微积分基本定理
微积分三大定理
微积分三大定理
微积分是数学中的重要分支，它研究的是函数的变化与求和。
微积分的发展离不开三大定理，它们分别是导数的基本定理、中值定理和积分的基本定理。
这三个定理是微积分的核心，为我们解决各种实际问题提供了重要的工具和方法。
导数的基本定理是微积分中最基本的定理之一。
它告诉我们如何求函数的导数。
导数是描述函数在某一点上的变化率的概念，它决定了函数的增减性和曲线的斜率。
导数的基本定理使我们能够通过求导来研究函数的性质，例如函数的最值、凹凸性等。
它是微积分中理论和实际应用的基础。
中值定理是导数的一个重要应用。
它的核心思想是函数在某个区间内的平均变化率等于某个点上的瞬时变化率。
中值定理为我们提供了一种刻画函数变化的方法，它能够帮助我们找到函数在某个区间内的极值点和临界点。
中值定理的应用广泛，不仅在数学中有重要地位，还在物理、经济等领域中有着深远的影响。
积分的基本定理是微积分的重要组成部分。
它告诉我们如何求函数的积分。
积分是求解曲线下面的面积或计算曲线的总变化量的工具。
积分的基本定理使我们能够通过求积分来计算函数的面积、体积、质量等物理量，它在科学研究和工程实践中起着重要的作用。
微积分三大定理的发展与应用，不仅丰富了数学理论，也推动了科
学技术的进步。
它们为我们解决实际问题提供了强有力的工具和方法，使我们能够更好地理解和描述自然界的现象。
无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，微积分的应用都是不可或缺的。
通过学习和应用微积分三大定理，我们能够更好地理解和解决复杂的实际问题，为人类的发展和进步做出贡献。
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
； 快速阅读加盟 阅读加盟
2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2
ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
微积分基本定理
2 2 （2 1） （ 2 ln 2 ln 1） 1 2 ln 2 x |1 2(ln x) |1
公式 1: 公式：
b
a
1 b dx = lnx|a x
b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例 4．计算下列定积分 3 1 2 1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x ) = 3x ,
1
x
1dx e ___ e 1
初等函数
练习 2:求下列定积分： (1) (x2＋2x＋3)dx； (2) (3)
0 － π 2 1
(cos x－ex)dx；
x 2 sin2 dx. 0 2
练习3：求下列定积分：
(练习) A.π
(1＋cosx)dx等于 B.2 C.π－2
微积分基本定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
5.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为 线方程. 解：如右图.设切点A(x0，y0)，由 .试求：切点A的坐标及过切点A的切
y′＝2x，得过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－ 令y＝0，得x＝ .即C( ,0). .
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，
C.3
答案：D
D.2
微积分学基本定理
(2)
3
(2x
1
1 x2
)dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin x cos x
x2 0
3
. 2
例2
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
F (a)
计算定积分的方法:
b
f ( x)dx
a
(1)定 义 法
( 2)面 积 法(曲 边 梯 形 面 积)
(3)公式法(微积分基本定理)F / ( x) f ( x)
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a
f
( x)dx
a
(1)定义法:
b a
n
f ( x)dx lim n i 1
f
(
微积分基本定理
§3微积分基本定理()baf x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰． [,]x ab ∀∈．()()x aF x f t dt =⎰．在[,]a b 有定义．定理1 若[,]f R a b ∈，()()xaF x f t dt =⎰，则（１） ()F x 是[,]a b 上的连续函数．（２） 若()f x 在[,]a b 上连续，则()F x 是[,]a b 上可微，且()()F x f x '=． 证明：（１）0[,]x a b ∀∈，00()()()()()xx xaax F x F x f t dt f t dt f t dt -=-=⎰⎰⎰．[,]m M η∃∈．00()()()0F x F x x x η-=-→．（２）00()()()()F x F x f x x ξ-=-．00000()()limlim ()()x x x F x F x f f x x x ξξ→→-==-． 推论 ()()()()()(())()(())()x x F x f t dt f x x f x x ϕψϕϕψψ''''==-⎰．证明：设()()uaG u f t dt =⎰．()(())()x aG x f t dt ϕϕ=⎰．()(())()x aG x f t dt ψψ=⎰． ()()G u f u '=．((()))(())()G x G x x ϕϕϕ'''=． ()()()()()x x aaF x f t dt f t dt ϕψ=-⎰⎰．例１：232002sin 2limlim 33x x x x x x x ++→→==⎰． ()f x 的积分上限给出()f x 的一个原函数，即()()xaf x dx f t dt C =+⎰⎰()()xad f t dt f x dx =⎰ 若()()uaF u f t dt =⎰()u x ϕ=，则()(())()()[()]()x af t dt F u x f x x ϕϕϕϕ''''==⎰．同理，()()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎰． 例：求极限2032000sin 22sin 2limlim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→⋅===⎰． 二．微积分基本定理定理２ 设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则成立()()()()bba af x dx F b F a F x =-⎰．证明：()()xaf t dt F x c =+⎰，()0F a c +=．()()()xaf t dt F x F a ∴=-⎰． ()()()baf t dt F b F a ∴=-⎰．例２：111lim 122n n n n →∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭1111111lim lim 121111nn x i n i n n n n n n→∞→∞=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=+++=⋅ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥++++ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 110011lim ()ln 1ln 21ni i x i f x dx x n ξ→∞==∆==+=+∑⎰． 例３：121limsin sin sinn n n n n n πππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭1lim ()ni i x i f x ξ→∞==∆∑1sin xdx =⎰11cos x ππ-=＝112πππ+=．三．定积分的计算１．第一类换元法：()()()(())()()u x bb aa f x x dx f u du ϕϕϕϕϕ='=⎰⎰(())()ba f x d x ϕϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例：cos cos cos 10sin cos ()xx x exdx e d x e e e πππ-=-=-=-⎰⎰．或cos 11111t xt te dt e e e =---=-=-=-⎰．２．第二类换元法：()()()()(())()x t baa bf x dx f t t dt ϕβαϕαϕβϕϕ==='=⎰⎰．例：2()11cos x xe x f x x-⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+⎩ -1x 0 求：21()f x dx -⎰． 21()f x dx -⎰＝2021011cos x dx xe dx x -++⎰⎰＝20222101cos 1()1cos 2x x dx e d x x --+---⎰⎰ ＝2020111sin 2x ctgx e x --⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝202101cos 1sin 2x x e x ----＝041sin 111cos 22x e x ---++＝41sin1(1)21cos1e --++． ３．分部积分法：()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰．例：000sin (cos )cos sin x xdx x x xdx x ππππππ=-+=+=⎰⎰．４．利用函数的特殊性质计算积分： 定理３ ()[,]f x R a a ∈-， （１）若()f x 为偶函数，则有0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰；（２）若()f x 为奇函数，则有()0aaf x dx -=⎰．证明：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰00()()[()()]a aaf t dt f x dx f x f x dx =--+=-+⎰⎰⎰．例：222202(sin )(cos )(sin )()(sin )x t f x dx f x dx f x dt f x dx πππππ=-==-=⎰⎰⎰⎰．例：222000sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2x x x x dx dx A A dx x x x x x x ππππ+==⇒==+++⎰⎰⎰．例：2sin n n xdx I π=⎰，121sin [(1)sin cos ]n n n n xdx I n I x x n--==--⎰ 2201n n n n I II nπ--== 2n ≥． 210sin 1I xdx π==⎰， 02I π=．01131(1)!!22!!2132(1)!!23!!n n n I n n n n n n I n n n π---⎧=⋅⋅⋅=⋅⎪⎪-⎨---⎪=⋅⋅⋅=⎪-⎩ n=偶数 n=奇数例：设21()xt f x e dt -=⎰不能用初等函数表示，221111110000011()()()(1)(1)0(1)22x x f x dx xf x xf x dx f xe dx f e e --'=-=-=+=+-⎰⎰⎰．定理４ ()f x 是以T 为周期的可积函数，则a ∀有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．注：计算定积分应该注意的问题（1）换元时，上下限应改变．（2）第二类换元不必一一对应．（3）若积分函数积分区域不连续，应变形去掉不连续点．。
微积分学基本定理
计算不定积分: (1) ( x 2)( x 2)dx;
2 2
( 2)
x x5 dx; 2 x
4 2
( 3) ( x 2) x dx (4) (sin x cos x ) sin 2 xdx
2
( 5)
xx e dx 3 x
3 x
计算不定积分: (1) ( x 1) dx;
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
1
T2
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
[a , b ] 上 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
b a b b a a
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0
y
6.2微积分基本定理
sin x ⋅ e = lim x→0 2x
1 = . 2e
例：求 y = ∫0
x
sin t 上的极值。 上的极值 dt 在(-1,1)上的极值。 1+ t
sin x 解： ' = y , 令 y ' = 0, 得 x = 0. 1+ x
cos x(1 + x ) − sin x y '' = , y ''(0) = 1 > 0, 2 (1 + x )
2
(∫ 2 cos t dt )' = ( ∫ cos t dt + ∫ cos t 2 dt )' x x 0
2
0 2
2
x3
x3
= ( − ∫ cos t 2 dt + ∫ cos t 2 dt )&#os x 4 + 3 x 2 cos x 6 .
注： (∫v( x) f (t )dt )' = f (u( x))u'( x) − f (v( x))v '( x).
∫ 例：求 lim
x→ 0
1 cos x
e x
− t2 2
dt .
解： 原式= 原式
0 ( 0 lim
x→0
∫
1
cos x
e dt )'
2
−t2
( x )'
− cos 2 x
= lim
x →0
−( ∫
cos x
1
e dt )'
−t2
2x
= lim
x→0
−e
⋅ (cos x )' 2x
− cos 2 x
微积分学基本定理(精)
a
( x )
f ( t )dt f ( t )dt
a
o a
x
x x b
x
a f ( t )dt x
x x x
x
x x
f ( t )dt a f ( t )dt
y
x
f ( t )dt ,
由积分中值定理得
( x )
f ( )x
f ( ), x
b
注1 在变限积分中不可将积 分变量写成 x,以免混淆。
注2 由于 f (t )dt f (t )dt,因此只讨论变上限积分 。
a x x a
2 变限上积分的性质 1) 连续性 定理9.9 若f 在[a, b]上可积， 则 ( x)
x
a
f (t )dt在
[a, b]上连续.
证明:
b
b a
微积分基本公式表明：
(1 ) 一 个 连 续 函 数 在 区 间 [a , b ]上 的 定 积 分 等 于 它 的 任 意 一 个 原 函 数 在 区 间 [a , b ]上 的 增 量 .
(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分 的的问题.
( 3 ) 当 a b 时 ， a f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 仍 成 立 .
a
则F ( x ) [ f ( t )dt ] f ( x )
x a
（2）F ( x ) a
( x)
f ( t )dt
( x)
a
则F ( x ) [
(3) F ( x )
( x) ( x)
f ( t )dt ] f ( ( x )) ( x )
微积分基本定理
1
2
x ,0 ≤ x < 1 ， 例8 设 f ( x ) = x,1 ≤ x ≤ 2
2
上的表达式. 求 Φ( x ) = ∫0 f (t )dt ，在 [0,2] 上的表达式
x
解
当 0 ≤ x < 1 时，
Φ( x ) = ∫0 f (t )dt = ∫0 t dt
x x 2
1 t 3 = 1 x 3 = 3 0 3
3 2
3x 2 2x = − 12 1+ x 1 + x8
x 0 “ 型未定式，可利用洛必达法 型未定式， 解 这是一个 ” 0 1 −t cos x −t e 则计算， 则计算，分子为 ∫cos x dt＝－∫1 e dt
2 2
例4
e ∫cos x 求 limt
由法则2得 由法则 得
(2)定理2 (2)定理2 定理
分上限函数Φ ( x ) = ∫ f (t )dt 是 f ( x ) 在区间
x
上连续， 若函数 f ( x ) 在 [a, b]上连续，则积
a
上的一个原函数. [a, b] 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 从而可能用原函数来计算定积分. 从而可能用原函数来计算定积分
3.法则3 3.法则3 法则
α ( x ) ∈ [a , ， β ( x ) ∈ [a , b] 且α ( x ) 与 β ( x ) b] ，
都可微， 都可微，则有
若函数 f ( x )在区间 [a, b]上连续， 上连续，
1.8微积分基本定理
授课主题 微积分基本定理教学目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．教学内容1. 微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ) .定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )|b a来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a ).2. 定积分和曲边梯形面积的关系：设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上. (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下.(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.题型一 利用微积分基本定理求定积分 例1 (1)求定积分⎰202x d x 的值；(2)求定积分⎰1－1(2x －x 2)d x 的值；(3)求定积分⎰0－π(sin x ＋2e x )d x 的值． 解析：(1) ⎰202x d x ＝2⎰20x d x ＝2×⎪⎪12x 220＝22－02＝4.(2) ⎰1－1(2x －x 2)d x ＝⎰1－12x d x ＋⎰1－1(－x 2)d x ＝x 2|1－1－13x 3|1－1＝－23. (3) ⎰－π(sin x ＋2e x )d x ＝⎰0－πsin x d x ＋2⎰－πe x d x ＝－cos x |0－π＋2e x |0－π＝－cos 0＋cos(－π)＋2(e 0－e －π)＝－2eπ. 点评：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果． 巩 固 求下列定积分的值．(1) ⎰10(2x ＋3)d x ； (2) ⎰1－2(1－t 3)d t ；(3) ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ； (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x . 分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数． 解析：(1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴⎰10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )|10＝1＋3＝4.(2)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎰1－2(1－t 3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝7－14＝274. (3)因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ， 又(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ，所以 ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝⎰π0( sin x ＋cos x ) d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0 ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2. (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎰31(6x 2+6+12x ) d x ＝(2x 3+6x +6x 2)|31＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112 题型二 求分段函数的定积分例2 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3]，求⎰30f (x )d x 的值．解析：由积分的性质，知：⎰30f (x )d x ＝⎰10f (x )d x ＋⎰21f (x )d x ＋⎰32f (x )d x ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 点评：分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． 巩 固 ⎰3-3 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解析：设y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，x≤－32，6，－32<x<32，4x，x≥32.所以⎰3－3(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝323(4)x---⎰d x＋32326-⎰d x＋3324x⎰d x＝＝(－2)×⎝⎛⎭⎫322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.题型三利用定积分求参数例3已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎰10f(x)d x＝－2，求a，b，c的值．解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2.①因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②又⎰10f(x)d x＝⎰10(ax2＋bx＋c)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax3＋12bx2＋cx10＝13a＋12b＋c，所以13a＋12b＋c＝－2③解①②③组成的方程组得a＝6, b＝0，c＝－4.点评：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．巩固f(x)是一次函数，且⎰10f(x)d x＝5，⎰10xf(x)d x＝176，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则⎰10(ax＋b)d x＝⎰10ax d x＋⎰10b d x＝12ax2⎰10＋bx⎰10＝12a＋b，⎰10x(ax＋b)d x＝⎰10(ax2＋bx)d x＝13ax3⎰10＋12bx2⎰10＝13a＋12b，由⎩⎨⎧12a＋b＝5，13a＋12b＝176，解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.A组1．下列各定积分等于1的是()A.⎰10x d xB.⎰10(x＋1)d xC.⎰101d xD.⎰1012d x解析：⎰10x d x ＝12x 2⎰10＝12； ⎰10(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎰10＝32；⎰101d x ＝x |10＝1； ⎰1012d x ＝12x ⎰10＝12. 答案：C 2． ⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：⎰421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D3．函数y ＝⎰x 0cos x d x 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x 答案：AB 组一、选择题1. ⎰10(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0＜x ≤1，则⎰1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案：B3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A. ⎰20(x 2－1)d xB. |⎰20(x 2－1)d x |C. ⎰20|x 2－1|d xD. ⎰20(x 2－1)d x ＋⎰21(x 2－1)d x答案：C4．下列定积分计算正确的是( )A. ⎰π－πsin x d x ＝4 B. ⎰102xd x ＝1C. ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ln e 2D. ⎰1－13x 2d x ＝3解析：⎰π－πsin x d x ＝－cos x|π－π＝0； ⎰102xd x ＝12ln 2x＝log 2e ； ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ |(x －ln x )21＝1－ln 2＝ln e 2； ⎰1－13x 2d x ＝x 3|1－1=2.故选C.答案：C5.若⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ |(x 2＋ln x )a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a 2－1＝3，所以a ＝－2(舍去)，a ＝2.故选B. 答案：B 二、填空题6．定积分⎰21x d x ＝__________. 答案：23(22－1)7．若⎰T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 33′＝x 2，所以⎰T 0x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33|T 0＝9，所以T ＝3. 答案：38．计算定积分⎰1－1(x 2＋sin x )d x ＝________. 答案：23三、解答题9．计算下列定积分：(1) ⎰30|2－x |d x ；解析： ⎰30|2－x |d x ＝⎰20(2－x )d x ＋⎰32(x －2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 220＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－2x 32＝2＋12＝52. (2)⎰π2－π2cos 2x d x .解析：10．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且⎰10f (x )d x ＝1，求证：⎰10[f (x )]2d x >1.证明：由于⎰10f (x )d x ＝⎰10(ax ＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b ， 所以12a ＋b ＝1，所以⎰10[f (x )]2d x ＝⎰10(ax ＋b )2d x ＝⎰10(a 2x 2＋2abx ＋b 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13a 2x 3＋abx 2＋b 2x 10＝13a 2＋ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b 2＋112a 2＝1＋112a 2>1(a ≠0)，故原不等式成立．1． 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( )A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 2．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 答案 A 解析＝－a ＋1＝2，a ＝－1.3． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32D. 3答案 D 解析4． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43. 5． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 6. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.。
微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式
微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式微积分基本定理可以分为两个部分，第一部分称为微积分基本定理的第一种形式，它表明如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它的积分函数F(x)在[a,b]上可导，并且导数F'(x)就是f(x)。
换句话说，积分是导数的逆运算。
即如果f(x)是一个连续函数，那么我们可以通过求f(x)的原函数来计算f(x)的积分。
这个定理的数学表达式为：∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，[a,b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，F(x)表示f(x)的一个原函数。
需要注意的是，由于原函数存在一个任意常数项C，所以积分F(b)-F(a)的结果也存在一个任意常数项。
d/dx ∫[a, x] f(t) dt = f(x)其中，d/dx表示对x求导的操作。
这个定理的意义在于，如果我们在积分运算的下限为a的时候对x求导，那么结果就是被积函数在x点的值。
微积分基本定理的证明可以通过利用积分和导数的定义，以及连续函数的性质来完成。
首先，我们可以证明微积分基本定理的第一种形式。
设F(x) = ∫[a, x] f(t) dt，我们需要证明F'(x) = f(x)。
由于F(x)是由积分定义得到的，我们可以将其看作是以x为上限的积分运算。
根据导数的定义，F'(x) = lim(h→0) [F(x+h)-F(x)]/h。
利用F(x)的定义展开，我们有F'(x) = lim(h→0) ∫[a,x+h] f(t) dt - ∫[a, x] f(t) dt / h 根据积分的线性性质，我们可以将这个式子化简为F'(x) = lim(h→0) ∫[x, x+h] f(t) dt / h注意到积分的定义可以写成极限的形式，即∫[a, b] f(t) dt =lim(n→∞) Σ f(c_i) Δx_i，其中，[a, b]表示积分区间，f(t)表示被积函数，Σ表示求和符号，c_i表示指定区间内的任意点，Δx_i表示区间长度的无穷小增量。
微积分基本定理及其应用
微积分基本定理及其应用微积分是高等数学中的一门重要课程，它为理解自然规律和科学现象提供了强有力的数学工具。
在微积分中，基本定理是一个重要的概念，它是微积分中最基本的定理之一。
基本定理包括牛顿-莱布尼茨公式和分部积分公式两部分。
本文将分别介绍基本定理及其应用。
一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，它将微积分的两个重要概念联系起来，即微分和积分。
牛顿-莱布尼茨公式的表述如下：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则对于 $[a,b]$ 之间的任意一点 $x$，有：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$其中，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于，它将积分转化为了原函数的差值，从而实现了对于函数 $f(x)$ 积分的求解。
在实际应用中，我们经常需要求解一些复杂的积分问题，而牛顿-莱布尼茨公式的使用，可以大大简化这个过程。
例如，求解下面的积分：$$\int_{0}^{1}x^2dx$$根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以先求出函数 $f(x)=x^2$ 的原函数 $F(x)$，然后再利用公式求解积分。
易得：$$F(x)=\frac{1}{3}x^3$$则：$$\int_{0}^{1}x^2dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{3}$$二、分部积分公式分部积分公式是微积分中的另一个基本定理，它将积分于微分有机结合在了一起，从而将一些复杂的积分问题简化为一些其他积分问题的组合。
分部积分公式的表述如下：若函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续可微，则对于$[a,b]$ 之间的任意一点 $x$，有：$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$分部积分公式可以用于求解一些复杂的积分问题，特别是在计算工程、物理和化学等领域中很常用。
微积分基本定理_图文_图文
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
微积分的基本定理
dx a
由 F(x)
x
f (t)dt
及
F(x)
f (x) 你会想到什么？
a
F(x)是f(x)的一个原函数。
这说明，连续函数必有原函数。
定理
若 f (x) C([a,b]), 则 F(x)
x
f (t)dt, x [a,b]
a
为 f (x) 在[a,b] 上的一个原函数.
推论1 若 f (x) C( I ) , 则 f (x) 在 I 上原函数存在.
2x x2 sint 2dt 2x3 sin x4 . 0
例 6.3.2 设f ( x)为连续函数，证明：
x
xt
0 ( x t) f (t)dt 0 (0 f (u)du)dt.
证
设F( x)
x
( x t) f (t)dt, G( x)
xt
( f (u)du)dt.
0
0
2 0 | cos x | d x
去绝对 值符号(如果 是分段函数， 则利用积分 的性质将积 分分成几个 部分的和的 形式.)
2 2 cos x d x 0
2 (cos x)d x
2
2sin
x
2 0
2sin x
2
2.
2
例6.3.6 设
x2, 1 x 0
f
(
x)
e
x
,
0 x1
求 1 f ( x)dx. 1
解
1 f ( x)dx
0
f ( x)dx
1
微积分七个基本定理
微积分七个基本定理
1、定义域定理（积分定义域定理）：如果函数f（x）有连续的导数f'(x)，那么f（x）在定义域内具有定义连续性。
2、基本定理（积分基本定理）：设内一区间上有一函数f（x），若f（x）在这区间上存在连续的导数f'(x)，那么f（x）的定积分就存在，且可以用反常积分形式表示。
3、基本定理（积分变换定理）：如果函数f(x)和函数g(x)都在某一区间(a,b)上具有反常积分，则有f(x)g(x)在区间(a,b)上有定积分。
4、分部积分定理（部分积分定理）：若f（x）是a到b范围内任意一点x上的可积函数，则有∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx。
5、置换定理：积分置换定理正如名字说的，即把函数f（x）的变量由x换成g（x）的变量，在规定的变换空间内，得到的积分值相等。
6、定理（积分级数定理）：积分级数定理表明，若函数f（x）在区间[a,b]上连续，那么函数的定积分值等同于其积分级数的和。
7、变量替换定理：变量替换定理定义为：如果函数f（x）与变量x 具有连续导数，且变量u=g（x）具有连续导数，那么：∫f（u）d u=∫f （x）g'（x）dx。
微积分的基本定理
微积分的基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）微积分是数学中的一个重要分支，被广泛应用于物理学、工程学、经济学等众多领域中。
而微积分的基本定理是微积分的核心之一，它为我们求解积分问题提供了一个重要的依据。
微积分的基本定理实际上是由两个定理组成，一个是第一类基本定理，另一个是第二类基本定理。
这两个定理都是微积分学习的基石和里程碑。
第一类基本定理可以用以下公式来表达：如果函数f是一个在区间[a, b]上的连续函数，且F是f的一个原函数，那么有：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个定理告诉我们，如果我们能找到一个函数F，它的导数等于原函数f，那么我们就可以通过计算F(b)和F(a)的差值来求解积分。
这个定理是微积分中最重要的定理之一，也被称为积分与微分的对应关系。
第二类基本定理是微积分学中的另一个核心定理，它表述如下：如果函数f在区间[a, b]上是连续的，并且F是f在[a, b]上的一个原函数，那么在[a, b]上的定积分可以通过F的导数来计算，即∫[a, b] f(x)dx = F(x)|[a, b] = F(b) - F(a)这个定理告诉我们，如果我们能找到一个函数F，它的导数等于我们要求解的函数f，那么我们就可以通过计算F(b)和F(a)的差值来求解积分。
这个定理可以看作是第一类基本定理的逆向推导，它证明了积分和微分是可以互相转化的。
微积分的基本定理的重要性在于它为我们提供了一个求解积分问题的通用方法。
无论是利用第一类基本定理还是第二类基本定理，我们都可以将复杂的积分问题转化为较为简单的求导问题。
这使得我们可以更加便捷地求解各种复杂的积分问题，帮助我们更好地理解和应用微积分。
微积分的基本定理的应用远远不止于此。
例如，在微积分的前沿领域中，基本定理被广泛应用于求解变分问题、函数逼近、积分方程等诸多问题中。
它不仅为我们提供了数学上的框架和工具，更为现代科学和工程技术的发展做出了重要贡献。
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0 f (t )dt
加函数.
证
d dx
x
0
tf
(t )dt
xf
( x),
dx
dx 0
f (t)dt
f ( x),
F(x)
xf
x
( x)0
f
(t )dt
x
f
x
( x)0 tf
2
(t )dt
0 f (t )dt
x
F(x)
f
(
x
)0 (
x
x
t
)
f (t
2
)dt
,
0 f (t)dt
f ( x) 0, ( x 0)
设 x>0, 求
x1
1 t dt
微积分基本定理应用 例2
设 x>0,
x 1dt ln t x ln x ln1 ln x
1t
1
x 1 dt ln x
1t
微积分基本定理应用 例3
回忆
y
1 1 x2
微积分基本定理应用 例3
求蓝色部分面积
y
1 1 x2
微积分基本定理应用 例3
蓝色部分面积
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
例1
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
变上限定积分
积分上限函数
x
( x) a f (t)dt.
同理，可定义变下限定积分
b
(x) x f (t)dt
积分下限函数
只需考虑变上限积分
x
( x) a f (t)dt.
因为
b
(x) x f (t)dt
b
x
a f (t)dt a f (t)dt
变限定积分的性质－连续性
[a,b]上可积函数 f(x) 的变限定积分
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin x cos x
x2 0
3
. 2
例5
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解
2
1
2
yБайду номын сангаас
0 f ( x)dx 0 f ( x)dx 1 f ( x)dx
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
Example：Definite Integrals
x x ndx 1 n1 C (n 1) n 1
x b a b ndx 1 ( n1 n1)
a
n 1
x b b
b
1dx
0dx
a
a
a
b
a
x
dx
1 2
(b2
a
2)
x b a b 2dx 1 ( 3 3)
a
3
Table of Definite Integrals
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
sin x ecos2 x
lim
x0
2x
1. 2e
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
x
证明函数F
(
x)
0
x
tf
(t )dt
在(0,)内为单调增
0
1
1dx
1 x2dx
1 x4dx
1 x6dx
0
0
0
0
1 1 dx
0 1 x2
1
1dx
1 x2dx
1 x4dx
1 x6dx
0
0
0
0
圆周率归来
11
0 1 x2 dx
同理：请思考
1t t2 t3 t4 t5
1 1 t
ln(1 x) ? ln 2 ?
例4
求
2 0
变上限定积分
设函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，并且设x
为[a,b]上的一点， 考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于
每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以
它在[a, b]上定义了一个函数，
记
( x)
x
a
f
(t )dt .
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b
时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a
) 仍成立.
从不定积分到定积分
Table of Indefinite Integrals
x n dx x n1 C n 1
ex dx ex C
1 x
dx
ln
x
C
ax dx ax C ln a
sin x dx cosx C csc2 x dx cot x C
11
=
dx ? 0 1 x2
y
1 1 x2
1 1 dx arctan x 1
0 1 x2
0
arctan1 arctan 0
0
4
4
1 1
0 1 x2
dx
4
无穷等比递缩数列求和
1 x2 x4 x6 ?
1 1 x2
1
x2
x4
x6
11
0 1 x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
)dx
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
证 已知F( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f (t )dt 也是 f ( x) 的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b]
令 x a F(a) (a) C,
(a)
a
a
f
(t )dt
f (t)dt
(a x b)
( x x) ( x)
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
o a x x x b x
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
( x)
oa
f ( )x [x, x x],
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln
|
x
|
1 2
ln 1
ln
2
ln 2.
例 8 计算曲线y sin x 在[0, ] 上与x 轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sin xdx
0
y
o
cos
x
0
2.
微积分基本定理
北京师范大学珠海分校 欧阳顺湘
CopyLeft 声明：为传播数学，鼓励复制，发布，修改，但不得用于商业用途, 并禁止任何其它阻碍传播的行为
数( x)
x
a
f
(t )dt
就是
f
( x) 在[a,b] 上的一个
原函数.
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
微积分基本定理－积分形式
定理 2（牛顿—莱布尼茨公式）
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
x
0 f (t)dt 0,
( x t) f (t) 0,
x
0 ( x t) f (t)dt 0,
F ( x) 0 ( x 0).
故F ( x)在(0,)内为单调增加函数.
The End
微积分基本定理
北京师范大学珠海分校 欧阳顺湘
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x x x b x
f ( ), lim lim f ( )
x
x0 x x0
x 0, x ( x) f ( x).
注
• 微积分基本定理表明： • 如果 f 连续，则它的变上限积分是它的一个
原函数。
x
f (x)dx a f (x)dx C
定理（原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
cosx dx sin x C sec x tan x dx sec x C
sec2 x dx tan x C cscx cot x dx cscx C
Table of Indefinite Integrals