2016年专升本高数试卷

2016年河南专升本高数真题+答案解析

2016年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共60分)1．函数()f x 的定义域是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．(,1]-∞D ．(,1)-∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则需10x ->，即1x <2．函数3()2f x x x =-是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断【答案】A【解析】33()2()2()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以是奇函数．3．已知1()1f x x=-，则[]()f f x =（） A ．1x - B ．11x - C ．1x - D ．11x- 【答案】D【解析】[]111()11111f f x f x x x ⎛⎫=-=-=⎪-⎝⎭-．4．下列极限不存在的是（）A ．20lim1x xx →+ B ．2lim1x xx →∞+C ．lim 2x x →-∞D ．lim 2x x →+∞【答案】D 【解析】20lim 01x x x →=+，2lim 01x x x →∞=+，lim 20x x →-∞=，lim 2xx →+∞=+∞．5．极限2212lim x x x x →∞--的值是（）A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【解析】2212lim1x x x x →∞--=-，故选C ．6．已知极限0lim 2sin x xax→=，则a 的值是（）A ．1B ．1-C ．2D ．12【答案】D 【解析】0001lim lim lim 2sin x x x x x ax ax a →→→===，故12a =．7．已知当0x →时，222cos ~x ax -，则a 的值是（）A ．1B ．2C ．12D ．1-【答案】A【解析】()222200001221cos 22cos 12lim lim lim lim 1x x x x xx x ax ax ax a →→→→⋅--====，故1a =．8．已知函数21,1()12,1x ax x f x x x ⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩则在点1x =处，下列结论正确的是（）A ．2a =时，()f x 必连续B ．2a =时，()f x 不连续C ．1a =-时，()f x 连续D ．1a =时，()f x 必连续【答案】B【解析】要使函数()f x 在1x =处连续，则有1lim ()(1)x f x f →=，即211lim21x x ax x →-+=-，而当2a =时，2211121(1)limlim lim(1)0211x x x x x x x x x →→→-+-==-=≠--，故当2a =时，()f x 不连续．9．已知函数()x ϕ在点0x =处可导，函数()(1)(1)f x x x ϕ=--，则(1)f '=（）A ．(0)ϕ'B ．(1)ϕ'C ．(0)ϕD ．(1)ϕ【答案】C【解析】由()x ϕ在点0x =处可导，可知()x ϕ在点0x =处连续，111()(1)(1)(1)0(1)limlim lim (1)(0)11x x x f x f x x f x x x ϕϕϕ→→→----'===-=--．10．函数()11f x x =--在点1x =处（）A ．不连续B ．连续且可导C ．既不连续也不可导D ．连续但不可导【答案】D【解析】2,1()11,1x x f x x x x ->⎧=--=⎨≤⎩，显然()f x 在1x =处连续，而11()(1)21(1)lim lim 111x x f x f x f x x +++→→---'===---，11()(1)1(1)lim lim 111x x f x f x f x x -+-→→--'===--，由于(1)(1)f f -+''≠，故在1x =处不可导．11．若曲线3()1f x x =-与曲线()ln g x x =在自变量0x x =时的切线相互垂直，则0x 应为（）AB．C ．13D ．13-【答案】C【解析】200()3f x x '=-，001()g x x '=，由于切线相互垂直，则2003x x -=-，即013x =．12．已知4()1f x x =-在闭区间[]1,1-上满足罗尔中值定理，则在开区间(1,1)-内使()0f ξ'=成立的ξ=（）A ．0B ．1C ．1-D ．2【答案】A【解析】3()4f x x '=-，3()40f ξξ'=-=，则0ξ=．13．设函数()f x 在区间(1,1)-内连续，若(1,0)x ∈-时，()0f x '<，(0,1)x ∈时，()0f x '>，则在区间(1,1)-内（） A ．(0)f 是函数()f x 的极小值 B ．(0)f 是函数()f x 的极大值C ．(0)f 不是函数()f x 的极值D ．(0)f 不一定是函数()f x 的极值【答案】A【解析】由极值第一判定定理，可知(0)f 应为函数()f x 的极小值．14．设函数()y f x =在区间(0,2)内具有二阶导数，若(0,1)x ∈时，()0f x ''<，(1,2)x ∈时，()0f x ''>，则（）A ．(1)f 是函数()f x 的极大值B ．点()1,(1)f 是曲线()y f x =的拐点C ．(1)f 是函数()f x 的极小值D ．点()1,(1)f 不是曲线()y f x =的拐点【答案】B【解析】函数()f x 在(0,1)上为凸，在(1,2)上为凹，故()1,(1)f 是曲线()y f x =的拐点．15．已知曲线4()f x x =，则（） A ．在(,0)-∞内4y x =单调递减且形状为凸 B ．在(,0)-∞内4y x =单调递增且形状为凹 C ．在(0,)+∞内4y x =单调递减且形状为凸D ．在(0,)+∞内4y x =单调递增且形状为凹【答案】D【解析】34y x '=，当0x >时，0y '>；当0x <时，0y '<；212y x ''=，在(,)-∞+∞上有0y ''≥．16．已知()F x 是()f x 的一个原函数，则不定积分(1)f x dx -=⎰（）A ．(1)F x C -+B ．()F xC +C ．(1)F x C --+D ．()F x C -+【答案】A【解析】由题可知()()f x dx F x C =+⎰，(1)(1)(1)(1)f x dx f x d x F x C -=--=-+⎰⎰．17．设函数20()()xt f x e t dt -=+⎰，则()f x '=（）A ．313x e x --+B ．2x e x --+C ．2x e x -+D ．2x e x -+【答案】C【解析】()()220()x tx f x et dt e x --''=+=+⎰．18．定积分2ax axe dx --=⎰（）A ．22a ae -B ．2a ae -C ．0D ．2a【答案】C【解析】令2()x f x xe -=，2()()x f x xe f x --=-=-，可知()f x 为奇函数，故20ax axe dx --=⎰．19．由曲线x y e -=与直线0x =，1x =，0y =所围成的平面图形的面积是（）A ．1e -B ．1C ．11e --D ．11e -+【答案】C【解析】由题可知所求面积1101x A e dx e --==-⎰．20．设定积分2211I x dx =⎰，221I xdx =⎰，则（）A ．12I I =B ．12I I >C ．12I I <D ．不能确定【答案】B【解析】当(1,2)x ∈时，2x x >，由定积分保序性可知22211x dx xdx >⎰⎰，即12I I >．21．向量=+a j k 的方向角是（）A ．4π，4π，2π B ．4π，2π，2πC ．4π，2π，4πD ．2π，4π，4π 【答案】D【解析】向量a 的坐标表示应为(0,1,1)，故方向余弦为cos 0α=，cosβ=，cos γ则应为α，β，γ应为2π，4π，4π．22．已知x e -是微分方程320y ay y '''++=的一个解，则常数a =（）A ．1B ．1-C ．3D ．13-【答案】A【解析】令x y e -=，x y e -'=-，x y e -''=，代入有320x x x e ae e ----+=，由0x e -≠，则有1320a -+=，1a =．23．下列微分方程中可进行分离变量的是（）A ．()x y y x y e +'=+B ．x y y xye +'=C ．xy y xye '=D ．()xy y x y e '=+【答案】B【解析】对于B 项，x y y xye e '=⋅，分离变量得x y dyxe dx ye=．24．设二元函数323z x xy y =++，则2zx y∂=∂∂（） A ．23y B ．23x C ．2y D ．2x【答案】C【解析】223z x y x∂=+∂，22z y x y ∂=∂∂．25．用钢板做成一个表面积为254m 的有盖长方体水箱，欲使水箱的容积最大，则水箱的最大容积为（）A ．318mB ．327mC ．36mD ．39m【答案】B【解析】设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则有22254xy yz xz ++=，即27xy yz xz ++=，体积V xyz =，令()(,,)27F x y z xyz xy yz xz λ=+++-，令()()()000270xyz F yz y z F xz x z F xy x y F xy yz xz λλλλ⎧=++=⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++-=⎩，解得333x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，由于驻点(3,3,3)唯一，实际中确有最大值，故当3x =，3y =，3z =时长方体体积最大，最大值27V =．26．设{}22(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥，则二重积分4Ddxdy =⎰⎰（）A ．16πB ．8πC ．4πD ．3π【答案】D【解析】由二重积分的性质可知444D DDdxdy dxdy S ==⎰⎰⎰⎰，D S 为D 的面积，()2132144D S πππ=⋅-⋅=，故34434Ddxdy ππ=⋅=⎰⎰．27．已知100(,)(,)xD f x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，则变换积分次序后(,)Df x y d σ=⎰⎰（）A ．110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B ．10(,)ydy f x y dx ⎰⎰C ．1(,)xdy f x y dx ⎰⎰D ．10(,)xdy f x y dx ⎰⎰【答案】A【解析】积分区域为D ：01x ≤≤，0y x ≤≤，也可表示为：01y ≤≤，1y x ≤≤，故交换积分次序后11(,)(,)yDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰．28．设L 为连接点(0,0)与点的直线段，则曲线积分2L y ds =⎰（）A ．1B ．2C ．3 D【答案】B【解析】L可表示为y =，01x ≤≤，则)21122322Ly ds xdx ==⋅=⎰⎰⎰．29．下列级数发散的是（）A ．11n n∞=∑B ．21(1)n n ∞=-∑C ．211n n∞=∑D ．221(1)n n∞=-∑【答案】A【解析】选项A 为调和级数，可知其发散．30．已知级数1n n u ∞=∑，则下列结论正确的是（）A ．若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛 B ．若部分和数列{}n S 有界，则1n n u ∞=∑收敛C ．若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞= D ．若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】C【解析】lim 0n n u →∞=是1n n u ∞=∑收敛的必要条件，故应选C ，选项B 中，需要求1n n u ∞=∑为正项级数；选项D 应改为若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛．二、填空题(每小题2分，共20分)31．函数3()f x x =的反函数是y =________．【解析】令3()y f x x ==，x =，故()f x 的反函数y ．32．极限1lim 21n n n →∞-=+________．【答案】12【解析】11lim 212n n n →∞-=+．33．已知函数2,0()1,0x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则点0x =是()f x 的________的间断点．【答案】可去【解析】00lim ()lim(2)2x x f x x →→=-=，(0)1f =，故0x =是()f x 的可去间断点．34．函数1()x f x e -=在点0.99x =处的近似值为________．【答案】1.01【解析】取01x =，0.01x ∆=-，有000()(0.99)()()11(0.01) 1.01f x x f f x f x x '+∆=≈+∆=-⋅-=．35．不定积分sin(1)x dx +=⎰________．【答案】cos(1)x C -++【解析】sin(1)sin(1)(1)cos(1)x dx x d x x C +==++=-++⎰⎰．36．定积分1011dx x =+⎰________．【答案】ln2 【解析】原式1110011(1)ln 1ln 211dx d x x x x =+=+=++⎰⎰．37．函数23z xy x y =--在点(0,1)处的全微分(0,1)dz =________．【答案】2dx dy - 【解析】2zy x x∂=-∂，2z x y y ∂=-∂，故(0,1)(0,1)(0,1)2zz dz dx dy dx dy xy∂∂=+=-∂∂．38．与向量(2,1,2)同向平行的单位向量是________．【答案】212,,333⎛⎫⎪⎝⎭3，故与(2,1,2)同向平行的单位向量为212,,333⎛⎫⎪⎝⎭．39．微分方程20y xy '+=的通解是________．【答案】22y x C=+或0y = 【解析】方程分离变量的2dy xdx y =-，两边积分得2112x C y =+，整理得22y x C=+，其中C 为任意常数，当0y =时，可知也为方程的解．40．幂级数13nn n x ∞=∑的收敛半径为________．【答案】3【解析】11131lim lim 313n n n n n na a ρ++→∞→∞==⋅=，故13R ρ==．三、计算题(每小题5分，共50分) 41．计算极限20lim(1)xx x →-．【答案】2e -【解析】21(2)200lim(1)lim(1)xxx x x x e ⋅---→→-=-=．42．求函数y =的导数．【解析】令2cos u x =-，y ''=．43．计算不定积分2ln 1x dx x -⎰．【答案】()22ln 14x C -+【解析】()()()()22ln 12ln 112ln 1ln 2ln 12ln 124x x dx x d x x d x C x --=-=--=+⎰⎰⎰．44．计算定积分2sin x xdx π⎰．【答案】1【解析】22220sin cos cos cos 1x xdx xd x x x xdx ππππ=-=-+=⎰⎰⎰．45．设直线230:3571x y z l x y z ++=⎧⎨++=⎩，求过点(0,1,2)A 且平行于直线l 的直线方程．【答案】12121x y z --==- 【解析】设已知直线l 的方向向量为s ，则123(1,2,1)357==--i j ks ．由于所求直线与l 平行，故其方向向量可取(1,2,1)-，又直线过点(0,1,2)A ，故所求直线方程为12121x y z --==-．46．已知函数(,)z f x y =由方程0xz yz x y --+=所确定，求全微分dz ．【答案】11z z dx dy x y x y--+-- 【解析】令(,,)F x y z xz yz x y =--+，则1x F z =-，1y F z =-+，z F x y =-，故1x z F z zx F x y∂-=-=∂-，1y z F z z y F x y∂-=-=∂-，因此11z z dz dx dy x y x y --=+--．47．已知{}22(,)04D x y x y =≤+≤，计算二重积分D．【答案】163π【解析】20163Dd rdr ππθ==⎰⎰．48．求全微分方程0xy y x '+-=的通解．【答案】2x C y x=+ 【解析】方程化简为11y y x'+=，为一阶线性微分方程，由通解公式得 ()11112dx dxx x x C y e e dx C xdx C xx-⎛⎫⎰⎰=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰．49．求幂级数1(1)(1)1nnn x n ∞=--+∑的收敛区间．【答案】(0,2)【解析】令1t x =-，则级数1(1)1n nn t n ∞=-+∑为不缺项的幂级数，11lim lim 12n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+，故收敛半径1R =，则11t -<<，即111x -<-<，02x <<，故收敛区间为(0,2)．50．求级数11n n x n+∞=∑的和函数．【答案】()ln(1)S x x x =--【解析】1lim 11n n n ρ→∞=⋅=+，收敛半径1R =，令1111()()n nn n x x S x x xS x n n+∞∞=====∑∑，111101()1n n n n n n x S x x x n x ∞∞∞-==='⎛⎫'====⎪-⎝⎭∑∑∑，(1,1)x ∈-，所以()11()()()x S x xS x x S t dt '==⎰01ln(1)1x x dt x x t ⎛⎫==-- ⎪-⎝⎭⎰．四、应用题(每小题7分，共14分)51．求由直线1x =，x e =，0y =及曲线1y x=所围成平面图形的面积．【答案】1 【解析】111e S dx x==⎰．52．某工厂生产计算器，若日产量为x 台的成本函数为2()7500500.02C x x x =+-，收入函数为2()800.03R x x x =-，且产销平衡，试确定日生产多少台计算器时，工厂的利润最大？【答案】1500【解析】利润=收入-成本，故利润2()()()300.017500L x R x C x x x =-=--，令()0L x '=，1500x =，且(1500)0.020L ''=-<，故1500x =为()L x 的极大值，又由实际问题知，极值唯一，故1500x =为()L x 的最大值，即日生产1500台计算器时，工厂的利润最大．五、证明题(6分)53．已知方程35430x x x +-=有一负根2x =-，证明方程244950x x +-=必有一个大于2-的负根．【证明】令35()43f x x x x =+-，由题可知(2)0f -=，又有(0)0f =，()f x 在[]2,0-上连续，在()2,0-上可导，故由罗尔定理可知至少存在一点()2,0ξ∈-，使得24()4950f ξξξ'=+-=，即方程244950x x +-=必有一个大于2-的负根．。

2016年江苏“专转本”高等数学试题及参考答案

江苏省2016年普通高校专转本选拔考试高等数学试题卷注意事项：1.本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟。

2.必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置。

3.考试结束时，须将试题卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）1.函数()f x 在0x x =处有定义是极限0lim ()x x f x →存在的（）A.充分条件B.必要条件C.充分析要条件D.无关条件2.设()sin f x x =，当0x +→时，下列函数中是()f x 的高阶无穷小的是（）A.tan x B.11x -- C.21sin x x D.1x e -3.设函数()f x 的导函数为sin x ，则()f x 的一个原函数是（）A.sin x B.sin x - C.cos x D.cos x-4.二阶常系数非齐次线性微分方程"'22x y y y xe ---=的特解*y 的正确假设形式为（）A.x Axe - B.2x Ax e- C.()x Ax B x -+ D.()x x Ax B e -+5.函数2()z x y =-，则1,0|x y dz ===（）A.22dx dy+ B.22dx dy - C.22dx dy -+ D.22dx dy --6.幂级数212n nn x n∞=∑的收敛域为（）A.11[,]22- B.11[,)22- C.11(,]22- D.11(,)22-二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7.极限x x x 10)21(lim -→▲.8.已知向量(1,0,2),(4,3,2)a b ==-- ，则(2)(2)a b a b -⋅+=▲.9.函数()x f x xe =的n 阶导数()()n f x =▲.10.函数211()sin 2x f x x x+=，则()f x 的图像的水平渐近线方程为▲.11.函数2()ln x x F x d ιι=⎰，则'()F x =▲.12.无穷级数11(1)2n n n ∞=+-∑▲.（请填写收敛或发散）三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13.求极限201cos lim sin x x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭.14.设函数()y y x =由方程xy ex y =+所确定，求dy dx .15.计算定积分51⎰.16.求不定积分2ln (1)x dx x +⎰.17.求微分方程2'2sin x y xy x +=满足条件()0y π=的解.18.求曲直线1111:131x y z l ---==和直线21:1213x l y z ιιι=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩所确定的平面方程.19.设22(,)z f x y y x =--，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.20.计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2y x =+，x轴及曲线y =所围绕成的平面闭区域.四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.证明：函数()f x x =在0x =处连续但不可导.22.证明：当12x ≥-时，不等式32213x x +≥成立.3五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23.平面区域D 由曲线y y x 222=+，x y =及y 轴所围成。

2016年陕西省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2016年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．点x=0是函数f(x)=的A．连续点B．可去间断点C．跳跃间断点D．无穷间断点正确答案：B2．设在闭区间[a，b]上，f(x)＞0，f’(x)＞0，f’’(x)＜0，令S1=∫abf(x)dx，S2=f(a)(b一a)，S3=[f(a)+f(b)]，则必有A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1正确答案：D3．曲面z=2x2+y2一3在点(1，1，0)处的切平面方程为A．4z+4y—z一8=0B．4x+4y+z一8=0C．4x+4y—z+8=0D．4x+4y+z+8=0正确答案：A4．微分方程的通解为A．xy=CB．C．x—y=CD．x2+y2=C正确答案：B5．设幂级数an(x一1)n在n=2处发散，则该幂级数在x=一1处A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．敛散性不确定正确答案：C填空题6．极限=______．正确答案：27．已知当x→0时，∫0sinx与xα是同阶无穷小，则常数α=______．正确答案：38．定积分∫-33(xcosx+)dx=______．正确答案：9π9．二元函数z=xy(x＞0，x≠1)的全微分dz=______．正确答案：10．设曲线L为圆周x2+y2=1，则对弧长的曲线积分=______．正确答案：2π解答题解答时应写出推理、演算步骤。

11．已知函数，在x=0处可导，试确定常数a和b.正确答案：因为f(x)在x=0处可导所以f(x)在x=0处连续，从而有由f(x)在x=0处可导，且f-’(0)=f+’(0)=得a=1．12．设函数y=y(x)由参数方程所确定，求正确答案：13．求函数f(x)=x3一3x+1的极值点及其图形的拐点．正确答案：由f’(x)=3x2一3=0 得驻点x1=一1，x2=1，f’’(x)=6x，因为f’’(-1)=一6＜0，f’’(1)=6＞0，所以x1=—1为极大值点，x2=1为极小值点，又因为f’’(0)=0，且当x＜0时，f’‘(x)＜0；当x＞0时，f’’(x)＞0，又f(0)=1，所以函数图形的拐点为(0，1)．14．求不定积分∫arctanxdx．正确答案：15．设函数z=f(x+y，exy)，其中f具有二阶连续偏导数，求正确答案：=f1’+yexyf2’=f11’’+yexyf12’’+y2exyf2’+yexyf21’’+y2e2xyf22’’=f11’’+2y exyf12’’+y2e2xyf22’’+y2exyf2’’．16．求函数u=xy2z2在点P(1，1，1)处的梯度和沿该梯度方向的方向导数．正确答案：易见函数u在整个R3中可微，因为gradu=(y2z2，2xyz2，2xy2z)，所以gradu｜(1，1，1)=(1，2，2)，函数在点(1，1，1)沿梯度方向的方向导数为该点处梯度的模：gradu｜(1，1，1)｜=17．将二次积分∫01dx xy2dy化为极坐标形式的二次积分，并计算积．正确答案：18．计算曲线积分I=∫L(x2+y)dx+(x+)dy，其中L为从点O(0，0)经过点A(1，0)到点B(1，1)的一段折线．正确答案：19．将函数f(x)=展开成麦克劳林级数．正确答案：20．求微分方程y’’一4y’+4y=(x+1)ex的通解．正确答案：对应齐次方程的特征方程为r2—4r+4=0，特征根为r1=2，r2=2，对应齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e2x，设原方程特解形式为y*=(ax+b)ex，代入原方程得a=1，b=3，得原方程的一个特解为y*=(x+3)ex，故原方程的通解为y=(C1+C2x)e2x+(x+3)ex．证明题21．设a＞b＞0，n＞1，证明：nbn-1(a一b)＜an一bn＜nan-1(a一b)．正确答案：设f(x)=xn，显然f(x)在闭区间[b，a]上连续，在开区间(b，a)内可导，由拉格朗日中值定理得，在(b，a)内至少存在一点ξ，使得f(a)一f(b)=f’(ξ)(a一b)，即an一bn=nξn-1(a一b)，因为bn-1＜ξn-1＜an-1，所以nbn-1(a-b)＜an一bn＜nan(a-b)．22．求由曲线y=x2和所围成平面图形的面积S，并求此图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积V．正确答案：V=∫01[π-π(x2)2]dx。

2016年专升本高数真题答案解析

浙江省2016年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。

题号12345答案ACAAC1.A 解析:取整函数[]x 的图像可知，[]x x x ≤<-1，所以[]01≤-<-x x ，所以函数[]x x -是有界函数，所以选项A 正确。

2.C 解析:选项A ：错，反例：3)(x x f =在0=x 处可导，且0)0(='f ，但却是非极值选项B 错，反例：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠-='0,00,1cos 1sin 2)(x x xx x x f ，明显)(x f '在0=x 处不连续选项C 对，因为针对于一元函数，可导必定可微，可微也必定可导选项D 错，反例：2)(x x f =，0)0(='f ，但却是非拐点3.A 解析:111011)]([)1()())(()]([)(x f f dx x f x f x x f d x dx x f x -'='-'='=''⎰⎰⎰2)01(3))0()1((3=--=--=f f ，可见选项A 正确。

4.A 解析:x ax b a b a x x n n n n n n n 1lim )(111=+⋅+=+++∞→ρ，令11)(<=x a x ρ，解得：()a a x ,-∈，因此收敛区间为：()a a ,-，收敛半径为：a R =。

故选A5.C 解析:特征方程为：012=++r r ，043)21(2=++r ，即：i r 2321±-=，因为i i +=+0ωλ不是012=++r r 的根，所以：0=k 。

所以sin '''++=y y y x x 的特解形式可设为：x d cx x b ax y cos )(sin )(*+++=，可见选项C 正确。

专升本考试2016高数综合复习题

综合复习试卷（一）一、单项选择题（每小题4分，共20分）1、当0x →时，下列中能为2x 的等价无穷小的是（）A 、cos 1x -B 、1cos 2x - C1 D 、(1)sin x e x - 2、下列级数中发散的是（）A 、11(2+1)n n n ∞=∑ B 、11(1)2n n n ∞=-∑ C 、111(1)nn n ∞=+∑ D 、211ln(1+)n n ∞=∑ 3、设()f x 的一个原函数是2x e ，则'()f x =（） A 、22x xe B 、222x x e C 、222(12)x x e + D 、222(1)x x e +4、曲线42246y x x x =-+的凸区间为（） A 、[]2,2- B 、(),0-∞ C 、()0+∞，D 、(),-∞+∞ 5、直线13z x y -==与平面210x y z +-+=的位置关系是（） A 、垂直 B 、平行 C 、直线在平面内 D 、斜交二、填空题（每题4分，满分20分）6、设函数2 (1)0() 0x x x f x k x -⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则 k =7、201 45dx x x +∞=++⎰ 8、函数ln y x =在区间[]1,e 上满足拉格朗日中值定理的 ξ=9、设22sin()1y z x e xy =++，则2 z x y ∂=∂∂ 10、设()0.2P AB =,()0.6P B =,则() P A B =三、计算题（每小题8分，满分80分）11、求极限2001lim sin x x x x →-⎰ 12、已知方程2224x x y e z z ++=确定了函数(,)z z x y =，求dz13、求二重积分cos y dxdy y⎰⎰，其中D 是由2,y x y x ==所围成的区域。

14、求微分方程2121dy x y dx=+满足初始条件01x y ==-的特解。

江苏省2016年专转本高等数学真题

江苏省2015年普通高校“专转本”选拔考试一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、当0x→时，函数sin ()1x f x e =-是函数 ()g x x =的 ( )A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 同阶无穷小D. 等价无穷小 2、函数(1) (1)x y x x =-<的微分dy 为 ( )A. (1) [ln(1)]1x x x x dx x --+- B. (1) [ln(1)]1x x x x dx x---- C.1(1)x x x dx -- D. 1(1)x x x dx ---3、0x =是函数111, 0()11, 0x xe xf x e x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩的 ( ) A. 无穷间断点 B. 跳跃间断点 C.可去间断点 D. 连续点 4、设()F x 是函数()f x 的一个原函数，则(32)f x dx -=⎰ ( )A. 1(32)2F x C --+B. 1(32)2F x C -+ C.2(32)F x C --+ D. 2(32)F x C -+5、下列级数条件收敛的是 ( )A.21(1)n n nn ∞=--∑ B.11(1)21nn n n ∞=+--∑C.1!(1)nn n n n ∞=-∑ D.211(1)nn n n∞=+-∑ 6、二次积分11ln (,)eydy f x y dx =⎰⎰ ( )A.11ln (,)exdx f x y dy ⎰⎰ B.1(,)x edx f x y dy ⎰⎰　1 0C. 0(,)xe dxf x y dy ⎰⎰　1 0D.1(,)xe dxf x y dy ⎰⎰　1 0二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7设()lim(1)n n xf x n→∞=-，则(ln 2)f =_________．8、曲线33211x t t y t ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩在点（0，2）处的切线方程为____________．9、设向量b 与向量(1,2,1)a =--平行，且12a b ⋅=，则b =________．10、设1()21f x x =+，则()()n f x =_________．11、微分方程2xy y x '-=满足初始条件12x y==的特解为___ __．12、幂级数11)nn n x ∞=-的收敛域为____________．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、求极限020arcsin lim222xxx t tdte x x →---⎰．14、设2sin , 0()0, 0x xx f x x x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求()f x '． 15、求通过直线112215x y z +-+==与平面32100x y z ++-=的交点，且与直线230240x y z x y z -++=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程． 16、求不定积分3⎰．17、计算定积分222()sin xx xdx ππ-+⎰　．18、设(,()),xz f x yϕ=，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有连续导数，求yx z∂∂∂2．19、计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D为由曲线y =与直线y x =及直线2y =所围成的平面闭区域． 20、已知2312x x x y C e C e xe =++是二阶常系数非齐次线性微分方程()y py qy f x '''++=的通解，试求该微分方程．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 21、设D 是由曲线2y x =与直线(0)y ax a =>所围成的平面图形，已知D 分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，试求：（1）常数a 的值；（2）平面图形D 的面积.22、设函数2()(1)ax b f x x +=+在点1x =处取得极值14-，试求：（1）常数,a b 的值；（2）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点；（3）曲线)(x f y =的渐近线．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23、证明：当10<<x 时，(2)ln(1)2x x x -->．24、设(,)zz x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的函数，其中f为可导函数，证明：z zxz y x y∂∂+=∂∂． 2016年试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、函数()f x 在0x x =处有意义是极限0lim ()x x f x →存在的( D )A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件 2、函数()sin f x x =，当0x +→时，下列函数中是()f x 的高阶无穷小的是 ( C )A.tan x B.1 C. 21sinx xD. 1-3、设函数()f x 的导函数为sin x ，则()f x 的一个原函数是( B )A.sin x B. sin x - C. cos x D. cos x -4、二阶常系数非齐次线性微分方程22x y y y xe -'''--= 的特解的正确形式为( D )A.x Axe - B. 2x Ax e - C. ()x Ax B e -+ D. ()x x Ax B e -+5、函数2()z x y =-，则1,0d x y z=== ( B )A.22dx dy + B. 22dx dy - C. 22dx dy -+ D. 22dx dy --6、幂级数212n nn x n∞=∑的收敛域为 ( A )A.11[,]22- B. 11[,)22- C. 11(,]22- D. 11(,)22- 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7．极限1lim(12)xx x →-=____2e -_____．8、已知向量(1,0,2)a =，(4,3,2)b =--，则(2)(2)a b a b -⋅+=___－48_________． 9、函数()x f x xe =的n 阶导数()()n f x =____()x n x e +_____．10、函数211()sin 2x f x x x+=的水平渐近线方程为___ 12y =___．11、函数2()ln ,xxF x tdt =⎰则()F x '=___ ln 4x __．12、无穷级数_____发散_______（填写收敛或发散）．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13、求极限201cos lim().sin x xx x x→-．14、设函数()y y x =由方程xy e x y =+确定，求dydx． 15、计算定积分51⎰．16、求不定积分2ln (1)xdx x +⎰　　．17、求微分方程22sin xy xy x '+=满足条件()0y π=的解．18、求由直线L1：111131x y z ---==和直线L2：11213x ty t z t=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩所确定的平面方程． 19、设22(,)zf x y y x =--，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．20、计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰，其中D 为由直线2y x =+,x轴及曲线y =所围成的平面区域．四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21、证明函数||y x =在0x =处连续但不可导．22、证明12x ≥-时，不等式32213x x +≥成立．五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 23、平面区域D 由曲线222xy y +=,y y 轴所围成（1）求平面区域D 的面积；（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积． 24、设函数()f x 满足2211()2()f x f x dx x =+⎰，（1）求()f x 的表达式；（2）确定反常积分1()f x dx +∞⎰的敛散性．。

2016年专升本(高等数学一)真题试卷(题后含答案及解析)

2016年专升本（高等数学一）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．B．1C．D．3正确答案：C2．设函数y=2x+sin x，则y‘= ( )A．1一cos xB．1+cos xC．2一cos xD．2+cos x正确答案：D3．设函数y=ex-2，则dy= ( )A．ex-3dxB．ex-2dxC．ex-1dxD．exdx正确答案：B4．设函数y=(2+x)3，则y’= ( )A．(2+x)2B．3(2+x)2C．(2+x)4D．3(2+x)4正确答案：B5．设函数y=3x+1，则y”= ( ) A．0B．1C．2D．3正确答案：A6．A．exB．ex一1C．ex-1D．ex+1正确答案：A7．∫xdx= ( )A．2x2+CB．x2+CC．D．x+C正确答案：C8．A．B．1C．2D．3正确答案：C9．设函数z=3x2y,则( ) A．6yB．6xyC．3xD．3x2正确答案：D10．幂级数的收敛半径为( ) A．0B．1C．2D．+∞正确答案：B填空题11．正确答案：e212．设函数y=x3，则y’=________．正确答案：3x213．设函数y=(x一3)4，则dy=_______．正确答案：4(x一3)3dx14．设函数y=sin(x一2)，则y”=______．正确答案：一sin(x一2)15．正确答案：16．∫-11x7dx=______．正确答案：017．过坐标原点且与直线垂直的平面方程为_________．正确答案：3x+2y一2z=018．设函数z=3x+y2，则dz=______．正确答案：3dx+2ydy19．微分方程y’=3x2的通解为y=_______．正确答案：x3+C20．设区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，则=______．正确答案：2解答题21．设函数在x=0处连续，求a．正确答案：由于f(x)在x=0处连续，因此可得a=1．22．正确答案：23．求曲线y=x3一3x+5的拐点．正确答案：y’=3x2一3，y”=6x．令y”=0，解得x=0．当x＜0时，y”＜0；当x＞0时，y”＞0，当x=0时，y=5．因此，点(0，5)为所给曲线的拐点．24．求∫(x-ex)dx．正确答案：25．设函数z=x2sin y+yex，求正确答案：26．设D为曲线y=x2与直线y=x所围成的有界平面图形，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V正确答案：可解得两曲线的交点为(0，0)，(1，1)．27．求其中D是由曲线y=x2与直线y=1所围成的有界平面区域．正确答案：由于积分区域D关于y轴对称，因此记D1为区域D在第一象限的部分，则28．求微分方程y”一y’-2y=ex的通解．正确答案：对应齐次微分方程的特征方程为r2一r一2=0．特征根为r1=一1，r2=2．齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e2x．设原方程的特解为y*=Aex，代入原方程可得故原方程的通解为y=Y+y*=C1e-x+C2e2x一(C1，C2为任意常数)．。

2016年河北省专接本高等数学(一)真题试卷(题后含答案及解析)

2016年河北省专接本高等数学（一）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．己知矩阵，则矩阵的秩为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：考查矩阵的秩．，故秩为2.2．若D=，则二重积分=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：考查极坐标系下计算二重积分．3．函数y=ln(x—1)+的定义域为( )A．(1，4]B．[1，4]C．(1，4)D．[1，4)正确答案：C解析：考查函数定义域．解不等式组即得．4．设函数在点x=x0处可导，且=1,则= ( )A．一2B．2C．一3D．3正确答案：C解析：考查导数的定义．5．广义积分=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：考查上限无穷的广义积分．6．设，则下列关于曲线图形的说法正确的是( )A．既有水平渐近线又有竖直渐近线B．既无水平渐近线又无竖直渐近线C．只有竖直渐近线D．只有水平渐近线正确答案：A解析：考查曲线的渐近线．由得水平渐近线为y=1；由得垂直渐近线为x=1．7．己知，，且AX=B则X=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：考查矩阵方程(A，B)=8．已知的一个原函数为，则= ( )A．B．C．D．正确答案：D解析：考查不定积分的及原函数的概念．9．经过点P0 (1,2,1)，且与直线L：垂直的平面方程为( )A．3x－y－z=0B．3x+y－z=0C．3x－y－z+4=0D．3x－y－z+6=0正确答案：A解析：考查平面方程．将点P0(1,2,1)代入3x?y?z=0成立，代入B、C、D不成立．10．给定级数，则下列说法正确的是( )A．当时绝对收敛B．当时条件收敛C．当时绝对收敛D．当时发散正确答案：A解析：考查莱布尼茨定理及绝对收敛、条件收敛的概念．填空题11．设函数= 在x=0处连续，则常数k=________．正确答案：解析：考查某点连续的概念．由函数f(x)在x=0处连续得：12．若L为圆周曲线x2+y2=a2，方向为逆时针方向，则曲线积分= ________．正确答案：解析：考查格林公式．13．幂级数的收敛域为________．正确答案：解析：考查幂级数的收敛域．收敛半径，当时级数都收敛，故收敛域为．14．极限= ________．正确答案：解析：考查等价无穷小替换及洛必达法则．15．交换二次积分次序= ________．正确答案：解析：考查直接坐标系下交换积分次序．解答题解答时应写出推理、演算步骤。

2016年成人高考专升本考试《高等数学》真题及标准答案

2016年成人高考专升本考试《高等数学》真题(总分150, 考试时间150分钟)一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A 0B 1C 2D 3该问题分值: 4答案:C2.A -1B 0C 1D 2该问题分值: 4答案:C3. 设函数y=2+sinx，则y/=A cosxB -cosxC 2+cosxD 2-cosx该问题分值: 4答案:A4. 设函数y=ex-1+1，则dy=A exdxB ex-1dxC (ex+1)dxD (ex-1+1)dx该问题分值: 4答案:B5.A 1B 3C 5D 7该问题分值: 4答案:B6.A π/2+1B π/2C π/2-1D 1该问题分值: 4答案:A7.A 4x3+4xB 4x3+4C 12x2+4xD 12x2+4该问题分值: 4答案:D8.A -1B 0C 1D 2该问题分值: 4答案:C9. 设函数z=x2+y，则dz=A 2xdx+dyB x2dx+dyC x2dx+ydyD 2xdx+ydy该问题分值: 4答案:A10.A 1/2B 1C 3/2D 2该问题分值: 4答案:D填空题填空11-20小题。

每小题4分，共40分。

11.该问题分值: 4答案:-1/312. 设函数y=x2-ex，则y/=该问题分值: 4答案:2x-ex13. 设事件A发生的概率为0.7，则A的对立事件非A发生的概率为该问题分值: 4答案:0.314. 曲线y=lnx在点（1，0）处的切线方程为该问题分值: 4答案:y=x-115.该问题分值: 4答案:ln|x|+arctanx+C16.该问题分值: 4答案:cosx17.该问题分值: 4答案:cosx18. 设函数z=sin(x+2y),则αz/αx=该问题分值: 4答案:cos(x+2y)19. 已知点（1,1）是曲线y=x2+alnx的拐点，则a=该问题分值: 4答案:220. 设y=y(x)是由方程y=x-ey所确定的隐函数，则dy/dx=该问题分值: 4答案:1/（1+ey）解答题21-28题，共70分。

江苏省2016年专转本高等数学试卷及解答

可见 f (x) 的一个原函数是 −sin x （取 C=1 C=2 0 ），答案：B． 4．二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′ − y′ − 2 y =2xe−x 的特解 y* 的正确假设形式为 ( D )．
A ． Axe−x
B ． Ax2e−x
C ． ( Ax + B)e−x
D ． x( Ax + B)e−x
20．计算二重积分 ∫∫ xdxdy ，其中 D 是由直线 y= x + 2 ，x 轴及曲线=y D
域．
∫∫ ∫ ∫ ∫ = 解 xdxdy D
2
4− y2
= dy xdx
1
2 x2
4− y2
dy
0
y−2
20
y−2
4 − x2 所围成的平面闭区
y y= x + 2
2 =y 4 − x2
∫ ∫ =
1
A ． tan x
B ． 1− x −1
C ． x2 sin 1 x
D ．e x −1
解
lim = tan x
l= im x 1 ， lim
1− x −1 =
lim
1 (−x) 2=
−
1
，
x2 sin 1 lim=x
l= im x sin 1
0，
x→0+ sin x x x→0+
x→0+ sin x
∑∞ 1 + (−1)n
12．无穷级数 n=1 2n
▲
．（请填写收敛或发散）发．散．
∑ ∑ ∑ ∞ 1
∞ (−1)n
∞ 1 + (−1)n
解因为级数
发散，
收敛，所以无穷级数

河南省2016年专升本考试《高等数学》试题

河南省2016年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试《高等数学》注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共60分。

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分）1.函数()xx f -=11的定义域是（）A.(]1,-∞- B.()1,-∞- C.(]1,∞- D.()1,∞-2.函数()32x x x f -=是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断奇偶性3.已知()xx f 11-=，则()[]x f f =（）A.1-xB.11-x C.x-1 D.x-114.下列极限不存在的是（）A.1lim20+→x x x B.1lim2+∞→x x x C.xx 2lim -∞→ D.xx 2lim +∞→5.极限2221lim x x x x --∞→的值是（）A.0B.1C.1-D.2-6.已知极限axxx sin lim0→=2，则a 的值是（）A.1B.1- C.2D.217.已知当0→x 时，2~cos 22ax x -，则a 的值是（）A.1B.2C.21 D.1-8.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+-=1,21,112x x x ax x x f 在点x =1处，下列结论正确的是（）A.a =2时，()x f 必连续B.a =2时，()x f 不连续C.a =1-时，()x f 连续D.a =1时，()x f 必连续9.已知函数()x ϕ在x =0处可导，函数()()()11--=x x x f ϕ，则()1f '=（）A.()0ϕ' B.()1ϕ' C.()0ϕ D.()1ϕ10.函数()11--=x x f 在点x =1处（）A.不连续B.连续且可导C.既不连续也不可导D.连续但不可导11.若曲线()31x x f -=与曲线()x x g ln =在自变量0x x =是的切线相互垂直，则0x 应为（）A.331 B.331-C.31 D.31-12.已知()41x x f -=在闭区间[]1,1-上满足罗尔中值定理，则在开区间()1,1-内使()ξf '=0成立的ξ=（）A.0B.1C.1- D.213.设函数()x f 在区间()1,1-内连续，若()0,1-∈x 时，()()()01.0;0>'∈<'x f x x f 时，则在区间()1,1-内（）题号一二三四五总分分值602050146150班级：姓名：准考证号：A.()0f 是函数()x f 的极小值B.()0f 是函数()x f 的极大值C.()0f 不是函数()x f 的极值D.()0f 不一定是函数()x f 的极值14.设函数()x f y =在区间()2,0内具有二阶导数，若()1,0∈x 时，();0<''x f ()2,1∈x 时，()0>''x f ，则（）A.()1f 是函数()x f 的极大值B.点()()11f ，是曲线()x f y =的拐点C.()1f 是函数()x f 的极小值D.点()()11f ，不是曲线()x f y =的拐点15.已知曲线4x y =，则（）A.在()40,x y =∞-内单调递减且形状为凸B.在()40,x y =∞-内单调递增且形状为凹C.在()40x y =∞+内，单调递减且形状为凸D.在()∞+，0内4x y =单调递增且形状为凹16.已知()x g 是()x f 的一个原函数，则不定积分()dx x f ⎰-1=（）A.()c x g +-1B.()cx g + C.()cx g +--1 D.()cx g +-17.设函数()()⎰+=-xtdt t ex f 02，则()x f '=（）A.331x e x+-- B.x ex2+-- C.2x ex+- D.xex2+-18.定积分dx xe aax ⎰--2=（）A.22aae- B.2aae- C.0D.2a19.由曲线xey -=与直线0,1,0===y x x 所围成的平面图形的面积是（）A.1-eB.1C.11--eD.11-+e20.设定积分dx x I dx x I ⎰⎰==2122121,，则（）A.21I I = B.21I I > C.21I I < D.不确定21I I 与的大小21.向量→→→+=k j a 的方向角是（）A.244πππ，， B.224πππ，， C.424πππ，， D.442πππ，，22.已知xe-是微分方程023=+'+''y y a y 的一个解，则常数a =（）A.1B.1- C.3 D.31-23.下列微分方程中可进行分离变量的是（）A.()yx ey x y ++=' B.yx xyey +=' C.xyxyey =' D.()xyey x y +='24.设二元函数323y xy x z ++=，则yx z∂∂∂2=（）A.23yB.23xC.y 2D.x225.用铁板做一个表面积为543m 的有盖长方形水箱，欲使水箱的容积最大，则水箱的最大容积为（）A.182mB.272mC.62mD.92m26.设(){}0,0,41,22≥≥≤+≤=y x y x y x D ，则二重积分⎰⎰Ddxdy 4=（）A.16πB.8πC.4πD.3π27.已知()()⎰⎰⎰⎰=x D dy y x f dx d y x f 010,,σ，则交换积分次序后()⎰⎰Dd y x f σ,=（）A.()dxy x f dyy ⎰⎰11, B.()dxy x f dyy⎰⎰01,C.()dxy x f dyx ⎰⎰1, D.()dxy x f dy x⎰⎰010,28.设L 为连接点（0,0）与点（1，3）的直线段，则曲线积分ds y L2⎰=（）A.1B.2C.3D.329.下列级数发散的是（）A.∑∞=11n nB.()n n n 111∑∞=- C.∑∞=121n nD.()2111n n n ∑∞=-30.已知级数∑∞=1n nu，则下列结论正确的是（）A.若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n nu收敛B.若部分和数列{}n S 有界，则∑∞=1n nu收敛C.若∑∞=1n nu收敛，则n n u ∞→lim =0D.若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu收敛二、填空题（每小题2分，共20分）31.函数()3x x f =的反函数是y =________________.32.极限121lim+-∞→n n x =________________.33.已知函数()⎩⎨⎧=≠-=0,10,2x x x x f ，则点x =0是()x f 的______________间断点.34.函数()xex f -=1在点x =0.99处的近似值为___________________.35.不定积分()dx x ⎰+1sin =_______________.36.定积分dx x⎰+1011=__________________.37.函数22y x xy z --=在点（0,1）处的全微分()1,0dz =___________________.38.与向量{}2,1,2同向平行的单位向量是______________________.39.微分方程02=+'xy y 的通解是_________________________.40.幂级数∑∞=13n n nx 的收敛半径为_______________________.三、计算题（每小题5分，共50分）41.计算极限()xx x 201lim -→42.求函数x y cos 2-=的导函数.43.计算不定积分dxx x ⎰-1ln 244.计算定积分⎰20sin πxdxx 45.设直线⎩⎨⎧=++=++1753032:z y x z y x l ，求过点A(0,1,2)且平行直线L的直线方程46.已知函数()y x f z ,=由方程0=+--y x yz xz 所确定，求全微分dz .47.已知D=(){}40,22≤+≤y x y x ，计算二重积分dxdy y x D⎰⎰--224.48.求微分方程0=-+'x y y x 的通解49.求幂级数()()1111+--∑∞=n x nn n的收敛区间50.求级数∑∞=+11n n nx 的和函数四、应用题（每小题7分，共14分）51.求由直线0,,1===y e x x 及曲线xy 1=所围成的平面图形的面积52.某工厂生产计算器，若日产量为x 台的成本函数为()202.0507500x x x C -+=，收入函数为()203.080x x x R -=，且产销平衡，试确定日生产多少台计算器时，工厂的利润最大？五、证明题（6分）53.已知方程03453=-+x x x 有一个负根2-=x ，证明方程059442=-+x x 必有一个大于2-的负根.。

2016年山东省专升本考试高等数学真题试卷(含答案)

I 二 I~I : I : 口一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
___
5 A
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
1. 12兀
2. e
3. 3
4. 15
5. 发散
三、解答题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分，解答应写出文字说明、证明过程
=
ln
X
1
...
+ ,J;_万平了
…...
2
分
= -ln(x +.fx2+i) = -fCx) ......... 2 分
所以y = ln(x +.j;.了了1) 为奇函数......... 1 分
2. 证... ; .. ,1 分 2
使得f.!1 f (x)dx = /(c)(l - -1) ......... 2 分
·150·
i 』二c-,二．二-::c一c~c---:=::-~:::::::cc::c, —－三三亏- -- - - ----
山东省专升本考试公共课历年真题及解析·高等数学
4. 解：由伈f(x)dx = arcsinx + c,
通过求导可得xf(x) = 1 ...... …2 分 �
即上-= X�, ••••••••• z 分 f(x)
·:y垂直于&, ... r. a= o…...... 2分一
恤
:即.：;t(=P髻-..应.）....a.=..p1.分芘－应. a= o, ... ·-:1分
应a
厮 =P..:. 彗 a.......... z分
2. 解：根据公式： A=;f02巴 lsinx - cosxl dx.... ·令.... z分

2016年江苏专转本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2016年江苏专转本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数f(x)在x=x0处有定义是极限f(x)存在的( )A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．无关条件正确答案：D解析：f(x)在x=x0处是否有定义不影响f(x)存在．2．设f(x)=sinx，当x→++时，下列函数中是f(x)的高阶无穷小的是( ) A．tanxB．C．x2 sinD．正确答案：C解析：考查条件无穷小(常见形式)当x→0+时，slnx t～x，tgx～x，∴A同阶；∴B低阶．只有(有界五数和无穷小乘积)．3．设函数f(x)的导函数为sinx，则f(x)的一个原函数是( )A．sinxB．一sinxC．cosxD．一cosx正确答案：B解析：f’(x) =sinx，则f(x)=∫sinxdx=一cosx+C．令F(x)=∫f(x)dx=一sinx+C1x+C2．∴答案为B．4．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一y’一2y=2xe一x的特解y*的正确假设形式为( )A．Axe一xB．Ax2e一xC．(Ax+B)x一xD．x(Ax+B)e一x正确答案：D解析：特征方程为r2一r一2=0．∴r1=一1，r2=2．∴yx=x(Ax+B)e一x，即D．5．函数z=(x—y)2，则dz|x=1，y=0=( )A．2dx+2dyB．2dx一2dyC．一2dx+2dyD．一2dx一2dy正确答案：B解析：∴选B．6．幂级数日的收敛域为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：当x=时，原级数=∴收敛，当x=时，原级数=，p的数中p=2＞1，∴收敛．∴选A．填空题7．极限=_______．正确答案：e一2．解析：=e一2．8．已知向量a=(1，0，2)，b=(4，一3，一2)，则(2a一b)．(a+2b)=________．正确答案：一48．解析：a=(1，0，2)，b=(4，一3，一2)，2a一b=(一2，3，6)，a+2b=(9，一6，一2)，∴(2a一b)．(a+2b)=(一2)×9+3×(一6)+6×(一2)=一48．9．函数f(x) =xex的n阶导数f(n)(x)=________．正确答案：(x+n)ex ．解析：f(x)xex ，∴f’(x)=exxex=(x+1)ex ．f”(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex ，f”‘(x)=(x+3)ex ，∴f”(x)=(x+n)ex ．10．函数f(x)=，则f(x)的图像的水平渐近线方程为________．正确答案：解析：11．函数f(x)=∫x2x inldt，则f’(x)=________．正确答案：lin4x．解析：F(x)=∫x2xlintdt．∴f’(x) = 2limx一limx= 2(lin2+linx) 一linx=lin4+linx = lin4x．12．无穷级数=________．(请填写收敛或发散)正确答案：发散．解析：=发散．解答题解答时应写出推理、演算步骤。

2016浙江专升本高等数学试题答案及评分标准

1 a . 2
…… 7 分
17. 解：当 x 0 时， f ( x)
1 ； (2 x 1) 2
…… 2 分
当 x 0 时， f ( x)
1 1 x
…… 3 分
f ( x) x 0 x f ( x) f (0) lim x 0 x f (0) lim
x 1 [ x] x ，所以 1 [ x] x 0 ，有界，选项 A 正确。
2. C ，选项 C 正确。答案解析：据题意可知， f ( x0 ) 0 ，即 f ( x ) 在 x x0 可微（与可导等价） 3. A 答案解析：

1 0
xf ( x)dx xdf ( x) xf ( x) |1 0 f ( x)dx
3
…… 8 分
…… 2 分
Hale Waihona Puke 所以由逐项可导可知，…… 6 分
n 1

(1) n nx n1 (1) n 1 nx n 1 ， x (1,1) .
n 1
…… 8 分
四、综合题（本大题共 3 小题，每题 10 分，共 30 分.）
24. 解：（Ⅰ）当 | x | 1 时， lim x
2
答案解析：由对数函数的真数要大于零可知 x 1 0 ，解得 x ( ,1) (1,) 8. 4 答案解析： lim
h 0
f (1 2h) f (1) f (1 2h) f (1) 2 lim 2 f (1) 4 . h 0 h 2h
f ( ) 0 .
…… 10 分
综上知：所以原方程的通解为 20. 解：
C1 C2 ln x x

2016年河南省专升本高等数学真题及答案高清版

河南省!"#$年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试
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在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
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河南省专升本考试高等数学真题2016年

河南省专升本考试高等数学真题2016年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.______（分数：2.00）A.(-∞，-1]B.(-∞，-1)C.(-∞，1]D.(-∞，1) √解析：[解析] 要使函数有意义，则需1-x＞0，即x＜1，故应选D．2.函数f(x)=x-2x 3是______（分数：2.00）A.奇函数√B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断奇偶性解析：[解析] f(-x)=-x-2(-x) 3 =-x+2x 3 =-(x-2x 3 )=-f(x)，故f(x)为奇函数，故应选A．3.已知则f[f(x)]=______A．x-1B．C．1-xD．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析D．4.下列极限不存在的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] D．5.______（分数：2.00）A.0B.1C.-1 √D.-2解析：[解析C．也可直接对分子分母的最高次项进行比较．6.已知极限则a的值是______A．1B．-1C．2D．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析7.已知当x→0时，2-2cosx～ax 2，则a的值是______A．1B．2C．D．-1（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析8.x=1处，下列结论正确的是______（分数：2.00）A.a=2时，f(x)必连续B.a=2时，f(x)不连续√C.a=-1时，f(x)连续D.a=1时，f(x)必连续解析：[解析] 要使函数f(x)在x=1处连续，则有当a=2a=2时，f(x)不连续．故应选B．9.已知函数φ(x)在点x=0处可导，函数f(x)=(x-1)φ(x-1)，则f"(1)=______（分数：2.00）A.φ"(0)B.φ"(1)C.φ(0) √D.φ(1)解析：[解析] 由φ(x)在x=0处可导，可知φ(x)在x=0处连续，故应选C．10.函数f(x)=1-|x-1|在点x=1处______（分数：2.00）A.不连续B.连续且可导C.既不连续也不可导D.连续但不可导√解析：[解析f(x)在x=1处连续．而f"(1 +)=-1，f"(1 -)=1，故在x=1处不可导，故应选D．11.若曲线f(x)=1-x 3与曲线g(x)=lnx在自变量x=x 0时的切线相互垂直，则x 0应为______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] f"(x 0 )=(1-x 3 )| x=x0 =- ，由于切线相互垂直，则C．12.已知f(x)=1-x 4在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理，则在开区间(-1，1)内使f"(ξ)=0成立的ξ=______（分数：2.00）A.0 √B.1C.-1D.2解析：[解析] f"(x)=-4x 3，f"(ξ)=-4ξ=0，则ξ=0，故应选A．13.设函数f(x)在区间(-1，1)内连续，若x∈(-1，0)时，f"(x)＜0；x∈(0，1)时，f"(x)＞0，则在区间(-1，1)内______（分数：2.00）A.f(0)是函数f(x)的极小值√B.f(0)是函数f(x)的极大值C.f(0)不是函数f(x)的极值D.f(0)不一定是函数f(x)的极值解析：[解析] 由极值第一判定定理，可知f(0)应为函数f(x)的极小值，故应选A．14.设函数y=f(x)在区间(0，2)内具有二阶导数，若x∈(0，1)时，f"(x)＜0；x∈(1，2)时，f"(x)＞0，则______（分数：2.00）A.f(1)是函数f(x)的极大值B.点(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点√C.f(1)是函数f(x)的极小值D.点(1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点解析：[解析] 函数f(x)在(0，1)上为凸，在(1，2)上为凹，故(1，f(1))应为函数f(x)的拐点，故应选B．15.已知曲线y=x 4，则______∙ A.在(-∞，0)内y=x4单调递减且形状为凸∙ B.在(-∞，0)内y=x4单调递增且形状为凹∙ C.在(0，+∞)内y=x4单调递减且形状为凸∙ D.在(0，+∞)内y=x4单调递增且形状为凹（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] y"=4x 3，当x＞0时，y"＞0；当x＜0时，y"＜0；y"=12x 2，在(-∞，+∞)上有y"≥0，根据选项，可知应选D．16.已知F(x)是f(x)的一个原函数，则不定积分∫f(x-1)dx=______（分数：2.00）A.F(x-1)+C √B.F(x)+CC.-F(x-1)+CD.-F(x)+C解析：[解析] 由题可知∫f(x)dx=F(x)+C，∫f(x-1)dx=∫f(x-1)d(x-1)=F(x-1)+C，故应选A．17.设函数则f"(x)=______A．B．-e -x +2xC．e -x +x 2D．e -x +2x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析C．18.定积分∙ A.2ae-a2∙ B.ae-a2∙ C.0∙ D.2a（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 令f(x)=xe -x2，f(-x)=-xe -x2 =-f(x)，可知f(x)为奇函数，故19.由曲线y=e -x与直线x=0，x=1，y=0所围成的平面图形的面积是______∙ A.e-1∙ B.1∙ C.1-e-1∙ D.1+e-1（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] C．20.______（分数：2.00）A.I1=I2B.I1＞I2 √C.I1＜I2D.不能确定，I1与I2的大小解析：[解析] 当x∈(1，2)时，x 2＞x．由定积分保序性可知I 1＞I 2故应选B．21.向量a=j+k的方向角是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 向量a的坐标表示应为{0，1，1}，故方向余弦为则α，β，γD．22.已知e -x是微分方程y"+3ay"+2y=0的一个解，则常数a=______A．1B．-1C．3D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 令y=e -x，y"=-e -x，y"=e -x，代入有e -x -3ae -x +2e -x =0，由e -x≠0，则有1-3a+2=0，a=1．故应选A．23.下列微分方程中可进行分离变量的是______∙ A.y"=(x+y)e x+y∙ B.y"=xye x+y∙ C.y"=aye xy∙ D.y"=(x+y)e xy（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 对于B项，y"=xye x·e y，分离变量得B．24.设二元函数z=x 3 +xy 2 +y 3，则∙ A.3y2∙ B.3x2∙ C.2y∙ D.2x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析C．25.用钢板做成一个表面积为54m 2的有盖长方体水箱，欲使水箱的容积最大，则水箱的最大容积为______∙ A.18m3∙ B.27m3∙ C.6m3∙ D.9m3（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 设水箱的长、宽、高分别为x，y，z，则有2xy+2yz+2xz=54，即xy+yz+xz=27，体积V=xyz，令F(x，y，z)=xyz+λ(xy+yz+xz-27)，解得x=3，y=3，z=3，由于驻点(3，3，3)唯一，实际中确有最大值，故当x=3，y=3，z=3时长方体体积最大，最大值V=27．故应选B．26.设D={(x，y)|1≤x 2 +y 2≤4，x≥0，y≥0}，则二重积分（分数：2.00）A.16πB.8πC.4πD.3π√解析：[解析] 由二重积分的性质可知S D为D的面积．27.已知则变换积分次序后A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 积分区域为D：0≤x≤1，0≤y≤x，也可表示为：0≤y≤1，y≤x≤1，28.设L为连接点(0，0)与点(1，)的直线段，则曲线积分∫ L y 2 ds=______ A．1B．2C．3D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] L可表示为29.下列级数发散的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 选项A为调和级数，可知其发散．30.已知级数则下列结论正确的是______A．B．若部分和数列{S n }有界，则收敛C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 的必要条件，故应选C．选项B中，需要求为正项级数；选项D应改为若收敛．二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数f(x)=x 3的反函数是y= 1．（分数：2.00）解析： [解析] 令y=f(x)=x 3，，故f(x)的反函数32.极限（分数：2.00）解析：[解析33.已知函数x=0是f(x)的 1间断点．（分数：2.00）解析：可去[解析f(0)=1，故x=0是f(x)的可去间断点.34.函数f(x)=e 1-x在点x=0.99处的近似值为 1．（分数：2.00）解析：1.01 [解析] 取x 0=1，Δx=-0.01，有f(x 0+Δx)=f(0.99)≈f(x 0)+f"(x 0)Δx=1-1·(-0.01)=1.01．35.不定积分∫sin(x+1)dx= 1．（分数：2.00）解析：-cos(x+1)+C[解析] ∫sin(x+1)dx=∫sin(x+1)d(x+1)=-cos(x+1)+C.36.定积分（分数：2.00）解析：ln2[解析37.函数z=xy-x 2 -y 2在点(0，1)处的全微分dz| (0，1) = 1.（分数：2.00）解析：dx-2dy[解析38.与向量{2，1，2}同向平行的单位向量是 1．（分数：2.00）解析：[解析] 故与{2，1，2}39.微分方程y+xy 2 =0的通解是 1．（分数：2.00）解析：[解析] 方程分离变量得两边积分得C为任意常数.当y=0时，可知也为方程的解.40.幂级数 1．（分数：2.00）解析：3[解析三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.计算极限（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析42.求函数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析] 令u=2-cosx43.计算不定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析44.计算定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析45.设直线A(0，1，2)且平行于直线l的直线方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析] 设已知直线l的方向向量为n，则由于所求直线与l平行，故其方向向量可取{1，-2，1}，又直线过点A(0，1，2)，故所求直线方程为46.已知函数z=f(x，y)由方程xz-yz-x+y=0所确定，求全微分dz．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析] 令F(x，y，z)=xz-yz-z+y，则F x =z-1，F y =-z+1，F z =x-y，因此47.已知D={(x，y)|0≤x 2 +y 2≤4}，计算二重积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析] 积分区域D可用极坐标表示为0≤r≤2，0≤θ≤2π,故48.求微分方程xy"+y-x=0的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析] 方程化简为为一阶线性微分方程，由通解公式得其中C为任意常数．49.求幂级数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：[解析] 令t=x-1．则级数为不缺项的幂级数．R=1，则-1＜t＜1．即-1＜x-1＜1，0＜x＜2，故收敛区间为(0，2)．50.求级数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：[解析] 收敛半径R=1，令四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求由直线x=1，x=e，y=0及曲线（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：[解析] 如图所示，即所求图形．则面积52.某工厂生产计算器，若日产量为x台的成本函数为C(x)=7500+50x-0.02x 2，收入函数为R(x)=80x-0.03x 2，且产销平衡，试确定日生产多少台计算器时，工厂的利润最大?（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：[解析] 利润=收入-成本，故利润L(x)=R(x)-C(x)=80x-0.03x 2-7500-50x+0.02x 2=30x-0.01x 2-7500．令L"(x)=30-0.02x=0，x得x=1500，且L"(1500)=-0.02＜0．故x=1500为L(x)的极大值，又由实际问题，极值唯一，故x=1500为L(x)的最大值，即日生产1500台计算器时，工厂的利润最大．五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.已知方程4x+3x 3 -x 5 =0有一负根x=-2，证明方程4+9x 2 -5x 4 =0必有一个大于-2的负根．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：[证明] 令f(x)=4x+3x 3 -x 5，由题可知f(-2)=0，又有f(0)=0，f(x)在[-2，0]上连续，存(-2，0)上可导，故由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(-2，0)，使得f"(ξ)=4+9ξ2 -5ξ1 =0，即方程4+9x 2 -5x 4 =0必有一个大于-2的负根．。

2016年浙江省专升本高等数学真题参考答案

2016年浙江全日制专升本《高等数学》真题
考试说明：
1.考试时间为150分钟；
2.满分为150分；
3.答案请写在答题纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；
4.密封线左边各项要求填写清楚完整。
一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。
24.解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
25.证明：令
26.证：有积分中值定理可知，至少存在一点
解析：
三、计算题：本题共有8小题，其中16‐19小题每小题7分，20‐23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。
16.解：
17.解
所以
18.解.定义域为
x
0
(0,1)
(,2)
_
0
+
_
+
y
凸
拐点
凹
凸
凹
19.解：
解法二，欧拉方程
20.解：
21.解：
22.解：
23.解：因为
5.C解析：根据给出的可知属于类型，
不是特征方程的根，故k=0,且s=1,故方程的特解形式可设为
非选择题部分
二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
6.
7. 解析：由对数函数的真数要大于零可知
8.
9.
10. 解析：分部积分
11.
12. 2解析：
13.
14. 解析：
= i- i k
15.
题号
1
2
3
4
5
答案

2016年河北省专接本考试《高等数学》真题及详解

2016年河北省专接本考试《高等数学》真题
(总分100, 考试时间90分钟)
1. 选择题
1. 选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 己知矩阵，则矩阵的秩为( )
A 1
B 2
C 3
D 4
答案:B
解析：考查矩阵的秩．，故秩为2.
2. 若D=，则二重积分=( )
答案:D
解析：考查极坐标系下计算二重积分．
3. 函数y=ln(x—1)+ 的定义域为( )
A (1，4]
B [1，4]
C (1，4)
D [1，4)
答案:C
解析：考查函数定义域．解不等式组即得．
4. 设函数在点x=x 0 处可导，且 =1,则 = ( )
A 一2
B 2
C 一3
D 3
答案:C
解析：考查导数的定义．
5. 广义积分=( )
答案:B
解析：考查上限无穷的广义积分．
6. 设，则下列关于曲线图形的说法正确的是( )
A 既有水平渐近线又有竖直渐近线
B 既无水平渐近线又无竖直渐近线
C 只有竖直渐近线
D 只有水平渐近线
答案:A
解析：考查曲线的渐近线．由得水平渐近线为y=1；由得垂直渐近线为
x=1．
7. 己知，，且AX=B则X=( )
答案:D
解析：考查矩阵方程(A，B)=
8. 已知的一个原函数为，则= ( )
答案:D
解析：考查不定积分的及原函数的概念．
9. 经过点P 0 (1,2,1)，且与直线L：垂直的平面方程为( )
A 3x－y－z=0
B 3x+y－z=0
C 3x－y－z+4=0
D 3x－y－z+6=0。

2016年河南专升本高数真题+答案解析

2016年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共60分)1．函数()f x 的定义域是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．(,1]-∞D ．(,1)-∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则需10x ->，即1x <2．函数3()2f x x x =-是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断【答案】A【解析】33()2()2()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以是奇函数．3．已知1()1f x x=-，则[]()f f x =（） A ．1x - B ．11x - C ．1x - D ．11x- 【答案】D【解析】[]111()11111f f x f x x x ⎛⎫=-=-=⎪-⎝⎭-．4．下列极限不存在的是（）A ．20lim1x xx →+ B ．2lim1x xx →∞+C ．lim 2x x →-∞D ．lim 2x x →+∞【答案】D 【解析】20lim 01x x x →=+，2lim 01x x x →∞=+，lim 20x x →-∞=，lim 2xx →+∞=+∞．5．极限2212lim x x x x →∞--的值是（）A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【解析】2212lim1x x x x →∞--=-，故选C ．6．已知极限0lim 2sin x xax→=，则a 的值是（）A ．1B ．1-C ．2D ．12【答案】D 【解析】0001lim lim lim 2sin x x x x x ax ax a →→→===，故12a =．7．已知当0x →时，222cos ~x ax -，则a 的值是（）A ．1B ．2C ．12D ．1-【答案】A【解析】()222200001221cos 22cos 12lim lim lim lim 1x x x x xx x ax ax ax a →→→→⋅--====，故1a =．8．已知函数21,1()12,1x ax x f x x x ⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩则在点1x =处，下列结论正确的是（）A ．2a =时，()f x 必连续B ．2a =时，()f x 不连续C ．1a =-时，()f x 连续D ．1a =时，()f x 必连续【答案】B【解析】要使函数()f x 在1x =处连续，则有1lim ()(1)x f x f →=，即211lim21x x ax x →-+=-，而当2a =时，2211121(1)limlim lim(1)0211x x x x x x x x x →→→-+-==-=≠--，故当2a =时，()f x 不连续．9．已知函数()x ϕ在点0x =处可导，函数()(1)(1)f x x x ϕ=--，则(1)f '=（）A ．(0)ϕ'B ．(1)ϕ'C ．(0)ϕD ．(1)ϕ【答案】C【解析】由()x ϕ在点0x =处可导，可知()x ϕ在点0x =处连续，111()(1)(1)(1)0(1)limlim lim (1)(0)11x x x f x f x x f x x x ϕϕϕ→→→----'===-=--．10．函数()11f x x =--在点1x =处（）A ．不连续B ．连续且可导C ．既不连续也不可导D ．连续但不可导【答案】D【解析】2,1()11,1x x f x x x x ->⎧=--=⎨≤⎩，显然()f x 在1x =处连续，而11()(1)21(1)lim lim 111x x f x f x f x x +++→→---'===---，11()(1)1(1)lim lim 111x x f x f x f x x -+-→→--'===--，由于(1)(1)f f -+''≠，故在1x =处不可导．11．若曲线3()1f x x =-与曲线()ln g x x =在自变量0x x =时的切线相互垂直，则0x 应为（）AB．C ．13D ．13-【答案】C【解析】200()3f x x '=-，001()g x x '=，由于切线相互垂直，则2003x x -=-，即013x =．12．已知4()1f x x =-在闭区间[]1,1-上满足罗尔中值定理，则在开区间(1,1)-内使()0f ξ'=成立的ξ=（）A ．0B ．1C ．1-D ．2【答案】A【解析】3()4f x x '=-，3()40f ξξ'=-=，则0ξ=．13．设函数()f x 在区间(1,1)-内连续，若(1,0)x ∈-时，()0f x '<，(0,1)x ∈时，()0f x '>，则在区间(1,1)-内（） A ．(0)f 是函数()f x 的极小值 B ．(0)f 是函数()f x 的极大值C ．(0)f 不是函数()f x 的极值D ．(0)f 不一定是函数()f x 的极值【答案】A【解析】由极值第一判定定理，可知(0)f 应为函数()f x 的极小值．14．设函数()y f x =在区间(0,2)内具有二阶导数，若(0,1)x ∈时，()0f x ''<，(1,2)x ∈时，()0f x ''>，则（）A ．(1)f 是函数()f x 的极大值B ．点()1,(1)f 是曲线()y f x =的拐点C ．(1)f 是函数()f x 的极小值D ．点()1,(1)f 不是曲线()y f x =的拐点【答案】B【解析】函数()f x 在(0,1)上为凸，在(1,2)上为凹，故()1,(1)f 是曲线()y f x =的拐点．15．已知曲线4()f x x =，则（） A ．在(,0)-∞内4y x =单调递减且形状为凸 B ．在(,0)-∞内4y x =单调递增且形状为凹 C ．在(0,)+∞内4y x =单调递减且形状为凸D ．在(0,)+∞内4y x =单调递增且形状为凹【答案】D【解析】34y x '=，当0x >时，0y '>；当0x <时，0y '<；212y x ''=，在(,)-∞+∞上有0y ''≥．16．已知()F x 是()f x 的一个原函数，则不定积分(1)f x dx -=⎰（）A ．(1)F x C -+B ．()F xC +C ．(1)F x C --+D ．()F x C -+【答案】A【解析】由题可知()()f x dx F x C =+⎰，(1)(1)(1)(1)f x dx f x d x F x C -=--=-+⎰⎰．17．设函数20()()xt f x e t dt -=+⎰，则()f x '=（）A ．313x e x --+B ．2x e x --+C ．2x e x -+D ．2x e x -+【答案】C【解析】()()220()x tx f x et dt e x --''=+=+⎰．18．定积分2ax axe dx --=⎰（）A ．22a ae -B ．2a ae -C ．0D ．2a【答案】C【解析】令2()x f x xe -=，2()()x f x xe f x --=-=-，可知()f x 为奇函数，故20ax axe dx --=⎰．19．由曲线x y e -=与直线0x =，1x =，0y =所围成的平面图形的面积是（）A ．1e -B ．1C ．11e --D ．11e -+【答案】C【解析】由题可知所求面积1101x A e dx e --==-⎰．20．设定积分2211I x dx =⎰，221I xdx =⎰，则（）A ．12I I =B ．12I I >C ．12I I <D ．不能确定【答案】B【解析】当(1,2)x ∈时，2x x >，由定积分保序性可知22211x dx xdx >⎰⎰，即12I I >．21．向量=+a j k 的方向角是（）A ．4π，4π，2π B ．4π，2π，2πC ．4π，2π，4πD ．2π，4π，4π 【答案】D【解析】向量a 的坐标表示应为(0,1,1)，故方向余弦为cos 0α=，cosβ=，cos γ则应为α，β，γ应为2π，4π，4π．22．已知x e -是微分方程320y ay y '''++=的一个解，则常数a =（）A ．1B ．1-C ．3D ．13-【答案】A【解析】令x y e -=，x y e -'=-，x y e -''=，代入有320x x x e ae e ----+=，由0x e -≠，则有1320a -+=，1a =．23．下列微分方程中可进行分离变量的是（）A ．()x y y x y e +'=+B ．x y y xye +'=C ．xy y xye '=D ．()xy y x y e '=+【答案】B【解析】对于B 项，x y y xye e '=⋅，分离变量得x y dyxe dx ye=．24．设二元函数323z x xy y =++，则2zx y∂=∂∂（） A ．23y B ．23x C ．2y D ．2x【答案】C【解析】223z x y x∂=+∂，22z y x y ∂=∂∂．25．用钢板做成一个表面积为254m 的有盖长方体水箱，欲使水箱的容积最大，则水箱的最大容积为（）A ．318mB ．327mC ．36mD ．39m【答案】B【解析】设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则有22254xy yz xz ++=，即27xy yz xz ++=，体积V xyz =，令()(,,)27F x y z xyz xy yz xz λ=+++-，令()()()000270xyz F yz y z F xz x z F xy x y F xy yz xz λλλλ⎧=++=⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++-=⎩，解得333x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，由于驻点(3,3,3)唯一，实际中确有最大值，故当3x =，3y =，3z =时长方体体积最大，最大值27V =．26．设{}22(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥，则二重积分4Ddxdy =⎰⎰（）A ．16πB ．8πC ．4πD ．3π【答案】D【解析】由二重积分的性质可知444D DDdxdy dxdy S ==⎰⎰⎰⎰，D S 为D 的面积，()2132144D S πππ=⋅-⋅=，故34434Ddxdy ππ=⋅=⎰⎰．27．已知100(,)(,)xD f x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，则变换积分次序后(,)Df x y d σ=⎰⎰（）A ．110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B ．10(,)ydy f x y dx ⎰⎰C ．1(,)xdy f x y dx ⎰⎰D ．10(,)xdy f x y dx ⎰⎰【答案】A【解析】积分区域为D ：01x ≤≤，0y x ≤≤，也可表示为：01y ≤≤，1y x ≤≤，故交换积分次序后11(,)(,)yDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰．28．设L 为连接点(0,0)与点的直线段，则曲线积分2L y ds =⎰（）A ．1B ．2C ．3 D【答案】B【解析】L可表示为y =，01x ≤≤，则)21122322Ly ds xdx ==⋅=⎰⎰⎰．29．下列级数发散的是（）A ．11n n∞=∑B ．21(1)n n ∞=-∑C ．211n n∞=∑D ．221(1)n n∞=-∑【答案】A【解析】选项A 为调和级数，可知其发散．30．已知级数1n n u ∞=∑，则下列结论正确的是（）A ．若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛 B ．若部分和数列{}n S 有界，则1n n u ∞=∑收敛C ．若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞= D ．若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】C【解析】lim 0n n u →∞=是1n n u ∞=∑收敛的必要条件，故应选C ，选项B 中，需要求1n n u ∞=∑为正项级数；选项D 应改为若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛．二、填空题(每小题2分，共20分)31．函数3()f x x =的反函数是y =________．【解析】令3()y f x x ==，x =，故()f x 的反函数y ．32．极限1lim 21n n n →∞-=+________．【答案】12【解析】11lim 212n n n →∞-=+．33．已知函数2,0()1,0x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则点0x =是()f x 的________的间断点．【答案】可去【解析】00lim ()lim(2)2x x f x x →→=-=，(0)1f =，故0x =是()f x 的可去间断点．34．函数1()x f x e -=在点0.99x =处的近似值为________．【答案】1.01【解析】取01x =，0.01x ∆=-，有000()(0.99)()()11(0.01) 1.01f x x f f x f x x '+∆=≈+∆=-⋅-=．35．不定积分sin(1)x dx +=⎰________．【答案】cos(1)x C -++【解析】sin(1)sin(1)(1)cos(1)x dx x d x x C +==++=-++⎰⎰．36．定积分1011dx x =+⎰________．【答案】ln2 【解析】原式1110011(1)ln 1ln 211dx d x x x x =+=+=++⎰⎰．37．函数23z xy x y =--在点(0,1)处的全微分(0,1)dz =________．【答案】2dx dy - 【解析】2zy x x∂=-∂，2z x y y ∂=-∂，故(0,1)(0,1)(0,1)2zz dz dx dy dx dy xy∂∂=+=-∂∂．38．与向量(2,1,2)同向平行的单位向量是________．【答案】212,,333⎛⎫⎪⎝⎭3，故与(2,1,2)同向平行的单位向量为212,,333⎛⎫⎪⎝⎭．39．微分方程20y xy '+=的通解是________．【答案】22y x C=+或0y = 【解析】方程分离变量的2dy xdx y =-，两边积分得2112x C y =+，整理得22y x C=+，其中C 为任意常数，当0y =时，可知也为方程的解．40．幂级数13nn n x ∞=∑的收敛半径为________．【答案】3【解析】11131lim lim 313n n n n n na a ρ++→∞→∞==⋅=，故13R ρ==．三、计算题(每小题5分，共50分) 41．计算极限20lim(1)xx x →-．【答案】2e -【解析】21(2)200lim(1)lim(1)xxx x x x e ⋅---→→-=-=．42．求函数y =的导数．【解析】令2cos u x =-，y ''=．43．计算不定积分2ln 1x dx x -⎰．【答案】()22ln 14x C -+【解析】()()()()22ln 12ln 112ln 1ln 2ln 12ln 124x x dx x d x x d x C x --=-=--=+⎰⎰⎰．44．计算定积分2sin x xdx π⎰．【答案】1【解析】22220sin cos cos cos 1x xdx xd x x x xdx ππππ=-=-+=⎰⎰⎰．45．设直线230:3571x y z l x y z ++=⎧⎨++=⎩，求过点(0,1,2)A 且平行于直线l 的直线方程．【答案】12121x y z --==- 【解析】设已知直线l 的方向向量为s ，则123(1,2,1)357==--i j ks ．由于所求直线与l 平行，故其方向向量可取(1,2,1)-，又直线过点(0,1,2)A ，故所求直线方程为12121x y z --==-．46．已知函数(,)z f x y =由方程0xz yz x y --+=所确定，求全微分dz ．【答案】11z z dx dy x y x y--+-- 【解析】令(,,)F x y z xz yz x y =--+，则1x F z =-，1y F z =-+，z F x y =-，故1x z F z zx F x y∂-=-=∂-，1y z F z z y F x y∂-=-=∂-，因此11z z dz dx dy x y x y --=+--．47．已知{}22(,)04D x y x y =≤+≤，计算二重积分D．【答案】163π【解析】20163Dd rdr ππθ==⎰⎰．48．求全微分方程0xy y x '+-=的通解．【答案】2x C y x=+ 【解析】方程化简为11y y x'+=，为一阶线性微分方程，由通解公式得 ()11112dx dxx x x C y e e dx C xdx C xx-⎛⎫⎰⎰=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰．49．求幂级数1(1)(1)1nnn x n ∞=--+∑的收敛区间．【答案】(0,2)【解析】令1t x =-，则级数1(1)1n nn t n ∞=-+∑为不缺项的幂级数，11lim lim 12n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+，故收敛半径1R =，则11t -<<，即111x -<-<，02x <<，故收敛区间为(0,2)．50．求级数11n n x n+∞=∑的和函数．【答案】()ln(1)S x x x =--【解析】1lim 11n n n ρ→∞=⋅=+，收敛半径1R =，令1111()()n nn n x x S x x xS x n n+∞∞=====∑∑，111101()1n n n n n n x S x x x n x ∞∞∞-==='⎛⎫'====⎪-⎝⎭∑∑∑，(1,1)x ∈-，所以()11()()()x S x xS x x S t dt '==⎰01ln(1)1x x dt x x t ⎛⎫==-- ⎪-⎝⎭⎰．四、应用题(每小题7分，共14分)51．求由直线1x =，x e =，0y =及曲线1y x=所围成平面图形的面积．【答案】1 【解析】111e S dx x==⎰．52．某工厂生产计算器，若日产量为x 台的成本函数为2()7500500.02C x x x =+-，收入函数为2()800.03R x x x =-，且产销平衡，试确定日生产多少台计算器时，工厂的利润最大？【答案】1500【解析】利润=收入-成本，故利润2()()()300.017500L x R x C x x x =-=--，令()0L x '=，1500x =，且(1500)0.020L ''=-<，故1500x =为()L x 的极大值，又由实际问题知，极值唯一，故1500x =为()L x 的最大值，即日生产1500台计算器时，工厂的利润最大．五、证明题(6分)53．已知方程35430x x x +-=有一负根2x =-，证明方程244950x x +-=必有一个大于2-的负根．【证明】令35()43f x x x x =+-，由题可知(2)0f -=，又有(0)0f =，()f x 在[]2,0-上连续，在()2,0-上可导，故由罗尔定理可知至少存在一点()2,0ξ∈-，使得24()4950f ξξξ'=+-=，即方程244950x x +-=必有一个大于2-的负根．。

专升本试题(西华大学2016(高等数学))

2016年西华大学专升本《高等数学》考试题一、判断正误（每小题2分，共10分）1、函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。

（）2、函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，则对任意常数b a ,有⎰⎰+≤ba b a dx x f dx x f ]1)([)(。

（）3、方程x e x y y y 326=-'-''的特解形式可设为x e c bx ax x y 32)(++= 。

（）4、级数n n n x n )(!1⋅∑∞=在e x <时发散。

（） 5、设21,ηη是非齐次线性方程组b AX =的两个解，则212ηη-任是b AX =的解。

（）二、填空题：（每题4分，共16分）1、设函数)(u f 具有连续偏导数，)(22y x f z +=，则全微分=dz 。

2、已知向量组T )0,1,1,1(1=α、T k )1,0,,0(2=α、T )1,0,2,2(3=α、T )1,12,0(4=α线性相关，则=k 。

3、二次积分⎰⎰=x e dy y x f dx I ln 01),(可改变积分次序为I = 。

4、幂级数n n n n n x ]43)1(31[0-+∑∞=的收敛半径为。

三、求解下列各题（每小题6分，共60分）1、求极限)12111(lim 222nn n n n n n n -+++-++-+∞→ 。

2、设函数)(x f 在点0x x =处连续，且A x x x f x x =-→0)(lim0（A 为常数），问)(0x f '是否存在，若存在求其值。

3、求曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 相应点处的切线与法线方程。

4、计算积分⎰+dx x xe x2)1(。

5、求微分方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 的通解。

6、求曲线2x y =与直线3,==y x y 所围成的区域绕y 轴旋转而成立体的体积。