数学物理方法

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第一章 绪论
一、课程意义 二、物理定律与偏微分方程概念 三、课程学习的基本要求 四、常微分方程复习 五、积分公式 六、常用算子
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利的用特欧解拉形公式式为：
y*
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x)cos
x
R(2) m
(
x)sin
x]
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
0 i不是根, k 1 i是根.
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y py qy f (x)
f (x)的两种类型：
f ( x) ex Pm ( x)
f ( x) ex[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x]
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1、y py qy ex Pm ( x)
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x eln cos y sin 2 y eln cos y dy C
cos
y
2
sin y cos cos y
y
dy
C
cos
yC
2 cos
y.
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0ຫໍສະໝຸດ Baidu5
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1.5
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二、物理定律与偏微分方程概念 t 1 0.5 00
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(一)、物理定律
某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映的 是同一类物理现象的共同规律。
物理定律是布列反映实际问题微分方程的基础， 学习数理方程课程必须掌握一些典型的物理定律。
1、牛顿第二定律: F = m a
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[5] 南京工学院数学教研组，《数学物理方程与特殊 函数》，人民教育出版社，1983 [6] 孙振绮，《数学物理方程》，机械工业出版社， 2004 [7] 胡嗣柱，倪光炯，《数学物理方法》，复旦大学 出版社，1989 [8] 姜尚礼，陈亚浙，《数学物理方程讲义》，高等 教育出版社，1996
3. 一阶线性微分方程基本形式为：
y p(x) y q(x)
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例1 求方程 f ( xy) ydx g( xy)xdy 0 通解.
解 令u xy, 则 du xdy ydx,
f (u) ydx g(u)x du ydx 0, x
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0, x
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本课程重点讨论如下两类典型常微分方程：
(1)、贝塞尔方程：
x2
d2y dx2
x
dy dx
(x2
n2 ) y
0, (n R或C)
(2)、勒让德方程：
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
n(n
1) y
0, (n
q kun (M ,t)
4、牛顿冷却定律： 热流密度：
q k u s u0
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5、热量守恒定律
Q吸 Q放
6、Coulomb定律：
q u
4 0 r
u q ln 1
20 r
7、静电场中的高斯定律：
E dS dV
a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量 2、虎克定律： (1) 弹簧：f = - k x (2) 弹性体：p = Yu x
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3、傅立叶实验定律(热传导)：
dQ kun (M ,t)dSdt
同时定义热流密度：
R或C)
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三、课程学习的基本要求
(1)、理解数学物理方程中出现的基本概念；
(2)、能正确写出典型物理问题的方程与定解 条件；
(3)、了解定解问题解的物理意义；
(4)、熟练掌握三类典型偏微分方程定解问题 的如下典型解法：
4. 贝努里方程：
y p(x) y q(x) yn , (n 0,1)
5. 可降阶的二阶微分方程：
y f (x, y)
y f ( y, y)
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例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
dp = dy , py 两边积分并化简得p C1 y,
即
dy dx
=C1
y,
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分离变量得
dy y C1dx
y C2eC1x .
当y 0, p 0时， 即 dy 0 y C也是原方 dx
程的解.但在通解y C2eC1x中,显然C1 0时，
0 不是根
设 y* xkexQm ( x) , k 1 是单根,
2 是重根
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性
注意微分方程（k是重根次数）.
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2、f ( x) ex[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x] 型
t 2
x2 u=u(x,t )
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本课程重点讨论如下三类典型偏微分方程：
(1)、波动方程： utt a2u f
(2)、热传导方程: ut a2u f
(3)、稳态场方程: u f (M )
讨论三类典型偏微分方程在不同定解条件 下的求解方法。
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(二)、常微分方程与偏微分方程
如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）, 这 种方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素 (多个自变量),这时方程中出现的导数是偏导数,相
应的方程称为偏微分方程。
d 2 a sin 0
dt 2
单摆: = (t)
2u a2 2u 弦振动:
2
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参考文献
[1] 梁昆淼，《数学物理方法》，人民教育出版社， 1998
[2] 沈施，《数学物理方法》，同济大学出版社， 2002
[3] 姚瑞正，梁家宝，《数学物理方法》，武汉大 学出版社，1992
[4] 谢鸿证，杨枫林，《数学物理方程》，科学出 版社，2001
例6 求微分方程
y 4 y 3 y xe2x cos 3x
的通解.
解 对应齐次方程 y 4 y 3 y 0
r 2 4r 3 0, r1=1,r2 =3. 齐次方程的通解为 Y C1e x C2e3x .
2, 3, i 2 3i不是特征方程的根.
y* e2x ax bcos 3x cx d sin 3x
一、课程意义
在物理学、无线电技术、自动化工程、电子工程、 生物工程等众多领域中,不可避免的问题是需要研究 某物理量和其它物理量之间的函数关系。
要得到反映物理量之间的函数关系，将归结为所 谓微分方程的布列与求解。
数学物理方程与特殊数函数课程主要介绍一些典 型的、具有物理学背景的微分方程的布列与求解。
所以，数学物理方程与特殊数函数就成为多数理 工科专业学生的一门重要基础性课程。
y(n) a1(x) y(n1) a2 (x) y(n2) an1(x) y an (x) y 0
y(n) a1 y(n1) a2 y(n2) an1 y an y 0
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7.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
y ln x 1
ln x
2
.
2
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例 5 求方程 yy y2 0的通解.
解 设 y p( y),
则 y p dp , dy
代入原方程得 y p dp p2 0, dy
当y 0, p 0时,约去p并分离变量得
dx
g(u) du 0,
x u[ f (u) g(u)]
通解为
ln
|
x
|
u[
f
g(u) du (u) g(u)]
C
.
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例2
求微分方程
y
cos y
cos y sin 2 y
x sin y
的通解.
解 dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
解 此方程不显含 y, 作代换 y p, x2 p xp 1
其通解为
p
e
1 dx x
1 x2
e
1 dx
x dx
C1
C1 x
1 x
ln
x
.
由y1 1, 代入上式 C1 1.
dy 1 1 ln x 积分 dx x x
y ln x 1 2
ln x
2
C2
y10C2 0 得方程特解
将y*, y* , y* 代入原方程并消去e2x可得:
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0.5
n
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10ax 10b bccos3x 10cx 6a 10d sin3x xcos3x.
比较系数可得
10a 1, 10b bc 0, 10c 0, 6a 10d 0.
分离变量法；行波法；积分变换法；格林函 数法。
考试重点：定解问题求解(统考,考教分离)。
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四、常微分方程复习
1. 可分离变量的一阶微分方程。
f (x)dx g( y)dy
2. 齐次方程基本形式为：
dy f ( y ) dx x
S
V
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8、焦耳—楞次定律：
Q I 2Rt
9、克希荷夫定律：
n
(1)、节点电流定律： Ik 0 k 1
(2)、回路电压定律：
n
Ik Rk
n
k
k 1
k 1
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数理方程与特殊函数
任课教师：杨春 Email: yc517922@126.com
数学科学学院
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《数学物理方程》
作者: 李明奇、田太心 购买地点：教材科
a
1 10
解得
b c
0, 0,
d
3. 50
y*
e2x
x cos 3x 10
3 50
sin
3x
.
通解:y
Y
y*
C1e x
C2e 3 x
e2x
x cos3x 10
3 50
sin 3 x
给出了y C2 ,又再当C2 0时， 包含了y 0.
因此， y 0和y C都包含在了通解y C2eC1x中.
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线性微分方程
y(n) a1(x) y(n1) a2 (x) y(n2) an1(x) y an (x) y f (x)
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[9] F.W.拜伦，R.w.富勒，《物理中的数学方法》， 科学出版社，1982
[10] 陈恕行，洪家兴，《偏微分方程近代方法》， 复旦大学出版社，1989
[11] 王元明，管平，《线性偏微分方程引论》，东 南大学出版社，2002
解 令 z y , 2 dz 4 z x2 , dx x
解得 z x2 x C , 2
即 y x4 x C 2 . 2
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例4
求微分方程
x2 y xy 1 满足初始条件
y1 0, y1 1 的特解.