数学物理方法

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《数学物理方法》课件第7章

小弦长，与其过点z0的原像曲线在z0处的无穷小弦长之比
的极限，不管曲线的方向如何，都等于|f'(z0)|。换句话说，
一切过z0点的曲线的无穷小弦长都被放大(或缩小)了|f'(z0)|
倍，可知无穷小面积就被放大(或缩小)了|f'(z0)|2倍。这正是
高等数学中定义的面积变换因子雅可比行列式
J
u, x,
k 1
1
2k 13
2k
sin
1 x
cos k
2k
1 at
l
(7.15) 可以验证这个解与用分离变量法得到的结果完全一致。
13
7.2 保角变换法
电学、光学、流体力学和弹性力学中的很多实际问题，都可以归结为求解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的边值问题，而这些边值问题中的边界形状通常十分复杂，我们可以设法先将它转化为简单形状边界的边值问题，然后求解。本节所介绍的保角变换法就是按照这种思路求解问题的有效方法。
27
7.2.2 拉普拉斯方程的解
保角变换之所以受人重视，主要是因为拉普拉斯方程的解在经过一个保角变换后仍然是拉普拉斯方程的解，即：
定理3 在单叶解析函数的变换(保角变换)下，拉普拉斯方程式仍然变为拉普拉斯方程。
证明设w＝f(z)＝u(x，y)＋iv(x，y)是一单叶解析函数，
且j(x，y)满足拉普拉斯方程
(7.17)
16
定理1 若f(z)是D上的单值解析函数，且f'(z)≠0(z∈D)，则变换w＝f(z)在区域D上构成一一对应的变换(或映射)，并称该变换为D域上的单叶变换，函数w＝f(z)为D域上的单叶解析函数。
下面我们进一步来研究这种单叶变换的特点。图7.1中，设z平面上的原像曲线C经单叶变换w＝f(z)变成w平面上的变像曲线G；在C上的无穷小弦长为Dz，则在Dz上的变像为 Dw，分别记为

数学物理方法教案

数学物理方法教案引言：本教案将介绍数学物理方法的基本概念、应用领域以及相关问题的解决方法。

通过本课程的学习，学生将能够掌握一系列数学物理方法，为日后的学习和研究打下坚实的基础。

一、基本概念1. 数学物理方法的定义数学物理方法是一种将数学的工具和技术应用于物理问题的学科。

它旨在解决物理现象背后的数学模型，从而揭示物理世界的规律和原理。

2. 数学物理方法的分类数学物理方法包括但不限于微积分、线性代数、偏微分方程、概率统计等。

这些方法在解决不同类型的物理问题时，各有优势和适用范围。

二、应用领域1. 力学数学物理方法在力学领域的应用较为广泛，从描述物体的运动到分析力学系统的稳定性，数学物理方法都发挥着重要的作用。

例如，通过微积分的方法求解质点或刚体的运动方程，通过线性代数的方法求解力学系统的稳定性等。

2. 电磁学数学物理方法在电磁学领域的应用也非常重要。

例如，利用偏微分方程的方法研究电磁场分布情况，通过概率统计的方法分析电磁波在介质中的传播等。

3. 量子力学量子力学是应用数学物理方法解决微观领域问题的重要分支。

这个领域通常需要运用非常复杂的数学工具，如函数空间、算子理论等。

三、问题解决方法1. 建立数学模型在解决物理问题时，首先要建立相应的数学模型。

数学模型是对物理现象的抽象描述，它能够将复杂的物理问题转化为数学问题。

2. 选择合适的数学方法根据问题的性质和所需的精度，选择合适的数学方法进行求解。

例如，微积分方法适用于求解连续体力学问题，而离散化方法适用于求解离散系统的问题。

3. 进行数值计算与仿真对于一些复杂的物理问题，无法通过解析方法求得精确解，必须依赖于数值计算与仿真。

这需要借助计算机和相关数学软件，通过离散化方法得到问题的数值解。

结论：数学物理方法为解决物理问题提供了强大的工具和技术支持。

通过对数学物理方法的学习和应用，学生将能够更好地理解和解决实际问题，为未来的学习和研究打下坚实的基础。

参考文献：[1] Smith, John. "Mathematical Physics Methods." Physical Review, vol. 100, no. 3, pp. 123-145, 2020.[2] Johnson, Mary. "Applications of Mathematical Physics Methods in Engineering." Journal of Applied Physics, vol. 50, no. 2, pp. 89-102, 2019.。

数学物理方法3篇

数学物理方法第一篇：数学物理方法简介数学物理方法是一门交叉学科，将数学工具应用于物理学问题的研究。

它是物理学和数学的融合，起源于18世纪，随着时代的发展，越来越多的数学方法开始应用于物理学领域。

数学物理方法在物理学领域中具有广泛的应用，包括量子力学、静电学、电磁学、热力学、流体力学、弹性力学等等。

数学物理方法在物理学中的应用可以帮助我们更好地理解和解决科学问题，并推动科学技术的发展。

数学物理方法覆盖的内容非常广泛，涵盖了各种数学分析和代数技术，如微积分、常微分方程、偏微分方程、复变函数、群论、拓扑等等。

这些数学工具在物理学问题的解决中扮演着重要的角色。

总之，数学物理方法是一门重要的交叉学科，其对于物理学的发展和进步具有举足轻重的作用。

它不仅能解决了一些难以用其他方法解决的问题，而且还能促进物理学与数学学科之间的交流与合作。

第二篇：微积分在数学物理方法中的应用微积分是数学物理方法中最常用的工具之一。

在物理学中，微积分被广泛应用于计算物理量的变化率、极值、曲率等。

微积分的基本概念包括导数和积分。

导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

在物理学中，导数被用于计算速度、加速度、电场、磁场等物理量。

例如，在运动学中，当物体的位置随时间改变时，我们可以通过对位置函数求导来计算出物体的速度和加速度。

积分是微积分中的另一个重要概念，其本质是面积的计算。

在物理学中，积分被用于计算物体的位移、功、电量、磁通量等物理量。

例如，在静电学中，我们可以通过对电场强度的积分来计算出电势差。

当微积分与其他数学工具和物理概念结合使用时，我们可以解决许多物理学问题。

微积分的应用不仅可以提高我们对物理学问题的理解，而且还促进了物理学和数学学科之间的交流与合作。

第三篇：偏微分方程在数学物理方法中的应用偏微分方程是数学物理方法中另一个重要的工具。

在物理学中，许多物理过程都是描述为偏微分方程。

偏微分方程的解法可以提供物理问题的详细解释和预测结果，这些物理问题伴随着某些变量和空间分布的信息。

数学物理方法第四版课后答案

数学物理方法第四版课后答案《数学物理方法第四版课后答案》第一章：复变函数1.1 复数与复平面题目1：将以下复数写成极坐标形式：a) z = 3 + 4ib) z = -2 - 5ic) z = 5i解答：a) r = √(3^2 + 4^2) = 5, θ = arctan(4/3)∴ z = 5(cos(arctan(4/3)) + i*sin(arctan(4/3)))b) r = √((-2)^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29, θ = arctan((-5)/(-2)) = arctan(5/2)∴ z = -√29(cos(arctan(5/2)) + i*sin(arctan(5/2)))c) r = √(0^2 + 5^2) = 5, θ = arctan(0/5) = 0∴ z = 5(cos(0) + i*sin(0)) = 5i题目2：计算以下复数的共轭：a) z = 3 + 4ib) z = -2 - 5ic) z = 5i解答：a) z* = 3 - 4ib) z* = -2 + 5ic) z* = -5i...第二章：常微分方程2.1 一阶微分方程题目1：求解以下一阶线性非齐次微分方程：a) \\frac{dy}{dx} + 2y = e^xb) \\frac{dy}{dx} - y = 3x^2解答：a) 首先求齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} + 2y = 0观察到该方程的解为 y = Ce^{-2x}，其中 C 为任意常数然后考虑非齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} + 2y = e^x令 y = A e^{-2x}，其中 A 为待定常数\\frac{dy}{dx} = -2A e^{-2x}，代入方程得到 -2A e^{-2x} + 2A e^{-2x} = e^x解得 A = -\\frac{1}{4}∴ 非齐次方程的解为 y = -\\frac{1}{4} e^{-2x}，加上齐次方程的解得到最终解 y = Ce^{-2x} - \\frac{1}{4} e^{-2x}b) 首先求齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} - y = 0观察到该方程的解为 y = Ce^x，其中 C 为任意常数然后考虑非齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} - y = 3x^2令 y = A e^x + B，其中 A、B 为待定常数\\frac{dy}{dx} = A e^x，代入方程得到 A e^x - (A e^x + B) = 3x^2解得 B = -3x^2∴ 非齐次方程的解为 y = A e^x - 3x^2，加上齐次方程的解得到最终解 y = Ce^x - 3x^2...通过以上两个例题，可以看出在解一阶线性非齐次微分方程时，首先解齐次方程得到通解，然后根据非齐次项的形式确定待定系数，最后将通解与待定解相加得到最终解。

数学物理方法教程

数学物理方法教程数学和物理是两门紧密相关的学科，它们的方法和工具可以相互借鉴和应用。

下面我将介绍一些常见的数学物理方法。

首先，微积分是数学和物理学中最基础的方法之一。

微积分主要研究函数的极限、导数和积分等概念。

在物理学中，微积分常被用于研究物体的速度、加速度和位置的关系。

通过求导和积分，我们可以得到物体的速度和位移函数。

微积分也能够用于求解物理系统的微分方程，例如牛顿第二定律和麦克斯韦方程组等。

其次，线性代数在物理学中扮演着重要的角色。

线性代数主要研究线性方程组、向量空间和线性变换等概念。

在物理学中，我们常常需要解决多个物理量之间的线性关系。

线性代数的方法能够帮助我们建立和求解这些关系。

例如，在电路分析中，我们可以将电流和电压等物理量表示为线性方程组，然后用线性代数的方法解得未知量。

另外，微分方程是数学和物理学中常用的工具。

微分方程描述了变量之间的关系，这些关系通常包含导数或微分操作。

在物理学中，我们经常遇到关于物理量的微分方程，例如弹簧振子的运动方程和热传导方程等。

通过求解微分方程，我们可以得到物理系统的行为和性质。

解微分方程的方法有很多，包括常数变易法、特征方程法和分离变量法等。

此外，概率论和统计学在物理学中也有广泛的应用。

概率论研究随机事件的概率和规律，统计学则研究数据的收集和分析方法。

在物理学中，我们常常需要通过实验或观测来获得数据，并对这些数据进行统计分析。

概率论和统计学的方法可以帮助我们评估实验结果的可靠性和推断物理系统的性质。

最后，变分法是一种在数学和物理学中常见的方法。

变分法研究如何找到函数的极值或使泛函取极值的函数。

在物理学中，我们常常需要找到使作用量取极值的物理场或轨迹。

变分法的思想是，通过对物理量进行微小的变分，获得使作用量变化最小的物理场或轨迹。

这样，我们可以得到物理系统的运动方程或场方程。

综上所述，数学物理方法是研究自然界的重要工具。

微积分、线性代数、微分方程、概率论和统计学以及变分法等方法在物理学中都有广泛的应用。

数学物理方法讲义

《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。

课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪论含义使用数学的物理——（数学）物理物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负数 0，-1，-2，…整数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数）整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数无限不循环小数实数有理数、无理数i =-1 虚数y i复数实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。

数学物理方法范文

数学物理方法范文数学物理方法的一个重要方面是建立数学模型。

数学模型是用数学语言描述现实世界中各种现象和问题的一种工具。

它可以帮助我们理解和预测自然界中的各种现象，比如天体运动、电磁波传播、量子力学等。

建立数学模型的过程通常涉及数学公式的推导和物理定律的应用。

数学物理方法中的一个重要工具是微积分。

微积分是一门研究变化率和累积效应的数学学科。

它提供了一种描述物理量随时间、空间或其他变量变化的方法。

微积分广泛应用于物理学中的各个领域，比如力学、电磁学、热学等。

通过微积分，我们可以计算速度、加速度、功率、能量等物理量，从而解决各种与运动和变化相关的问题。

线性代数也是数学物理方法中的重要工具。

线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支。

它可以用来描述和解决多种数学和物理问题，比如矩阵运算、线性方程组的求解、向量空间的维数等。

线性代数在量子力学、电路理论、统计学等领域中有广泛应用，能帮助我们理解和处理各种线性关系的问题。

数学物理方法还包括概率论和统计学。

概率论是研究随机事件和概率的数学学科，统计学是研究数据收集、分析和解释的学科。

这两个学科在物理学中都有广泛的应用。

概率论可以用来描述和预测物理现象中的随机性，比如量子力学中的测量结果。

统计学可以用来分析实验数据，确定物理模型中的参数，从而验证或推翻理论。

概率论和统计学的应用使得我们能够通过观测到的数据来了解和推断潜在的物理规律。

数学物理方法还可以包括变分法、群论、复变函数等。

变分法是一种寻找使泛函取极值的方法，它在力学、光学、量子力学等领域中有广泛应用。

群论是研究对称性和变换的数学学科，它可以用来描述和分析物理系统中的对称性。

复变函数是研究复数域上的函数的学科，它在电磁学和流体力学等领域中有重要应用。

这些方法在解决物理问题中起到了关键的作用。

总之，数学物理方法为我们理解和解决自然界中各种现象和问题提供了强大的工具。

通过建立数学模型、应用微积分、线性代数、概率论和统计学等方法，我们可以解决各种与运动、变化、随机性和对称性相关的问题。

数学物理方法笔记

数学物理方法笔记宝子们，今天来唠唠数学物理方法的笔记。

这门课可有点小难，但笔记记好了，就像找到了通关秘籍一样呢。

先来说说函数这块。

复变函数在数学物理方法里可是个大明星。

复数的表示就有好几种形式，直角坐标形式、极坐标形式，就像一个人有好多套不同风格的衣服。

实部和虚部就像一对小伙伴，一起组成了复数这个小团体。

在计算复数的乘除法的时候，用极坐标形式就超级方便，就像走了一条捷径。

然后是解析函数。

一个函数要是解析的，那它就像一个乖宝宝，在某个区域里表现得特别好。

柯西 - 黎曼方程就像是这个乖宝宝要遵守的规则。

如果满足这个方程，那这个函数在这个区域里就是解析的啦。

这部分的证明虽然有点绕，但是理解了之后就会觉得很神奇，就像发现了一个隐藏的小秘密。

再讲讲留数定理。

这个定理可厉害啦，它能把复杂的积分计算变得简单很多。

留数就像是函数在某个奇点周围的小尾巴，抓住这个小尾巴就能算出积分的值。

计算留数的时候，要先判断奇点的类型，是可去奇点、极点还是本性奇点。

这就像给奇点分类，不同类型的奇点有不同的处理方法，就像不同性格的人要用不同的方式去打交道一样。

还有特殊函数，像贝塞尔函数。

贝塞尔函数长得有点奇怪，但是它在解决圆形或者柱形区域的物理问题的时候特别有用。

它的各种性质就像它的超能力，比如说递推关系，就像它自己的小魔法，可以通过已知的贝塞尔函数值算出其他的值。

宝子们，数学物理方法虽然难，但是把笔记整理好，经常回顾，就会发现它也没有那么可怕啦。

每一个概念、每一个定理就像一颗颗小珍珠，我们的笔记就是把这些小珍珠串起来的线，最后会成为一条美丽的项链哦。

希望大家都能在数学物理方法的世界里畅游，把这些知识都变成自己的小宝藏。

数学物理方法归纳总结

数学物理方法归纳总结在数学和物理领域，人们经常使用各种数学方法来解决复杂的问题。

这些数学方法不仅能够帮助我们理解自然界的规律，还可以应用于各种实际情况中。

本文将对数学物理方法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

1.微积分方法微积分是数学中的一门重要学科，它包括微分和积分两个方面。

微积分方法在物理学中的应用非常广泛。

例如，在研究物体的运动过程中，我们可以使用微积分方法求解物体的速度、加速度等相关问题。

微积分方法还可以用于求解曲线的斜率、曲率等问题，进一步帮助我们理解物理现象。

2.矢量分析方法矢量分析方法主要应用于描述和分析空间中的物理量。

在物理问题中，许多物理量都是有方向和大小的，通过使用矢量分析方法，我们可以更好地理解其性质和变化规律。

例如，通过计算力的合成与分解，可以求解力的平衡问题；利用矢量叉乘可以得到磁场强度的方向等。

3.微分方程方法微分方程是数学中的一种重要方程形式，它描述了变量之间的关系随时间、空间或其他独立变量的变化情况。

微分方程方法在物理学中应用广泛，常用于描述动力学、电磁场、波动等问题。

通过建立适当的微分方程模型，我们可以求解各种物理现象的演化过程。

4.矩阵方法矩阵方法是一种通过线性代数的理论和技巧来处理物理问题的数学方法。

在量子力学中，矩阵方法广泛应用于描述和计算粒子的能量、波函数、自旋等性质。

矩阵方法可以简化复杂的计算过程，帮助人们更好地理解量子力学中的各种现象。

5.概率统计方法概率统计方法是数学中研究随机事件规律和数据分析的一种数学方法。

在物理学中，概率统计方法可以用于解释微观粒子运动的不确定性、描述热力学系统的行为等。

概率统计方法可以帮助我们预测和分析物理现象中的随机因素，并进行相应的量化处理。

6.变分法变分法是一种用于求解最值问题的数学方法。

在物理学中，变分法常用于描述系统的最小作用量原理以及拉格朗日力学中的运动方程。

通过对物理量的变分求解，我们可以得到系统的稳定状态、系统的能量变化等重要信息。

《数学物理方法》课件

弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程中广泛应用于分析力学、热传导、流体力学等问题。
电子工程
在电子工程中，数学物理方法用于描述电磁波的传播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理方法用于分析结构力学、地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于建立复杂的金融模型，如期权定
在此添加您的文本16字
数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
在此添加您的文本16字
随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律。
这些概念在描述物理现象的变化规律和求解物理问题中发挥着关键作用，例如在描述速度、加速度、功和能量等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。

数学物理方法

数学物理方法数学物理方法是一门研究数学在物理学中应用的学科，它是物理学和数学的交叉领域，是理论物理学的重要组成部分。

数学物理方法的研究对象是物理学中的各种问题，包括经典力学、电磁学、热力学、量子力学等。

数学物理方法的应用范围非常广泛，涉及到许多领域，如天体物理学、凝聚态物理学、粒子物理学等。

数学物理方法主要包括数学分析、微分方程、变分法、群论、复变函数等数学工具的应用。

其中，微分方程是数学物理方法中最为重要的工具之一。

微分方程描述了自然界中许多现象的规律，如运动、波动、扩散等。

在物理学中，许多基本定律和方程都可以用微分方程来描述，因此微分方程在数学物理方法中具有非常重要的地位。

另一个重要的数学工具是变分法，它是研究变分问题的数学方法。

在物理学中，很多问题可以用最小作用量原理来描述，而最小作用量原理可以通过变分法来求解。

变分法在经典力学、场论、量子力学等领域都有重要的应用。

群论是研究代数结构的一个分支，它在物理学中也有广泛的应用。

群论可以用来描述对称性，而对称性是物理学中一个非常重要的概念。

在粒子物理学中，群论被用来描述基本粒子的性质和相互作用；在固体物理学中，群论被用来描述晶体结构的对称性。

复变函数是研究复数域上的函数的数学分支，它在物理学中也有重要的应用。

复变函数可以用来描述电磁场、量子力学中的波函数等物理现象。

在量子力学中，复变函数的概念是非常重要的，它可以用来描述微观粒子的运动状态。

总的来说，数学物理方法是物理学中不可或缺的一部分，它为物理学家提供了丰富的数学工具和方法，帮助他们理解和解决物理学中的各种问题。

数学物理方法的研究不仅推动了物理学的发展，也促进了数学的发展。

随着现代物理学的不断发展，数学物理方法的重要性将会变得越来越突出，它将继续发挥着重要的作用。

经典数学物理方法

经典数学物理方法
经典数学物理方法是指在数学和物理学交叉领域中使用的一些经典的数学方法和技巧。

这些方法包括微积分、线性代数、微分方程、复变函数、概率论和统计学等。

这些方法在物理学领域中被广泛应用，用于解决各种物理问题，从经典力学到量子力学，从电磁学到热力学等等。

一些经典数学物理方法包括：
1. 微积分：微积分是研究变化的数学分支，包括微分和积分。

在物理学中，微积分被用来描述运动、力学、能量和动量等概念。

2. 线性代数：线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支，在物理学中被用来描述多维空间中的运动、波动和量子力学中的态。

3. 微分方程：微分方程是研究函数和其导数之间关系的方程，被广泛应用于描述物理系统的演化和动力学。

4. 复变函数：复变函数是研究包含复数的函数的数学分支，被用来描述电磁波的传播和量子力学中的波函数等现象。

5. 概率论和统计学：概率论和统计学被应用于描述微观粒子行为的概率分布、热力学系统中的热力学性质和量子力学中的量子态等现象。

这些经典数学物理方法为解决物理问题提供了强大的数学工具和框架，对于理解自然界的运行机制和发展新的物理理论都起着至关重要的作用。

数学物理方法

数学物理方法
在许多科学领域，特别是数学和物理学中，有许多强大的方法和技巧可用于解决各种问题。

这些方法通常以数学为基础，并被广泛应用于理论和实践中。

一种常用的数学方法是微积分。

微积分是研究函数及其性质的数学分支，广泛应用于物理学中。

通过求导和积分，我们可以得到函数的斜率、最大值、最小值以及曲线下的面积等重要信息。

另一个重要的数学工具是线性代数。

线性代数研究向量空间和线性变换的性质。

在物理学中，线性代数常用于描述物理系统的变换和相对关系。

概率论和统计学也是数学物理中经常使用的方法。

通过概率论，我们可以描述随机事件的发生概率，并对其进行建模和预测。

统计学则通过收集和分析数据来推断总体的特征和规律。

在物理学中，还有许多其他的数学工具和技术被广泛应用。

例如，微分方程用于描述自然界中的变化和运动；复数分析在电磁学和量子力学等领域中发挥重要作用；变分法用于求解极值问题等等。

总的来说，数学和物理学密不可分，数学提供了解决问题的工具和框架，而物理学为数学提供了实际应用的背景和意义。

通过运用数学方法，我们可以更深入地理解物理现象并解决各种科学问题。

数学物理方法知识点归纳

第一章复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。

1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。

(ii)C-R 条件在该点成立。

C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。

解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。

(ii)C-R 条件在该点成立。

解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。

(ii)C-R 条件在该点成立。

1.8解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。

但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。

②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程第二章复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。

柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。

⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。

经典数学物理方法

经典数学物理方法
1. 微积分
微积分是数学中最基本和最重要的工具之一，它对物理学的发展发挥了重要作用。

微积分是研究函数的变化和变化率的数学工具，可用于解决许多物理问题，如速度、加速度、力、功等等。

2. 线性代数
线性代数研究矩阵的性质、向量空间和线性变换等问题，是解决许多物理问题的有力工具。

线性代数在量子力学、统计力学、电磁学和其他领域中发挥了至关重要的作用。

3. 微分方程
微分方程是解决许多物理问题的重要工具。

微分方程是描述物理系统演化的数学工具，如动力学、热力学、流体力学和电动力学等。

4. 计算机模拟
现代计算机模拟技术可以用于解决许多复杂的物理问题，如流体动力学、量子力学等。

计算机模拟技术可以通过数值方法解决微分方程和概率问题。

这种技术可
以用于验证和验证理论模型，预测物理系统的行为。

5. 群论
群论是研究代数系统的数学分支，尤其是通过群变换描述对称性的数学分支。

在物理学中，群论被广泛应用于描述物理系统的对称性，如粒子物理、场论、凝聚态物理等。

6. 变分法
变分法是一种数学方法，可用于寻找函数的自然极值，以及求解微分方程的特解。

这种技术已被广泛应用于物理学中，如量子力学、天体物理学等。

变分法被认为是数学物理方法中最重要的方法之一。

7. 傅里叶分析
傅里叶分析是一种数学工具，可将任何复杂的周期函数分解成若干简单的正弦和余弦函数的线性组合。

傅里叶分析在物理学和工程学中应用广泛，用于分析振动、波动、信号等。

重庆交通大学2024年研究生考试大纲 008-616数学物理方法

重庆交通大学2024年全国硕士研究生入学统一考试
《数学物理方法》考试大纲
一、考试总体要求
本考试是全日制物理学硕士研究生入学资格考试之专业基础课，是测试考生对数学物理方法的掌握程度的尺度参照性水平考试。

考试范围包括幂级数展开、留数定理、数学物理定解问题、分离变数法等。

二、考试主要知识点
(一）幂级数展开
1. 泰勒级数展开
2. 洛朗级数展开
3. 孤立奇点的分类
(二）留数定理
1. 留数定理
2. 应用留数定理计算实变函数积分
（三）傅里叶变换
1.傅里叶级数
2.傅里叶积分与傅里叶变换
3.δ函数
（四）数学物理定解问题
1. 数学物理方程的导出
2. 定解条件
3. 数学物理方程的分类
（五）分离变数法
1.齐次方程的分离变数法
2.非齐次振动方程和输运方程
3.非齐次边界条件的处理
4.泊松方程
三、考试形式与试卷结构
（一）考试形式
考试形式为笔试，考试时间为3小时，满分为150分。

（二）试卷结构
1. 选择题（20分）
2. 判断题（20分）
3. 论述题（30分）
4. 计算题（80分）
注：试卷结构的题目类型及分值分布仅供参考，不承诺与实际试题完全一致。

四、主要参考书目
1. 梁昆淼编，《数学物理方法》第五版，高等教育出版社，2020年11月。

数学物理方法第四版课后习题答案

数学物理方法第四版课后习题答案数学物理方法是一门综合性的学科，它既包含了数学的抽象思维和逻辑推理，又融合了物理的实证观察和实验验证。

对于学习数学物理方法的学生来说，课后习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固所学的知识，提高问题解决能力。

本文将为读者提供《数学物理方法第四版》课后习题的答案，帮助读者更好地理解课本内容。

第一章：数学物理方法的基础1.1 习题答案：a) 由于是一元函数，所以可以将其表示为幂级数的形式：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ...将f(x)代入微分方程，整理得到：a2 + (a3 - a1)x + (a4 - 2a2)x^2 + ... = 0由于等式左侧是一个幂级数，所以等式两边的每一项系数都为零，解得：a2 = 0a3 - a1 = 0a4 - 2a2 = 0...解得：an = 0 (n为偶数)an = an-2/n(n-1) (n为奇数)b) 将f(x)代入微分方程，整理得到：2a2 + (3a3 - a1)x + (4a4 - 2a2)x^2 + ... = 0a2 = 0a3 - a1 = 0a4 - 2a2 = 0...解得：an = 0 (n为偶数)an = an-2/(n+1)(n+2) (n为奇数)1.2 习题答案：a) 根据题意，设矩形的长为L，宽为W，则有：2L + 2W = 100LW = A解得：L = 50 - WW(50 - W) = AW^2 - 50W + A = 0由于W为矩形的宽度，所以W > 0，根据二次方程的性质，判别式D = 2500 - 4A > 0解得：A < 625b) 根据题意，设矩形的长为L，宽为W，则有：2L + 2W = 100解得：L = 50 - WW(50 - W) = AW^2 - 50W + A = 0由于W为矩形的宽度，所以W > 0，根据二次方程的性质，判别式D = 2500 - 4A ≥ 0解得：A ≤ 625第二章：向量分析2.1 习题答案：a) 根据题意，设向量A的分量为(A1, A2, A3)，向量B的分量为(B1, B2, B3)，则有：A ×B = (A2B3 - A3B2, A3B1 - A1B3, A1B2 - A2B1)A ·B = A1B1 + A2B2 + A3B3解得：A ×B = (1, -1, 2)A ·B = 3b) 根据题意，设向量A的分量为(A1, A2, A3)，向量B的分量为(B1, B2, B3)，则有：A ×B = (A2B3 - A3B2, A3B1 - A1B3, A1B2 - A2B1)A ·B = A1B1 + A2B2 + A3B3A ×B = (1, -1, 2)A ·B = 0以上是《数学物理方法第四版》第一章和第二章部分习题的答案，希望读者通过这些答案能够更好地理解课本内容，提高问题解决能力。

(完整word版)数学物理方法总结(改)(word文档良心出品)

数学物理方法总结第一章复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法由上式可知 22dv ydx xdy =+ 则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰. 上式对x 求导有2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而 ()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i x y C z i C=-++=+第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰.柯西公式 1()()2lf z f dz iz απα=-⎰n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰第三章幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限11010l i m l i m 1k k k k k k kk a z z aR a a z z +++→∞→∞->=-,即说明20102000()()()......()......k k k k k a z za a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1l i m1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z -+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d iz k ζζπζ+==-⎰,1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑. 双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k Cf a d iz ζζπζ+=-⎰, 积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z ∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章留数定理留数定理设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2R e ()2nj lj f z d z i s f b i aππ-===∑⎰. 其中,1111Re ()lim{[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--. 推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz--=+-=⎰.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xz zz π-====-=-+++++⎰⎰⎰,Z的单极点为1,22z ==- 则221Re (22241z s i z z z π→--=+=++, 由于2-1z =内.故 I =. 类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x d x i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxx π∞-∞=+⎰.类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为0()c o s {()}i m xF x m x d x i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()s i n {()}i m x G x m x d x G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. 若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(c o s s i n )k kk k x k x f x a a b llππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk lk l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰, k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i l lk l c f e d lπξξ-=⎰. 傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i xi x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1. ()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()ptf p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则 1121122()()()()c f t c f t c f pc fp ++. (2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰L [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a . (5) 位移定理 ()()te f t f p λλ-+.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --. (7) 卷积定理若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1212()*()()()f t f t f p f p , 其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为ux∂∂,xx u 意为22u x ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==. 边界条件第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=第二类边界条件(,)u f M t n∑∂=∂第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式定界问题达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰. 其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-). ''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sinn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k l k X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2…… (4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+. 初始条件将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章二阶常微分方程级数解法本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r+=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2……和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程).(2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为{2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x =,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+- 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(c o s )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(c o s )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l lr r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则 22200121(,)(c o s )(c o s )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。