椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法精修订

合集下载

高中数学《椭圆的几何性质(二)-求离心率》课件

高中数学《椭圆的几何性质(二)-求离心率》课件
A.4
B.3 C.2 D.5
x2 y2
3.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点
25 16
15
M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________.







4
复习练习
4. 如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一
动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与
2

1-2

1
,
2 2
2
2
,1
2
2
+
.
2 - 1-2
=m 代入上述方程,可得 y=
2 - 1-2
2
2
=n.
<0,化简得 b< 1-2 .
.∴椭圆离心率的取值范围为
2
,1
2
.
9
Hale Waihona Puke 2典型例题 椭圆 x2+ =1(0<b<1)的左焦点为 F,上顶点为 A,右顶点为 B,若△FAB 的外接
直线与椭圆的位置关系







17
复习引入
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率







a,b,c的关系
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
b
a
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
a
b

离心率的五种求法

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e . 一、直接求出,a c ,求解e 已知标准方程或,a c 易求时,可利用离心率公式c e a=来求解。

例1. 过双曲线C :)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是( )A. 10B. 5C.310D. 25分析:这里的1,a c ==2b ,即可利用定义求解。

解:易知A (-1,0),则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--,又|AB|=|BC|,可解得9b 2=,则10c =故有10ace ==,从而选A 。

二、变用公式)c e a =双曲线,)c e a ==椭圆,整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =,则双曲线的离心率为( ) A.35 B. 34C.45D.23 分析:本题已知b a=34,不能直接求出a 、c ,可用整体代入套用公式。

解:因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =,所以 43b a =,则53c e a ===,从而选A 。

1.设双曲线(a >0,b >0)的渐近线与抛物线21y x =+相切,则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解:由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得,因渐近线与抛物线相切,所以,即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若12AB BC =uur uu u r,则双曲线的离心率是 ( )A .B .C .D . 答案:C【解析】对于,则直线方程为,直线与两渐近线的交点为B ,C ,,,222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ,即224b a =,e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为( ) A . B . C . D .【解析】因为,再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式,解出e根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 。

离心率的五种求法

离心率的五种求法

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e . 一、直接求出a 、c ,求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时,可利用率心率公式ace =来解决。

例1:已知双曲线1222=-y ax (0>a )的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合,则该双曲线的离心率为( )A.23 B. 23 C. 26 D. 332解:抛物线x y 62-=的准线是23=x ,即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ,则02322=--c c ,解得2=c ,3=a ,332==a c e ,故选D变式练习1:若椭圆经过原点,且焦点为()0,11F 、()0,32F ,则其离心率为( )A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解:由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ,∴1=c ,又∵椭圆过原点,∴1=-c a ,3=+c a ,∴2=a ,1=c ,所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( )A.23 B. 26 C. 23 D 2 解:由题设2=a ,62=c ,则3=c ,23==a c e ,因此选C 变式练习3:点P (-3,1)在椭圆12222=+by a x (0>>b a )的左准线上,过点P 且方向为()5,2-=a 的光线,经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )A33 B 31 C 22D 21 解:由题意知,入射光线为()3251+-=-x y ,关于2-=y 的反射光线(对称关系)为0525=+-y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ,1=c ,则33==a c e ,故选A二、构造a 、c 的齐次式,解出e根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 。

椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法

椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法

椭圆离心率的三种求法:(1)若给定椭圆的方程,则根据焦点位置确定a 2,b 2,求a ,c 的值,利用公式e =c a 或利用221ab e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时,若不能直接求得c a的值,通常由已知寻求a ,b ,c 的关系式,再与a 2=b 2+c 2组成方程组,消去b 得只含a ,c 的方程,再化成关于e 的方程求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解,从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ,b ,c 的不等式,消去b 后,转化为关于e 的不等式,从而求出e 的取值范围.1. 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,线段F 1F 2被点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2b 分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( )A.1617B.41717C.45D.255解析 依题意,得c +b 2c -b 2=53,∴c =2b ,∴a =b 2+c 2=5b ,∴e =2b 5b=255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系,列出条件求离心率.2. 设P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一点,F 1,F 2是其左,右焦点.已知∠F 1PF 2=60°,求椭圆离心率的取值范围.分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法,建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义,有|PF 1|+|PF 2|=2a .①在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos 60°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=12, 即|PF 1|2+|PF 2|2-4c 2=|PF 1||PF 2|.②①式平方,得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=4a 2.③由②③,得|PF 1||PF 2|=4b 23.④ 由①和④运用基本不等式,得|PF 1||PF 2|≤2212||||⎪⎭⎫ ⎝⎛+PF PF ,即4b 23≤a 2. 由b 2=a 2-c 2,得43(a 2-c 2)≤a 2,解得e =c a ≥12. 又e <1,∴该椭圆的离心率的取值范围是[12,1). 方法二 如图,设椭圆与y 轴交于B 1,B 2两点,则当点P 位于B 1或B 2处时,点P 对两焦点的张角最大,故∠F 1B 2F 2≥∠F 1PF 2=60°,从而∠OB 2F 2≥30°.在Rt △OB 2F 2中,e =c a =sin ∠OB 2F 2≥sin 30°=12. 又e <1,∴12≤e <1. ∴该椭圆的离心率的取值范围是[12,1). 点评 在求椭圆离心率的取值范围时,常需建立不等关系,通过解不等式来求离心率的取值范围,建立不等关系的途径有:基本不等式,利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围,点与椭圆的位置关系所对应的不等关系,椭圆上点的横、纵坐标的有界性等),判别式,极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P 运动到短轴的端点时,点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况.(2016全国Ⅰ高考)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆的中心到的距离为短轴长的41,则该椭圆的离心率为( B ) A. 31 B. 21 C. 32 D.43 解:设椭圆是焦点在x 轴上的标准方程,上顶点与右焦点分别为)0,(),0(c F b B 、,则直线l 的方程为0=-+bc cy bx 。

例析椭圆、双曲线离心率的求法

例析椭圆、双曲线离心率的求法

例析椭圆、双曲线离心率的求法
椭圆和双曲线都是非常重要的数学曲线,从古代就有了历史。

它们的运用十分
广泛,比如天文学、力学等多种领域。

此外,椭圆和双曲线的离心率也是一个重要的概念,因此了解它们求法也是十分重要的。

首先,椭圆的离心率求法。

根据弦长定理,椭圆的离心率ε可表示为:ε=c
/a,其中a为椭圆长轴,c为短轴,由此乘以ε即可求出离心率。

其次,双曲线的离心率求法。

根据常见的双曲线方程:x2/a2-y2/b2=1,其中
a为椭圆长轴,b为短轴,把中间的数学符号μ代入公式:μ=a2/b2;由此乘以
μ即可求出离心率。

另外,椭圆和双曲线的离心率也可以通过数学计算的方式进行求解,比如把它
们的方程式代入特殊函数求解,或者调用计算器进行计算,这些都有很多种方法。

为了解椭圆和双曲线的离心率,我们可以利用尺规、直角三角形等工具求解;
也可以通过计算机程序解出精确的实际结果。

有时候,采用抽象的思维能够获得更准确的结果。

但无论哪种方法,了解椭圆和双曲线的离心率都有它自身的优劣之处,希望大家可以按自己的意愿选择合适的方法。

高三数学专题复习离心率的三种求法

高三数学专题复习离心率的三种求法

椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率 0 e 1 ,双曲线的离心率 e 1 ,抛物线的离心率e 1 .一、直接求出 a,c ,求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a ,c 易求时,可利用率心率公式ec来解决 .x2y2a→→例 1:已知 F 1(- 1,0),F 2(1 ,0)是椭圆 a 2+ b 2= 1 的两个焦点,若椭圆上一点 P 满足 |PF 1|+ |PF 2|= 4,则椭圆的离心率 e = ________.12变式练习 1:若椭圆经过原点,且焦点为F 1 1,0 , F 2 3,0 ,则其离心率为( ) CA .3B. 2C.1D.14324变式练习 2:如果双曲线的实半轴长为 2,焦距为 6,那么双曲线的离心率为() CA.3B.6C.3D.22 22二、构造 a,c 的齐次式,解出 e.根据题设条件,借助 a ,b ,c 之间的关系,构造 a ,c 的关系式(特别是齐次式),进而得到关于e 的方程,从而解得离心率 e.x 2 y 2例 2: (2012 ·江西 )椭圆 a 2+ b 2= 1(a>b>0)的左,右顶点分别是 A ,B ,左,右焦点分别是F 1, F 2,若 |AF 1|,5 |F 1F 2|, |F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为________. 522变式练习 1:已知 F 1, F 2 是双曲线x2y 2 1( a 0,b 0 )的两焦点,以线段F 1 F 2 为边作正三角形 MF 1 F 2 ,ab若边 MF 1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是() DA.423B.31C.31D.3 12变式练习 2:若双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为 FF, F MF21200,则双曲线的离心率为()B1, 2 1A.366D.3B.C.32322变式练习 3:设双曲线x2y 2 1( b a0 )的半焦距为 c ,直线 l 过 a,0, 0,b 两点 .已知原点到直线的距ab离为3 c ,则双曲线的离心率为 ( ) A4A. 2B. 3C. 223D. 3三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3:设椭圆的两个焦点分别为F 1, F 2 ,过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△ F 1PF 2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ________. 21【跟踪训练】1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍,则椭圆的离心率等于() DA .13C .1D .3B .33222242.已知双曲线x y1的一条渐近线方程为 y x ,则双曲线的离心率为( )Aa 2b 23 54 C.5 3A. B. 4 D.3 3 2x 2 y 2 1 ( a 0,b 0 )的两个焦点, A 和 B 是以 O3.如图, F 1 和 F 2 分别是双曲线b 2 a 2y为圆心,以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F 2 AB 是等边三A角形,则双曲线的离心率为( )D F 1O F 2 xBA. 3B. 5C.5D.3 124.设 F 1 ,F 2 分别是双曲线x 2 y 2 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使 F 1 AF 290 0 ,且 AF 13AF 2 ,22a b 则双曲线离心率为() B5B.10C.15D. 5A.222225.已知双曲线 xy 1( a 0,b0 )的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为600 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) CA. 1,2B. 1,2C. 2,D. 2,x 2y 21(a b 0) 的左顶点为 A ,左焦点为 F ,上顶点为 B ,若∠ BAO+∠ BFO=90 °,则6.已知椭圆 C : 22ab椭圆 C 的离心率是.5 12【走进高考】1. (2013 浙·江理 )如图 , F 1 , F 2 是椭圆 C 1 :x 2y 21与双曲线 C 2 的公共y4焦点,A,B分别是 C 1, C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AAF 1 BF 2 为矩形 , 则 C 2 的离心率是 ( )D F 1OF 2xA. 2B . 3B(第 1 题图)C.3D . 6222.(2013 湖·南理 )设 F 1, F 2 是双曲线 C : x 2y 2 1(a 0,b0) 的两个焦点, P 是 C 上一点 ,若 PF 1PF 2 6a,a 2b 2且△ PF 1F 2 的最小内角为 30 , 则 C 的离心率为. 33.(2013 福·建理 )椭圆x 2y 21(a b 0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2 ,焦距为2c,若直线 y3( xc) 与椭:22a b圆的一个交点 M 满足MF 1 F 2 2 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于__________. 3 1x 2y 24.(2013 辽·宁理 ) 已知椭圆 C : a 2b 21(a b0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点 ,连接AF, BF, 若 AB10 , AF6 , cos ABF4 , 则 C 的离心率 e=______. 5575. (2014 江·西理 )过点 M (1,1) 作斜率为1的直线与椭圆 C : x 2y 21(a b0) 相交于 A, B ,若 M 是线段2 a 2 b 2AB 的中点,则椭圆C 的离心率为.226. (2014 浙·江理 )设直线 x 3 ym0(m 0)x 2 y 21( a b0 )两条渐近线分别交于点与双曲线b 2a 2A, B ,若点 P( m,0) 满足 PAPB , 则该双曲线的离心率是5__________.27. (2014 重·庆理 )设 F 1, F 2 分别为双曲线x 2y 21(a 0,b 0) 的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得a 2b2| PF 1 | |PF 2 | 3b, | PF 1 | | PF 2 9)B|ab ,则该双曲线的离心率为(4A.4B. 5C.9D.33348.(2015 新课标 II 理 )已知 A , B 为双曲线 E 的左,右顶点,点M 在 E 上,△ ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为 () DA. 5B.2C. 3D. 2x 2y 2 1的一个焦点,若C 上存在点 P ,使线段 PF 的中点恰为其虚9.(2015 湖南理 )设 F 是双曲线 C :2b 2a轴的一个端点,则C 的离心率为. 5C 1:x2210.(2015 山东理 )平面直角坐标系xOy 中,双曲线 2y 2 1 a 0,b 0 的渐近线与抛物线C 2:abx 22 py p 0 交于点 O , A , B ,若△ OAB 的垂心为 C 2 的焦点,则 C 1 的离心率为. 322211.(2016 浙江理 )已知椭圆 C 1 : x2 +y 2=1(m>1) 与双曲线 C 2: x2 –y 2=1( n>0) 的焦点重合, e 1,e 2 分别为 C 1,mn C 2 的离心率,则( ) AA .m>n 且 e 1e 2>1B . m>n 且 e 1e 2<1C . m<n 且 e 1 e 2>1D . m<n 且 e 1e 2<112.(2016 新课标Ⅲ文理 )已知 O 为坐标原点,x 2y 21(a b0) 的左焦点,分别为 C 的F是椭圆C :a 2b 2A, B左,右顶点 . P 为 C 上一点,且 PFx 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ,与 y 轴交于点 E .若直A .1B.1C.2D.3 323413.( 2016 新课标Ⅱ理)已知F1, F2是双曲线 E : x222y2 1 的左,右焦点,点M 在 E 上,MF1与 x 轴垂直,a bsin MF2 F11,则 E 的离心率为() A 3(A)2(B)3(C)3(D)2 22–y214.( 2016 山东文理)已知双曲线E:x22 =1 ( a>0 , b>0).矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上, AB, CDa b的中点为 E 的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 _______. 2xOy F x2y2yb15.(2016 江苏 )如图,在平面直角坐标系中,是椭圆a 2b2 1(a>b>0) 的右焦点,直线 2 与椭圆交于 B,C 两点,且BFC90 ,则该椭圆的离心率是6 .316.(2017 新课标Ⅰ理15)已知双曲线 C:x2y21(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作a2b2圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M、 N 两点 .若∠ MAN =60°,则 C 的离心率为 ________.2 3317.(2017 北京文 10)若双曲线x2y21的离心率为3,则实数 m=__________ . 2m18.(2017新课标Ⅱ理9)若双曲线C:221(a0 b0)的一条渐近线被圆x2y2 4 所截得x2y2,2a b的弦长为 2,则C的离心率为() AA .2B.3C.2 D .23319.(2017 新课标Ⅲ文11)已知椭圆 C:x2y21, ( a>b>0) 的左、右顶点分别为A1, A2,且以线段 A1A2 a2b2为直径的圆与直线bx ay2ab0 相切,则C的离心率为() AA .6B .321 33C.D.3320.(201814)x 2 y 2x 2y 2N北京理 已知椭圆M :a 2b 21(a b0),双曲线N :m 2n 2 1 .若双曲线 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为__________ ;双曲线 N 的离心率为 __________. 31221.(2018 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线x 2y 2 1(a0,b0)的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线a 2b 2的距离为3 c ,则其离心率的值是. 2222.(2018 新课标Ⅱ理 12)已知 F 1, F 2 是椭圆 C:x 2y 2 1(a b 0) 的左、右焦点, A 是 C 的左顶点,点Pa 2b 2在过 A 且斜率为3的直线上,△ PF 1F 2 为等腰三角形,∠ F 1 2的离心率为 () D6F P=120 ,则 C21C .11A.B .3D .32423.(2018 新课标Ⅲ理 11)设 F 1,F 2 是双曲线 C:x 2y 21(a 0,b 0) 的左,右焦点, O 是坐标原点.过 F 2a 2b 2作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若 PF 1 6 OP ,则 C 的离心率为 ( ) CA . 5B . 2C . 3D . 2椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率 0 e 1 ,双曲线的离心率 e 1 ,抛物线的离心率e 1 .一、直接求出 a,c ,求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a ,c 易求时,可利用率心率公式ec来解决 .x2y2a→→例 1:已知 F 1(- 1,0),F 2(1 ,0)是椭圆 a 2+ b 2= 1 的两个焦点,若椭圆上一点 P 满足 |PF 1|+ |PF 2|= 4,则椭圆的离心率 e = ________.【答案】12→→1【解析】由椭圆定义及 |PF 1|+ |PF 2|= 4,得 2a = 4, a = 2, c = 1,e = .2变式练习 1:若椭圆经过原点,且焦点为F 1 1,0 , F 2 3,0 ,则其离心率为( )A .3B. 2C. 1D. 13424 【答案】 C【解析】由 F 1 1,0 , F 2 3,0 知2c 3 1 ,∴ c1 ,又∵椭圆过原点,∴ a c 1 , ac 3.∴ a2 , c 1 c 1,所以离心率 e.故选 C.a2变式练习 2:如果双曲线的实半轴长为 2,焦距为 6,那么双曲线的离心率为()A. 3B. 6C.3D.2222【答案】 C【解析】由题设a2 , 2c 6 ,则 c3 , e c3,因此选 C.a 2二、构造 a,c 的齐次式,解出 e.根据题设条件,借助 a ,b ,c 之间的关系,构造 a ,c 的关系式(特别是齐次式),进而得到关于 e 的方程,从而解得离心率 e.22例 2: (2012 ·江西 )椭圆 x2 y 2A ,B ,左,右焦点分别是, F ,若 |AF1|,a +b = 1(a>b>0)的左,右顶点分别是F 12|F 1F 2|, |F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ________. 【答案】55【解析】由椭圆的定义知,|AF 1|= a - c , |F 1F 2 |= 2c , |BF 1 |= a + c.∵ |AF 1|, |F 1F 2|, |BF 1|成等比数列,因此4c 2=( a -c) ·(a + c),整理得 5c 2= a 2,两边同除以 a 2得 5e 2= 1,解得 e =5.522变式练习 1:已知 F 1 , F 2 是双曲线x2y2 1( a0, b 0 )的两焦点, 以线段 F 1F 2 为边作正三角形MF 1 F 2 ,ab若边 MF 1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )A.423B.31C.31D.312【答案】 D【解析】如图,设 MF 1 的中点为 P ,∵ F 1(-c,0 ),M (0, 3c ),∴ P(c 3cc 2 3c 22,2 ).代入双曲线方程,得 4a 2 4b 2 1 .∴ c 4 8a 2c 2 4a 4 0 , e 4 8e 2 4 0 , e 24 2 3 ,∴ e 1 3 .故选 D.变式练习 2:若双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为 F 1 ,F 2 , F 1 MF 21200,则双曲线的离心率为 ()A. 3B. 6C. 6D.3323【答案】 B【解析】如图所示,不妨设 M 0,b , F 1c,0 , F 2 c,0 ,则 MF 1MF 2c 2 b 2 ,又 F 1 F 2 2c ,MF 1 2MF 222在 F 1MF 2 中, 由余弦定理,得 cosF 1 F 2,F 1MF 22 MF 1 MF 2222 22221cbcb4cc1 .即 2 c 2 b 2,∴ b2b 2c 22∵ b2c2a 2,∴2ca21,∴3a22c 2 ,∴ e 23 ,∴ e 6 ,故选 B.2 a 2222变式练习 3:设双曲线x 2y 2 1( b a0 )的半焦距为 c ,直线 l 过 a,0, 0,b 两点 .已知原点到直线的距a 2b 2离为3c ,则双曲线的离心率为 ()4A. 2B. 3C. 22 3D. 3【答案】 A【解析】由已知,直线l 的方程为 bx ayab0 ,由点到直线的距离公式,得ab 3 c .a 2b 24又 c 2 a 2 b 2 , ∴ 4ab 3c 2 ,两边平方,得 16a 2 c 2 a 23c 4 ,整理得 3e 416e 2 16 0 ,得 e 24或 e 24 .又 0 a b 2c 2 a 2 b 2 1 b 2 2 ,∴ e 2 4e 2,故选 A.3,∴ e a 2 a 2a 2,∴三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3:设椭圆的两个焦点分别为 F 1, F 2 ,过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△ F 1PF 2 为等腰直角三【答案】21c2c2c 2c 1 2 1 .【解析】 e2 2c 2ca 2a PF 1 PF 22 1【跟踪训练】1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍,则椭圆的离心率等于() A . 13C .1D .3B .2332答案: D解析: ∵椭圆的长轴长是短轴长的2 倍,∴ a=2b ,椭圆的离心率 c3 ,选 D.e2a224x ,则双曲线的离心率为(2.已知双曲线 xy 1的一条渐近线方程为y)a 2b 23A.5B.4C.5D.333 42答案: A解析: 双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得b 4,可得 ec 32425,故选 A.a3a33x2y21 ( a 0,b0 )的两个焦点, A 和 B 是以 O3.如图, F 1 和 F 2 分别是双曲线b 2a 2y为圆心,以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F 2 AB 是等边三A角形,则双曲线的离心率为( )F 1O F 2 xBA.3B.55 D. 3 1C.2答案: D解析: 连接 AF 1,∵ F 2 AB 是等边三角形,∴∠ AF 2F 1=30°,∠ F 1AF 2=90°.∴ |AF 1|=c , |AF 2|=3 c ,∴ 2a=( 3 - 1)c ,双曲线的离心率为 1+3 ,故选 D.4.设 F 1 ,F 2 分别是双曲线 x 2 y 21 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 F 1 AF2 900 ,且 AF 13 AF 2 ,a 2b 2则双曲线离心率为( )A.5B. 10C. 15D. 5222答案: B解析:设 F ,F 分别是双曲线x 2 y 2 1的左、右焦点 .若双曲线上存在点 A ,使∠ F 1AF 2=90o ,且|AF 1|=3|AF 2 |, a 2 b 212设 |AF 2|=1, |AF 1|=3,在双曲线中 2a=|AF 1|- |AF 2 |=2, 2c= 22= 10 10AF 1AF 2 ,∴离心率 e=.25.已知双曲线x 2 y 2 1( a 0,b0 )的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为 600 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2A. 1,2B. 1,2C. 2,D. 2,答案: C解析: 双曲线x 2y 2 1 ( a 0,b 0 )的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为60 0 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2222只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b ,∴ b3 ,离心率 e 2= c2a2b ≥aaaa4,∴ e ≥ 2,故选 C.6.已知椭圆x 2 y 2的左顶点为 A ,左焦点为 F ,上顶点为 B ,若∠ BAO+∠ BFO=90 °,则C :a 2b 21(ab 0)椭圆 C 的离心率是 .答案:5 12解析: ∵∠ BAO+∠ BFO=90 °,∴ sin ∠ BAO =cos ∠ BFO ,∴b b 2c,∴ e23 5 ,e 235(舍去 ).a 2 a22∴ e5 1 .2【走进高考】1. (2013 浙·江理 )如图 , F 1 , F 2 是椭圆 C 1 :x 2y 21与双曲线 C 2 的公共y4焦点 , A, B 分别是 C 1, C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AAF 1 BF 2 为矩形 , 则 C 2 的离心率是 ()F 1OF 2xA.2B . 3B(第 1 题图)C.3D . 6 22【答案】 D2.(2013 湖·南理 )设 F 1, F 2 是双曲线x 2 y 2的两个焦点, P 是 C 上一点 ,若 PF 1PF 26a,C : a 2 b 21(a 0,b0)且△ PF 1F 2 的最小内角为 30 , 则 C 的离心率为 .【答案】33.(2013 福·建理 )椭圆x 2y 21(ab 0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2 ,焦距为 2c,若直线 y3( xc) 与椭:22a b圆的一个交点 M 满足MF 1 F 22 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于 __________.【答案】3 14.(2013 辽·宁理 ) 已知椭圆 C :x 2y 21(a b 0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点 ,连接a 2b 2AF, BF, 若 AB10 , AF6 , cos ABF4, 则 C 的离心率 e=______.【答案】571x 225. (2014 江·西理 )过点 M (1,1) 作斜率为的直线与椭圆C : y1(a b 0) 相交于 A, B ,若 M 是线段 2a 2b 2AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为.6. (2014 浙·江理 )设直线 x 3 y m 0(m 0)x 2 y 2 1( a b 0 )两条渐近线分别交于点与双曲线b 2a 2A, B ,若点 P(m,0) 满足 PA PB , 则该双曲线的离心率是 __________.7. (2014 重·庆理 )设 F 1, F 2 分别为双曲线x 2 y 2 的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得a 2b 21(a 0,b 0)| PF 1 | | PF 2 | 3b, | PF 1 | |PF 2 | 9ab ,则该双曲线的离心率为()A.4B.5C.9D.33 3 48.(2015 新课标 II 理 )已知 A , B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为 ( )A. 5B.2C. 3D. 2【答案】 D9.(2015 湖南理 )设 F 是双曲线 C :x 2y 2 1的一个焦点,若 C 上存在点 P ,使线段 PF 的中点恰为其虚a 2b 2轴的一个端点,则C 的离心率为.【答案】510.(2015 山东理 )平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:x 2 y 2 1 a 0,b 0 的渐近线与抛物线 C 2:a2b2x 22 py p 0 交于点 O , A , B ,若△ OAB 的垂心为 C 2 的焦点,则 C 1 的离心率为.答案:32x2y21(a 0,b 0) 的渐近线为 解析:C 1:2b 2aC 2 : x22 py( p0) 的焦点 F (0, p) ,则 k AF2b 2 pb 2 pb 2 ), B(yx ,则 A( , 2 a a a 2pb 2pb 25c 2a 2 2 a ,即 , 2pb b a 2 4 a 2a2 pb 2pb 2, ) . a a 2a 2b 29 c 3a 2 ,ea .4211.(2016 浙江理 )已知椭圆 C 1: x 2+y 2=1(m>1) 与双曲线 C 2: x2 –y 2=1( n>0) 的焦点重合, e 1,e 2 分别为 C 1,m 2n 2C 2 的离心率,则()A . m>n 且 e 1e 2>1B . m>n 且 e 1e 2<1C . m<n 且 e 1e 2>1D . m<n 且 e 1e 2<1【答案】 A考点: 1、椭圆的简单几何性质; 2、双曲线的简单几何性质.【易错点睛】 计算椭圆 C 1 的焦点时, 要注意 c 2 a 2b 2 ;计算双曲线 C 2 的焦点时,要注意c 2 a 2 b 2 .否则很容易出现错误.2212.(2016 新课标Ⅲ文理 )已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C :x2y2 1(a b 0) 的左焦点, A, B 分别为 C 的a b左,右顶点 . P 为 C 上一点,且 PF x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ,与 y 轴交于点 E .若直线 BM经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( )A .1B.1C.2D.33234【答案】 A考点:椭圆方程与几何性质.【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法:( 1)直接求得 a ,c 的值,进而求得e 的值;( 2)建立 a,b, c 的齐次 等式,求得 b或转化为关于 e 的等式求解; (3) 通过特殊值或特殊位置,求出e .a13.( 2016 新课标Ⅱ理)已知x 2 y 2M 在E 上,与 x 轴垂直,F 1, F 2 是双曲线 E :a 2b 2 1 的左,右焦点,点MF 1sin MF 2F 11 ,则 E 的离心率为( )3(A ) 2(B )3(C ) 3(D )22【答案】 A考点:双曲线的性质 .离心率 .【名师点睛】区分双曲线中a ,b ,c 的关系与椭圆中 a , b ,c 的关系,在椭圆中a 2=b 2+c 2,而在双曲线中 c 2=a 2+ b 2.双曲线的离心率 e ∈ (1,+ ∞),而椭圆的离心率 e ∈ (0, 1).x 2 y 214.( 2016 山东文理)已知双曲线 E :–=1 ( a>0 , b>0).矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上, AB , CDa 2b 2的中点为 E 的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 _______.【答案】 2【解析】依题意,不妨设AB 6, AD 4 ,作出图象如下图所示 .则 2c 4,c 2;2a DF2DF1532,a 1, 故离心率c2 2 . a115.(2016 江苏 )如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆 x2y2的右焦点,直线yb 与椭a 2b21(a>b>0)2圆交于 B,C 两点,且BFC90,则该椭圆的离心率是.【答案】63考点:椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查,一般分两个层次,一是由离心率的定义,只需分别求出a, c ,这注重考查椭圆标准方程中量的含义,二是整体考查,求 a,c的比值,这注重于列式,即需根据条件列出关于a,c 的一个齐次等量关系,通过解方程得到离心率的值.16.(2017 新课标Ⅰ理 15)已知双曲线 C:x2y2 1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作a2b2圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M、 N 两点 .若∠ MAN=60°,则 C 的离心率为 ________.【答案】2 33【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:①求解渐近线,直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是 b ;③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab. c17.(2017 北京文 10)若双曲线x2y21的离心率为3,则实数 m=__________ .m【答案】 29)若双曲线C:x2y2218.(2017 新课标Ⅱ理1(a 0,b0 )的一条渐近线被圆x 2 4 所y2a2b2截得的弦长为2,则C的离心率为()A . 2B.3C.223 D.3【答案】 Ax2y2为直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切,则 C 的离心率为()A .63C .213B .3D .33【答案】 A【解析】以线段A 1 A 2 为直径的圆是 x 2 y 2 a 2 ,直线 bx ay2ab 0 与圆相切,所以圆心到直线的距离d2aba ,整理为 a 23b 2 ,即 a 23 a2c22a23c 2 ,即 c 22 , ec6,故选 A.a 2b 2a 23a32222x yxy20.(2018 北京理14)已知椭圆 M :a 2b 2 1(ab0),双曲线N :m 2n 21 .若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为__________ ;双曲线 N 的离心率为 __________.【答案】3 1 22221.(2018 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线xy1(a0,b 0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线a 2b 2的距离为3c ,则其离心率的值是.2【答案】 22222.(2018 新课标Ⅱ理12)已知 F 1, F 2 是椭圆 C:x2y 2 1(a b 0) 的左、右焦点, A 是 C 的左顶点,点 Pab在过 A 且斜率为3的直线上,△ PF 1F 2 为等腰三角形,∠ F 1F 2P= 120,则 C 的离心率为 ()6A.2B .1C .1D .13 234【答案】 D2223.(2018 新课标Ⅲ理11)设 F 1,F 2 是双曲线 C:x2y 2 1(a 0,b 0) 的左,右焦点, O 是坐标原点.过 F 2ab作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P .若PF 16 OP ,则 C 的离心率为 ()A . 5B . 2C . 3D . 2【答案】 C。

椭圆离心率求法

椭圆离心率求法

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e . 一、直接求出a 、c ,求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时,可利用率心率公式ac e =来解决。

例1:已知双曲线1222=-y ax (0>a )的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合,则该双曲线的离心率为()A.23 B. 23 C. 26D.332 解:抛物线x y 62-=的准线是23=x ,即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ,则02322=--c c ,解得2=c ,3=a ,332==a c e ,故选D变式练习1:若椭圆经过原点,且焦点为()0,11F 、()0,32F ,则其离心率为()A. 43B. 32C. 21D. 41解:由()0,11F 、()0,32F 知132-=c ,∴1=c ,又∵椭圆过原点,∴1=-c a ,3=+c a ,∴2=a ,1=c ,所以离心率21==a c e .故选C. 变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为()A.23B. 26C. 23 D 2解:由题设2=a ,62=c ,则3=c ,23==a c e ,因此选C 变式练习3:点P (-3,1)在椭圆12222=+by a x (0>>b a )的左准线上,过点P 且方向为()5,2-=的光线,经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为()A33 B 31 C 22D 21 解:由题意知,入射光线为()3251+-=-x y ,关于2-=y 的反射光线(对称关系)为0525=+-y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ,1=c ,则33==a c e ,故选A 二、构造a 、c 的齐次式,解出e 根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 。

求椭圆离心率常用的三种方法

求椭圆离心率常用的三种方法

椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质,它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合,侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢?下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道,圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率,只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,则E的离心率为_______.解:因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍,所以2a=4b,所以ba=12,可得e=ca本题较为简单,由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系,直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2,即可求得c与a的比值,从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0,P为椭圆的左顶点,且||PF=5,则椭圆C的离心率为().A.23B.12C.25D.13解:因为椭圆的右焦点为F()2,0,所以c=2,因为P为椭圆的左顶点,所以||PF=a+c=a+2=5,解得a=3,所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值;然后根据P点的位置,确定a的值,即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时,我们可以根据题意画出几何图形,将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径,根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径,或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1,F2,点M是椭圆C上第一象限的点,若||MF1=||F1F2,直线F1M与y轴交于点A,且F2A是∠MF2F1的角平分线,则椭圆C的离心率为_______.解:由题意得||MF1=||F1F2=2c,由椭圆的定义得||MF2=2a-2c,记∠MF1F2=θ,则∠AF2F1=∠MF2A=θ,∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ,则||AF2=||AF1=2a-2c,所以||AM=4c-2a,故ΔMF1F2∽ΔMF2A,则||MF2||F1F2=||AM||MF2,则2a-2c2c=4c-2a2a-2c,可得e2+e-1=0,解得e=5-12或e=-5-12(舍).解答本题,需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式,并根据椭圆的定义,即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹,确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系,从而使问题获解.例4.如图1,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点M()x0,y0()x0>c是C上的一点,点A是直线MF2与y轴的交点,ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N,若|MN|=2||F1F2,则椭圆C的离心率e=______.解:设内切圆与AM切于Q,与AF1切于P,所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c,||F1N=||F1P,||AP=||AQ,图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2,所以||PF 1=||QF 2,即||NF 1=||QF 2,所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系;然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题,即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系,得到关于a 、c 的关系式,进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小,有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时,若不易求出a 、c 的值或比值,则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程,建立关于a 、b 、c 的二次齐次式,即可根据离心率公式e =ca,得到关于e 的二次方程,进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2,已知椭圆的方程为:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0,过原点的直线交椭圆于M ,N 两点,点P 在x 轴上,其横坐标是点M 横坐标的3倍,直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线,求椭圆的离心率.解:设M ()x 1,y 1,Q ()x 2,y 2,则N ()-x 1,-y 1,P ()3x 1,0,设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则k 1=y 1x 1,k 2=y 2-y 1x 2-x 1,k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1,因为直线QM 是圆的切线,所以QM ⊥MN ,k 1k 2=-1,所以k 2k 3=-14,又Q 在直线NP 上,所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1,因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上,所以x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1,将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0,整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2,故k 2k 3=-b 2a 2=-14,即b 2a 2=14,可得a 2-c 2a 2=34,即a2-c 2a 2=1-e 2=14,解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34;再根据离心率公式e=c a ,建立关于e 的方程,即可求得e 的值.在求得e 的值后,一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内,以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3,已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0,且与椭圆交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,若点C ,F 分别是线段AB 的三等分点,则该椭圆的离心率为_______.解:因为点C 、F 是线段AB 的三等分点,由图3可知C 为AF 的中点,右焦点为F 2,所以AF 2//OC ,所以AF 2⊥x 轴,由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ,C ()0,b 22a,因为C ,B 关于F 对称,所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ,将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得:4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2,所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ;再根据线段的对称性可求得B 点的坐标;最后将其代入椭圆中,即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式,进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率,我们需明确解题的目的有两个:一是通过计算求得c 与a 的值;二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式,进一步将其转化为关于ca的方程.(作者单位:四川省内江市威远中学校)42。

椭圆离心率求法

椭圆离心率求法

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e . 一、直接求出a 、c ,求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时,可利用率心率公式ac e =来解决。

例1:已知双曲线1222=-y ax (0>a )的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合,则该双曲线的离心率为()A.23 B. 23 C. 26D.332 解:抛物线x y 62-=的准线是23=x ,即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ,则02322=--c c ,解得2=c ,3=a ,332==a c e ,故选D变式练习1:若椭圆经过原点,且焦点为()0,11F 、()0,32F ,则其离心率为()A. 43B. 32C. 21D. 41解:由()0,11F 、()0,32F 知132-=c ,∴1=c ,又∵椭圆过原点,∴1=-c a ,3=+c a ,∴2=a ,1=c ,所以离心率21==a c e .故选C. 变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为()A.23B. 26C. 23 D 2解:由题设2=a ,62=c ,则3=c ,23==a c e ,因此选C 变式练习3:点P (-3,1)在椭圆12222=+by a x (0>>b a )的左准线上,过点P 且方向为()5,2-=的光线,经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为()A33 B 31 C 22D 21 解:由题意知,入射光线为()3251+-=-x y ,关于2-=y 的反射光线(对称关系)为0525=+-y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ,1=c ,则33==a c e ,故选A 二、构造a 、c 的齐次式,解出e 根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 。

离心率的五种求法

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c,求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时,可利用离心率公式e=c/a来解决。

例如,已知双曲线2-x^2/y^2=1(a>c)的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合,则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。

解法为:抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3,即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2,a=3,e=c/a=2/3.因此,选D。

变式练1:若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0),则其离心率为√(2/3)。

解法为:由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2,∴c=1,又∵椭圆过原点,∴a-c=1,a+c=2,解得a=3/2,e=c/a=√(2/3)。

因此,选C。

变式练2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为√13/2.解法为:由题设a=2,2c=6,则c=3,e=c/a=√13/2.因此,选C。

变式练3:点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1(a>b)的左准线上,过点P且方向为(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为:由题意知,入射光线为y-1=-x/2,关于y=-2的反射光线(对称关系)为y+5=-2(x+3),解得a=3,c=√5,则e=c/a=√113/5.因此,选A。

二、构造a、c的齐次式,解出e根据题设条件,借助a、b、c之间的关系,构造a、c的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e的一元方程,从而解得离心率e。

1到l1的距离,又AB的长为2a,∴XXX的长为a。

设AB的中点为M,则MF1为椭圆的半长轴,由于F1在x轴右侧,∴F1的横坐标为c,且c>a。

设F1为(c,0),则根据椭圆的统一定义,可得c2x2y2a2c2。

其中c为椭圆的半焦距,由题意可得AD的长为a,即MF1的长为a,又MF1为椭圆的半长轴,∴a=c,代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。

离心率公式大全

离心率公式大全

离心率公式大全离心率是描述椭圆轨道形状的重要参数,它可以帮助我们了解天体运动的轨道特征。

在天文学、航天工程和其他相关领域中,离心率公式的应用非常广泛。

本文将为大家介绍离心率的概念和计算方法,以及一些常见的离心率公式。

首先,让我们来了解一下离心率的概念。

离心率是描述椭圆轨道形状的参数,它是一个介于0和1之间的数值。

当离心率为0时,轨道为圆形;当离心率接近于1时,轨道越趋向于长形。

离心率的大小决定了天体轨道的形状,对于天文学家和航天工程师来说,离心率是非常重要的参量。

接下来,我们将介绍一些常见的离心率公式。

在椭圆轨道运动中,离心率的计算公式如下:e = √(1 (b^2 / a^2))。

其中,e代表离心率,a代表椭圆长轴的长度,b代表椭圆短轴的长度。

这个公式可以帮助我们计算出椭圆轨道的离心率,进而了解天体运动的轨道形状。

除了上述的基本离心率公式外,还有一些特殊情况下的离心率公式需要我们了解。

比如,在开普勒定律中,椭圆轨道的离心率可以表示为:e = (r_max r_min) / (r_max + r_min)。

其中,r_max代表椭圆轨道的最远点距离,r_min代表椭圆轨道的最近点距离。

这个公式适用于描述天体在椭圆轨道上的运动情况,对于研究天体运动规律有着重要的意义。

此外,还有一些其他情况下的离心率公式,比如在引力场中的离心率计算、椭圆轨道的参数方程等。

这些公式在不同的领域和情境中有着不同的应用,可以帮助我们更好地理解天体运动的规律和特征。

总之,离心率是描述椭圆轨道形状的重要参数,离心率公式的应用涉及到天文学、航天工程等多个领域。

通过本文的介绍,希望能够帮助大家更好地理解离心率的概念和计算方法,为相关领域的研究和实践提供帮助。

希望本文介绍的离心率公式能够对大家有所启发,也欢迎大家在实际应用中进一步探索和应用。

求离心率范围的六种方法

求离心率范围的六种方法

求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中,离心率经常渗透在各类题型中。

离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据,在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。

因此求离心率的取值范围,综合性强,是解析几何复习的一个难点。

笔者从事高中数学教学二十余载,积累了六种求解这类问题的通法,供同仁研讨。

一、利用椭圆上一点P (x ,y )坐标的取值范围,构造关于a ,b ,c 的不等式例1 若椭圆()012222 b a by a x =+上存在一点P ,使︒=∠900PA ,其中0为原点,A 为椭圆的右顶点,求椭圆离心率e 的取值范围。

解:设()00,y x P 为椭圆上一点,则122220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ,所以以O A 为直径的圆经过点P ,所以020020=+-y ax x . ②联立①、②消去0y 并整理得当a x =0时,P 与A 重合,不合题意,舍去。

所以2220ba ab x -=又a x 00,所以a ba ab 2220-, 即 ()22222c a b a -=得2122 ac ,即223e又10 e ,故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系,构造关于a ,b ,c 不等式例2 已知双曲线()0,01x 2222 b a by a =-左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为p ,ι是双曲线左支上一点,并且221PF PF d =,由双曲线第二定义得ed =1PF ,所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得a PF 2PF 12=- ②由①-②得在21PF F ∆中,所以 c e ea e a 21212≥-+- , 即e e e ≥-+11. 又1 e ,从而解得e 的取值范围是(]21,1+。

三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 设椭圆()012222 b a by a x =+的两焦点为F 1、F 2,问当离心率E 在什么范围内取值时,椭圆上存在点P ,使21PF F ∆=120°.解:设椭圆的焦距为2c ,由椭圆的定义知a PF PF 221=+.在21PF F ∆中,由余弦定理得=212221PF PF PF PF ++ =(21221)PF PF PF PF -+所以22212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=- 所以23,4322≥≤a cc a 得. 又10 e ,故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义,结合完全平方数(式)非负的属性构造关于a ,b ,c 的不等式例4 如图1,已知椭圆长轴长为4,以y 轴为准线,且左顶点在抛物线1y 2-=x 上,求椭圆离心率e 的取值范围。

专题:椭圆的离心率解法大全

专题:椭圆的离心率解法大全

e 的取值范围。
解:设 Px, y , F1 c,0 , F2 c,0
法 1:利用椭圆范围。
由 F1P F2P 得 x 2
y2
c2 ,将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得 x 2 a 2c2 a 2b 2 a2 b2
a 2 (c2 a 2 ) 。 e2
由椭圆的性质知 0 x 2 a 2 ,得以e [ 2 ,1)。 2
1
1
,由
a sin cos 2 sin
4
12
,
4

2 e 2
6。 3
6,如图,在平面直角坐标系
xoy
中,
A1
,
A2
,
B1,
B2
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的四个顶点, F
为其右焦
点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率
分析:此题有角的值,可以考虑正弦定理的应用。
解:由正弦定理:错误! = 错误! PF2 sin PF1F2
根据和比性质:
错误!= 错误! 变形得: 错误! =错误! 2c =e 2a
∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15°
e=
sin90° sin75°+sin15°
=错误!
点评:在焦点三角形中,使用第一定义和正弦定理可知 e=\f(sin F1PF2 ,sin F1F2P +sin PF1F2 )
∣MF∣=∣MO∣,则椭圆的离心率是 3 1
4,椭圆错误! +错误!=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两

求离心率的9种方法【解析版】

求离心率的9种方法【解析版】

求离心率的9种方法【解析版】专题:椭圆和双曲线的离心率第一节:常用求离心率的公式及推导过程汇总注:AFBFBF AF ==λλ或者而不是ABBFAB AF 或 ABBFAB AF 或 第二节:离心率求值一、椭圆离心率的求值1、定义法求离心率2、运用通径求离心率3、运用e=11k 12+-+λλ求离心率4、运用βαβαsin sin )sin(++==a c e 求离心率5、运用结论a k22b k AB OM-=•求离心率—— (A,B 为椭圆上的任意两点,M 为直线AB 的中点)6、运用正弦定理余弦定理求离心率7、运用相似比求离心率8、求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 9、运用几何关系求离心率1、定义法求离心率【2018•新课标Ⅰ文】已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( ) A.31 B.21 C.22 D.322 【答案】C【解析】 14222=+y a x ,∵ ,则 。

【2016 新课标Ⅰ(文)5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )A .13 B .12 C .23 D .34【答案】B【解析】由直角三角形的面积关系得bc=22124b b c ⨯+12c e a ==,故选B 【2010•广东7】若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )A.45 B.35 C.25D. 15【答案】B【解析】设长轴为2a ,短轴为2b ,焦距为2c ,则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得:2225230,5230c ac a e e +-=+-=35e e ⇒=或=-1(舍). 【2012江西文理】椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 . 【答案】55【解析】因为椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,所以(a ﹣c )(a+c )=4c 2,即a 2=5c 2,所以e=55. 2、运用通径求离心率【2014•江西文】设椭圆C 2222x y a b+=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于 . 【答案】33【解析】解法一:不妨假设椭圆中的a=1,则F 1(﹣c ,0),F 2(c ,0),当x=c 时,由2222x y a b +=1得y=ab 2=b 2,即A (c ,b 2),B (c ,﹣b 2),设D (0,m ),∵F 1,D ,B 三点共线, ∴,解得m=﹣2b 2,即D (0,﹣2b 2),∴若AD ⊥F 1B ,在,即=﹣1,即3b 4=4c 2,则3b 2=2c=3(1﹣c 2)=2c ,即3c 2+2c ﹣3=0,解得c==,则c=,∵a=1,∴离心率e=a c =33,解法二:由题意得F 1(﹣c ,0),由通径长可得A (c,a 2b ),B (c,-a 2b ),又因DO ∥BF 2,,O 为F 1F 2中点所以D 为F 1B 的中点,则D (0,a 2b 2),若AD ⊥F 1B ,则,即1-cc 0-b -0c 2b -b 222=+•-a a a ,解得e=a c =33。

专题:椭圆的离心率解法大全

专题:椭圆的离心率解法大全

专题:椭圆的离心率解法大全椭圆是一种非常常见的几何形状,它在机械设计、电子设计、建筑设计等领域都有广泛的应用。

在实际的设计中,我们经常需要计算椭圆的面积、周长,以及确定其离心率等参数。

在本专题中,我们将介绍椭圆的离心率解法,包括公式推导以及实际应用。

1. 什么是椭圆的离心率椭圆的离心率是用来描述椭圆形状的一个参数,常用字母e表示。

它可以用一个公式来计算:e = √(1 - b²/a²)其中,a和b分别表示椭圆的长轴半径和短轴半径。

在这个公式中,长轴和短轴是椭圆的两个特征轴,通过它们可以确定椭圆的形状。

离心率越小,表示椭圆越接近于圆形;离心率越大,表示椭圆越“瘦长”。

2. 椭圆的离心率计算方法方法1:测量法在实际应用中,我们可以通过测量椭圆的长轴、短轴长度,再利用上面的公式计算离心率。

如果精度要求不高,这种方法比较简单实用,无需过多计算。

方法2:拟合法对于一些特定的数据分布,我们可以通过拟合方法来计算椭圆的离心率。

例如,在二维数据最小二乘拟合中,我们可以用椭圆方程将数据拟合到一个椭圆上,然后计算出长轴、短轴长度,最后利用公式计算离心率。

方法3:图像处理法在一些图像处理领域,我们需要计算图像中椭圆的离心率。

这时,我们可以通过图像处理算法,找到椭圆的长轴、短轴长度,再套用公式计算离心率。

常用的图像处理算法包括Hough变换、数据段拟合等。

3. 椭圆离心率的应用举例椭圆的离心率不仅仅是一个几何参数,它还有广泛的应用。

以下是一些举例:应用1:电子领域在电子电路设计中,椭圆常被用作电容、电感等元件的基础形状。

计算元件的面积和空间占用率时,椭圆的离心率就显得尤为重要。

应用2:机械领域在机械设计中,椭圆的离心率被广泛地应用于轴承和齿轮的设计中。

当确定轴向载荷和径向载荷比例时,离心率是一个非常重要的指标。

应用3:化学领域在化学分子几何构型的确定中,椭圆被广泛地应用于描述化学键角的倾角和轴向取向。

离心率的求法(解析版)

离心率的求法(解析版)

第一篇圆锥曲线专题05离心率的求法一、求离心率值的问题求离心率的值需要构造一个含有,,a b c 或数字的等式,而等式关系如何构造,只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招,没套路可言。

1、基本方法:从定义出发,特别注意第一定义中的焦点三角形问题,以椭圆为例,在焦点三角形中三条边中蕴含了,a c 的关系,因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。

例1:如图,12,F F 是椭圆221:14x C y +=和双曲线2C 的公共焦点,若四边形12AF BF 为矩形,则双曲线的离心率为____________.【解析】关于共焦点的问题,c 相等,在椭圆里面1224AF AF a +==在12RT AF F ∆中满足2221212+=AF AF F F ,解得12AF AF则在双曲线中a c ==62e =例2:设椭圆的两个焦点分别是12,F F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若12F PF ∆为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为_________.2、几何法,几何方法不是方法,而是分析几何图形的能力,根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可,比如题目中给出的等腰,中垂线,垂直等条件都可能是破解题目的入手点。

例3:已知,A B 为双曲线E 的左右顶点,点M 在E 上,ABM ∆为等腰三角形且顶角为120︒,则E 的离心率为_________.上图中A,B 两点不是焦点,2AB a =,且条件中没有b 和c 的量,因此无法构成等量关系,但是注意双曲线的方程本身就是包含,a b 的等式,因此题目的关键不是构造等式而是求出点M 的坐标,代入到双曲线的方程中即可求出离心率。

【解析】从M 点作x 轴的垂线,垂足为C ,因为2,60BM a MBC ︒=∠=所以,BC a MC ==,所以点M 的坐标为(2)a 代入到双曲线中得2222(2)(3)1a a b -=整理得e =例4:设12,F F 分别是椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点,过点1F 的直线交椭圆E 于A,B 两点,11||3||AF BF =,若23cos 5AF B ∠=,求椭圆E 的离心率。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

椭圆离心率的三种求法
中点弦方程三种求法 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
椭圆离心率的三种求法:
(1)若给定椭圆的方程,则根据焦点位置确定a 2,b 2,求a ,c 的值,利用公式e =c a 或利用22
1a
b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时,若不能直接求得
c a
的值,通常由已知寻求a ,b ,c 的关系式,再与a 2=b 2+c 2组成方程组,消去b 得只含a ,c 的方程,再化成关于e 的方程求解.
(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解,从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ,b ,c 的不等式,消去b 后,转化为关于e 的不等式,从而求出e 的取值范围.
1. 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,线段F 1F 2被点⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2b 分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( )
解析 依题意,得c +
b 2
c -b 2
=53,∴c =2b ,∴a =b 2+c 2=5b ,∴e =2b 5b =255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系,列出条件求离心率.
2. 设P 是椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)上的一点,F 1,F 2是其左,右焦点.已知∠F 1PF 2=60°,求椭圆离心率的取值范围.
分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法,建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义,有|PF 1|+|PF 2|=2a .①
在△F 1PF 2中,由余弦定理,得
cos 60°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=12
, 即|PF 1|2+|PF 2|2-4c 2=|PF 1||PF 2|.②
①式平方,得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=4a 2.③
由②③,得|PF 1||PF 2|=4b 23
.④ 由①和④运用基本不等式,得 |PF 1||PF 2|≤2212||||⎪⎭⎫ ⎝⎛+PF PF ,即4b 23≤a 2.
由b 2=a 2-c 2,得43(a 2-c 2)≤a 2,解得e =c a ≥12
. 又e <1,∴该椭圆的离心率的取值范围是[12
,1). 方法二 如图,设椭圆与y 轴交于B 1,B 2两点,则当点P 位于B 1或B 2处时,点P 对两焦点的张角最大,故∠F 1B 2F 2≥∠F 1PF 2=60°,从而∠OB 2F 2≥30°.
在Rt△OB 2F 2中,e =c a =sin ∠OB 2F 2≥sin 30°=12
. 又e <1,∴12
≤e <1. ∴该椭圆的离心率的取值范围是[12,1). 点评 在求椭圆离心率的取值范围时,常需建立不等关系,通过解不等式来求离心率的取值范围,建立不等关系的途径有:基本不等式,利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围,点与椭圆的位置关系所对应的不等关系,椭圆上点的横、纵坐标的有界性等),判别式,极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P 运动到短轴的端点时,点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况.
(2016全国Ⅰ高考)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆的中心到的距离为短轴长的4
1,则该椭圆的离心率为( B ) A. 31 B. 21 C. 32 D.4
3 解:设椭圆是焦点在x 轴上的标准方程,上顶点与右焦点分别为)0,(),0(c F b B 、,则直线l 的方程为0=-+bc cy bx 。

又椭圆短轴长为2b ,椭圆中心到的距离为
a bc c
b b
c =+22,所以b a bc 241⋅=,即2
1=a c 。

(2017济南一中调考)设椭圆的两个焦点分别为21F F 、,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若21PF F ∆为等腰直角三角形。

则椭圆的离心率为( D )
A. 22
B. 2
12- C. 22- D.12-
解:由题意得a b c 22=,解得12-=a
c 。

椭圆的中点弦方程的求法有三:
(1)方程组法:通过解直线于与椭圆方程联立的方程组,利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解;
(2)点差法:设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为),(),(1211y x B y x A 、,将这两点
的坐标代入椭圆方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB 的中点),(00y x 和斜率AB k 有关的式子,可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

(3)中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,再借助中点得出弦的另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差可得。

1.已知椭圆14
162
2=+y x ,过点P (2,1)作一条弦,使弦在这点被平分,求此弦所在的直线方程.
分析 注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.
解 方法一 由题意,知所求直线的斜率存在,设此直线的方程为y =k (x -2)+1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y =kx -2+1,x 216+y 24=1消去y 并整理,得(4k 2+1)x 2-8(2k 2-k )x +4(2k -1)2
-16=0. 设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则x 1,x 2是方程的两根,所以x 1+x 2=82k 2
-k 4k 2+1. 因为点P 为弦AB 的中点,所以2=x 1+x 22=42k 2-k 4k 2+1,解得k =-12
. 故所求直线的方程为x +2y -4=0.
方法二 (点差法)设所求直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).因为点P 为弦AB 的中点,所以x 1+x 2=4,y 1+y 2=2.又因为A ,B 在椭圆上,所以x 21+4y 21=16,x 22+4y 22=16.两式相减,得(x 21-x 22)+4(y 21-y 22)=0,
即(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,
所以y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 24y 1+y 2=-12,即k AB =-12
. 故所求直线的方程为y -1=-12
(x -2), 即x +2y -4=0.
方法三(利用对称性,中点转移法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y).因为弦中点为P(2,1),所以另一个交点为B(4-x,2-y).
因为点A,B在椭圆上,所以x2+4y2=16,①
(4-x)2+4(2-y)2=16,②
从而A,B在方程①-②所形成的图形上,
即在直线x+2y-4=0上.
又因为过A,B的直线只有1条,
故所求直线的方程为x+2y-4=0.
解后反思解决中点弦的问题,最常用的方法有两种:一是把直线方程与曲线方程联立,消元得一元二次方程,利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式,进而求出参数;二是设出弦的两端点坐标,不具体求出,利用点差法整体表示直线斜率,进而求出参数;三利用对称性,设出弦的一个端点坐标,利用中点转移法求出另一端点的坐标,消去二次项直接求出弦所在的直线方程。

相关文档
最新文档