第一章波函数和薛定谔方程
量子力学 第1章-1-2(第3讲)
越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理 概念，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。
量子波函数的概率解释有不足
玻恩的概率解释：“波函数的振幅的平方是粒 子被发现的概率” 。不是完整诠释，只关注 所谓的可观察量（振幅），忽略了相位（因为 不属于可观察量）。
杨振宁说，规范场论就是相位场。相位是其根 本。振幅与相位合起来用复数表示。
x=0
dx
由于
d 2(x,t)
dx2
0
x0
故 x 0 处，粒子出现概率最大。
注意
（1）归一化后的波函数
(r , t
)
仍有一个模为一的因
子 ei 不定性（ δ为实函数）。
若 r,t 是归一化波函数，那末， r,tei 也是
归一化波函数，与前者描述同一概率波。
（2）只有当概率密度 (r,t) 对空间绝对可积时，才
2
(r,t) dx
A2
ea2x2 dx
A2
1
a2
归一化常数
1/ 2
A a/
归一化的波函数1/ 2Fra bibliotek1a2x2 i t
(r,t) a / e 2 2
（2）概率分布： (x, t) (x, t) 2 a ea2x2
（3）由概率密度的极值条件
d(x, t) a 2a2 xea2x2 0
相位是复杂性之源，相位导致纠缠，纠缠导致 记忆与电子相干。自由度的纠缠和相干，往往 会造就许多意想不到的结果。
作业题
1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并指出每
个状态由哪几个波函数描写。
1 ei2x / , 4 ei3x / ,
2 ei2x/ , 5 ei2x / ,
波函数与薛定谔方程
波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。
波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。
本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。
对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。
波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。
另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。
二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。
薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。
三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。
解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。
薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。
波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。
波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。
四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。
首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。
这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。
其次，波函数还包含了粒子的相位信息。
波函数 薛定谔方程
（3）粒子能量 一维运动（ 一维运动（沿
E 是一定值
x 轴），V(x) 不显含 t ，一维定态问题
2 d 2 H = +V(x) 2 2m dx
2 d 2ψ(x) +V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2 2m dx
d 2ψ(x) 2m + 2 [E V(x)] (x) = 0 ψ 2 dx
ψ1(x) 与 ψ1 (x) 描写粒子的同一个状态
所以只取
n =1
A由归一化条件求出
ψ (x)
2
：粒子出现在附近单位长度间隔中的几率
粒子出现在
∞
x ~ x + dx 之间的几率 dW = ψ(x) dx
2
1 = ∫ ψ (x) dx = ∫0 ψ (x) dx = ∫0 x)
∞
a
2
a
2
a
nπx A sin dx a
2 2
=∫
0
1 2nπx 1 2 a 2nπx a A (1 cos )dx = A (x sin ) 2 a 2 2nπ a 0
2
1 2 = Aa ， 2
2 A= a
2 nπx sin ψn (x) = a a 0
0< x <a x < 0, x > a
nπ En = 2ma2
2
2 2
∝ E ， E 不再解释为能量密度
2
2
三、波函数的标准条件和归一化条件 经典力学： 某时刻质点在什么位置？ 动量是多少？ 经典力学： 某时刻质点在什么位置？ 动量是多少？ 轨迹方程？ 轨迹方程？ 量子力学： 微观粒子的波函数是什么？ 量子力学： 微观粒子的波函数是什么？ 粒子出现在空间各点上的几率是多大？ 粒子出现在空间各点上的几率是多大？ 粒子动量取各种可能数值的几率是多大？ 粒子动量取各种可能数值的几率是多大？ 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是唯一的、完全确定的 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是唯一的、 波函数： 波函数：单值函数 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是有限的 波函数： 波函数：有限的 粒子出现在空间各点上的几率分布及随时间的变化是连续的 波函数： 波函数：连续的
波函数和薛定谔方程
px ∂ 2Ψ = − Ψ， ∂x 2 h2
2
py ∂ 2Ψ = − Ψ 2 2 ∂y h pz ∂ 2Ψ = − Ψ ∂z 2 h2
2
2
h p2 2 − ∇ Ψ= Ψ 2m 2m (3)
是同一个量子态的不同表述
Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。
r r Ψ (r , t ) 与 c( p, t ) 有类似的物理意义 r 2 Ψ (r , t ) 是指在t时刻，粒子在r处出现的概率密度 r 2 c( p, t ) 是指在t时刻，粒子具有动量p的概率密度
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波（物质波） h E 的频率及波长为 λ= ν = p i rr h ( p⋅r − Et ) r 自由粒子平面波函数 ψ (r , t ) = Ae h
2.1 波函数的统计解释
另一种理解： 为防止电子间 发生作用，让 电子一个一个 地入射，发现 时间足够长后 的干涉图样和 大量电子同时 入射时完全相 同。（1989） 粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之 间相互作用的结果。
2.3 含时薛定谔方程
2.3.1 经典粒子的动力学方程
r r dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m dt
t = t0
2r r d r 粒子满足的方程是牛顿 方程： F = m 2 dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导 数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
dτ ∫ ∞
→∞
2.2 态叠加原理
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程是量子力学中两个重要的概念。
波函数是用来描述量子系统状态的数学函数，而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的微分方程。
本文将介绍波函数和薛定谔方程的基本原理和应用，并探讨它们对量子力学的重要性。
一、波函数的概念和性质1. 波函数的定义波函数是量子力学中用来描述量子系统的数学函数。
它通常用符号ψ来表示，且是复数函数。
波函数的模的平方表示了找到该系统处于某个状态的概率。
2. 波函数的物理意义波函数的物理意义是描述了量子系统的可能状态和其对应的概率分布。
通过对波函数的求模平方，我们可以得到量子系统在不同状态的概率分布图。
3. 波函数的归一化条件波函数必须满足归一化条件，即在整个空间内积分后等于1。
归一化条件保证了系统一定会处于某个状态，并且概率总和为1。
二、薛定谔方程的基本形式和解析解1. 薛定谔方程的基本形式薛定谔方程是描述量子系统波函数在时间上演化的基本方程。
一维情况下，薛定谔方程可以写为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ式中符号的含义为ħ为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为势能函数。
2. 薛定谔方程的解析解对于某些特定的势能函数，薛定谔方程存在解析解。
比如自由粒子情况下的薛定谔方程的解为平面波，简谐振子情况下的薛定谔方程的解为倒谐波。
三、波函数和薛定谔方程的应用1. 粒子在势阱中的行为波函数和薛定谔方程被广泛应用于研究粒子在势阱中的行为。
通过对势能函数和初始条件的设定，可以计算出粒子的波函数演化，并分析粒子的行为，比如能量谱和态密度等。
2. 电子在固体中的行为波函数和薛定谔方程在固体物理学中有着重要的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到电子在晶体中的波函数，从而研究电子的能带结构、载流子运动以及材料的电导性等性质。
3. 分子和化学反应波函数和薛定谔方程在化学领域中也有广泛的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到分子的波函数，从而研究化学反应的动力学过程、反应速率以及分子能谱等性质。
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
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目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
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波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
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总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学科，它提出了一种新的描述方式——波函数。
波函数是量子力学的核心概念，它可以用来描述粒子的位置、能量、动量等性质。
而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的数学表达式。
本文将重点讨论波函数与薛定谔方程在量子力学中的重要性和应用。
一、波函数的概念与性质波函数（ψ）是量子力学中对粒子状态的描述。
它是一个复数函数，包含了粒子位置、能量等信息，并且满足归一化条件，即在整个空间内的积分平方和为1。
波函数的模的平方，即|ψ|²表示粒子在某个位置上的出现概率密度。
波函数具有叠加原理，也就是说多个波函数可以叠加形成新的波函数。
这个叠加过程可以用波函数的线性组合来表示，其中各个波函数所对应的系数表示了它们的相对贡献程度。
二、薛定谔方程的形式与意义薛定谔方程是描述波函数随时间演化的方程，它是由薛定谔于1925年提出的。
薛定谔方程的一般形式为：Ĥψ = Eψ其中Ĥ为哈密顿算符，E为能量本征值，ψ为波函数。
这个方程描述了体系中的粒子在不同的势场中的运动规律。
三、波函数与薛定谔方程的应用1. 原子结构与电子行为在原子结构研究中，波函数被用来描述电子在原子核周围的分布情况。
薛定谔方程可以求解出不同原子的能级和电子轨道分布，从而解释和预测原子光谱的性质。
2. 材料物性与波函数分析波函数可以用来研究材料的结构和物性。
通过计算材料中的波函数，可以得到材料的能带结构、电子密度分布等信息，从而揭示其导电性、磁性等特性。
3. 量子力学中的粒子碰撞在粒子碰撞研究中，波函数描述了入射粒子和出射粒子之间的相互作用。
利用薛定谔方程求解波函数，可以计算出散射截面、角分布等碰撞参数。
4. 量子计算和量子通信波函数的叠加性为量子计算和量子通信提供了基础。
量子计算利用波函数的叠加原理，利用量子态的叠加特性进行并行运算，从而加快计算速度；量子通信利用波函数的纠缠性质，实现了安全的信息传输。
量子力学电子教案波函数和 薛定谔方程
波函数和 薛定谔方程
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。
量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所 遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。 一、 物质波的波函数及其统计解释
1. 波函数： 概率波的数学表达形式， 描述微观客体的运动状态
(r , t ) ( x, y, z, t )
对屏上电子数分布 作概率性描述
一般 t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数 ： 2 d N N | | d V
| ( x, y, z, t ) | *
2
dN N dV
| ( x, y, z, t ) |
2
的物理意义:
• t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 • t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率 • t 时刻，粒子在空间分布的概率密度
2. 波函数的强度——模的平方 2 波函数与其共轭复数的积 | | * 例：一维自由粒子：
| ( x, t ) | * 0e
2 i ( E t p x x ) i h ( E t p x x )
0e
0
2
3. 波函数的统计解释
1 2
| | | 1 2 | 1 1 * 2 2 * 1 2 * 1 * 2
2 2
干涉项
4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1
|
V
| dV
2
V
dN N dV
即
三维定态薛定谔方程
一般形式薛定谔方程
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于是粒子的运动又表现出波动性 总之.微粒的运动遵从的是统计性的规律 而不同于经典力学的确定性规律
(3) 波函数的不确定性：
1、常数因子不定性：
(rv)和 C (rv) 描述同一种运动状态。
)
0 cos 2
(E h
t
x) hp
1 0 cos (Et x
px )
(x,
t)
i (Et
0e
px x)
（取实部）
描述自由粒子(三维）可用平面波波函数来描述。
i ( pvrvEt )
pv Aeh
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动， 它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量） 粒子的状态就不能用平面波描写，这样的微观 粒子的运动状态也可以用较复杂的波完全描述。
对归一化波函数仍有一个模为一的相因子不定性。 若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末， exp{iα}Ψ (r , t )也是归一化波函数（其中α是实数）
(4)波函数的归一化
( , ) * d 2 d
(全)
(全)
归一化条件就可以简单表示为：
( , ) 1
t时刻粒子出现在 pv点附近 dpv体积元内的几率；
电子衍射实验
1.1.5 Heisenberg不确定度关系
接受了波函数的统计诠释，完全摒弃经典粒子的轨 道概念，即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确 定的动量。
粒子出现在x~x+dx间隔的概率 | (x) |2 dx
所以由波函数只能给出粒子位置的平均值 x及其偏差 x2
pr (rr )(rr ,t)drr
1
（2）3/ 2
(r, t)exp[ i p• r]dxdydz
显然，二式互为Fourier变换式，故而总是成立的。
所以
(rr , t)
与
( pr , t)
一一对应，
是同一量子态的两种不同描述方式。
Ψ(r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数；
px
x)
0e
i (Et h
px
x)
02
波函数的统计解释
类 比
光栅衍射
电子衍射
光栅衍射
I Eo2
I Nh N
I大处 I小处 I=0
到达光子数多 到达光子数少 无光子到达
电子衍射
I | |2
IN
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零
各光子起点、终点、路 径均不确定
s in d
2
d
0
0
0
若(r,t)没有归一化，
(rv) 2 d A （A是大于零的常数）
则有
1
2
(rv) d
1
A
也就是说，(A)-1/2 (x,y,z)是归一化的波函数 ，与 (x,y,z)描写同一几率波，(A)-1/2称为归 一化因子。
求几率密度: (x, y, z,t) (x, y, z) 2
Ψ(p,t)是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数；
二者描写同一量子状态。
如若
(r, t) 2 d 3r 1
+
则有： ( p, t) 2 d 3 p 1 -
dW (rv) (rv) 2 drv
t时刻粒子出现在 rv点附近 drv 体积元内的几率； dW ( pv) ( pv) 2 dpv
D-B所提出的由波函数所描述的“物质波” 是刻画粒子在空间几率分布的几率波。
这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释， 它是量子力学的基本原理。
经典概念和量子力学对粒子和波的理解：
共同点: 颗粒性,即是具有一定质量,电荷等属性的客体
粒子性不同点:
经典认为遵循经典决定论, 沿确定轨道运动 微观粒子不遵循经典决定论, 无确定轨道, 只是以一种几率分布的形式出现
各电子起点、终点、路径 均不确定
用I对屏上光子数分布作 用| |2 对屏上电子数分布
概率性描述
作概率性描述
(2) 波函数的物理意义
(rv,t) (rv,t) 2 几率分布 运动状态
在t时刻,r点，dτ=dxdydz体积内找到由波函数 Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：
dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ
同样对粒子的动量也只能知道其统计平均值 px及其涨落px2
海森伯指出，平均偏差乘积有一个最小的限制
xpx
2
这个关系称不确定关系。
讨论单缝衍射的不确定关系
如图所示，位置的不确定,由缝宽模Δx=d 给出。x方向的动 量不确定度Δpx用衍射一级极小的半角宽度表示，
即 1 = px / p,p ≈po
§1.1. 物质波的波函数及其统计解释
1.1.1、实物粒子的波动性
E h p h/
1.1.2、波粒二象性的分析
1、经典物理学中粒子与波的有关概念
经典概念中粒子意味着： ➢有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; ➢有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
经典概念中波意味着： ➢某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ➢干涉、衍射现象，即相干叠加性。
(rv,t)
(1)波函数的统计解释（量子力学的基本原理）
波函数在空间中某一点的强度（模的平方）和在 该点找到粒子的几率成比例。
(x, y, z) (rv) 2
|Ψ (r,t)|2 Δx Δy Δz 与此t时刻,在r点处，体积元 ΔxΔyΔz中找到粒子的几率成正比。或者讲波函 数在空间某点的强度（波函数模的平方）和在 这点找到粒子的几率成比例。
玻恩统计解释：
t 时刻第 1 个粒子处于 r1 处 dr1 内, 同时第 2 个粒子处于 r2 处 dr2 内,……….. 同时第` N 个粒子处于 rN 处 drN 内的几率为:
(rr1, rr2,L rrN ,t) 2 d 3r1d 3r2 L d 3rN
归一化条件:
rr
(r1, r2,L
[解]：由不确定关系式 ΔxΔPx≥h
对电子：Δx = h/mΔυx =
6.626 10 34 J.s
2.4 10 2 m
9.110 31 kg 300 m.s1 110 4
对子弹：Δx = h/mΔ υx=
6.626 10 34 J.s
4.4 10 31 m
r rN
,
t)
2
d
3r1d
3r2
L
d 3rN
1
波函数的三个标准条件：
1、单值 在一个地方的几率密度只有一个值 2、连续 运动的连续性要求几率密度是连续的 3、有限 在所以可能出现粒子的地方的几率和为1
1.1.4 动量空间（表象）的波函数
波函数Ψ(r,t) 可用各种不同动量的平面
波表示,下面我们给出简单证明。
0.05kg 300 m.s1 110 4
1.1.6、力学量的平均值和算符的引进
（一）力学量平均值
（1）坐标平均值
（2）动量平均值
（二）力学量算符
（1）动量算符
（2）动能算符
（3）角动量算符
（4）Hamilton 算符
po 是入射光子动量
按照波的衍射理论，第一级 衍射极小的角位置为
于是有
1
d
xpx ≈po= h
例题2
质 量 为 9.1×10-31kg 的 电 子 和 质 量 为 0.05kg 的 子 弹 均 以 300m·s-1的速度运动，假定速度的不确定范围均为0.01%，计 算它们的最小可能的位置不确定范围，并加以比较。
粒子在整个空间出现的概率为1
归一化条件要求波函数平方可积
(rv) 2 d 有限值
一维坐标系（设沿方向）的情况下：
d ~ dx
三维直角坐标系的情况下：
d ~ dx dy dz
三维球坐标系的情况下：
d ~
r 2dr
因为在 t 时刻,空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的 相对几率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
注意：一个经典波的波幅若增大一倍，则相应的波动能量 将为原来的4倍，即代表了完全不同的状态。
2、相位因子不定性：
(rv)与 C (rv)ei 述同一种运动状态，ei称为相因子。
1.1.3 几（概）率波
例： 一维自由粒子的波函数
经典描述： 沿 x 轴匀速直线运动
量子描述： E, p守恒； ， 确定
类比： 单色平面波
, 一定 沿直线传播
以坐标原点为参考点，设 0，以速率u沿 x方向传播.
0
c os (t
x u
)
0
cos2
(
t
x
电子的衍射实验
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时 间亦显示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
电子源
P
P
O
感 光 屏
单电子衍射实验结果分析：
“亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子到达 该处的几率大。 “暗纹”处是到达该处的电子数少，或讲电子到
达 该处的几率小。
第1章 波函数和薛定谔方程