《最大公因数》p
最大公因数和最小公倍数的定义
最大公因数和最小公倍数的定义在数学中，最大公因数和最小公倍数是两个常见的概念，它们在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍最大公因数和最小公倍数的定义、性质和相关应用。
一、最大公因数的定义最大公因数，简称最大公约数，是指两个或多个整数公有的约数中最大的一个。
例如，12和30的公约数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和30的最大公约数是6。
最大公因数的求法有多种方法，其中最常用的是辗转相除法。
该方法的基本思想是，用较大的数去除以较小的数，再用余数去除以刚才的除数，如此反复，直到余数为0为止。
最后一次除数即为最大公约数。
例如，求出120和84的最大公约数：120÷84=1 (36)84÷36=2 (12)36÷12=3 0因此，最大公约数是12。
二、最小公倍数的定义最小公倍数，简称最小公倍数，是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
例如，6和8的公倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、60等，其中最小的是24，所以6和8的最小公倍数是24。
最小公倍数的求法也有多种方法，其中最常用的是分解质因数法。
该方法的基本思想是，将每个数分解成质因数的乘积，然后将这些质因数的最高次幂相乘即可。
例如，求出12和18的最小公倍数：12=2×318=2×3将它们的质因数分解乘起来，得到2×3=36，因此最小公倍数是36。
三、最大公因数和最小公倍数的性质最大公因数和最小公倍数有许多重要的性质，下面列举其中的几个：1. 最大公因数和最小公倍数的乘积等于这些数的乘积。
即，设a、b为两个整数，则有gcd(a,b)×lcm(a,b)=ab。
证明：设a=p^α×p^α×…×p^α，b=p^β×p^β×…×p^β，其中p、p、…、p是不同的质数，α、α、…、α、β、β、…、β是非负整数。
五年级最大公因数教案【精选5篇】
五年级最大公因数教案【精选5篇】求最大公因数的过程中，我们可以使用欧几里得算法，又称辗转相除法。
两个数的最大公因数等于其中较小的数与两数的差的最大公因数。
这里给大家分享一些关于五年级最大公因数教案，供大家参考学习。
五年级最大公因数教案（篇1）目标①使学生理解公因数、最大公因数、互质数的概念。
②使学生初步掌握求两个数最大公因数的一般方法。
③培养学生抽象、概括的能力和动手实际操作的能力。
教学及训练重点教学重点理解公因数、最大公因数、互质数的概念。
教学难点理解并掌握求两个数的最大公因数的一般方法。
仪器教具投影仪等。
教学内容和过程教学札记一、创设情境填空：①12÷3=4，所以12能被4（）。
4能（）12，12是3的（），3是12的（）。
②把18和30分解质因数是18=30=它们公有的质因数是（）。
③10的约数有（）。
二、揭示课题我们已经学会求一个数的约数，现在来看两个数的约数。
三、探索研究1、小组合作学习（1）找出8、12的约数来。
（2）观察并回答。
①有无相同的约数？各是几？②1、2、4是8和12的什么？③其中最大的一个是几？知道叫什么吗？（3）归纳并板书①8和12公有的约数是：1、2、4，其中最大的一个是4。
②还可以用下图来表示。
813246128和12的公因数（4）抽象、概括。
①你能说说什么是公因数、最大公因数吗？②指导学生看教材第66页里有关公因数、最大公因数的概念。
（5）尝试练习。
做教材第67页上面的“做一做”的第1题。
2、学习互质数的概念（1）找出下列各组数的公因数来：5和78和912和251和9（2）这几组数的公因数有什么特点？（3）这几组数中的两个数叫做什么？（看书67页）（4）质数和互质数有什么不同？（使学生明确：质数是一个数，而互质数是两个数的关系）3、学习例2（1）出示例2并说明：我们通常用分解质因数的方法来求两个数的最大公因数。
（2）复习的第2题，我们已将18和30分解质因数（如后）18=2×3×330=2×3×5（3）观察、分析。
《最大公因数》教学设计
《最大公因数》教学设计优秀作为一名专为他人授业解惑的人民教师，通常需要用到教学设计来辅助教学，借助教学设计可以更好地组织教学活动。
如何把教学设计做到重点突出呢？下面是小编收集整理的《最大公因数》教学设计优秀，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《最大公因数》教学设计优秀1教学内容：人教版小学数学五年级下册第60~62页教学目标：1、结合具体的生活情景，通过确定取值范围、动手操作验证、小组合作、交流，经历公因数和最大公因数的产生，并理解其意义。
2、渗透集合思想，体验解决问题策略的多样化。
3、培养学生的抽象能力和解决问题能力，并且会求100以内两个数的最大公因数，感知公因数和最大公约数在生活中的广泛应用。
4、以去“游乐园”游玩为契机激发学生学习数学的兴趣。
教学重点、难点：理解公因数与最大公因数的定义；探索寻找两个数的最大公因数的方法。
教学准备：多媒体课件；小奖品；小组学案各一份；方格纸每组5张、彩笔；每个人制作学号卡佩戴好。
教学过程：一、复习铺垫———抢夺气球1、情境引入（1）、出示“数学游乐园”师：想去“数学游乐园”玩吗？（想）乐园里不仅有许多好玩的，表现好的还可以获得很多的奖励哦！（2）、看现在乐园里正在举行“抢夺气球”的活动呢！谁想来抢呢？（回答课件中的问题，答对一个获得一个奖励）3的因数有：6的因数有：8的因数有：12的因数有：二、讲解新授1、游乐园的储存室长16dm，宽12dm。
如果要用边长是整分米的正方形地砖把储存室的地面铺满（使用的地砖都是整块）。
可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？你知道铺地砖的要求是什么吗？（交流“正方形地砖”“都是整块的”“边长还要是整分米数”什么是整分米数？）2、合作探究（1）阅读并讨论用长方形方格纸代表长16分米、宽12分米的储藏室地面，每个方格可以代表边长是1分米的正方形。
小组讨论下，边长可以是几分米呢？（学生操作）（2）合作与交流A、交流边长是“4”为什么？问：你们觉得行吗？答：铺满B、交流边长是“2”出示一个角问：你觉得长边、短边可以分别铺几块呢？答：铺满C、交流边长是“1”铺一个角问：你觉得长边、短边可以分别铺几块？答：铺满认识公因数和最大公因数（1）讨论交流还有没有别的铺法？边长是3分米的地砖行吗？为什么？边长是5分米呢？宽边虽然可以铺整数块，但长边不行，会多出来。
最大公因数ppt课件
03
最大公因数的应用
在分数化简中的应用
总结词
最大公因数在分数化简中起到关键作用，通过找到分子和分母的最大公因数，可 以将分数化简为最简形式。
详细描述
在数学中，分数化简是一个常见的操作。通过找到分子和分母的最大公因数（ GCD），可以将分数中的分子和分母同时除以这个最大公因数，从而化简分数。 这个过程可以有效地简化分数，使其更容易进行后续的数学运算。
最大公因数的性质
互质关系
如果两个整数的最大公因数为1，则 它们互质。
整除性质
如果一个整数a能被另一个整数b整除 ，那么a的最大公因数一定是b的倍数 。
最大公因数在数学中的应用
1 2
3
分数的约分
最大公因数在分数约分中起到关键作用，通过找到分子和分 母的最大公因数，可以将分数约简为最简形式。
解方程
在解线性方程组时，可以利用最大公因数来消元，简化方程 组。
因此，24和36的最大公因数是12。
最大公约数的性质和求法
最大公约数的性质：两数的最大公约数 与它们的整数倍数的最大公约数相同。
2. 如果求30和45的2倍数的最大公约数 ，结果仍然是15。
1. 30和45的最大公约数是15。
求法：如果两数的最大公约数是GCD， 那么它们的整数倍数的最大公约数也是 GCD。
最大公约数与最小公倍数的运算性质
性质一
两数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积，即ab=GCD(a,b)LCM(a,b)。
性质二
两数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数，即GCD(a,b)=GCD(a,b-a)。
性质三
两数的最小公倍数等于它们的最大公约数和它们的乘积的商，即LCM(a,b)=ab/GCD(a,b)。
人教版最大公因数说课稿9篇
人教版最大公因数说课稿9篇人教版最大公因数说课稿9篇说课稿主要用于教研活动、课题研究和评教评课等场合。
在课题研究中，说课稿可以作为教学设计和实施的文献资料，用于研究和评价教学效果。
在评教评课中，说课稿可以作为评审者了解教师教学能力和教学思路的重要依据。
现在随着小编一起往下看看人教版最大公因数说课稿，希望你喜欢。
人教版最大公因数说课稿教学内容：人教版五年级第十册66-69页最大公因数。
教学目标：１、理解公因数，最大公因数和互质数的概念。
２、初步掌握求最大公因数的一般方法。
３、培养学生思维的有序性和条理性。
４、感受数学价值并体验数学与生活实际的联系，培养学生热爱生活的情感。
教学重，难点：1、理解公因数，最大公因数，互质数的概念。
2、求最大公因数的一般方法。
教具准备：多媒体教学课件。
教学过程：一，师生共研，学习新知：我们已经会求一个数的因数，那么今天我们来看两个数的因数又该怎样来求呢？出示课件：16的因数有：1、2、4、8、1612的因数：1、2、3、4、6、12那么既是16又是12的因数是：1、2、416和12的公有因数中最大的一个是：4出示课件：16的因数:1、2、4、8、1612的因数:1、2、3、4、6、128的因数：1、2、4、8师：我们就把1、2、4叫做16、12和8的什么呢？生：公因数师：4就是16、12和8的什么呢？生：最大公因数。
师：请同学用自己的话说一说公因数是什么意思？生：几个数公有的因数，就叫公因数。
生：就是几个数都有的因数，就叫公因数。
师：同学谁能说一下什么又是最大公因数呢？生：几个数公因数里面最大的一个，就叫最大公因数。
师生共同总结概念：公因数:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
最大公因数：几个数公因数里最大的一个，叫做这几个数的最大公因数二、巩固练习，加深理解：出示课件：同学们能不能找出15和18的公因数，再找出它们的最大公因呢？15的因数18的因数15的因数18的因数不清15和18的公因数三、合作探究，认识互质数１、5和7的公因数和最大公因数各是多少5的因数:1、5.7的因数:1、7.5和7的公因数有:1.5和7的最大公因数是:1.２、7和9呢7的因数:1,7.9的因数:1,3,9.7和9的公因数有:1.7和9的最大公因数是:1指名回答：并让学生说出自己的看法和理由。
数学最大公因数评课文稿
数学最大公因数评课稿指定两个或两个以上的整数若是有一个整数是它们共同的因数那么这个数就叫做它们的公因数也能够说成合约数数学最大公因数评课稿欢迎大家阅读授课教师：祁小娟老师一、评授课内容：北师大版数学五年级上册P45 填一填及练一练1、2、 P463、4二、评授课目的：我认为祁老师目注明确、到位1、让学生经历找两个数的公因数的过程理解公因数和最大公因数的意义2、研究找两个数的公因数的方法正确找出两个数的公因数和最大公因数三、评授课重点：重点突出让学生理解公因数和最大公因数的意义四、评授课难点：难点设置合理灵便找两个数的公因数的方法五、评授课内容的地位：授课内容地位的联系较好祁老师是在学习找一个数的因数的基础进步行学习的同时又是为今后学习约分的重点性知识点打基础六、评授课过程设计：授课过程设计合理 1、让学生经历找两个数的公因数的过程理解公因数和最大公因数的意义 2、经过讲练结合让学生研究找两个数的公因数的方法大多数学生能正确找出两个数的公因数和最大公因数实现了授课目的同时打破了授课难点（一）复习经过复习找一个数的因数的方法为后边的学习打好基础同时揭示课题（二）揭露课题：找两个数的最大公因数（三）经过课本内容填一填让学生经历找两个数的公因数的过程理解公因数和最大公因数的意义(1)12=()×()=()×()=()×()18=()×()=() ×()=()×()（3）12 的因数 18 的因数两个数公有的因数是公因数公因数中最大的一个叫做它们的最大公因数（四）经过 P463填一填让学生研究找两个数的公因数的方法且能正确找出两个数的公因数和最大公因数同时打破授课重点：让学生理解公因数和最大公因数的意义（五）让学生小结：找两个数的公因数的方法找两个数的公因数的方法①先找出各个数的因数②找出两个数公有的因数③确定最大公因数（六）经过P45 练一练1 找两个特别数的公因数的方法;（两数是倍数关系最大公因数是较小数）来打破授课难点：灵便找两个数的公因数的方法1、8 的因数：16的因数：8和 16 的公因数：8和 16 的最大公因数：2 、观察 8 和 16 两个数字的关系（倍数关系）公因数是1、2、4、8 最大公因数是 8 它是这两个数中的较小数4和 89 和 328 和 73、小结：两个数是倍数关系时较小数是这两个数的最大公因数（七）用找因数的方法找出 5 和 72 和 311 和 193 和 7的公因数和它们的最大公因数小结：两个不相等的质数, 最大的公因数是 1（八）找 1 和 25 和 68 和 915 和 16 的最大公因数小结：相邻两个自然数 (0 除外 ) 的最大公因数是 1（九）总结：我们今天学习了找两个数的最大公因数的方法有：①先找出各个数的因数③确定最大公因数,较小数是这两个的2两个不相等的数 , 最大的公因数是 1(0除外 ) 的最大公因数是 1七、几点授课建：1、找因数复不到位；如： (1)12=() ×()=()×()=()×()18=()×()=() ×()=()×()要先清楚 12 等于多少乘以多少⋯⋯ , 些数都是 12 的因数2、内容多了一些怕五年的学生不能够圆满接受3、安排的稍有不妥分数的分子和分母的最大公因数的目可再增加几一、剖析基知正确拟订授课目本是在学生已理解和掌握因数、倍数的含初步学会找一个数的倍数和因数知道一个数的倍数和因数的特点的基上行授课的部分内容既是“数与代数” 域基知的重要成部分又是一步学分和分数四算的基刘老依照教材的写特点正确地拟订了授课目即知目：合解决理解公因数和最大公因数的意学会求两个数的最大公因数的方法能力目：一是在研究公因数和最大公因数意的程中察、操作猜、等数学活一步展初步的推理能力在解决的程中能行有条理、有依照地行思虑二、在的情境中授课看法借助直操作活看法的形成程刘老师经过让学生在一张纸上“铺地砖”来让学生尽兴摆一摆观察、剖析、思虑找到规律必定是两数的共同因数才满足司老师的要求得出公因数看法选择种地砖铺的最快使学生在生活中领悟到最大公因数的意义充分发挥学生着手操作的能力 , 使他们在充分的着手中获得新知 , 使每个学生都能学会新知过去授课公因数的看法平时是直接找出两个自然数的因数今后让学生发现有的因数是两个数公有的从而揭露公因数和最大公因数的看法而本节课刘老师注意引导学生经过画图形的操作活动让学生经历公因数和最大公因数看法的形成过程第一刘老师从“正方形的边长能够是几分米 ?最长是几分米 ?”这一问题切入引导学生用边长不同样样的正方形方格纸片去摆经过操作发现边长分别是 1 分米、 2 分米、 3 分米的正方形纸片才能正好将长方形纸片摆满且无节余用边长 4 分米、5 分米、7分米的正方形纸片不能够摆满有节余其次对正好摆满和不能够正好摆满的原因作出讲解从而揭露出公因数和最大公因数的含义完成由形象到抽象的过程把感性认识提升为理性认识三、掌握内涵外延正确理解看法的含义本节课突出看法的内涵是“既是 ??又是 ??”即“公有”授课中刘老师第一让学生在练习本上找出 16 和 12 的因数今后借助直观的会集图揭露出“既是 16 的因数又是 12 的因数” 这句话的含义帮助学生进一步理解公因数和最大公因数的意义这样安排有两点好处：一是学生经过操作活动能领悟公因数的本质背景加深对抽象看法的理解；二是有利于改进学习方式便于学生经过操作和交流经历学习过程本节课刘老师注意利用反例来凸现公因数的含义在用会集图法来表示16 和 12 的公因数的时候教师能够设置这样一个问题： 4 是 18 和 12 的公因数从而让学生理解 4 可是 12 的因数而不是 18 的因数 4 不是18 和 12 的公因数不能够填在并集里从而进一步明确公因数的看法四、找两个数的公因数建议思虑方法的多样化刘老师正确掌握和确定自己的授课重点在学习这部分知识时把重点放在找两个数的公因数的方法上来激励学生找最大公因数方法的多样化如授课“怎样找 12 和 16 的的公因数和最大公因数”时引导学生运用了多种方法可能从 12 的因数里面找 16 的因数、列举法、比较法、会集图法等等最后教师还补充介绍互质数的相关知识而这个知识点教材只在“你知道” 分别作简单的介绍试想我们把这些联系亲密的看法集中在一节课或一段时间内采用交错比较的形式出现会更有利于学生整体地掌握知识结构便于学生灵便地运用知识达到贯串交融地掌握知识贯串交融本课授课后预设学生对公因数和最大公因数的看法可能还有些模糊不清课后作业可能出现一些错误因此在授课新知的同时设计练习的形式要多样层次要分明在看法的屡次比较内化中让学生扎扎实实地掌握公因数和最大公因数的内在含义从而使学生拓展对公因数和最大公因数的认识。
1.3 最大公因数与最小公倍数
1．3 最大公因数与最小公倍数设a 、b 是不全为零的两个整数，d 是一个非零整数，如果|d a 且|d b ，那么称d 为a 、b 的公因数．注意到，当|d a 且|d b 时，则d ≤｜a ｜或d ≤｜b ｜中必有一个成立（对a 、b 中不为零的数成立）．因此，a 、b 的公因数中有一个最大的，这个数称为a 、b 的最大公因数，记为（a ，b ）．如果（a ，b ）＝1，那么我们称a 、b 互素．在讨论最大公因数的性质之前，我们不加证明地引入一个在小学就接触到的、数论中最基本、最常用的结论．带余数除法 设a 、b 是两个整数，a ≠0，则存在唯一的一对整数q 和r ，满足b ＝aq ＋r ，0≤r ＜｜b ｜，其中q 称为b 除以a 所得的商，r 称为b 除以a 所得的余数．性质1 设d ＝（a ，b ），则存在整数x 、y ，使得ax ＋by ＝d ． 这个结论就是著名的贝祖（Bezout ）定理． 证明 我们利用带余除法来处理，此结论的证明过程又是求a 、b 的最大公因数的过程，它被称为“辗转相除”．不妨设a 、b 都不为零（当a 、b 中有一个为零时，结论是显然的），且｜a ｜≤｜b ｜．设11b aq r ＝＋，其中0≤1r ＜｜a ｜，1q 、1r 为整数．若1r ＝0，则辗转相除到此为此；否则用a 去除以1r ，得等式122a r q r ＝＋，0≤2r ＜1r ，依此讨论，由于1r ＞2r ＞3r ＞…，因此辗转相除到某一步后，所得的10k r +=，于是，我们得到了如下的一系列式子： 11b aq r ＝＋，0＜1r ＜｜a ｜； 122a r q r ＝＋，0＜2r ＜1r ；1233r r q r ＝＋，0＜3r ＜2r ； …………………………… 21k k k k r r q r --＝＋，0＜k r ＜1k r -； 1k r -＝+1k k r q ．注意到，从第一个式子到第k 个式子，我们依次有1|d r ，2|d r ，… ，|k d r ， 而从第k ＋1个式子倒推，又依次有1|k k r r -，2|k k r r -，… ，1|k r r ，|k r a ，|k r b ， 所以，k r 又是a 、b 的公因数，结合d 为a 、b 的最大公因数和k r ≤d ，又|k d r ，故d ≤k r ，因此，d ＝k r ．也就是说，我们求出了a 、b 的最大公因数．现在，利用d ＝k r 及第k 个式子，可知21k k k d r r q --=－，再由1321k k k k r r r q ----=－（第k －1个式子变形得），代入上式，可知d 可以表示为2k r -与3k r -的“线性组合”（见1．1节性质2），依此倒推，可知d 可以表示为a 、b 的“线性组合”，即存在整数x 、y 使得d ＝ax ＋by ．说明 反过来，设x 、y 为整数，d ＇＝ax ＋by ，并不能推出d ＇为a 、b 的最大公因数．事实上，可以证明：a 、b 的最大公因数是形如ax ＋by （x 、y 为任意整数）的正整数中最小的那个．性质2 设d 为a 、b 的公因数，则()|d a b ，．这个性质可由前面的贝祖定理证出．事实上，贝祖定理也是初等数论中的一个基本定理，应用非常广泛，下面的性质是它的一个直接推论．性质3 设a 、b 是不全为零的整数，则a 与b 互素的充要条件是存在整数x 、y 满足ax ＋by ＝1．性质4 设|a c ，|b c ，且（a ，b ）＝1，则|ab c ． 这个性质的证明见1．1节的例1．性质5 设|a bc ，且（a ，b ）＝1，则|a c ．证明：由性质3，知存在整数x 、y 使得ax ＋by ＝1．故acx ＋bcy ＝c ，由|a bc 及|a acx ，可知|a c ．性质6 设p 为素数，|p ab ，则|p a 或|p b ． 证明：由于p 只有两个正约数，故（p ，a ）＝1或者（p ，a ）＝p ．若（p ，a ）＝1，则由性质5知|p b ；若（p ，a ）＝p ，则|p a ．下面引入公倍数的一些概念和性质． 设a 、b 都是不等于零的整数，如果整数c 满足|a c 且|b c ，那么称c 为a 、b 的公倍数．在a 、b 的所有正的公倍数中，最小的那个称为a 、b 的最小公倍数，记作［a ，b ］．性质7 设a 、b 为非零整数，d 、c 分别是a 、b 的一个公因数与公倍数，则()|d a b ，，[]|a b c ，．证明：这个性质在本质上反映了最大公因数与最小公倍数的属性．前者是性质2的结论，这里再次列出是为了对比．对于后者，采用反证法予以证明．若[]a c b ， ，设[]c a b q r •＝，＋，0＜r ＜［a ，b ］，则由|a c 及[]|a a b ，，可知|a r ，同理|b r ，即r 为a 、b 的公倍数，但r ＜［a ，b ］，这与［a ，b ］是a 、b 的最小公倍数矛盾．所以[]|a b c ，．性质8 设a 、b 都是正整数，则[]()aba b a b ，＝，． 证明：记()abc a b ＝，，则由()|a b a ，，及()|a b b ，知|b c ，|a c ，即c 为a 、b 的公倍数，故[]|a b c ，．反过来，由贝祖定理，知存在整数x 、y ，使得ax ＋by ＝（a ，b ），即 ()()a bx y a b a b ＋＝1，，，于是[]()[]()[]a a b b a b x y a b a b a b ，，＋＝，，，．由[]|b a b ，及[]|a a b ，可知[]()|a abc a b ，，，[]()|b a bc a b ，，．所以 []|c a b ，．综上，可知 []()aba b a b ，＝，． 一般地，对n 个整数（非零）12n a a a ，，…，，可以类似地引入最大公因数与最小公倍数的概念，分别记为（ 12n a a a ，，…，）和［12n a a a ，，…，］．容易得到下面的一些结论：性质9 （ 123n a a a a ，，，…，）＝（ 123n a a a a （，），，…，）；而［123n a a a a ，，，…，］＝［[]123n a a a a ，，，…，］．性质10 存在整数12n x x x ，，…，，使得 ()112212n n n a x a x a x a a a ＋＋…＋＝，，…，． 特别地，()12n a a a ，，…，＝1，即12n a a a ，，…，互素的充要条件是：存在整数12n x x x ，，…，，使得11221n n a x a x a x ＋＋…＋＝．注意，n 个数互素，并不能保证它们两两互素，例如（2×3，2×5，3×5）＝1，但6、10、15两两不互素．反过来，若n 个数中有两个数互素，则这n 个数互素．因此，在n 个数中，“两两互素”的条件比“它们互素”的条件要强得多．性质11 设m 为正整数，则()()1212n n ma ma ma m a a a ，，…，＝，，…，； [][]1212n n ma ma ma m a a a ，，…，＝，，…，．例1 设a 、b 为正整数，且aba b＋也是正整数．证明：（a ，b ）＞1． 证明：若（a ，b ）＝1 ，则（a ，a ＋b ）＝1（这由性质3可推得），从而，由|a b ab ＋及（a ，a ＋b ）＝1，得|a b b ＋，但是a ＋b ＞b ，故|a b b ＋不可能成立．所以，（a ，b ）＞1．说明 在辗转相除求a 、b 的公因数的讨论中，可知对任意整数x ，都有（a ，b ）＝（a ，b ＋ax ），这一点在利用最大公因数处理数论问题时经常被用到．例2 设正整数a 、b 、c 满足2b ac ＝．证明：()()2a b a a c ，＝，． 证明：如果我们能够证明：()()222a b a b ，＝，，那么结合性质11，可知 ()()()()2222a b a b a ac a a c ，＝，＝，＝，．命题获证．为此，记d ＝（a ，b ），设a ＝du ，b ＝dv ，则由性质11可知u 、v 是两个互素的正整数，为证()222a b d ＋＝，只需证明：()221u v ，＝．利用贝祖定理，知存在整数x 、y ，使得ux ＋vy ＝1，故()()222212u x vy v vy y --＝＝1＋，结合性质3可知()21u v ，＝，交换2u 与v 的位置，同上再做一次，即有()221v u ，＝．所以，命题成立．说明 利用下一节的算术基本定理可以非常方便地证出：()()222a b a b ，＝，，但遗憾的是我们还没给出该定理的证明，通常都是先建立最大公因数理论再去证算术基本定理，这里不用该定理是不希望掉入“循环论证”的漩涡，读者在学习中应认真掌握其中的逻辑结构．例3 求所有的正整数a 、b （a ≤b ），使得[]()30075ab a b a b ＝＋，＋，．解：设［a ，b ］＝x ，（a ，b ）＝y ，由性质8可知ab ＝xy ，于是，①变为xy ＝300＋7x ＋5y ，即（x ―5）（y ―7）＝5×67．由于［a ，b ］≥（a ，b ），故x ≥y ，进而x ―5＞y ―7，只有如下的两种情形．情形一 x ―5＝67且y ―7＝5；此时，x ＝72，y ＝12，于是，可设a ＝12n ，b ＝12m ，（m ，n ）＝1，并有()()1212n m ab xy ＝＝＝12×72，结合a ≤b ，只能是（m ，n ）＝（1，6）或 （2，3），对应的（a ，b ）＝（12，72）或（24，36）．情形二 x ―5＝335且y ―7＝1；对应地，x ＝340，y ＝8，但y ＝（a ，b ）是x ＝［a ，b ］的因数，而8340，所以，此时无解．综上，符合条件的（a ，b ）＝（12，72）或（24，36）． 例4 求所有的正整数a 、b ，使得（a ，b ）＋9［a ，b ］＋9（a ，b ）＝7ab ． ① 解：记（a ，b ）＝d ，设a ＝dx ，b ＝dy ，则（x 、y ）＝1（由性质11知），［a ，b ］＝dxy （由性质8知），于是代入①可得1＋9xy ＋9（x ＋y ）＝7dxy ② 1117d x y xy⎛⎫ ⎪⎝⎭＝9＋9＋＋，所以9＜7d ≤111281111⎛⎫⎪⨯⎝⎭9＋9＋＋＝，故2≤d ≤4． 当d ＝2时，由②得5xy －9（x ＋y ）＝1， 两边乘以5，并将左边因式分解，得（5x －9）（5y －9）＝86＝2×43，故（5x －9，5y －9）＝（1，86）、（86，1），（2，43）、（43，2）．分别求解可知只能是（x ，y ）＝（2，19），（19，2），对应的（a ，b ）＝（4，38），（38，4）．分别就d ＝3，4同上讨论，得（a ，b ）＝（4，4）． 所以，满足条件的（a ，b ）＝（4，38），（38，4），（4，4）．例5 Fibonacci 数列定义如下：12F F ＝＝1，21n n n F F F ＋＋＝＋，n ＝1，2，…．证明：对任意正整数m 、n ，都有()()m n m n F F F ，，＝．证明：当m ＝n 时，命题显然成立．现在不妨设m ＜n ，注意到 211n n n F F F F F －－2＝＋ ＝()2212n n n F F F F F －－3－＋＋ ＝()2122n n F F F F F －－3＋＋ ＝32n n F F F F －2－3＋ ＝()32n n n F F F F F －3－4－3＋＋ ＝43n n F F F F －3－4＋ ＝…＝1m n m n F F F F －m ＋1－－m ＋，因此，设m d F ∣且n d F ∣，则由上式可知1m n m d F F ∣－－．又对任意正整数m ，有()1m m F F －，＝ ()121m m m F F F －－－＋，＝()1m m F F －－2，＝…＝()21F F ，＝1，所以，()11m d F －，＝，故n m d F ∣－；反过来，若n m d F '∣－且m d F '∣，则由上式又可知n d F '∣．依此可知()()n m n m m F F F F －，＝，． 利用 上述结论，对下标进行辗转相除，就可证得()()n m m n F F F ，，＝．说明 由本题的结论还可以推出一个有趣的性质：若n F 为素数，则n ＝4或者n 为素数． 事实上，设n F 为素数，而n 为合数，可设n p q •＝，2≤p ≤q ，p 、q 为正 整数，则由前面的结论，可知()()n p p n p F F F F ==，，，()()n q q n q F F F F ==，，．结合Fibonacci 数列的定义，可知n p F F ＞，n q F F ＞，而n F 为素数，故()n p F F ，＝()n q F F ，＝1，所以，p q F F ＝＝1，再由2≤p ≤q ，可知只能是p ＝q ＝2，即n ＝4．所以，性质成立．例6 设n 为大于1的正整数．证明：存在从小到大排列后成等差数列（即从第二项起，每一项与它前面那项的差为常数的数列）的n 个正整数，它们中任意两项互素．证明:考虑下面的n 个数： n ！＋1，2×（n ！）＋1，…，n ×（n ！）＋1． 这n 个正整数组成一个公差为n ！的等差数列．我们证明其中任意两项是互素的．事实上，若存在1≤i ＜j ≤n ，使得数i ×（n ！）＋1与数j ×（n ！）＋1不互素，设d ＝（i ×（n ！）＋1，j ×（n ！）＋1）＞1．考虑d 的素因子p ，可知()()()()|11p j n i n ⨯⨯！＋－！＋，即()|p j i n ⨯－！．由性质6可知|p j i －或|p n ！，结合1≤j －i ＜n ，可知()|j n i －！，所以，总有|p n ！．但是，|p d ，()|1d i n ⨯！＋，故()|1p i n ⨯！＋，结合|p n ！，导致|1p ，矛盾． 所以，命题成立．说明 此题为导出与反设矛盾的结论，采用了素因子分析的方法．该方法在数论中有广泛的应用．。
小学数学《最大公因数》教案(通用5篇)
小学数学《最大公因数》教案（通用5篇）小学数学《最大公因数》教案（通用5篇）小学数学《最大公因数》教案1《最大公因数》是人教版第十册第二单元第四节的内容，教材第80到81页的内容及第82页练习十五的第3题。
设计思路这个内容被安排在人教版第十册“分数的意义和性质”这个单元内，是学生已经理解和掌握因数的含义初步学会找一个数的因数，知道一个数因数的特点的基础上进行教学的，这部分内容既是“数与代数”领域基础知识的重要组成部分，又是进一步学习约分和分数四则运算的基础，对于学生的后续学习和发展，具有举足轻重的用。
教学目标1、使学生理解两个数的公因数和最大公因数的意义。
2、通过解决实际问题，初步了解两个数的公因数和最大公因数在现实生活中的应用。
3、培养学生独立思考及合作交流的能力，能用不同方法找两个数的最大公因数。
4、培养学生抽象、概括的能力。
重点难点1、理解公因数和最大公因数的意义。
2、掌握求两个数的最大公因数的方法。
教具准备多媒体课件、卡片教学过程一、导入1、学校买回12棵风景树，现在要栽种起来，栽种时行数不限，但每行栽种的数目相等，可以怎么栽种？16棵呢？2、分别写出16和12的所有因数。
二、教学实施1、老师用多媒体课件演示集合图。
指出：1，2，4是16和12公有的因数，叫做他们的公因数。
其中，4是最大的公因数，叫做他们的最大公因数。
2、完成教材第80页的“做一做”先让学生独立思考，再让拿卡片的同学快速站一站，那几个数站在左边，那几个数站在右边，那几个数站在中间，最后集体订正。
3、出示例2。
怎样求18和27的最大公因数？（1）学生先独立思考，用自己想到的方法试着找出18和27的最大公因数。
（2）小组讨论，互相启发，再在全班交流。
（3）老师用多媒体课件和板书演示方法方法一：先分别写出18和27的因数，再圈出公有的因数，从中找到最大公因数。
方法二：先找出18的因数，再看18的因数中有哪些是27的因数，从中找最大。
小学五年级数学前置性作业(最新人教版)
新人教版小学数学前置性作业五年级下册市教研室2017年1月第一单元《观察物体（三）》前置性作业班级：学生姓名：时间：学习内容《观察物体》P2例1、例2。
自主学习一、摆一摆1.用4个同样的正方体，摆出从正面看是的图形，可以怎样摆？把摆的结果试着画出来。
2.如果再增加1个同样的正方体，要保证从正面看到的形状不变，可以怎么摆？把摆的结果画出来。
二、我发现1.你能摆出兰兰所观察的图形吗？自己试一试并把摆的结果画出来。
2.你发现了什么？三、我的疑问：第二单元《因数与倍数》前置性作业班级：学生姓名：时间：班级：学生姓名：时间：班级：学生姓名：时间：学习内容《2、5的倍数特征》P9例1及“做一做”。
自主学习一、画一画。
观察：5的倍数有哪些特征？2的倍数有哪些特征？二、我举例。
偶数：奇数:你能用自己的话说一说什么是偶数？什么是奇数吗？三、试一试。
完成P9 “做一做”。
做完这道题，你发现了什么？四、我的疑问：班级：学生姓名：时间：班级：学生姓名：时间：学习内容《质数和合数》P14例1。
自主学习一、找一找。
找出1-20各数的因数，按它们因数的个数分类，填写下面表格。
二、我举例。
质数：合数:你能借助例子用自己的话说一说什么是质数？什么是合数吗？1是质数还是合数？为什么？三、找出100以内的质数，做一个质数表。
（先想：怎样找速度最快）四、我的疑问：班级：学生姓名：时间：学习内容《两数之和奇偶性》P15例2。
自主学习一、想一想。
1.请你任意找几个奇数、偶数，加起来看一看。
2.我的结论是：3.能用自己喜欢的方式验证你的结论是正确的吗？二、我的困惑：班级：学生姓名：时间：班级：学生姓名：时间：学习内容《正方体的认识》P20例3。
自主学习一、剪下课本附页中的图样做一个正方体，把你的发现填入表中。
1.正方体的6个面。
2.正方体的12条棱。
3.我测量它的棱长是。
二、比较长方体和正方体有哪些相同点？有哪些不同点？并填写下表。
三、想一想：正方体是长方体吗？说明理由。
苏教版数学五年级下册课件 《公因数和最大公因数》 ppt
先找8的因数，再从8的 因数中找出12的因数。 8的因数有1，2，4，8。 其中1，2，4也是12的因数。 8和12的公因数有1，2，4， 最大的公因数是4。
8和12的公因数中最大的 一个是4，4就是8和12的最 大公因数。
8和 12的公因数有哪些呢？ 12的因数 8的因数 1 2 8 4 1 2 4 3 6 12
12÷2=6
18÷2=9
边长2厘米的正方形纸 片正好能铺满。
12÷3=4
18÷3=6
边长3厘米的正方形纸 片正好能铺满。
只要边长的厘米数既是 12的因数，又是18 的因 数，就能正好铺满。
12和18的公因数一共有哪些呢？ 12 = 1×12 = 2×6 = 3×4 18 = 1×18 = 2×9 = 3×6
分别用边长是6厘米和4厘米的正方形铺下边的长方形。
边长6厘 米
18厘米
12 厘 米
边长4厘 米
哪种纸片能将 长方形正好铺 满
分别用边长是6厘米和4厘米的正方形铺下边的长方形。
12÷6＝2 18÷6＝3
边长6厘 米
18厘米
12 厘 米
边长6厘米的正方 形正好铺满。
边长4厘 米
12÷4＝3 18÷4＝4…2
方法四： 有序筛选 先写出18 的因数：1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 。从大到 小依次看18 的因数是不是27 的因数，9 是27 的因数，所以9 是18 和27 的最大公因数。
用分解质因数的方法，可以方便快 捷地找到两个数的最大公因数。
18 27
= 2 × 3 × 3 = 3 × 3 × 3
8的因数 12的因数
8的因数 12的因数
8
1 2 4
3 6 12
最大公因数最小公倍数
短除法
求几个数的最大公因数： ① 必须每次用这几个数的公因数去除； ② 一直除到这几个数的商互质为止（不一定是两两互质）， ③短除式中所有除数的乘积就是最大公因数。
求几个数的最小公倍数： ① 每次用这几个数的公因数去除，只要有两个数有共同的因数就一直除 ② 一直除到两两互质为止 ③所有除数与最后的商的乘积就是最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数
一辆自行车的前轮齿有50齿，而后轮齿有24齿，请问前齿轮最 少要转多少圈后才能使前后轮都同时转到最开始的位置？
① 先求出最小公倍数
【50,24】=600
② 看清题意是前齿轮转多少圈 ② 600÷50=12（圈）
请问后齿轮最少要转多少圈后才能使 前后轮都同时转到最开始的位置？
综合练习 最大公因数和最小公倍数
因数分解法
求36、48、30的最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数
题型二 求36、48、30的最大公因数和最小公倍数
短除法
2 36 48 30 3 18 24 15 2 6 85 345
（36、48、30）=2×3=6 【36、48、30】=2×3×2×3×4×5=720
最大公因数和最小公倍数
6×72=432 432÷18=24
最大公因数和最小公倍数
练习
题型一 已知A数为24,A与B的最小公倍数为168,最大公因数为4,那么B
数为多少?
最大公因数和最小公倍数
拓展
题型一 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然
数的和是77，求这两个自然数。
① 求出这两个自然数的积 210×7=1470
次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都
三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式
三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式公因数和最小公倍数是数学中基础的概念之一，它们在数论、代数、几何等多个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨三个数的最大公因数（简称最大公约数）与最小公倍数之间的关系公式，进一步解析它们的数学特征和性质。
首先，我们先来看一下最大公约数和最小公倍数的定义及性质。
最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数。
而最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）则表示能够被两个或多个整数整除的最小正整数。
我们用a、b和c表示三个整数，它们的最大公约数用符号gcd(a, b, c)表示，最小公倍数用符号lcm(a, b, c)表示。
首先，我们来探讨最大公约数和最小公倍数两者之间的关系。
可以通过以下公式来表示：gcd(a, b, c) * lcm(a, b, c) = |a * b * c|其中，|a * b * c|表示a、b和c的绝对值的乘积。
这个公式的证明可通过分解质因数的方法进行。
我们知道，任意一个整数都可以分解为若干个质数的乘积，而质数的定义是只能被1和自身整除的整数。
假设a、b和c的质因数分别为p1、p2、...、pn、q1、q2、...、qm和r1、r2、...、rk，其中p、q和r分别代表不同的质数。
由于质因数是唯一的，所以在a、b和c的质因数分解中，每个质因数只会出现一次。
那么，a、b和c的绝对值乘积即为p1^α1 * p2^α2 * ... *pn^αn * q1^β1 * q2^β2 * ... * qm^βm * r1^γ1 * r2^γ2* ... * rk^γk，其中α、β和γ表示不同质因数出现的次数。
接下来，我们来看最大公约数和最小公倍数的定义。
最大公约数表示同时整除a、b和c的最大正整数，即gcd(a, b, c) = p1^min(α1, β1, γ1) * ... * pk^min(αk, βk, γk)，其中min表示取最小值。
优秀最大公因数的教案(精选4篇)
优秀最大公因数的教案(精选4篇)优秀最大公因数的教案精选篇1教学目标1、使同学能理解质数、合数的意义，会正确推断一个数是质数还是合数。
2、知道100以内的质数，熟识20以内的质数。
3、培育同学自主探究、独立思索、合作沟通的力量。
4、让同学在学习活动中体验到学习数学的乐趣，培育学习数学的爱好。
重点难点质数、合数的意义。
教学过程：复习导入1、什么叫因数？2、自然数分几类？(奇数和偶数)老师：自然数还有一种新的分类方法，就是按一个数的因数个数来分，今日这节课我们就来学习这种分类方法。
新课讲授1、学习质数、合数的概念。
(1)写出1~20各数的因数。
(同学动手完成)点四位同学上黑板写，老师留意指导。
(2)依据写出的因数的个数进行分类。
(3)教学质数和合数概念。
针对表格提问：什么数只有两个因数，这两个因数肯定是什么数？老师：只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(或素数)。
假如一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
(板书)2、教学质数和合数的推断。
推断下列各数中哪些是质数，哪些是合数。
17、22、29、35、37、87、93、96老师引导同学应当怎样去推断一个数是质数还是合数(依据因数的个数来推断)质数：1、7、29、37合数：22、35、87、93、963、出示课本第14页例题1。
找出100以内的质数，做一个质数表。
(1)提问：如何很快地制作一张100以内的质数表？(2)汇报：①依据质数的概念逐个推断。
②用筛选法排解。
③留意1既不是质数，也不是合数。
优秀最大公因数的教案精选篇2教学目标（1）使同学初步了解公约数、最大公约数和互质数的概念。
（2）学会求几个数的公约数和最大公约数。
教学重点、难点重点：求几个数的公约数和最大公约数难点：推断互质数教具、学具预备教学过程备注一、复习预备1、指名板演18和30的约数各有哪几个？18的约数有：30的约数有：2、口答：（1）什么叫做约数？（2）下面各数中，哪些数有约数2？哪些数有约数3？哪些数有约数5？901117284108115（3）说出下面每一个自然数的全部约数。
2.5 最大公因数和最小公倍数的求法3.6
– 二级 什么相同点和不同点？
• 三级 相–同四点级；都是用短除法来求。
» 五级
不同点：最大公因数是把所有的除数写成连乘 的形式。最小公倍数是把所有的除数和商写成连乘 的形式
2020/3/28
8
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小试牛刀（选题源《典中点》）
最大公因数 17 1 6 5
最小公倍数 51 36 120 120
2020/3/28
14
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• 单2．击很此快处说出编下辑面母每组版数文的本最大样公式因数和最小公倍数。
– 二级7和14
最大•公三因级数是7，
4和6 最大公因数是2，
3和7 最大公因数是1，
最小公倍– 四数级是14。 最小公倍数是12。 最小公倍数是21。
两•个三数级的最大公因数是这两个数公有质因数的乘 积，而– 四两级个数的最小公倍数是这两个数的最大公
» 五级
因数与这两个数各自独有质因数的乘积。
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单击此处编辑母版标题样式
夯实基础（选题源于教材P23练一练）
• 单1击．填此表处。编辑母版文本样式
– 二级
• 三级 –17四和级 51 4和» 五9 级 24 和 30 15 和 40
(3)一个数既是12的倍数，又是18的倍数，这个数最小是( 36 )。 (4)100以内6和8的公倍数有( 4 )个。
24 48 72 96
2020/3/28
9
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2．求出下列各组数的最小公倍数。
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(1–)3二6和级24 72 (2)22和33 66
2.5 最大公因数和最小公倍数的求法
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
12、24、36、48……
2020/3/1
2 12 18 36 9 23
5
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小试牛刀（教材P22试一试）
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– 二用级短除法求下面每组数的最小公倍数。
• 三级
30和– 四45级
14和52
15和60
» 五级
3 30 45
» 五级
2 课时流程
探索 新知
2020/3/1
课堂 小结
当堂 检测
课后 作业
2
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• 单阿击凡提此去处巴编依老辑爷母家版找他文，本巴样依老式爷说：“从今天起，
–我二连续级出去收账3天才休息一天，我的账房先生要连续出
去收• 账三5级天才可以休息一天，你就在我们两人同时休息的 时候来–吧四！级”那阿凡提要几天以后去巴依老爷家呢？
» 五级
2020/3/1
3
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探究点1 求两个数的最小公倍数的方法
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– 二求级12和18的最小公倍数。
• 三级
– 四级 » 五级
2020/3/1
12的倍数：12、24、36、48…… 18的倍数：18、36、54……
4
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– 二级
两•个三数级的最大公因数是这两个数公有质因数的乘 积，而– 四两级个数的最小公倍数是这两个数的最大公
» 五级
因数与这两个数各自独有质因数的乘积。
2020/3/1
（讲解源于《典中点》）
13
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五年级奥数培优第19讲《最大公因数》
学科教师辅导讲义知识梳理一、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数（在自然数的范围内）。
如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；18的约数有1、18、2、9、3、6。
注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。
②任何数都有最小的约数1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。
③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。
④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。
如果数a与数b 相乘的积是数c，a与b都是c的因数。
二、质数与合数（1）只有1和本身两个约数的数叫做质数（或素数）；（2）除了1和本身外还有其它约数的数叫做合数；（3）1既不是质数，也不是合数；（4）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
（5）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质约数，例如15=3×5，3和5叫做15的质约数。
（6）把一个合数用质约数相乘的形式表示出来，叫做分解质约数。
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。
其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数，记作（12,18）=6。
（7）公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数；如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
最大公因数(P79-80)
海洋面积比陆地面积大。
可以提出的数学问题:
地球上陆地面积多还是海洋面积多？
本节课解决的数学问题:
怎样比较分数的大小。
本节课教学的知识要点: 同分母分数与同分子分数如何比较大小。 分子、分母不同的分数如何比较大小。
讨论交流知识的形成过程:
出示93页世界地图，让学生观察，并说说地 球上的陆地多还是海洋多？ 3 再出示条件：陆地面积占地球总面积的 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 2 4 5 3 6 7 84 9 5 10 11 6 12
1
2
3
4
2
3
师：1、2、4与16和12之间有什么关系吗？
引导学生说出：1、2、4既是16 的因数，又是 12 的因数。 通过以上讨论使学生体会到： 要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖的 边长必须既是16 的因数，又是12 的因数。
最大公因数=2×2×3=12 指出：两个数所有公有质因数的积，就是这两个数 的最大公因数。 方法四适合于求比较大的两个数的公因数。
完成教材第81页的“做一做”并小结： 找出下列每组数的最大公因数，你发现了什么？ 4和8 16和32 1和7 8和9 ( 1 ）当两个数成倍数关系时，较小的数就是它 们的最大公因数。 ( 2 ）当两个数是互质数时，它们的最大公因数 是1 。
智力训练:
1、 36可能是哪两个数的最小公倍数？你能找出几组？ 2、某小学五年级学生超过100人，但是不足140人。
如果按每组12人或每组8人，这些人均多出3人。 请你算一算该校五年级的人数是多少。
第6课时
数论笔记2-最大公因数理论
数论笔记2-最⼤公因数理论上⼀篇实在是太简单了. 接下来我们将要进⼊最⼤公因数理论.1. 最⼤公因数和最⼩公倍数⾸先我们需要明确公因数的定义.设有a1,⋯,a n, 若d|a1,⋯,d|a n, 称d为a1,⋯,a n的公因数.我们记这些公因数组成的集合为(a1,⋯,a n).⾃然地, 我们定义这些数的公因数中最⼤的⼀个为最⼤公因数, 记作 (a1,⋯,a n).特别地, 若 (a1,⋯,a n)=1, 称这些数互素.根据定义,有 (a1,⋯,a n)=max.下⾯我们给出⼀些简单的性质.1. (a_1,a_2)=(a_2,a_1)=(-a_1,a_2)=(|a_1|,|a_2|)2. a_1|a_j(2\leqslant j\leqslant n)\Rightarrow (a_1,\cdots,a_n)=|a_1|3. (a_1,a_2)=(a_1,a_2,a_1x)4. (a_1,a_2)=(a_1,a_2+a_1x)5. (p,a_1)=\begin{cases}p,&p|a_1\\1,&p\nmid a_1\end{cases}6. \mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)=\mathcal{D}(a:a=a_1x_1+\cdots+a_nx_n)其中性质1,3,4,5⼀般情况下同样成⽴.这些性质就不予全部证明了. ⼤体来说, 证明的思路就是证明左右两边的公因数集合相等, 从⽽⾃然有最⼤公因数相等.以性质4为例. 根据整除性质有d|a_1,d|a_2\Leftrightarrow d|a_1,d|a_2+a_1x,则\mathcal{D}(a_1,a_2)=\mathcal{D}(a_1,a_2+a_1x), 从⽽根据上⾯的分析得出结论.另外性质6可以认为是性质4的⾃然推论. 这条性质⽐较本质, ⾮常重要. ⽐如下⾯这条不那么显然的定理:7. a_1x_1+\cdots+a_nx_n=1\Rightarrow (a_1,\cdots,a_n)=1证明其实⾮常简单: 根据上述性质6有\mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)=\{1,-1\}, 于是就得出了结论.接下来我们再给出⼀条最⼤公因数的性质并给予证明.8. m|(a_1,\cdots,a_n)\Rightarrow m(a_1/m,\cdots,a_n/m)=(a_1,\cdots,a_n)证明的思路是两次运⽤性质1.1.6 (即第1篇笔记标题1性质6, 之后都会这样编号), 即⽤整除得到左边⼩于等于右边, 右边⼩于等于左边, 于是就证明了结论. (这时初等数论中⼀种很常见的证明⽅法)证明: 记D=(a_1,\cdots,a_n), d=(a_1/m,\cdots,a_n/m).根据条件有m|D, ⼜根据D的定义知D|a_j, 则m|a_j(1\leqslant j\leqslant n).运⽤整除性质有(D/m)|(a_j/m), 则根据d的最⼤性有D/m\leqslant d, 即D\leqslant md.另⼀⽅⾯, 有d|(a_j/m), 则根据整除性质有md|a_j, 根据D的最⼤性有md\leqslant D.综上所述有md=D, 证毕.简单讨论完了最⼤公因数, 接下来我们来讨论最⼩公倍数.设有a_1\cdots a_n\neq0, 若有a_1|l,\cdots,a_n|l,称l是a_1,\cdots,a_n的公倍数.我们记这些公倍数组成的集合为\mathcal{L}(a_1,\cdots,a_n).我们定义这些数的正公倍数中最⼩的⼀个为最⼩公倍数, 记作[a_1,\cdots,a_n].相对来说, 最⼩公倍数的性质没有最⼤公因数那么好. 但是我们仍然有下⾯的结论:9. [a_1,a_2]=[a_2,a_1]=[-a_1,a_2]=[|a_1|,|a_2|]10. a_j|a_1(2\leqslant j\leqslant n)\Rightarrow [a_1,\cdots,a_n]=|a_1|11. d|a_1\Rightarrow [a_1,a_2]=[a_1,a_2,d]12. [ma_1,\cdots,ma_n]=m[a_1,\cdots,a_n]性质9和11在⼀般情况下同样成⽴. 这些性质的证明和最⼤公因数对应性质类似, 我们这⾥只对性质12进⾏证明.证明: 记L=[ma_1,\cdots,ma_n], l=[a_1,\cdots,a_n].⼀⽅⾯有ma_j|L\Rightarrow a_j|(L/m)\Rightarrow l\leqslant(L/m)\Rightarrow ml\leqslant L,另⼀⽅⾯有a_j|l\Rightarrow ma_j|ml\Rightarrow L\leqslant ml.则L=ml, 证毕.2. 辗转相除法在对最⼤公因数进⾏进⼀步讨论之前, 我们先介绍⼀下辗转相除法这⼀⼯具.设有u_0,u_1，u_1\neq0. 我们重复应⽤带余除法:\begin{aligned}u_0&=q_0u_1+u_2, &0<u_2<|u_1|\\u_1&=q_1u_2+u_3, &0<u_3<u_2\\&\vdots\\u_{k-1}&=q_{k-1}u_k+u_{k+1}, &0<u_k<u_{k-1}\\u_k&=q_ku_{k+1}, &0<u_{k+1}<u_k\end{aligned}注意到|u_1|>u_2>\cdots>u_k>u_{k+1}>0, 则该过程必会停⽌, 不会⽆限重复下去.有了辗转相除法, 我们可以推知以下结论:1. (u_0,u_1)=(u_1,u_2)=\cdots=(u_k,u_{k+1})=u_{k+1}2. d|u_0,d|u_1\Leftrightarrow d|(u_0,u_1)3. \exist x_0,x_1使u_0x_0+u_1x_1=(u_0,u_1)性质1实际推导的时候需要倒过来. 根据性质1.1和1.4, 我们有(u_{k-1},u_k)=(u_k,q_{k-1}u_k+u_{k+1})=(u_k,u_{k+1}). 然后剩下的就显然了.性质2利⽤性质1和整除的性质是显然的. 注意, 这个性质说明了两个数的公因数⼀定是最⼤公因数的因数, 这是我们在第3节最⼤公因数理论中将要讨论的⼀个定理的特殊情况.性质3可以从线性组合的⾓度来理解. u_{k+1}可表⽰为u_k和u_{k-1}的线性组合, u_k可表⽰为u_{k-1}和u_{k-2}的线性组合, 以此类推, 知u_{k+1}可表⽰为u_0和u_1的线性组合. 证毕.性质3可以应⽤于解不定⽅程. 这个之后再讨论.3. 最⼤公因数理论在这⼀章, 我们对最⼤公因数理论进⾏收尾. 我们会给出8个最⼤公因数的重要性质, 并证明之.根据⼆潘初等数论的介绍, 我们实际上有3种⽅法来建⽴这套理论. 我们这⾥只选取最简单的⼀种 (只⽤到整除, 带余除法和之前介绍过的⼀些最⼤公因数的性质),其他的⽅法可以到原书进⾏了解.⾸先给出定理内容: (注: 为了⽅便, 我们⽤a_j来表⽰每⼀个a, 就不写范围了)1. a_j|c\Leftrightarrow [a_1,\cdots,a_k]|c2. D=(a_1,\cdots,a_k)\Leftrightarrow D|a_j;d|a_j\Rightarrow d|D3. m(b_1,\cdots, b_k)=(mb_1,\cdots,mb_k)4. (a_1,\cdots,a_k)=((a_1,a_2),a_3,\cdots,a_k)推论: (a_1,\cdots,a_k)=((a_1,\cdots,a_l),(a_{l+1},\cdots,a_k))5. (m,a)=1\Rightarrow (m,ab)=(m,b)6. (m,a)=1, m|ab\Rightarrow m|b推论: (m_1,m_2)=1,m_1|n,m_2|n\Rightarrow m_1m_2|n7. [a_1,a_2](a_1,a_2)=|a_1a_2|8. (a_1,\cdots,a_k)=min(s:s=a_1x_1+\cdots+a_kx_k,s>0)推论: \exist x_0,\cdots,x_k使a_1x_1+\cdots+a_kx_k=(a_1,\cdots,a_k)我们⾸先证明性质1, 然后性质2⾄性质7都可以通过此推出. 性质8需要进⾏额外的证明.性质1: 设L=[a_1,\cdots,a_k].必要性: L|c,a_j|L\Rightarrow a_j|c, 证毕.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js充分性: 设c=ql+r,0\leqslant r<L. 则a_j|c,a_j|L\Rightarrow a_j|r, 即r为⼀个公倍数. 但⼜有r<L, 则只能有r=0. 故L|c, 证毕.实际上性质1就是说公倍数是最⼩公倍数的倍数.性质2:必要性: 由D|a_j知D是公因数; 由d|D知|d|\leqslant D, ⽽d是任⼀公因数, D⽐任⼀公因数的绝对值都⼤, 则D=(a_1,\cdots,a_k). 证毕.充分性: 设全体公因数为d_1,\cdots,d_s. 令L=[d_1,\cdots,d_s]. 由性质1知L|a_j, ⼜有d_j|L, 则根据必要性的证明有L=(a_1,\cdots,a_k), 也即最⼤公因数满⾜右边的性质. 证毕. (这个证明⽅法可能有点抽象)性质2告诉我们公因数是最⼤公因数的因数.性质3:考虑运⽤上⾯的性质1.8. 令a_j=mb_j. 有m(b_1,\cdots,b_k)=m(a_1/m,\cdots,a_k/m).但是为了能利⽤上⾯的性质, 我们还要满⾜m|(a_1,\cdots,a_n)这个前提. 注意到m|a_j, 则运⽤性质2有m|(a_1,\cdots,a_k). 这样条件满⾜了.则m(a_1/m,\cdots,a_k/m)=(a_1,\cdots,a_k)=(mb_1,\cdots,mb_k). 证毕.实际上性质1.8与性质3就差在了性质2上.性质4:采⽤经典证法.⼀⽅⾯, 设有d|a_j, 由性质2有d|(a_1,a_2), 即左边的公因数⼀定是右边的公因数.另⼀⽅⾯, 设有d|(a_1,a_2), ⼜因为(a_1,a_2)|a_1, (a_1,a_2)|a_2, 则d|a_1, d|a_2, 即右边的公因数⼀定是左边的公因数.公因数集相等知最⼤公因数相等. 证毕.推论⾃然成⽴.性质5:若m=0, 则a=\pm1, 显然成⽴. 否则, 有(m,b)=(m,b(m,a))=(m,mb,ab)=(m,ab). 证毕. (这⾥主要运⽤了性质3和1.3)性质6:|m|=(m,ab)=(m,b)\Rightarrow m|b. 证毕. (这⾥主要运⽤了性质5)更常⽤的是推论. 证明如下:m_1|n\Rightarrow n=km_1\Rightarrow m_2|km_1\Rightarrow m_2|k\Rightarrow m_1m_2|m_1k\Rightarrow m_1m_2|n. 证毕.性质7:⾸先考虑(a_1,a_2)=1的情况. 此时令L=[a_1,a_2], 根据性质1有L|a_1a_2. ⼜有a_1|L,a_2|L, 根据性质6推论有a_1a_2|L. 则L=|a_1a_2|. 该情况证毕.当(a_1,a_2)\neq1时, 有(a_1/(a_1,a_2),a_2/(a_1,a_2))=1, 则[a_1/(a_1,a_2),a_2/(a_1,a_2)]=|a_1a_2|/(a_1,a_2)^2. 将平⽅项移到左边并运⽤性质1.12, 有[a_1,a_2](a_1,a_2)=|a_1a_2|. 证毕.注意这是⼀个专⽤于两个数情况的定理. 多个数就不⼀定了.性质8:我们利⽤性质1.6. 记S=\{s|s=a_1x_1+\cdots+a_kx_k\}. 显见0<a_1^2+\cdots+a_k^2\in S, 则S中有正整数. 令其中最⼩的正整数为s_0.取任⼀公因数d|a_j, 根据整除性质有d|s_0, 则|d|\leqslant s_0.设a_j=q_js_0+r_j, 0\leqslant r_j<s_0. 显然r_j=a_j-q_js_0\in S, 则因为s_0是最⼩正整数, 只能有r_j=0. 故s_0|a_j, 即s_0是公因数.根据上⾯的|d|\leqslant s_0, 知s_0=(a_1,\cdots,a_k). 证毕.这样我们就完成了对最⼤公因数理论的介绍.。
小学数学最大公因数和最小公倍数
第三讲最大公因数和最小公倍数知识导航：1、公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
求最大公因数的方法：①枚举法②短除法③分解质因数④辗转相除法⑤小数因数法。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
求最小公倍数的方法：①枚举法②短除法③分解质因数④大数倍数法。
3、互质数如果两个数的最大公因数是 1，那么这两个数叫做互质数。
哪些情况下两数必定互质：①相邻两个自然数②两个质数③相邻两个奇数4、四大定理:定理 1 两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。
即如果(a , b)=d，那么(a÷d , b÷d )=1定理2 两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。
定理3 两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。
定理4 两个数的公倍数一定是这两个数的最小公倍数的倍数特殊情况：如果两个数互为倍数关系，这两个数最大公因数是较小数，最小倍数是较大数如果两个数互质，这两个数最大公因数是1，最小公倍数十两个数的乘积经典例题：例1、如果a，b均为质数，且3741+=______.+=，则a ba b例2、在100至300之间，只有三个因数的数有多少？例3、甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数? 例4、两数的最大公因数是 21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？例5、一次会餐供有三种饮料。
餐后统计，三种饮料共用了 65瓶：平均每 2 个人饮用一瓶 A 饮料，每 3 个人饮用一瓶 B 饮料，每4 个人饮用一瓶 C 饮料。
问参加会餐的人数是多少人？例6、加工某种机器零件，要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个。
要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？课堂练习1. (144，256)+[144，256]= (25，75)+ [25，75]=2．已知P,Q都是质数，并且11932003⨯=?P Q⨯-⨯=，则P Q3．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？4. 已知两个自然数的平和为900，它们的最大公因数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数5. 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。
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公因数只有
。
1
的两个数，叫做互质数
例如，5 和 7 是互质数，7 和 9 也是互质数。 想一想：互质的两个数必须都是质数吗? 请你 举出两个合数互质的例子来。
4 和 9，8 和 15。
利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出 两个数的最大公因数。例如:
24 = 2×2×2×3 36 = 2×2×3×3 24 和 36 的最大公因数 = 2×2×3 = 12。
1、2、4 是 16 和 12 公有的因数，叫做 它们的公因数。其中，4 是最大的公因 数，叫做它们的最大公因数。
概念：
几个数公有的因数叫做这几个 数的公因数；其中最大的一个叫做 这几个数的最大公因数。
应用新知（2分钟） 学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的 站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
公因数。 72
36 ( 36 ) 24 ( 12 ) 18 ( 6 ) 15 ( 3 ) 10 ( 5 )
6. 按要求写出两个数，使它们的最大公因数是 1。 (1) 两个数都是质数: __2__ 和 __5__。 (2) 两个数都是合数: __4__ 和 __9__。 (3) 一个质数一个合数: __1_3_ 和 __8__。
小组合作 探求新知
最大公因数
我们家贮藏室 长 16 dm，宽 12 dm。
如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏 室的地面铺满(使用的地砖都是整块)。可以选择边 长是几分米的地砖? 边长最大是几分米?
可以在长方形纸上 画一画，看看能画 出多少个正方形。
可以用正方形 纸片摆一摆。
用边长是 3 dm 的地砖不行啊。
7. 有一张长方形纸，长 70 cm，宽 50 cm。如果要 剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的 小正方形的边长最大是几厘米?
10 厘米。
8. 男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每排 最多有多 48 人。
女生有 36 人。
48 和 36 的最大公因数是 12。 48÷12 = 4 (排) 36÷12 = 3 (排)
答: 每排最多有 12 人，这时男生有 4 排,女生有 3 排。
9.* 小巧匠。
要把它们截成同样长的小 棒，不能有剩余，每根小 棒最长是多少厘米?
12 cm 16 cm 44 cm
12、16 和 44 的最大公因数是 4 。 答: 每根小棒最长是 4 厘米。
1、这节课我知道了…… 2、这节课我学会了…… 3、你和小组成员表现怎么样？
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
(3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因
数是___C___。
A. 1
B. 甲数
C. 乙数
D. 甲、乙两数的积
4. 写出下列各分数分子和分母的最大公因数。
7 9
(
1
)
8( 36
4
)
18 72
(
18 )
9( 15
3
)
5. 在相应的( )里写出相邻阶梯上两个数的最大
6和9 3
15 和 12 3
42 和 54 6
30 和 45 15
5和9 1
34 和 17 17
16 和 48 16
15 和 16 1
3. 选出正确答案的编号填在横线上。
(1) 9 和 16 的最大公因数是__A____。
A. 1
B. 3
C. 4
D. 9
(2) 16 和 48 的最大公因数是__D____。
中，9 最大。
我是看 18 的因 数中有哪些是 27 的因数 ······
活动二（8分钟）
你还有其他方法吗? 和同学讨论一下。
观察一下，两个数的公因数和它们的最大公因 数之间有什么关系?
要求： 1.独立思考（1 分钟） 2.小组交流（ 2分钟） 3.展示评价（5分钟）
新知应用（8分钟） 找出下列每组数的最大公因数。你发现了什么?
要使所用的正方形地砖都是整块
的，地砖的边长必须既是 16 的
因数，又是 12 的因数。
16 的因数
12 的因数
1，2，4， 8，16
1，2，3， 4，6，12
所以地砖的边长可以是 1 dm、2 dm、4 dm，最 大是 4 dm。
16 的因数 12 的因数 还可以这样表示。 8，16 1，2，4 3，6，12
1 ．理解两个数的公因数和最大公因数的意义。 2 ．通过解决实际问题，初步了解两个数的公因 数和最大公因数在现实生活中的应用。 3 ．培养学生抽象、概括的能力。
导学提示:
小组合作 探究新知
内容：教材79-80页
方式：独学（2分钟）交流（3分钟）展示评 价（5分钟）
思考：
（1）什么叫公因数？ （2）什么叫最大公因数？ （3）公因数怎样用集合表示？ （4）怎样求几个数的最大公因数？
当堂检测（8-10分钟）
检测要求：独立完成，相互检查，组长批改.
内容：教材82页练习十五1-4题
（在书上做）
1. 填空。 (1) 10 和 15 的公因数有 ___1_，__5_______。 (2) 14 和 49 的公因数有 ___1_，__7_______。
2. 找出下面每组数的最大公因数。
4 和 8 16 和 32 1 和 7 8 和 9
要求：
1.独立思考 （1 分钟） 2.小组交流 （ 2分钟） 3.展示评价 （5分钟）
4 和 8 的最大公因数是 4。 16 和 32 的最大公因数是 16。 1 和 7 的最大公因数是 1。 8 和 9 的最大公因数是 1。
做完后你发现了什么?
我发现: 当两个数是倍数关系时，这两个数的最 大公因数就是那个较小的数； 两个数的最大公因数是 1时，这两个数是什么关系呢？
我该站哪儿呢?
1 2 3 4 9 6 12
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的 站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
1 2 3 4 9 6 12
2 怎样求 18 和 27 的最大公因数。
我是这样 表示的。
它们的公因 数 1，3，9
复习导入（1分钟）
把下面的数分类：
12 3 4 5 12 15 16 18 20
36的因数
6 8 9 10 24 30 36 60
60的因数
1、2、3、4、6、 9、12、18、36
1、2、3、4、5、 6、10、12、15、 20、30、60
哪些数既是36的因数又是60的因数？
最大公因数
学习目标