椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法精修订

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高中数学《椭圆的几何性质(二)-求离心率》课件

A.4
B.3 C.2 D.5
x2 y2
3.设 F1、F2 分别是椭圆＋＝1 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点
25 16
15
M 的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________.
讲
课
人
：
邢
启
强
4
复习练习
４. 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一
动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与
2

1-2
∈
1
,
2 2
2
2
,1
2
2
+
.
2 - 1-2
=m 代入上述方程,可得 y=
2 - 1-2
2
2
=n.
<0,化简得 b< 1-2 .
.∴椭圆离心率的取值范围为
2
,1
2
.
9
Hale Waihona Puke 2典型例题椭圆 x2+ =1(0<b<1)的左焦点为 F,上顶点为 A,右顶点为 B,若△FAB 的外接
直线与椭圆的位置关系
讲
课
人
：
邢
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强
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复习引入
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
讲
课
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邢
启
强
a,b,c的关系
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
b
a
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
a
b

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。

二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。

1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ．答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

离心率的五种求法

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法

椭圆离心率的三种求法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用221ab e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得c a的值，通常由已知寻求a ，b ，c 的关系式，再与a 2＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2b 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )A.1617B.41717C.45D.255解析依题意，得c ＋b 2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ，∴e ＝2b 5b＝255. 答案D 点评本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°，求椭圆离心率的取值范围.分析本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解方法一根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .①在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12，即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.②①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 23.④ 由①和④运用基本不等式，得|PF 1||PF 2|≤2212||||⎪⎭⎫ ⎝⎛+PF PF ，即4b 23≤a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得43(a 2－c 2)≤a 2，解得e ＝c a ≥12. 又e ＜1，∴该椭圆的离心率的取值范围是[12，1). 方法二如图，设椭圆与y 轴交于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故∠F 1B 2F 2≥∠F 1PF 2＝60°，从而∠OB 2F 2≥30°.在Rt △OB 2F 2中，e ＝c a ＝sin ∠OB 2F 2≥sin 30°＝12. 又e ＜1，∴12≤e ＜1. ∴该椭圆的离心率的取值范围是[12，1). 点评在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P 运动到短轴的端点时，点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况.(2016全国Ⅰ高考)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离为短轴长的41，则该椭圆的离心率为（ B ） A. 31 B. 21 C. 32 D.43 解：设椭圆是焦点在x 轴上的标准方程，上顶点与右焦点分别为)0,(),0(c F b B 、，则直线l 的方程为0=-+bc cy bx 。

例析椭圆、双曲线离心率的求法

例析椭圆、双曲线离心率的求法
椭圆和双曲线都是非常重要的数学曲线，从古代就有了历史。

它们的运用十分
广泛，比如天文学、力学等多种领域。

此外，椭圆和双曲线的离心率也是一个重要的概念，因此了解它们求法也是十分重要的。

首先，椭圆的离心率求法。

根据弦长定理，椭圆的离心率ε可表示为：ε＝c
／a，其中a为椭圆长轴，c为短轴，由此乘以ε即可求出离心率。

其次，双曲线的离心率求法。

根据常见的双曲线方程：x2/a2-y2/b2＝1，其中
a为椭圆长轴，b为短轴，把中间的数学符号μ代入公式：μ＝a2/b2;由此乘以
μ即可求出离心率。

另外，椭圆和双曲线的离心率也可以通过数学计算的方式进行求解，比如把它
们的方程式代入特殊函数求解，或者调用计算器进行计算，这些都有很多种方法。

为了解椭圆和双曲线的离心率，我们可以利用尺规、直角三角形等工具求解；
也可以通过计算机程序解出精确的实际结果。

有时候，采用抽象的思维能够获得更准确的结果。

但无论哪种方法，了解椭圆和双曲线的离心率都有它自身的优劣之处，希望大家可以按自己的意愿选择合适的方法。

高三数学专题复习离心率的三种求法

椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率 0 e 1 ，双曲线的离心率 e 1 ，抛物线的离心率e 1 ．一、直接求出 a,c ，求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a ，c 易求时，可利用率心率公式ec来解决 .x2y2a→→例 1：已知 F 1(－ 1，0)，F 2(1 ，0)是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1 的两个焦点，若椭圆上一点 P 满足 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，则椭圆的离心率 e ＝ ________．12变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为F 1 1,0 ， F 2 3,0 ，则其离心率为（） CA ．3B. 2C.1D.14324变式练习 2：如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为（） CA.3B.6C.3D.22 22二、构造 a,c 的齐次式，解出 e.根据题设条件，借助 a ,b ,c 之间的关系，构造 a ,c 的关系式（特别是齐次式），进而得到关于e 的方程，从而解得离心率 e.x 2 y 2例 2： (2012 ·江西 )椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的左，右顶点分别是 A ，B ，左，右焦点分别是F 1， F 2，若 |AF 1|，5 |F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 522变式练习 1：已知 F 1， F 2 是双曲线x2y 2 1( a 0,b 0 )的两焦点，以线段F 1 F 2 为边作正三角形 MF 1 F 2 ，ab若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） DA.423B.31C.31D.3 12变式练习 2：若双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为 FF， F MF21200，则双曲线的离心率为()B1， 2 1A.366D.3B.C.32322变式练习 3：设双曲线x2y 2 1( b a0 )的半焦距为 c ，直线 l 过 a,0, 0,b 两点 .已知原点到直线的距ab离为3 c ，则双曲线的离心率为 ( ) A4A. 2B. 3C. 223D. 3三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为F 1， F 2 ，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△ F 1PF 2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ________. 21【跟踪训练】1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（） DA ．13C ．1D ．3B ．33222242．已知双曲线x y1的一条渐近线方程为 y x ，则双曲线的离心率为（）Aa 2b 23 54 C.5 3A. B. 4 D.3 3 2x 2 y 2 1 ( a 0,b 0 )的两个焦点， A 和 B 是以 O3．如图， F 1 和 F 2 分别是双曲线b 2 a 2y为圆心，以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F 2 AB 是等边三A角形，则双曲线的离心率为（）D F 1O F 2 xBA. 3B. 5C.5D.3 124．设 F 1 ，F 2 分别是双曲线x 2 y 2 1 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使 F 1 AF 290 0 ，且 AF 13AF 2 ，22a b 则双曲线离心率为（） B5B.10C.15D. 5A.222225．已知双曲线 xy 1( a 0,b0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为600 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） CA. 1,2B. 1,2C. 2,D. 2,x 2y 21(a b 0) 的左顶点为 A ，左焦点为 F ，上顶点为 B ，若∠ BAO+∠ BFO=90 °，则6．已知椭圆 C : 22ab椭圆 C 的离心率是.5 12【走进高考】1． (2013 浙·江理 )如图 , F 1 , F 2 是椭圆 C 1 :x 2y 21与双曲线 C 2 的公共y4焦点,A,B分别是 C 1, C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AAF 1 BF 2 为矩形 , 则 C 2 的离心率是 ( )D F 1OF 2xA. 2B . 3B（第 1 题图）C.3D . 6222.(2013 湖·南理 )设 F 1, F 2 是双曲线 C : x 2y 2 1(a 0,b0) 的两个焦点， P 是 C 上一点 ,若 PF 1PF 2 6a,a 2b 2且△ PF 1F 2 的最小内角为 30 , 则 C 的离心率为. 33.(2013 福·建理 )椭圆x 2y 21(a b 0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2 ,焦距为2c,若直线 y3( xc) 与椭:22a b圆的一个交点 M 满足MF 1 F 2 2 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于__________. 3 1x 2y 24.(2013 辽·宁理 ) 已知椭圆 C : a 2b 21(a b0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点 ,连接AF, BF, 若 AB10 , AF6 , cos ABF4 , 则 C 的离心率 e=______. 5575. (2014 江·西理 )过点 M (1,1) 作斜率为1的直线与椭圆 C ： x 2y 21(a b0) 相交于 A, B ，若 M 是线段2 a 2 b 2AB 的中点，则椭圆C 的离心率为.226. (2014 浙·江理 )设直线 x 3 ym0(m 0)x 2 y 21（ a b0 ）两条渐近线分别交于点与双曲线b 2a 2A, B ，若点 P( m,0) 满足 PAPB , 则该双曲线的离心率是5__________.27. (2014 重·庆理 )设 F 1， F 2 分别为双曲线x 2y 21(a 0,b 0) 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得a 2b2| PF 1 | |PF 2 | 3b, | PF 1 | | PF 2 9）B|ab ，则该双曲线的离心率为（4A.4B. 5C.9D.33348.(2015 新课标 II 理 )已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 () DA. 5B.2C. 3D. 2x 2y 2 1的一个焦点，若C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚9.(2015 湖南理 )设 F 是双曲线 C ：2b 2a轴的一个端点，则C 的离心率为. 5C 1：x2210.(2015 山东理 )平面直角坐标系xOy 中，双曲线 2y 2 1 a 0,b 0 的渐近线与抛物线C 2：abx 22 py p 0 交于点 O ， A ， B ，若△ OAB 的垂心为 C 2 的焦点，则 C 1 的离心率为. 322211.(2016 浙江理 )已知椭圆 C 1 ： x2 +y 2=1(m>1) 与双曲线 C 2： x2 –y 2=1( n>0) 的焦点重合， e 1，e 2 分别为 C 1，mn C 2 的离心率，则（） AA ．m>n 且 e 1e 2>1B ． m>n 且 e 1e 2<1C ． m<n 且 e 1 e 2>1D ． m<n 且 e 1e 2<112.(2016 新课标Ⅲ文理 )已知 O 为坐标原点，x 2y 21(a b0) 的左焦点，分别为 C 的F是椭圆C ：a 2b 2A, B左，右顶点 . P 为 C 上一点，且 PFx 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直A ．1B.1C.2D.3 323413.（ 2016 新课标Ⅱ理）已知F1, F2是双曲线 E : x222y2 1 的左，右焦点，点M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，a bsin MF2 F11,则 E 的离心率为（） A 3（A）2（B）3（C）3（D）2 22–y214.（ 2016 山东文理）已知双曲线E：x22 =1 （ a>0 ， b>0）．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB， CDa b的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 _______． 2xOy F x2y2yb15.(2016 江苏 )如图，在平面直角坐标系中，是椭圆a 2b2 1(a＞b＞0) 的右焦点，直线 2 与椭圆交于 B,C 两点，且BFC90 ,则该椭圆的离心率是6 .316.(2017 新课标Ⅰ理15)已知双曲线 C：x2y21（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作a2b2圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M、 N 两点 .若∠ MAN =60°，则 C 的离心率为 ________.2 3317.(2017 北京文 10)若双曲线x2y21的离心率为3，则实数 m=__________ ． 2m18.(2017新课标Ⅱ理9)若双曲线C:221(a0 b0)的一条渐近线被圆x2y2 4 所截得x2y2，2a b的弦长为 2，则C的离心率为（） AA ．2B．3C．2 D ．23319.(2017 新课标Ⅲ文11)已知椭圆 C：x2y21， ( a>b>0) 的左、右顶点分别为A1， A2，且以线段 A1A2 a2b2为直径的圆与直线bx ay2ab0 相切，则C的离心率为（） AA ．6B ．321 33C．D．3320.(201814)x 2 y 2x 2y 2N北京理已知椭圆M ：a 2b 21(a b0)，双曲线N ：m 2n 2 1 ．若双曲线的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________ ；双曲线 N 的离心率为 __________． 31221.(2018 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2y 2 1(a0,b0)的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线a 2b 2的距离为3 c ，则其离心率的值是． 2222.(2018 新课标Ⅱ理 12)已知 F 1， F 2 是椭圆 C:x 2y 2 1(a b 0) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点Pa 2b 2在过 A 且斜率为3的直线上，△ PF 1F 2 为等腰三角形，∠ F 1 2的离心率为 () D6F P=120 ，则 C21C ．11A.B ．3D ．32423.(2018 新课标Ⅲ理 11)设 F 1，F 2 是双曲线 C:x 2y 21(a 0,b 0) 的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F 2a 2b 2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若 PF 1 6 OP ，则 C 的离心率为 ( ) CA ． 5B ． 2C ． 3D ． 2椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率 0 e 1 ，双曲线的离心率 e 1 ，抛物线的离心率e 1 ．一、直接求出 a,c ，求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a ，c 易求时，可利用率心率公式ec来解决 .x2y2a→→例 1：已知 F 1(－ 1，0)，F 2(1 ，0)是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1 的两个焦点，若椭圆上一点 P 满足 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，则椭圆的离心率 e ＝ ________．【答案】12→→1【解析】由椭圆定义及 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，得 2a ＝ 4， a ＝ 2， c ＝ 1，e ＝ .2变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为F 1 1,0 ， F 2 3,0 ，则其离心率为（）A ．3B. 2C. 1D. 13424 【答案】 C【解析】由 F 1 1,0 ， F 2 3,0 知2c 3 1 ，∴ c1 ，又∵椭圆过原点，∴ a c 1 ， ac 3.∴ a2 ， c 1 c 1，所以离心率 e.故选 C.a2变式练习 2：如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为（）A. 3B. 6C.3D.2222【答案】 C【解析】由题设a2 ， 2c 6 ，则 c3 ， e c3，因此选 C.a 2二、构造 a,c 的齐次式，解出 e.根据题设条件，借助 a ,b ,c 之间的关系，构造 a ,c 的关系式（特别是齐次式），进而得到关于 e 的方程，从而解得离心率 e.22例 2： (2012 ·江西 )椭圆 x2 y 2A ，B ，左，右焦点分别是， F ，若 |AF1|，a ＋b ＝ 1(a>b>0)的左，右顶点分别是F 12|F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ________．【答案】55【解析】由椭圆的定义知，|AF 1|＝ a － c ， |F 1F 2 |＝ 2c ， |BF 1 |＝ a ＋ c.∵ |AF 1|， |F 1F 2|， |BF 1|成等比数列，因此4c 2＝( a －c) ·(a ＋ c)，整理得 5c 2＝ a 2，两边同除以 a 2得 5e 2＝ 1，解得 e ＝5.522变式练习 1：已知 F 1 ， F 2 是双曲线x2y2 1（ a0, b 0 ）的两焦点，以线段 F 1F 2 为边作正三角形MF 1 F 2 ，ab若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.423B.31C.31D.312【答案】 D【解析】如图，设 MF 1 的中点为 P ，∵ F 1(-c,0 )，M (0, 3c ),∴ P(c 3cc 2 3c 22,2 ).代入双曲线方程，得 4a 2 4b 2 1 .∴ c 4 8a 2c 2 4a 4 0 ， e 4 8e 2 4 0 ， e 24 2 3 ，∴ e 1 3 .故选 D.变式练习 2：若双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为 F 1 ，F 2 ， F 1 MF 21200，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 6C. 6D.3323【答案】 B【解析】如图所示，不妨设 M 0,b ， F 1c,0 ， F 2 c,0 ，则 MF 1MF 2c 2 b 2 ，又 F 1 F 2 2c ，MF 1 2MF 222在 F 1MF 2 中，由余弦定理，得 cosF 1 F 2,F 1MF 22 MF 1 MF 2222 22221cbcb4cc1 .即 2 c 2 b 2，∴ b2b 2c 22∵ b2c2a 2，∴2ca21，∴3a22c 2 ，∴ e 23 ，∴ e 6 ，故选 B.2 a 2222变式练习 3：设双曲线x 2y 2 1( b a0 )的半焦距为 c ，直线 l 过 a,0, 0,b 两点 .已知原点到直线的距a 2b 2离为3c ，则双曲线的离心率为 ()4A. 2B. 3C. 22 3D. 3【答案】 A【解析】由已知，直线l 的方程为 bx ayab0 ，由点到直线的距离公式，得ab 3 c .a 2b 24又 c 2 a 2 b 2 , ∴ 4ab 3c 2 ,两边平方，得 16a 2 c 2 a 23c 4 ，整理得 3e 416e 2 16 0 ，得 e 24或 e 24 .又 0 a b 2c 2 a 2 b 2 1 b 2 2 ，∴ e 2 4e 2，故选 A.3，∴ e a 2 a 2a 2，∴三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为 F 1， F 2 ，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△ F 1PF 2 为等腰直角三【答案】21c2c2c 2c 1 2 1 .【解析】 e2 2c 2ca 2a PF 1 PF 22 1【跟踪训练】1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（） A ． 13C ．1D ．3B ．2332答案： D解析： ∵椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，∴ a=2b ，椭圆的离心率 c3 ，选 D.e2a224x ，则双曲线的离心率为（2．已知双曲线 xy 1的一条渐近线方程为y）a 2b 23A.5B.4C.5D.333 42答案： A解析：双曲线焦点在 x 轴，由渐近线方程可得b 4，可得 ec 32425，故选 A.a3a33x2y21 ( a 0,b0 )的两个焦点， A 和 B 是以 O3．如图， F 1 和 F 2 分别是双曲线b 2a 2y为圆心，以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F 2 AB 是等边三A角形，则双曲线的离心率为（）F 1O F 2 xBA.3B.55 D. 3 1C.2答案： D解析：连接 AF 1，∵ F 2 AB 是等边三角形，∴∠ AF 2F 1=30°，∠ F 1AF 2=90°.∴ |AF 1|=c ， |AF 2|=3 c ，∴ 2a=( 3 - 1)c ，双曲线的离心率为 1+3 ，故选 D.4．设 F 1 ，F 2 分别是双曲线 x 2 y 21 的左、右焦点，若双曲线上存在点 A ，使 F 1 AF2 900 ，且 AF 13 AF 2 ，a 2b 2则双曲线离心率为（）A.5B. 10C. 15D. 5222答案： B解析：设 F ，F 分别是双曲线x 2 y 2 1的左、右焦点 .若双曲线上存在点 A ，使∠ F 1AF 2=90o ，且|AF 1|=3|AF 2 |， a 2 b 212设 |AF 2|=1， |AF 1|=3，在双曲线中 2a=|AF 1|- |AF 2 |=2， 2c= 22= 10 10AF 1AF 2 ,∴离心率 e=.25．已知双曲线x 2 y 2 1( a 0,b0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 600 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2A. 1,2B. 1,2C. 2,D. 2,答案： C解析：双曲线x 2y 2 1 ( a 0,b 0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为60 0 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2222只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b ，∴ b3 ，离心率 e 2= c2a2b ≥aaaa4，∴ e ≥ 2，故选 C.6．已知椭圆x 2 y 2的左顶点为 A ，左焦点为 F ，上顶点为 B ，若∠ BAO+∠ BFO=90 °，则C :a 2b 21(ab 0)椭圆 C 的离心率是 .答案：5 12解析： ∵∠ BAO+∠ BFO=90 °，∴ sin ∠ BAO =cos ∠ BFO ，∴b b 2c,∴ e23 5 ，e 235(舍去 ).a 2 a22∴ e5 1 .2【走进高考】1． (2013 浙·江理 )如图 , F 1 , F 2 是椭圆 C 1 :x 2y 21与双曲线 C 2 的公共y4焦点 , A, B 分别是 C 1, C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AAF 1 BF 2 为矩形 , 则 C 2 的离心率是 ()F 1OF 2xA.2B . 3B（第 1 题图）C.3D . 6 22【答案】 D2.(2013 湖·南理 )设 F 1, F 2 是双曲线x 2 y 2的两个焦点， P 是 C 上一点 ,若 PF 1PF 26a,C : a 2 b 21(a 0,b0)且△ PF 1F 2 的最小内角为 30 , 则 C 的离心率为 .【答案】33.(2013 福·建理 )椭圆x 2y 21(ab 0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2 ,焦距为 2c,若直线 y3( xc) 与椭:22a b圆的一个交点 M 满足MF 1 F 22 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于 __________.【答案】3 14.(2013 辽·宁理 ) 已知椭圆 C :x 2y 21(a b 0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点 ,连接a 2b 2AF, BF, 若 AB10 , AF6 , cos ABF4, 则 C 的离心率 e=______.【答案】571x 225. (2014 江·西理 )过点 M (1,1) 作斜率为的直线与椭圆C ： y1(a b 0) 相交于 A, B ，若 M 是线段 2a 2b 2AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为.6. (2014 浙·江理 )设直线 x 3 y m 0(m 0)x 2 y 2 1（ a b 0 ）两条渐近线分别交于点与双曲线b 2a 2A, B ，若点 P(m,0) 满足 PA PB , 则该双曲线的离心率是 __________.7. (2014 重·庆理 )设 F 1， F 2 分别为双曲线x 2 y 2 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得a 2b 21(a 0,b 0)| PF 1 | | PF 2 | 3b, | PF 1 | |PF 2 | 9ab ，则该双曲线的离心率为（）A.4B.5C.9D.33 3 48.(2015 新课标 II 理 )已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ( )A. 5B.2C. 3D. 2【答案】 D9.(2015 湖南理 )设 F 是双曲线 C ：x 2y 2 1的一个焦点，若 C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚a 2b 2轴的一个端点，则C 的离心率为.【答案】510.(2015 山东理 )平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2 y 2 1 a 0,b 0 的渐近线与抛物线 C 2：a2b2x 22 py p 0 交于点 O ， A ， B ，若△ OAB 的垂心为 C 2 的焦点，则 C 1 的离心率为.答案：32x2y21(a 0,b 0) 的渐近线为解析：C 1:2b 2aC 2 : x22 py( p0) 的焦点 F (0, p) ，则 k AF2b 2 pb 2 pb 2 ), B(yx ，则 A( , 2 a a a 2pb 2pb 25c 2a 2 2 a ，即 , 2pb b a 2 4 a 2a2 pb 2pb 2, ) . a a 2a 2b 29 c 3a 2 ,ea .4211.(2016 浙江理 )已知椭圆 C 1： x 2+y 2=1(m>1) 与双曲线 C 2： x2 –y 2=1( n>0) 的焦点重合， e 1，e 2 分别为 C 1，m 2n 2C 2 的离心率，则（）A ． m>n 且 e 1e 2>1B ． m>n 且 e 1e 2<1C ． m<n 且 e 1e 2>1D ． m<n 且 e 1e 2<1【答案】 A考点： 1、椭圆的简单几何性质； 2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆 C 1 的焦点时，要注意 c 2 a 2b 2 ；计算双曲线 C 2 的焦点时，要注意c 2 a 2 b 2 ．否则很容易出现错误．2212.(2016 新课标Ⅲ文理 )已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ：x2y2 1(a b 0) 的左焦点， A, B 分别为 C 的a b左，右顶点 . P 为 C 上一点，且 PF x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（）A ．1B.1C.2D.33234【答案】 A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（ 1）直接求得 a ,c 的值，进而求得e 的值；（ 2）建立 a,b, c 的齐次等式，求得 b或转化为关于 e 的等式求解； (3) 通过特殊值或特殊位置，求出e ．a13.（ 2016 新课标Ⅱ理）已知x 2 y 2M 在E 上，与 x 轴垂直，F 1, F 2 是双曲线 E :a 2b 2 1 的左，右焦点，点MF 1sin MF 2F 11 ,则 E 的离心率为（）3（A ） 2（B ）3（C ） 3（D ）22【答案】 A考点：双曲线的性质 .离心率 .【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中 a ， b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中 c 2＝a 2＋ b 2.双曲线的离心率 e ∈ (1，＋ ∞)，而椭圆的离心率 e ∈ (0， 1)．x 2 y 214.（ 2016 山东文理）已知双曲线 E ：–=1 （ a>0 ， b>0）．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB ， CDa 2b 2的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 _______．【答案】 2【解析】依题意，不妨设AB 6, AD 4 ，作出图象如下图所示 .则 2c 4,c 2;2a DF2DF1532,a 1, 故离心率c2 2 . a115.(2016 江苏 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆 x2y2的右焦点，直线yb 与椭a 2b21(a＞b＞0)2圆交于 B,C 两点，且BFC90,则该椭圆的离心率是.【答案】63考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出a, c ，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 a,c的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于a,c 的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.16.(2017 新课标Ⅰ理 15)已知双曲线 C：x2y2 1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作a2b2圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M、 N 两点 .若∠ MAN=60°，则 C 的离心率为 ________.【答案】2 33【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是 b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab. c17.(2017 北京文 10)若双曲线x2y21的离心率为3，则实数 m=__________ ．m【答案】 29)若双曲线C:x2y2218.(2017 新课标Ⅱ理1（a 0，b0 ）的一条渐近线被圆x 2 4 所y2a2b2截得的弦长为2，则C的离心率为（）A ． 2B．3C．223 D．3【答案】 Ax2y2为直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）A ．63C ．213B ．3D ．33【答案】 A【解析】以线段A 1 A 2 为直径的圆是 x 2 y 2 a 2 ，直线 bx ay2ab 0 与圆相切，所以圆心到直线的距离d2aba ，整理为 a 23b 2 ，即 a 23 a2c22a23c 2 ，即 c 22 ， ec6，故选 A.a 2b 2a 23a32222x yxy20.(2018 北京理14)已知椭圆 M ：a 2b 2 1(ab0)，双曲线N ：m 2n 21 ．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________ ；双曲线 N 的离心率为 __________．【答案】3 1 22221.(2018 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线xy1(a0,b 0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线a 2b 2的距离为3c ，则其离心率的值是．2【答案】 22222.(2018 新课标Ⅱ理12)已知 F 1， F 2 是椭圆 C:x2y 2 1(a b 0) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点 Pab在过 A 且斜率为3的直线上，△ PF 1F 2 为等腰三角形，∠ F 1F 2P= 120，则 C 的离心率为 ()6A.2B ．1C ．1D ．13 234【答案】 D2223.(2018 新课标Ⅲ理11)设 F 1，F 2 是双曲线 C:x2y 2 1(a 0,b 0) 的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F 2ab作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若PF 16 OP ，则 C 的离心率为 ()A ． 5B ． 2C ． 3D ． 2【答案】 C。

椭圆离心率求法

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26D.332 解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A. 43B. 32C. 21D. 41解：由()0,11F 、()0,32F 知132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

求椭圆离心率常用的三种方法

椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。

椭圆离心率求法

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26D.332 解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A. 43B. 32C. 21D. 41解：由()0,11F 、()0,32F 知132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。

例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。

解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。

变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。

解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。

因此，选C。

变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。

变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。

设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。

设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。

其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。

离心率公式大全

离心率公式大全离心率是描述椭圆轨道形状的重要参数，它可以帮助我们了解天体运动的轨道特征。

在天文学、航天工程和其他相关领域中，离心率公式的应用非常广泛。

本文将为大家介绍离心率的概念和计算方法，以及一些常见的离心率公式。

首先，让我们来了解一下离心率的概念。

离心率是描述椭圆轨道形状的参数，它是一个介于0和1之间的数值。

当离心率为0时，轨道为圆形；当离心率接近于1时，轨道越趋向于长形。

离心率的大小决定了天体轨道的形状，对于天文学家和航天工程师来说，离心率是非常重要的参量。

接下来，我们将介绍一些常见的离心率公式。

在椭圆轨道运动中，离心率的计算公式如下：e = √(1 (b^2 / a^2))。

其中，e代表离心率，a代表椭圆长轴的长度，b代表椭圆短轴的长度。

这个公式可以帮助我们计算出椭圆轨道的离心率，进而了解天体运动的轨道形状。

除了上述的基本离心率公式外，还有一些特殊情况下的离心率公式需要我们了解。

比如，在开普勒定律中，椭圆轨道的离心率可以表示为：e = (r_max r_min) / (r_max + r_min)。

其中，r_max代表椭圆轨道的最远点距离，r_min代表椭圆轨道的最近点距离。

这个公式适用于描述天体在椭圆轨道上的运动情况，对于研究天体运动规律有着重要的意义。

此外，还有一些其他情况下的离心率公式，比如在引力场中的离心率计算、椭圆轨道的参数方程等。

这些公式在不同的领域和情境中有着不同的应用，可以帮助我们更好地理解天体运动的规律和特征。

总之，离心率是描述椭圆轨道形状的重要参数，离心率公式的应用涉及到天文学、航天工程等多个领域。

通过本文的介绍，希望能够帮助大家更好地理解离心率的概念和计算方法，为相关领域的研究和实践提供帮助。

希望本文介绍的离心率公式能够对大家有所启发，也欢迎大家在实际应用中进一步探索和应用。

求离心率范围的六种方法

求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。

离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。

因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。

笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。

一、利用椭圆上一点P (x ,y )坐标的取值范围，构造关于a ,b ,c 的不等式例1 若椭圆()012222 b a by a x =+上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。

解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则122220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ，所以以O A 为直径的圆经过点P ，所以020020=+-y ax x . ②联立①、②消去0y 并整理得当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。

所以2220ba ab x -=又a x 00，所以a ba ab 2220-，即 ()22222c a b a -=得2122 ac ，即223e又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a ,b ,c 不等式例2 已知双曲线()0,01x 2222 b a by a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且221PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ，所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得a PF 2PF 12=- ②由①-②得在21PF F ∆中，所以 c e ea e a 21212≥-+- ，即e e e ≥-+11. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(]21,1+。

三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 设椭圆()012222 b a by a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ∆=120°.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知a PF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得=212221PF PF PF PF ++ =（21221)PF PF PF PF -+所以22212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=- 所以23,4322≥≤a cc a 得. 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a ,b ,c 的不等式例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y 2-=x 上，求椭圆离心率e 的取值范围。

专题：椭圆的离心率解法大全

e 的取值范围。
解:设 Px, y , F1 c,0 , F2 c,0
法 1:利用椭圆范围。
由 F1P F2P 得 x 2
y2
c2 ，将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得 x 2 a 2c2 a 2b 2 a2 b2
a 2 (c2 a 2 ) 。 e2
由椭圆的性质知 0 x 2 a 2 ，得以e [ 2 ，1）。 2
1
1
,由
a sin cos 2 sin
4
12
,
4
得
2 e 2
6。 3
６,如图,在平面直角坐标系
xoy
中，
A1
,
A2
,
B1,
B2
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的四个顶点， F
为其右焦
点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率
分析:此题有角的值,可以考虑正弦定理的应用。
解:由正弦定理：错误! ＝错误! PF2 sin PF1F2
根据和比性质：
错误!＝错误! 变形得：错误! =错误! 2c =e 2a
∠PＦ１F2 ＝7５°∠PＦ2Ｆ1 =１５°
ｅ＝
sin９0° sin75°+sｉn15°
=错误!
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=＼f(ｓin Ｆ1PF2 ，sｉｎＦ1F2P ＋sｉn PF1F2 )
∣MF∣=∣MＯ∣,则椭圆的离心率是 3 1
４,椭圆错误! +错误!=1(ａ>ｂ >0)的两焦点为 F１、Ｆ2 ，以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两

求离心率的9种方法【解析版】

求离心率的9种方法【解析版】专题：椭圆和双曲线的离心率第一节：常用求离心率的公式及推导过程汇总注：AFBFBF AF ==λλ或者而不是ABBFAB AF 或 ABBFAB AF 或第二节：离心率求值一、椭圆离心率的求值1、定义法求离心率2、运用通径求离心率3、运用e=11k 12+-+λλ求离心率4、运用βαβαsin sin )sin(++==a c e 求离心率5、运用结论a k22b k AB OM-=•求离心率—— （A,B 为椭圆上的任意两点，M 为直线AB 的中点）6、运用正弦定理余弦定理求离心率7、运用相似比求离心率8、求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 9、运用几何关系求离心率1、定义法求离心率【2018•新课标Ⅰ文】已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（） A.31 B.21 C.22 D.322 【答案】C【解析】 14222=+y a x ，∵ ，则。

【2016 新课标Ⅰ（文）5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】B【解析】由直角三角形的面积关系得bc=22124b b c ⨯+12c e a ==，故选B 【2010•广东7】若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45 B.35 C.25D. 15【答案】B【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得：2225230,5230c ac a e e +-=+-=35e e ⇒=或=-1（舍）. 【2012江西文理】椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为．【答案】55【解析】因为椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，所以（a ﹣c ）（a+c ）=4c 2，即a 2=5c 2，所以e=55． 2、运用通径求离心率【2014•江西文】设椭圆C 2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于．【答案】33【解析】解法一：不妨假设椭圆中的a=1，则F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），当x=c 时，由2222x y a b +=1得y=ab 2=b 2，即A （c ，b 2），B （c ，﹣b 2），设D （0，m ），∵F 1，D ，B 三点共线， ∴，解得m=﹣2b 2，即D （0，﹣2b 2），∴若AD ⊥F 1B ，在，即=﹣1，即3b 4=4c 2，则3b 2=2c=3（1﹣c 2）=2c ，即3c 2+2c ﹣3=0，解得c==，则c=，∵a=1，∴离心率e=a c =33，解法二：由题意得F 1（﹣c ，0），由通径长可得A （c,a 2b ）,B （c,-a 2b ），又因DO ∥BF 2，,O 为F 1F 2中点所以D 为F 1B 的中点，则D （0，a 2b 2），若AD ⊥F 1B ，则，即1-cc 0-b -0c 2b -b 222=+•-a a a ，解得e=a c =33。

专题：椭圆的离心率解法大全

专题：椭圆的离心率解法大全椭圆是一种非常常见的几何形状，它在机械设计、电子设计、建筑设计等领域都有广泛的应用。

在实际的设计中，我们经常需要计算椭圆的面积、周长，以及确定其离心率等参数。

在本专题中，我们将介绍椭圆的离心率解法，包括公式推导以及实际应用。

1. 什么是椭圆的离心率椭圆的离心率是用来描述椭圆形状的一个参数，常用字母e表示。

它可以用一个公式来计算：e = √(1 - b²/a²)其中，a和b分别表示椭圆的长轴半径和短轴半径。

在这个公式中，长轴和短轴是椭圆的两个特征轴，通过它们可以确定椭圆的形状。

离心率越小，表示椭圆越接近于圆形；离心率越大，表示椭圆越“瘦长”。

2. 椭圆的离心率计算方法方法1：测量法在实际应用中，我们可以通过测量椭圆的长轴、短轴长度，再利用上面的公式计算离心率。

如果精度要求不高，这种方法比较简单实用，无需过多计算。

方法2：拟合法对于一些特定的数据分布，我们可以通过拟合方法来计算椭圆的离心率。

例如，在二维数据最小二乘拟合中，我们可以用椭圆方程将数据拟合到一个椭圆上，然后计算出长轴、短轴长度，最后利用公式计算离心率。

方法3：图像处理法在一些图像处理领域，我们需要计算图像中椭圆的离心率。

这时，我们可以通过图像处理算法，找到椭圆的长轴、短轴长度，再套用公式计算离心率。

常用的图像处理算法包括Hough变换、数据段拟合等。

3. 椭圆离心率的应用举例椭圆的离心率不仅仅是一个几何参数，它还有广泛的应用。

以下是一些举例：应用1：电子领域在电子电路设计中，椭圆常被用作电容、电感等元件的基础形状。

计算元件的面积和空间占用率时，椭圆的离心率就显得尤为重要。

应用2：机械领域在机械设计中，椭圆的离心率被广泛地应用于轴承和齿轮的设计中。

当确定轴向载荷和径向载荷比例时，离心率是一个非常重要的指标。

应用3：化学领域在化学分子几何构型的确定中，椭圆被广泛地应用于描述化学键角的倾角和轴向取向。

离心率的求法(解析版)

第一篇圆锥曲线专题05离心率的求法一、求离心率值的问题求离心率的值需要构造一个含有,,a b c 或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。

1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了,a c 的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。

例1：如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面1224AF AF a +==在12RT AF F ∆中满足2221212+=AF AF F F ，解得12AF AF则在双曲线中a c ==62e =例2：设椭圆的两个焦点分别是12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。

例3：已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形且顶角为120︒，则E 的离心率为_________.上图中A,B 两点不是焦点，2AB a =,且条件中没有b 和c 的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含,a b 的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M 的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。

【解析】从M 点作x 轴的垂线，垂足为C ，因为2,60BM a MBC ︒=∠=所以,BC a MC ==，所以点M 的坐标为(2)a 代入到双曲线中得2222(2)(3)1a a b -=整理得e =例4：设12,F F 分别是椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率。