平面。 ⒊截交线——截平面与立体表面的交线。 ⒋截断面——截交线所围成的平面。
第四章平面体及回转体的截切讲解
截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
∙截平面——用以截切物体的平面。
∙截交线——截平面与物体表面的交线。
∙截断面——因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图。
一、平面截切的基本形式截交线的性质：∙截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。
∙例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
棱线法！例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例3: 求八棱柱被平面P2例3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
一、回转体截切的基本形式截交线的性质：∙截交线是截平面与回转体表面的共有线。
∙截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。
∙截交线都是封闭的平面图形。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤⒈空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。
找出截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆先找特殊点，补充中间点。
☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
例1：求左视图例1：求左视图解题步骤：★空间及投影分析截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置★求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影例2：求左视图例2：求左视图例3：求俯视图截交线截交线的空间的投影形状？特性？例:如何找椭圆另一根轴的端点？例: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。
㈢球体的截切平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
㈣复合回转体的截切首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
4.3平面立体与回转体相交平面立体与圆柱体相交
平面与立体表面的交线称为截交线。
立体与立体表面的交线称Байду номын сангаас相贯线。
4.1 平面立体的截切
一、截交线的性质
1、截交线是由直线组成的平面图形（封闭多边形）。 2、多边形的各边是立体表面与截平面的交线。
3、多边形的各顶点是立体各棱线与截平面的交点。
截断面
截平面
截交线
分析圆筒内外交线投影
[例10]补画视图中所缺的图线。
[例10]补画视图中所缺的图线。
[例11] 已知主、俯视图，补画左视图。
[例12] 已知主、俯视图，补画左视图。
[例13] 已知主、俯视图，补画左视图。
●
●
1、空间及投影分析。
截平面与体的相对位置。 截平面与投影面的相对位置。
●
2、求截交线。
[例18] 画出球体开槽的三视图。
[例18] 画出球体开槽的三视图。
4.3 平面立体与回转体相交
平面立体与圆柱体相交，内外交线画法分析
4.4 两回转体相交
两回转体相交产生的交线称为相贯线。
相贯线的性质
1、一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，在特 殊情况下，可以是平面曲线或直线。
2、相贯线是两回转体表面的共有线,也是相贯体 两表面的分界线，相贯线上所有点都是两曲面 体的共有点。
分析切割式平面立体的形成
[例2] 根据物体的立体图,画出三视图。
b´ a´
a b
b" a"
B
[例3] 已知物体的主、左视图，补画出俯视图。
[例3] 已知物体的主、左视图，补画出俯视图。
a'
b'
P´
c' d'
工程制图-第四章-截切体与相贯体的投影
21 6 3 45
例3 已知主视图和左视图，求俯视图。
正垂面
侧垂面
空间与投影分析：四棱柱被 正垂面和侧垂面截切
结束
先画出完整的四棱柱俯视图，再找出相似形。
正垂面
正垂面 的类似形
侧垂面
正垂面 的类似形
侧垂面的 类似形
侧垂面的 类似形
结束
二、回转截切体的投影
• 截交线的分析
截交线是截平面与回转面的公有线
结束
一、表面取点法
就是根据投影具有积聚性的特点，由两回转体表面上若干 共有点的已知投影求出其它未知投影，从而画出相贯线的投 影。 例 求作两垂直相交的圆柱的相贯线。
作图方法：
• 先找特殊点 • 再求中间点 (用表面取点法) • 连接各点并判可见性
结束
找特殊点(最左点2, 最右点1, )的三视图
结束
1′
1″
5′
（5″）
1
5
结束
由左视转向点2 和点8 的主视图，作出点2 和点8 的左视图与俯
视图。
1′ 2′（8′）
5′
1″
8″
2″
（5″）
yy
28
yy
1
5
结束
用辅助平面法找出点3 和点7 的俯视图与左视图。
1′ 2（′ 8′）
3（′ 7′）
5′
8″ (7″)
1″
2″ (3″)
（5″）
yy
yy
7
28
1
5
3
结束
光顺地连出截交线椭圆的俯视图与左视图，并判断可见性。
结束
3.圆球的截交线
圆球的截交线是圆。截交线的投影为直 线、圆或椭圆三种情况。
工程制图截切体与相贯体的投影(课堂PPT)
.
21
结束
• 基本内容 1.圆柱体上的截交线 2.圆锥体上的截交线 3.圆球的截交线 4.复合回转体体上的截交线
.
22
结束
1. 圆柱体上的三种截交线
截面为矩形
截面为. 圆
截面为椭圆 23
例1 已知主视图和左视图，求作俯视图。
空间与投影分析
圆柱被水平面和侧平面截切，截
交线的水平投影为矩形；
.
24
Ⅲ Ⅰ
9
找出棱线上的点Ⅱ、点Ⅳ的主视图和左视图。
3′ 1′ 2′4′
3″
4″
2″
1″
1
3
.
结束
Ⅳ Ⅰ
Ⅲ Ⅱ
10
用圆规量取Ⅱ、Ⅳ的y坐标，求出Ⅱ、Ⅳ的水平投影
3′ 1′ 2′4′
3″
4″
2″
1″
yy
4
Ⅳ
1
3
yy
Ⅰ
2
.
11
结束
顺序连接截交线的左视图、俯视图。
3′ 1′ 2′4′
3″
4″
2″
1″
4
1
（5′）6′ 3′
1
5
2 3
64
结束
1″
4″
5″
6″ 3″
Ⅱ
Ⅰ
Ⅴ
.
Ⅲ ⅥⅣ
35
完成图形
Ⅱ
Ⅰ
结束
Ⅴ
.
Ⅲ ⅥⅣ
36
2.圆锥上的五种截交线
过锥顶 与轴线垂直 与轴线倾斜 与一条素线平行
与轴线平行
等腰三角形
圆
.
椭圆
抛物线
37
双曲线
例4 圆锥体被一正垂面P 截切，已知主视图，求作俯视图和
06平面体及回转体的截切
第七章平面体及回转体的截切本章及下一章是我们这门课的难点第七章平面体及回转体的截切截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
∙截平面——用以截切物体的平面。
∙截交线——截平面与物体表面的交线。
∙截断面——因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图。
7.1 平面体的截切一、平面截切的基本形式∙截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。
∙截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：截交线的形状•1.分析截平面与立体的相对位置以决定截交线形状：多边形，其边数取决于截平面截到的棱面数。
•2. 分析截平面与投影面的相对位置以决定截交线的投影形状。
3'2'1'(4')1"●2"●4"●3"●1●2●4 ●★空间分析交线的形状？3●★投影分析★求截交线★分析棱线的投影★检查尤其注意检查截交线投影的类似性截平面与体的几个棱面相交？截交线在俯、左视图上的形状？我们采用的是哪种解题方法？棱线法！例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
12 1'(2')Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个面上。
三面共点： 2"●1"●注意：要逐个截平面分析和绘制截交线。
当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例 3: 求八棱柱被平面P 截切后的俯视图。
P '截交线的形状？ ⅠⅡ ⅢⅣⅤⅥⅦⅧ1" 5" 4" 3"2"8"7"6" 截交线的投影特性？ 2'≡3'≡6'≡7'1'≡8'4'≡5'求截交线 15476328分析棱线的投影 检查截交线的投影例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
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截切：
用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
∙截平面——用以截切物体的平面。
∙截交线——截平面与物体表面的交线。
∙截断面——因截平面的截切，在物体上形
成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图。
一、平面截切的基本形式
截交线的性质：
∙截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。
∙
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例1
：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
棱线法！
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例2
：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例3: 求八棱柱被平面P
2
例3: 求八棱柱被平面P
截切后的俯视图。
一、回转体截切的基本形式
截交线的性质：
∙截交线是截平面与回转体表面的共有线。
∙截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。
∙截交线都是封闭的平面图形。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤⒈空间及投影分析
☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。
找出截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆先找特殊点，补充中间点。
☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
例1：求左视图
例1
：求左视图
解题步骤：★空间及投影分析
截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置★求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影
例2：求左视图
例2
：求左视图例3
：求俯视图
截交线截交线的空间的投影形状？特性？例:
如何找椭圆另一根轴的端点？
例: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。
㈢球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
㈣复合回转体的截切
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
三、解题方法与步骤
⒈空间及投影分析
⑴分析截平面与被截立体的相对位置，以
确定截交线的形状。
⑵分析截平面与被截立体对投影面的相对
位置，以确定截交线的投影特性。
⒉求截交线
当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。
注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。
⒊当单体被多个截平面截切时，要逐个截
平面进行截交线的分析与作图。
当只有局部被截切时，先按整体被截切求出截交线，然后再取局部。
⒋求复合回转体的截交线，应首先分析复
合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。