第一章波函数和薛定谔方程

粒子在整个空间出现的概率为1
归一化条件要求波函数平方可积
(rv) 2 d 有限值
一维坐标系（设沿方向）的情况下：

d ~ dx


三维直角坐标系的情况下：



d ~ dx dy dz


三维球坐标系的情况下：
d ~
r 2dr
其中，C是比例系数。
在t时刻r点,单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}= C|Ψ(r,t)|2 称为几率密度。
在体积V内,t时刻找到粒子的几率为： W(t)=∫VdW =∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ
波粒二象性的图象：
(1)微粒仍是一粒一粒的 但是 (2)波函数并不绝对确定地给出什么时刻 粒子到达哪一地点 而只是给出可能到达地点的 一个统计分布 粒子的运动受到波函数向导
同样对粒子的动量也只能知道其统计平均值 px及其涨落px2
海森伯指出，平均偏差乘积有一个最小的限制
xpx

2
这个关系称不确定关系。
讨论单缝衍射的不确定关系
如图所示，位置的不确定,由缝宽模Δx=d 给出。x方向的动 量不确定度Δpx用衍射一级极小的半角宽度表示，
即 1 = px / p,p ≈po
)
0 cos 2
(E h
t
x) hp
1 0 cos (Et x
px )
(x,
t)

i (Et
0e
px x)
（取实部）
描述自由粒子(三维）可用平面波波函数来描述。
i ( pvrvEt )
pv Aeh
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动， 它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量） 粒子的状态就不能用平面波描写，这样的微观 粒子的运动状态也可以用较复杂的波完全描述。
px
x)


0e
i (Et h
px
x)
02
波函数的统计解释
类 比
光栅衍射
电子衍射
光栅衍射
I Eo2
I Nh N
I大处 I小处 I=0
到达光子数多 到达光子数少 无光子到达
电子衍射
I | |2
IN
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零
各光子起点、终点、路 径均不确定
t时刻粒子出现在 pv点附近 dpv体积元内的几率；
电子衍射实验
1.1.5 Heisenberg不确定度关系
接受了波函数的统计诠释，完全摒弃经典粒子的轨 道概念，即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确 定的动量。
粒子出现在x~x+dx间隔的概率 | (x) |2 dx
所以由波函数只能给出粒子位置的平均值 x及其偏差 x2
玻恩统计解释：
t 时刻第 1 个粒子处于 r1 处 dr1 内, 同时第 2 个粒子处于 r2 处 dr2 内,……….. 同时第` N 个粒子处于 rN 处 drN 内的几率为:
(rr1, rr2,L rrN ,t) 2 d 3r1d 3r2 L d 3rN
归一化条件:
rr
(r1, r2,L
对归一化波函数仍有一个模为一的相因子不定性。 若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末， exp{iα}Ψ (r , t )也是归一化波函数（其中α是实数）
(4)波函数的归一化
( , ) * d 2 d
(全)
(全)
归一化条件就可以简单表示为：
( , ) 1
衍射图样由电子波动性引起 “亮纹”处表示该处波强度|Ψ (r)|2大， “暗纹”处表示该处波强度|Ψ (r)|2小， 所以，电子到达屏上各处的几率与波的强度成正 比.
2、对波粒二象性的两种错误的看法
(1)波由粒子组成 波是由粒子组成的，把波看成是由大量粒子 相互作用而在空间形成的一种疏密相间的周期 分布。 (2)粒子由波组成 电子是波包。把电子波看成是电子的某种实 际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波 包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包 的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的 运动速度。
因为在 t 时刻,空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的 相对几率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
注意：一个经典波的波幅若增大一倍，则相应的波动能量 将为原来的4倍，即代表了完全不同的状态。
2、相位因子不定性：
(rv)与 C (rv)ei 述同一种运动状态，ei称为相因子。
(rv,t)
(1)波函数的统计解释（量子力学的基本原理）
波函数在空间中某一点的强度（模的平方）和在 该点找到粒子的几率成比例。
(x, y, z) (rv) 2
|Ψ (r,t)|2 Δx Δy Δz 与此t时刻,在r点处，体积元 ΔxΔyΔz中找到粒子的几率成正比。或者讲波函 数在空间某点的强度（波函数模的平方）和在 这点找到粒子的几率成比例。

pr (rr )(rr ,t)drr
1
（2）3/ 2

(r, t)exp[ i p• r]dxdydz
显然，二式互为Fourier变换式，故而总是成立的。
所以
(rr , t)
与
( pr , t)
一一对应，
是同一量子态的两种不同描述方式。
Ψ(r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数；
D-B所提出的由波函数所描述的“物质波” 是刻画粒子在空间几率分布的几率波。
这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释， 它是量子力学的基本原理。
经典概念和量子力学对粒子和波的理解：
共同点: 颗粒性,即是具有一定质量,电荷等属性的客体
粒子性不同点:
经典认为遵循经典决定论, 沿确定轨道运动 微观粒子不遵循经典决定论, 无确定轨道, 只是以一种几率分布的形式出现
共同点: 遵循波动规律,具有相干迭加性
波动性不同点:
经典波是指某种实在的物理量的空间分布作周期性变化 量子力学中的物质波不存在这样的物理量, 描述的只是一种几率波
例：一维自由粒子：
(x,
t)

i (Et
0e
px x)
|
(
x,
t)
|2



*


0e
i (Et
第1章 波函数和薛定谔方程
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态； 波函数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学 的基本方程。
这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。
主要介绍二个基本假设：
A. 微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统 计意义。
B. 描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程 解出。
0.05kg 300 m.s1 110 4
1.1.6、力学量的平均值和算符的引进
（一）力学量平均值
（1）坐标平均值
（2）动量平均值
（二）力学量算符

（1）动量算符

（2）动能算符
（3）角动量算符
（4）Hamilton 算符
1.1.3 几（概）率波
例： 一维自由粒子的波函数
经典描述： 沿 x 轴匀速直线运动
量子描述： E, p守恒； ， 确定
类比： 单色平面波
, 一定 沿直线传播
以坐标原点为参考点，设 0，以速率u沿 x方向传播.


0
c os (t

x u
)

0
cos2
(
t

x

§1.1. 物质波的波函数及其统计解释
1.1.1、实物粒子的波动性
E h p h/
1.1.2、波粒二象性的分析
1、经典物理学中粒子与波的有关概念
经典概念中粒子意味着： ➢有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; ➢有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
经典概念中波意味着： ➢某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ➢干涉、衍射现象，即相干叠加性。
[解]：由不确定关系式 ΔxΔPx≥h
对电子：Δx = h/mΔυx =
6.626 10 34 J.s
2.4 10 2 m
9.110 31 kg 300 m.s1 110 4
对子弹：Δx = h/mΔ υx=
6.626 10 34 J.s
4.4 10 31 m
它往往出现在 2 大的地方 而不会出现在 2 小的地方 同时 (3) 又是以波的方式在空间传播
于是粒子的运动又表现出波动性 总之.微粒的运动遵从的是统计性的规律 而不同于经典力学的确定性规律
(3) 波函数的不确定性：
1、常数因子不定性：
(rv)和 C (rv) 描述同一种运动状态。
(x, y, z) 2 d 1
特例:
自由粒子的波函数无法正常归一化
自由粒子德布洛意平面波为
i ( pr rr Et )
Aeh
归一化条件为
2 d 1

A 2 d
所以德布洛意平面波无法 正常归一化
例题1
设粒子的波函数为 (x, y, z),(已归一化)求 (1) 在(x,x+dx)范围内找到粒子的几率; (2) 在(y1,y2)范围内找到粒子的几率; (3) 在(x1,x2)及(z1,z2)范围内找到粒子的几率;
Ψ(p,t)是以动量 p 为自变量的波函数， 动Leabharlann Baidu空间波函数，动量表象波函数；
二者描写同一量子状态。

如若
(r, t) 2 d 3r 1

+
则有： ( p, t) 2 d 3 p 1 -
dW (rv) (rv) 2 drv
t时刻粒子出现在 rv点附近 drv 体积元内的几率； dW ( pv) ( pv) 2 dpv
dx dy (x, y, z) 2 dz


dx
y2 dy
(x, y, z) 2 dz
y1

x2 dx dy z2 (x, y, z) 2 dz
x1

z1
(5) 多粒子体系的推广
(r1, r2 , , rN , t)描述N个粒子组成的体系的运动状态
电子的衍射实验
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时 间亦显示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
电子源
P
P
O
感 光 屏
单电子衍射实验结果分析：
“亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子到达 该处的几率大。 “暗纹”处是到达该处的电子数少，或讲电子到
达 该处的几率小。
则 Ψ可按Фp 展开
令


p
(
r
)
（21）3/
2
exp[
i
p•
r]
展开 系数
(rr,t)

( pr ,t) pr (rr )dpr
1
(2 h)3/2

r
ir r
(
p,t) exp[ h
p
• r ]dpxdpydpz
( pr ,t)
r rN
,
t)
2
d
3r1d
3r2
L
d 3rN
1

波函数的三个标准条件：
1、单值 在一个地方的几率密度只有一个值 2、连续 运动的连续性要求几率密度是连续的 3、有限 在所以可能出现粒子的地方的几率和为1
1.1.4 动量空间（表象）的波函数
波函数Ψ(r,t) 可用各种不同动量的平面
波表示,下面我们给出简单证明。
各电子起点、终点、路径 均不确定
用I对屏上光子数分布作 用| |2 对屏上电子数分布
概率性描述
作概率性描述
(2) 波函数的物理意义
(rv,t) (rv,t) 2 几率分布 运动状态
在t时刻,r点，dτ=dxdydz体积内找到由波函数 Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：
dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ
po 是入射光子动量
按照波的衍射理论，第一级 衍射极小的角位置为
于是有
1


d
xpx ≈po= h
例题2
质 量 为 9.1×10-31kg 的 电 子 和 质 量 为 0.05kg 的 子 弹 均 以 300m·s-1的速度运动，假定速度的不确定范围均为0.01%，计 算它们的最小可能的位置不确定范围，并加以比较。

s in d
2
d

0
0
0
若(r,t)没有归一化，
(rv) 2 d A （A是大于零的常数）
则有
1
2
(rv) d
1
A
也就是说，(A)-1/2 (x,y,z)是归一化的波函数 ，与 (x,y,z)描写同一几率波，(A)-1/2称为归 一化因子。
求几率密度: (x, y, z,t) (x, y, z) 2