结构力学-稳定计算页PPT文档
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结构力学教学课件-11结构的稳定计算-2
➢随遇✓平三衡种（不中同性性平衡质）的—平—衡干；扰撤销，不能自动恢复原有的 平衡状✓态三，类但不可同以形在式新的的状失态稳下；保持平衡。 ➢不稳✓定两平种衡不—同—精干扰度撤的销稳，定不理能论自动恢复原有的平衡状态， 也不能✓在用新静的力状法态求下临保界持平荷衡载。；
上节课内容回顾
FP
FP
(a)稳定平衡 (b)随遇平衡 (c)不稳定平衡
l
l
l (1
cos
)
l
1
2
2
l
1 2
y2
l
y1
2
y2
y1 2
2l
,因而荷载所作的功为: W
FP
y2
y1 2
2l
l
(a) l
l (b)
B FP
B y2
FP B
例: 求图示结
构的临界 荷载.
FP k
l
k
l
FP y1
y2
EI
解: 应变能
U
1 2
k y12
1 2
k y22
可能的位移状态
外力势能 W
FP i i
FP [
y22 2l
( y2
y1)2 2l
]
结构势能 U W
1 2
ky12
1 2
ky22
FP [
y22 2l
( y2
y1 )2 ] 2l
1 2l
[(kl
FP ) y12
2FP y1 y2
(kl
2FP ) y22 ]
0
y1 0 y2
y1
1[(kl l
FP ) y1
FP y2 ]
东南大学土木工程学院
上节课内容回顾
FP
FP
(a)稳定平衡 (b)随遇平衡 (c)不稳定平衡
l
l
l (1
cos
)
l
1
2
2
l
1 2
y2
l
y1
2
y2
y1 2
2l
,因而荷载所作的功为: W
FP
y2
y1 2
2l
l
(a) l
l (b)
B FP
B y2
FP B
例: 求图示结
构的临界 荷载.
FP k
l
k
l
FP y1
y2
EI
解: 应变能
U
1 2
k y12
1 2
k y22
可能的位移状态
外力势能 W
FP i i
FP [
y22 2l
( y2
y1)2 2l
]
结构势能 U W
1 2
ky12
1 2
ky22
FP [
y22 2l
( y2
y1 )2 ] 2l
1 2l
[(kl
FP ) y12
2FP y1 y2
(kl
2FP ) y22 ]
0
y1 0 y2
y1
1[(kl l
FP ) y1
FP y2 ]
东南大学土木工程学院
结构力学之结构的稳定计算
分支点失稳的特点：
原始平衡：平面弯曲 新平衡形式：斜弯曲加扭转
结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定
而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时，
这种现象带有突然性。
7
11.1 稳定问题的基本概念
11.1.2 三类不同形式的失稳
极值点失稳(第二类失稳)：
当荷载较小时（曲线的OA段），Δ随荷载的 增大而非线性增长，当荷载达到某一个临界值FPcr 时，曲线出现一个极值点（图中A点），此时荷载 不但不能继续增加，而且如果稍加干扰，即便减 小荷载，杆件的挠度也仍要继续增长，如图中曲 线的AB段所示。
结构的变形在荷载达到临界值 后并不发生性质上的突变，只
是原有变形的迅速增长。
非完善体系
8
极值点失稳：
P
非完善体系出：现极极具承值值有受点点初偏失失曲心稳稳率荷的。的载特平压的点衡杆压：形杆非式完不善出体现系分 支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的
(小挠度理变论形) 形式并不发生质P 的改变，由P 于结
，FP-Δ曲线沿图中的路径2即弧线AB前进。
5
l/2
分支点失稳：
完善体系 （或理想体系）：
直杆（无初曲率）， 中心受压（无初偏心）。
P12<>PPccrr
P1<Pcr=
2E l2
I
原始平衡状态是
稳定的是唯一的
P2>Pcr
Δ
原始平衡状态是不
稳定的。存在两种
不同形式的平衡状
态(直线、弯曲）。
P2 Pcr P1
以下只讨论完善体系分支点失稳问题， 并由小挠度理论求临界荷载。
15
11.2 用静力法求临界荷载
第13章结构的稳定计算PPT资料75页
初始 塑性
B
C 极值点 FPcr
A 弹性工程柱
D 弹塑性工程柱
O
五、稳定问题的实质
强度问题的实质是一个通过对结构的内力分析，来 确定构件最大应力的位置和数值的问题。
稳定问题的实质是一个通过对结构的变形分析，计 入附加荷载效应之后，来判断结构的原有位形是否 能保持稳定平衡的问题。
七、 稳定分析的自由度
b) 框架各柱单纯受压 →转为压弯组合变形
c) 梁平面弯曲→转为 斜弯曲和扭转组合变形
分支点失稳的几个实例
第二类失稳：极值点失稳
FP
e
FP
FP
0
FP e
a) 初弯曲柱 b) 初偏心柱
Euler-FPcr
初始 塑性
B
C 极值点 FPcr
A 弹性工程柱
D 弹塑性工程柱
O
c) 初偏心柱的FP-D 曲线
第二类失稳：极值点失稳
三、两类稳定问题
失稳：随着荷载的逐渐增大，原始平衡状态丧失其稳定性
第一类失稳：分支点失稳
FP
FP
l /2
Ⅰ(不稳定)
不稳定平衡 C 随遇平衡 B 稳定平衡 A FPcr Ⅰ(稳定)
Ⅱ(大挠度理论) D
D1 Ⅱ(小挠度理论)
l /2
O
简支压杆的理想体系的平衡路径
FPFPcr π2EI l2
压杆单纯受压，不发生弯曲变形（挠度D＝0）。仅
不稳定平衡 C 随遇平衡 B 稳定平衡 A FPcr Ⅰ(稳定)
Ⅱ(大挠度理论) D
D1 Ⅱ(小挠度理论)
O
理想体系的失稳形式是分支点失稳。其特征是：丧失稳
定时，结构的内力状态和平衡形式均发生质的变化。因 此，亦称质变失稳（属屈曲问题）。
结构力学课件_结构的稳定计算
3
《结构力学》第十一章
结构的稳定计算
一、结构的三种平衡状态
结构的三种平衡状态(从稳定性角度考察)：稳定平 衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。 解释：设结构处于某个平衡状态，受到轻微干扰而 稍微偏离其原来位置。 1、稳定平衡状态：当干扰消失后，如结构回到原 来位置，则原来的平衡状态称为稳定平衡状态。 2、不稳定平衡状态：当干扰消失后，结构继续偏 离，不能回到原来位置，则原来的平衡状态称为不稳定 平衡状态。 3、中性平衡状态：结构由稳定平衡到不稳定平衡 过渡的状态称为中性平衡状态。
FP A B (极值点) C O ( c)
14
《结构力学》第十一章
结构的稳定计算
一般说来，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。
(4)特例 扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。 图 a 所示的扁桁架，矢高为 f ，高跨比 f/l<<1 。在跨 度中点作用竖向荷载FP，产生竖向位移。 其FP-曲线如图b所示。
分支点 A 处的临界平衡状态 也是不稳定的。
FPcr=kl
第二路径II，当增大时，荷 载反而减小；路径 II 上的点属于 不稳定平衡。
FP B I(不稳定) A II(不稳定) I(稳定) O
C
注意：对这类具有不稳定分支点的完善体系，在进 行稳定验算时要特别小心，一般应当考虑初始缺陷 ( 初 曲率、偏心)的影响，按非完善体系进行验算。 (2) 按小挠度理论分析 设<<1，则式(a)、(b)简化为
结构的稳定计算
(a)
FPcr
FPcr (b)
qcr
( c)
FPcr
(a) 承受结点荷载的门式刚架：在原始平衡形式中， 各柱单纯受压，刚架无弯曲变形；在新的平衡形式中， 刚架产生侧移，出现弯曲变形。
《结构力学》第十一章
结构的稳定计算
一、结构的三种平衡状态
结构的三种平衡状态(从稳定性角度考察)：稳定平 衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。 解释：设结构处于某个平衡状态，受到轻微干扰而 稍微偏离其原来位置。 1、稳定平衡状态：当干扰消失后，如结构回到原 来位置，则原来的平衡状态称为稳定平衡状态。 2、不稳定平衡状态：当干扰消失后，结构继续偏 离，不能回到原来位置，则原来的平衡状态称为不稳定 平衡状态。 3、中性平衡状态：结构由稳定平衡到不稳定平衡 过渡的状态称为中性平衡状态。
FP A B (极值点) C O ( c)
14
《结构力学》第十一章
结构的稳定计算
一般说来，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。
(4)特例 扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。 图 a 所示的扁桁架，矢高为 f ，高跨比 f/l<<1 。在跨 度中点作用竖向荷载FP，产生竖向位移。 其FP-曲线如图b所示。
分支点 A 处的临界平衡状态 也是不稳定的。
FPcr=kl
第二路径II，当增大时，荷 载反而减小；路径 II 上的点属于 不稳定平衡。
FP B I(不稳定) A II(不稳定) I(稳定) O
C
注意：对这类具有不稳定分支点的完善体系，在进 行稳定验算时要特别小心，一般应当考虑初始缺陷 ( 初 曲率、偏心)的影响，按非完善体系进行验算。 (2) 按小挠度理论分析 设<<1，则式(a)、(b)简化为
结构的稳定计算
(a)
FPcr
FPcr (b)
qcr
( c)
FPcr
(a) 承受结点荷载的门式刚架：在原始平衡形式中， 各柱单纯受压，刚架无弯曲变形；在新的平衡形式中， 刚架产生侧移，出现弯曲变形。
结构力学 第13章结构弹性稳定ppt课件
解：单自由度结构失稳时发生微小的偏 离如图b。
1
Δ ll2y 1 2 l l 1 y l2 1 2 2 l l 1 1 2y l2 1 2 y 2 1 l2
弹簧的应变能为 Vε 12k1yy112k1y2
外力势能为
VFΔF 2l
y12
若图b结构能维持平衡则有
dEP dy1
k
lF l
§13-4 用能量法确定临界荷载
展开整理得 F 23kl F k2l20
解得
F3 2
5k
2.61k8l l0.38k2l
最小值为临界荷载 Fcr0.38k2l
图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳 时发生弯矩变形，应变能为：
Vε
1 2
l M2 dx 0 EI
将 M2 EyI 代入
Vε
1 2
l EI(y)2dx
图b 所示结 构，则 需两个 独立参 数，具 有两个 自由度。
图c所 示弹性压 杆，则需 无限多个 独立参数， 具有无限 多自由度。
§13-2 用静力法确定临界荷载
静力法—依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件， 求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值 即为临界荷载。
图a所示单自由度结构，设压杆偏离 竖直位置时仍处于平衡状态如图b。
§13-1 概 述
结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。
图a所示理想中心受压直杆。当F值达到 某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯 曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上， 不能回到原来的直线位置，如图b。
此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形 式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式 —这种现象为压杆丧失了第一类稳定性。
工程结构实际上均属于第二类稳 定问题。可将其简化为一类稳定问题 来处理。
结构力学——结构的稳定计算1 34页PPT文档
例:求图示刚的临界荷载.
P
PP
PP
P
I1 2I
lI
I
l
正对称失稳时
P
k
正对称失稳
k
1
P
k
2EI4EI/l l/2
反对称失稳
tannl nl 1 EI (nl)2 kl
nl 1 (nl)2 / 4
nl3.83 P crn2E I1.6 4E 7/lI2
例:求图示刚的临界荷载.
§4. 能量法
一. 势能原理
1.应变能
弯曲应变能
拉压应变能
Ve
P/2
1 2
l Mdx
0
Ve P/2
1 2
l Ndx
0
剪切应变能
Ve P/2
1 2
l Qdx
0
2.外力势能
外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功.
y(x)A co n sxB sinn xQ (lx) P
由边界条件
cosnl sin nl 0 稳定方程
n cln o s lsn i n 0 l
y (0 ) 0 ,y (0 ) 0 ,y (l) 0
tanlnl
y
y(nl)nl y(n)ltanl
x
P
P
Q
Q
l
EI
§2. 静力法
一.一个自由度体系
P
l EI
A k
k
1
k
MA0
kPslin0
小挠度、小位移情况下：
sin
(k P)l0
0
k Pl0
----稳定方程（特征方程）
抗转弹簧
Pcr k /l ---临界荷载
结构的稳定计算-PPT精品
位形图
0.367
22
例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.
解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡
状态的两重性出发列平衡方程。
A EI= B EI= C EI= D
k
k
FP
l
l
l
y1
y2
FxA=FP
k
k
FP
FyA=FPy1/l FRB=ky1
FRC=ky2
FyD=FPy2/l
EP 12k(y12 y22)FP1l(y12y1y2y22) 31
EP 0 y1 EP 0 y2
势能驻值条件
(k l2 F P )y 1 F P y 2 0 kl2FP
FP 0
F P y 1 (k l2 F P )y 2 0 FP kl2FP
例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr
解：从临界平衡状态的能量特征出发
D FP
EI1=
D
FP
D
FP
h
表能B 明 的ElI势 二A能 阶为 变ElI驻 分值为C 且零B位的移内有力A非准零则解在C的本能质3 E量 上lI 特 是A征 相与 同3势 的ElI
δEP 0
dEP
d
2
所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。
如小球受到干 扰后仍能恢复 到原先的平衡 位置，则称该 状态为
稳定平衡
球在三个位置都能 处于平衡，但受到 干扰后表现不同：
如小球受到干 扰后可停留在 任何偏移后的 新位置上，则 称该状态为
随遇平衡
如小球受到干 扰后失去回到 原先的平衡位 置的可能性， 则称该状态为
0.367
22
例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.
解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡
状态的两重性出发列平衡方程。
A EI= B EI= C EI= D
k
k
FP
l
l
l
y1
y2
FxA=FP
k
k
FP
FyA=FPy1/l FRB=ky1
FRC=ky2
FyD=FPy2/l
EP 12k(y12 y22)FP1l(y12y1y2y22) 31
EP 0 y1 EP 0 y2
势能驻值条件
(k l2 F P )y 1 F P y 2 0 kl2FP
FP 0
F P y 1 (k l2 F P )y 2 0 FP kl2FP
例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr
解：从临界平衡状态的能量特征出发
D FP
EI1=
D
FP
D
FP
h
表能B 明 的ElI势 二A能 阶为 变ElI驻 分值为C 且零B位的移内有力A非准零则解在C的本能质3 E量 上lI 特 是A征 相与 同3势 的ElI
δEP 0
dEP
d
2
所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。
如小球受到干 扰后仍能恢复 到原先的平衡 位置，则称该 状态为
稳定平衡
球在三个位置都能 处于平衡，但受到 干扰后表现不同：
如小球受到干 扰后可停留在 任何偏移后的 新位置上，则 称该状态为
随遇平衡
如小球受到干 扰后失去回到 原先的平衡位 置的可能性， 则称该状态为
结构力学 结构稳定计算
杆件伸长量 杆件轴力
2 F p1 / 2 45 45 FN 1l 2 F p1l 杆件伸长量 EA 2 EA l l A Fp1l A点竖向位移 1 2 FP1 EA 2 Fp1l * 外力势能 Ve Fpi i Fp11 E 2 EA F p1l 1 Fp21l Ve FN 1 2 应变能 2 2 EA 2 2 2 Fp1l Fp1l Fp1l 2 EA * EP Ve VP 结构势能 1 2 EA EA 2 EA
第十五章《结构的稳定计算》
§15-1 两类稳定问题概述
稳定分析的几点预备知识:
1、三种平衡状态：稳定平衡状态、不稳定平衡状态、中性平衡状 态。 2、两种分析理论：小挠度理论、大挠度理论。
3、两种失稳状态：分支点失稳、极值点失稳。
4、 计算要在结构变形后的几何形状和位置上进行, 属几何非线性,叠加原理已不再适用。两种方法 :静力 法和能量法
EI 1 (l ) 2 k l l 1 (l ) 2 / 4
l 3.83
FPcr 2 EI 14.67 EI / l 2
例:求图示刚的临界荷载.
Fp
I1 2I
Fp
I
Fp
Fp
Fp
Fp
l
I
l
反对称失稳时
正对称失稳 反对称失稳
Fp
k
k
1
l tanl
k l EI
tan l
若
l
EI 1 (l ) 2 k l
若
解此方程可得 l 最小正根
F p cr EI
2
k 0
k
FP
EI
FP
l
EI
2 F p1 / 2 45 45 FN 1l 2 F p1l 杆件伸长量 EA 2 EA l l A Fp1l A点竖向位移 1 2 FP1 EA 2 Fp1l * 外力势能 Ve Fpi i Fp11 E 2 EA F p1l 1 Fp21l Ve FN 1 2 应变能 2 2 EA 2 2 2 Fp1l Fp1l Fp1l 2 EA * EP Ve VP 结构势能 1 2 EA EA 2 EA
第十五章《结构的稳定计算》
§15-1 两类稳定问题概述
稳定分析的几点预备知识:
1、三种平衡状态：稳定平衡状态、不稳定平衡状态、中性平衡状 态。 2、两种分析理论：小挠度理论、大挠度理论。
3、两种失稳状态：分支点失稳、极值点失稳。
4、 计算要在结构变形后的几何形状和位置上进行, 属几何非线性,叠加原理已不再适用。两种方法 :静力 法和能量法
EI 1 (l ) 2 k l l 1 (l ) 2 / 4
l 3.83
FPcr 2 EI 14.67 EI / l 2
例:求图示刚的临界荷载.
Fp
I1 2I
Fp
I
Fp
Fp
Fp
Fp
l
I
l
反对称失稳时
正对称失稳 反对称失稳
Fp
k
k
1
l tanl
k l EI
tan l
若
l
EI 1 (l ) 2 k l
若
解此方程可得 l 最小正根
F p cr EI
2
k 0
k
FP
EI
FP
l
EI
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3. 跃越失稳
两种理论分析方法
大挠度分析法: 考虑大的变形及变形对几何形状的影响
小挠度分析法: 只考虑微小的变形，不考虑变形对几何形状的影
响，用近似公式计算位移
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
结构失稳的两种基本形式
1、第一类失稳（完善体系分支点失稳）：结构变形产生
了性质上的突变，带有突然性。
Fp
2. 分支点失稳
5. 稳定平衡
Fpcr O
Fpcr
例：图16-6
O
Fpcr
例：图16-7
O
非完善体系大挠度理论分析
Fp
Fp
B
A 6. 稳定平衡
Fpcr
Fpcr
3. 极值点失稳 例：图16-9(a)
O
O
非完善体系小挠度理论分析
Fp
4. 极值点失稳
Fpcr
例：图16-10
O
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
θ
A y
单自由 度体系
x Δ
B EI y
Pc r kΔ
l x
y
x Δ Pc r
EI B y
x
A y
MA= kθ θ
无限自由 度体系
Pc r RB
y EI
x A
y MA= kθ θ
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异
大挠度理论
小挠度理论
l sin
l
结构力学（2）
F
Fp
浙大宁波理工学院土建学院
F
Fp
线性
非线性
结构力学（2）
F1
F2
F1+F2
浙大宁波理工学院土建学院
F1
F2
F1+F2
1 2
线性(叠加原理成立)
1 2
非线性(叠加原理不成立)
结构力学（2）
Fp
原 状 态
Fp
干 扰 状 态
Fp
Fp
原
干
状
扰
态
状
态
浙大宁波理工学院土建学院
非完善体系
体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对 应，则平衡状态为稳定衡平状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
稳定问题的自由度：与动力问题相似，确定体系变形状态 所需要的独立几何参数（一般指的是位移, 并垂直于力的 方向）的数目
x Δ
B EI
Pc r kΔ
eP P
临界荷载
P
小挠度理论
Δ
A
B
Pcr
Pc r C 大挠度理论
P
O
Δ
(a) 偏心受压杆
(b) 荷载——位移曲线（P—Δ 曲线）
3. 跃越失稳
结构力学（2）
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弹性静稳定平衡的条件
完善体系
1. 平衡路径之前没有分支点，则体系的状态为稳定平衡状态。 2. 平衡路径之前有分支点，荷载随位移增大而增大，则体系的 状态为稳定平衡状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
l
l (1 c o s )
1 l 2 2
2l sin 2
2
2l
2
大挠度理论
dlsin2lcos2l
小挠度理论
dcos
结构力学（2）
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弹性稳定问题的6种情况
完善体系大挠度理论分析
Fp
Fp
1. 分支点失稳
完善体系小挠度理论分析
kl O
结构力学（2）
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单自由度非完善体系的极值点失稳
3.按大挠度理论
x
Fp
Δ
M A 0 ,F P l s i n ( θ ) F R B l c o s ( θ ) 0
B
弹簧的反力 F R B k k l s in (θ ) s in εθ
临界状态
P
P>Pc r
分支点
P
临界荷载
新平衡
l
l
Δ
l/2
(a)直线平衡状态 (b) 弯曲平衡状态
C B
P2 Pc r P1
A
D 大挠度理论
D'
小挠度理论
O
Δ
（c） 荷载—位移曲线（P—Δ 曲线）
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
2、第二类失稳（非完善体系极值点失稳）：虽不出现新的 变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许 可值，结构不能正常工作。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
结 构 力 学（2）
第16章 结构的稳定计算
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
16-1 稳定问题概述
基本概念 1、失稳（instቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbility ）：当荷载超过某一数值时，体系由稳
定平衡状态转变为不稳定平衡状态，而丧失原始平衡状态的 稳定性，也称屈曲（buckling）。原先受压的构件突然发生弯 曲变形，或与受力方向垂直的变形现象
2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间 状态（中性平衡状态）。
3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。
结构设计应满足三方面的要求 1、强度 2、刚度 3、稳定性(受压结构，失稳时结构计算已经不是在原结
构上，而是在变形后的结构形状上，此谓几何非线性) 薄细构件高强度构件容易失稳，需要稳定性验算。
2. θ>0 ， Fp=kl cosθ (不稳定)
临界荷载 ： F pcr kl
达到临界荷载时，位移不断增大而承载力反 而减小，所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定
kl O
结构力学（2）
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单自由度完善体系的分支点失稳
x
2. 按小挠度理论
Δ Fp
M A 0 , F p ( l s i n ) F R B ( l c o s ) 0B
Fp
取
消
干
扰
后
的
状
态
Fp
取
消
干
扰
后
的
状
态
Fp Fpcr
由于取消干扰后结构可 以恢复原状,所以原状 态为稳定状态
Fp Fpcr 临界状态
Fp Fpcr
由于取消干扰后结构无 法恢复原状,所以原状态 为不稳定状态
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16.2 两类稳定问题计算
两类失稳现象
1. 完善体系分支点失稳 2. 非完善体系极值点失稳
kΔ
考虑在小变形情况下，取 sinθ=θ、cosθ=1，
弹簧的反力 FRBkkl
上式可写为 Fpkl l0
θ EI无穷大
分支后两条平衡路径：
A
y
1. θ=0， Fp为任意值(不稳定)
Fp
2. θ>0 ， Fp=kl(随遇平衡)
临界荷载（分支点）F pcr kl
达到临界荷载时，位移不断增大而承载力不增大 ，所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定
单自由度完善体系的分支点失稳
x Δ Fp
1. 按大挠度理论
B
M A 0 , F p ( l s i n ) F R B ( l c o s ) 0
kΔ
θ
弹簧的反力 FRBkklsinθ
EI无穷大
代入： (F pklcos)lsin0
A
y
分支后两条平衡路径：
Fp
1. θ=0， Fp为任意值(不稳定)
两种理论分析方法
大挠度分析法: 考虑大的变形及变形对几何形状的影响
小挠度分析法: 只考虑微小的变形，不考虑变形对几何形状的影
响，用近似公式计算位移
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结构失稳的两种基本形式
1、第一类失稳（完善体系分支点失稳）：结构变形产生
了性质上的突变，带有突然性。
Fp
2. 分支点失稳
5. 稳定平衡
Fpcr O
Fpcr
例：图16-6
O
Fpcr
例：图16-7
O
非完善体系大挠度理论分析
Fp
Fp
B
A 6. 稳定平衡
Fpcr
Fpcr
3. 极值点失稳 例：图16-9(a)
O
O
非完善体系小挠度理论分析
Fp
4. 极值点失稳
Fpcr
例：图16-10
O
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θ
A y
单自由 度体系
x Δ
B EI y
Pc r kΔ
l x
y
x Δ Pc r
EI B y
x
A y
MA= kθ θ
无限自由 度体系
Pc r RB
y EI
x A
y MA= kθ θ
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小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异
大挠度理论
小挠度理论
l sin
l
结构力学（2）
F
Fp
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F
Fp
线性
非线性
结构力学（2）
F1
F2
F1+F2
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F1
F2
F1+F2
1 2
线性(叠加原理成立)
1 2
非线性(叠加原理不成立)
结构力学（2）
Fp
原 状 态
Fp
干 扰 状 态
Fp
Fp
原
干
状
扰
态
状
态
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非完善体系
体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对 应，则平衡状态为稳定衡平状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
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稳定问题的自由度：与动力问题相似，确定体系变形状态 所需要的独立几何参数（一般指的是位移, 并垂直于力的 方向）的数目
x Δ
B EI
Pc r kΔ
eP P
临界荷载
P
小挠度理论
Δ
A
B
Pcr
Pc r C 大挠度理论
P
O
Δ
(a) 偏心受压杆
(b) 荷载——位移曲线（P—Δ 曲线）
3. 跃越失稳
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弹性静稳定平衡的条件
完善体系
1. 平衡路径之前没有分支点，则体系的状态为稳定平衡状态。 2. 平衡路径之前有分支点，荷载随位移增大而增大，则体系的 状态为稳定平衡状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
l
l (1 c o s )
1 l 2 2
2l sin 2
2
2l
2
大挠度理论
dlsin2lcos2l
小挠度理论
dcos
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弹性稳定问题的6种情况
完善体系大挠度理论分析
Fp
Fp
1. 分支点失稳
完善体系小挠度理论分析
kl O
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单自由度非完善体系的极值点失稳
3.按大挠度理论
x
Fp
Δ
M A 0 ,F P l s i n ( θ ) F R B l c o s ( θ ) 0
B
弹簧的反力 F R B k k l s in (θ ) s in εθ
临界状态
P
P>Pc r
分支点
P
临界荷载
新平衡
l
l
Δ
l/2
(a)直线平衡状态 (b) 弯曲平衡状态
C B
P2 Pc r P1
A
D 大挠度理论
D'
小挠度理论
O
Δ
（c） 荷载—位移曲线（P—Δ 曲线）
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2、第二类失稳（非完善体系极值点失稳）：虽不出现新的 变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许 可值，结构不能正常工作。
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结 构 力 学（2）
第16章 结构的稳定计算
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16-1 稳定问题概述
基本概念 1、失稳（instቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbility ）：当荷载超过某一数值时，体系由稳
定平衡状态转变为不稳定平衡状态，而丧失原始平衡状态的 稳定性，也称屈曲（buckling）。原先受压的构件突然发生弯 曲变形，或与受力方向垂直的变形现象
2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间 状态（中性平衡状态）。
3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。
结构设计应满足三方面的要求 1、强度 2、刚度 3、稳定性(受压结构，失稳时结构计算已经不是在原结
构上，而是在变形后的结构形状上，此谓几何非线性) 薄细构件高强度构件容易失稳，需要稳定性验算。
2. θ>0 ， Fp=kl cosθ (不稳定)
临界荷载 ： F pcr kl
达到临界荷载时，位移不断增大而承载力反 而减小，所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定
kl O
结构力学（2）
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单自由度完善体系的分支点失稳
x
2. 按小挠度理论
Δ Fp
M A 0 , F p ( l s i n ) F R B ( l c o s ) 0B
Fp
取
消
干
扰
后
的
状
态
Fp
取
消
干
扰
后
的
状
态
Fp Fpcr
由于取消干扰后结构可 以恢复原状,所以原状 态为稳定状态
Fp Fpcr 临界状态
Fp Fpcr
由于取消干扰后结构无 法恢复原状,所以原状态 为不稳定状态
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16.2 两类稳定问题计算
两类失稳现象
1. 完善体系分支点失稳 2. 非完善体系极值点失稳
kΔ
考虑在小变形情况下，取 sinθ=θ、cosθ=1，
弹簧的反力 FRBkkl
上式可写为 Fpkl l0
θ EI无穷大
分支后两条平衡路径：
A
y
1. θ=0， Fp为任意值(不稳定)
Fp
2. θ>0 ， Fp=kl(随遇平衡)
临界荷载（分支点）F pcr kl
达到临界荷载时，位移不断增大而承载力不增大 ，所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定
单自由度完善体系的分支点失稳
x Δ Fp
1. 按大挠度理论
B
M A 0 , F p ( l s i n ) F R B ( l c o s ) 0
kΔ
θ
弹簧的反力 FRBkklsinθ
EI无穷大
代入： (F pklcos)lsin0
A
y
分支后两条平衡路径：
Fp
1. θ=0， Fp为任意值(不稳定)