2021年北京市高考数学真题试卷(含详细解析)

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2021年北京市高考数学试卷(含答案)

2021年北京市高考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B ＝（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|0＜x＜1}2．（4分）在复平面内，复数z满足（1﹣i）•z＝2，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1﹣i D．1+i3．（4分）设函数f（x）的定义域为[0，1]，则“函数f（x）在[0，1]上单调递增”是“函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A．B．4C．3+D．25．（4分）双曲线C：﹣＝1过点（，），离心率为2，则双曲线的解析式为（）A．﹣y2＝1B．x2﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝16．（4分）已知{a n}和{b n}是两个等差数列，且（1≤k≤5）是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为（）A．64B．100C．128D．1327．（4分）已知函数f（x）＝cosx﹣cos2x，试判断该函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为8．（4分）对24小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：0～1010～2525～5050～100小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（）A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨9．（4分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（）A．±2B．±C．±D．±3 10．（4分）数列{a n}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+a3+…+a n ＝100，则n的最大值为（）A．9B．10C．11D．12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2021年高考数学北京卷(pdf)解析

2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学北京卷 (参考答案)
本试卷共 5 页, 150 分, 考试用时 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 (选择题共 40 分)
一、选择题：本题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 选择符合题目要求的一项.
3. 设函数 f (x) 的定义域为 [0, 1], 则“函数 f (x) 在 [0, 1] 上单调递增”是“函数 f (x) 在 [0, 1] 上的最大值为
f (1)”的 ( ).
A：充分不必要条件
B：必要不充分条件
C：充分必要条件
D：既不充分也不必要条件
答案：A.
解析：前推后, 一定成立.
后推前, 若 f (x) 在 [0, 1] 上的最大值为 f (1), 找反例, 开口向上对称轴为 x = 1 的二次函数. 4
2. 在复平面内, 复数 z 满足 (1 − i) · z = 2, 则 z =( ).
D： {x | 0 < x < 1}
A： 1
B： i
C： 1 − i
D： 1 + i
答案：D. 解析：由题意可得 z = 2 = 2 · (1 + i) = 1 + i, 故选 D.
1 − i (1 − i)(1 + i)
√
√
1
3
3+ 3
S表 = 3 × 2 × 1 × 1 + 4 × (1 + 1) =
. 2
5. 双曲线
x2 a2
−
y2 b2
=
1

2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京高考试卷,含解析)

⎨ ⎩2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京高考试卷，含解析）本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.1．复数i (2 -i ) =A ．1+ 2iB ．1- 2iC ． -1+ 2iD ． -1- 2i【答案】A【解析】试题分析：i (2 - i ) = 1 + 2i 考点：复数运算⎧x - y ≤0 ， 2. 若 x ， y 满足⎪x + y ≤1，则 z = x + 2y 的最大值为⎪x ≥ 0 ， A ．0B ．1C ． 3D ．22【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于z= x + 2y ，则y= -1x + 1z ，令Z =0 ，作直线22- 1 x，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大， Z y = 取得最小值 2.s =x -y ，t =x +y2考点：线性规划；3. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ． (-2，2) B ． (-4，0) C ． (-4，- 4)D ． (0，- 8)【答案】B考点：程序框图4. 设α ， β 是两个不同的平面， m 是直线且m ⊂ α ．“ m ∥β ”是“ α ∥β ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件【答案】BD ．既不充分也不必要条件【解析】试题分析：因为α ， β 是两个不同的平面， m 是直线且m ⊂ α ．若“ m ∥β ”，则平面α、β 可能相交也可能平行，不能推出α//β ，反过来若α//β ，m ⊂ α ，则有m ∥β ，则“ m ∥β ”是“α ∥β ”5的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件. 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1正(主)视图侧(左)视图俯视图A ． 2 +B ． 4 +C ． 2 + 2D ．5【答案】C【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC ，其中PC ⊥平面 ABC ，取 AB 棱的中点 D ，连接 CD 、PD ，有PD ⊥ AB,CD ⊥ AB ，底面 ABC 为等腰三角形底边 AB 上的高 CD 为 2，AD=BD=1,PC=1,PD = 5,S ∆ABC =1⨯ 2 ⨯ 2 2 = 2,, S∆PAB = 1⨯ 2 ⨯ =, AC 2= BC = ，S= S= 1 ⨯ ⨯ 1= 5 ,三棱锥表面积S = 2+ 2. ∆PAC∆PBC22表考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.1 1 26. 设{a n } 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若 a 1 + a 2 > 0 ，则 a 2 + a 3 > 0B ．若 a 1 + a 3 < 0 ，则 a 1 + a 2 < 0C ．若0 < a 1 < a 2 ，则a 2 >D ．若a 1 < 0 ，则(a 2 - a 1 )(a 2 - a 3 ) > 0【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法7. 如图，函数 f (x ) 的图象为折线 ACB ，则不等式 f (x )≥log 2 (x +1) 的解集是y 2 CA B -1O2xA ． {x | -1< x ≤0}B ．{x | -1≤ x ≤1}C ． {x | -1< x ≤1}D ． {x | -1< x ≤2}【答案】C【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A.消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km ，消耗 8 升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选 D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题（共 6 个小题，每题 5 分，共 30 分）9. 在(2 + x )5的展开式中， x 3的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】试题分析：利用通项公式，T= C r 25-r⋅ x r，令r =3 ，得出x 3 的系数为C 3⋅ 22= 40r +155考点：二项式定理x 210. 已知双曲线a2y 2 = 1(a > 0) 的一条渐近线为 3x + y = 0 ，则a = ．【答案】3考点：双曲线的几何性质11. 在极坐标系中，点⎛ 2 ‚ π ⎫ 到直线 ρ (cos θ +3 s in θ )= 6 的距离为．⎝ 3 ⎪⎭【答案】1【解析】π试题分析：先把点极坐标化为直角坐标(1, 3)，再把直线的极坐标方程ρ (cos θ +3 sin θ )= 6 化(2, )3-⎨为直角坐标方程x + 3y - 6 = 0，利用点到直线距离公式d == 1.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.12.在△ABC 中， a = 4 ， b = 5 ， c = 6 ，则sin 2A =．sin C【答案】1【解析】sin 2A试题分析：= 2 sin A cos A = 2a⋅b 2+ c 2- a 2=2 ⨯ 4 ⋅ 25 + 36- 16= 1 sin C sin C c 2bc 6 2 ⨯ 5 ⨯ 6考点：正弦定理、余弦定理13. 在△ABC 中，点 M ， N 满足 AM = 2MC ， BN = NC ．若 MN = x A B + y AC ，则 x = ；y =．【答案】 1 ,- 126【解析】试题分析：特殊化，不妨设AC ⊥ AB ,AB = 4,AC= 3 ，利用坐标法，以 A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系， A (0,0),M (0,2),C (0,3),B (4,0),N3 ，MN = (2,- 1),AB 2= (4,0),AC = (0,3)，则(2,- 1) = 2(2, ) 2x (4,0) + y (0,3)，4x = 2,3y = - 1 ,∴ x = 1 ,y = - 1.2 2 6考点：平面向量14. 设函数 f (x ) = ⎧⎪ 2x- a ‚ x <1‚⎪⎩4(x - a )(x - 2a ) ‚ x ≥1.①若a =1，则 f ( x ) 的最小值为；1 + 3 - 6 1 + 3- ②若 f ( x ) 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是．1【答案】(1)1，(2) 2≤ a < 1或a ≥2 .考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.三、解答题（共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（本小题 13 分）已知函数 f (x ) = 2 sin x cos x 2 sin 2 x ．2 2 2 (Ⅰ) 求 f (x ) 的最小正周期；(Ⅱ) 求 f (x ) 在区间[-π ，0] 上的最小值．【答案】（1） 2π ，（2）-1 - 22【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为f (x ) =A sin(ωx+ ϕ) +mπ形式，再利用周期公式T =2π求出周期，第二步由于-π ω≤ x ≤0,则可求出- 3π ≤ x + π ≤ ，借助正弦函数图象找出在这个范围内当x + π = - π ，即x = - 3π时， 4 4 4 4 2 4f (x )取得最小值为： -1 -2 .2x x2x11 - cos x试题解析：(Ⅰ) f (x ) =sin cos - sin =⋅ sin x - ⋅=2 2222=2 sin x + 2 cos x - 2 = sin(x + π ) - 22 2 2 4 2(1) f (x )的最小正周期为T =2π1= 2π ；(2)x ≤ 0,∴ - 3π ≤ x + π ≤ π ，当x + π = - π ,x = - 3π时，f (x )取得最小值为： -1 -22444424考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. 16.（本小题 13 分）A ，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14， a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率；(Ⅱ) 如果a = 25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）3 【答案】（1） 710，（2）49，（3） a = 11或18-π ≤17.（本小题 14 分）如图，在四棱锥A -EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF ∥BC ，BC = 4 ，EF = 2a ，∠EBC =∠FCB = 60︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO ⊥BE ；(Ⅱ) 求二面角F -AE -B 的余弦值；(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．ACEBn n ⋅ 5【答案】(1)证明见解析，（2） -，（3） a = 4 5 3【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面 AEF ⊥平面 EFCB ，借助性质定理证明AO ⊥ 平面 EFCB ，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面 AEF 的法向量易得，只需求平面 AEB 的法向量，设平面 AEB 的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于 AO ⊥ BE ，要想 BE ⊥平面 AOC ，只需BE ⊥ OC ，利用向量BE 、OC 的坐标，借助数量积为零，求出a 的值，根据实际问题予以取舍.试题解析：(Ⅰ)由于平面 AEF ⊥平面 EFCB ，△AEF 为等边三角形，O 为 EF 的中点，则AO 根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥ 平面 EFCB ，又BE ⊂ 平面 EFCB ，则 AO ⊥ BE .⊥ EF ， (Ⅱ)取 CB 的中点 D ，连接 OD,以 O 为原点，分别以OE 、OD 、OA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，A (0,0 3a )，E (a ,0,0),B (2,2 - 3a ,0),AE = (a ,0,- 3a )，EB = (2 - a ,2 - 3a ,0)，由于平面 AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为n = (0,1,0)，设平面AEB 的法向量2 = (x ,y ,1)， n 2 ⊥ AE ,ax - 3a = 0,x =，2 ⊥ EB ,(2- a )x + (2 - 3a )y = 0,y = -1，则n 2 =( 3,-1,1)，二面角 F - AE - B 的余弦值cos 〈n,n 〉 = n 1 ⋅ n 2 = -1= - 5，由二面角 1 2 51 2F - AE - B 为钝二面角，所以二面角 F - AE - B 的余弦值为-5 .5（Ⅲ）有（1）知 AO ⊥ 平面 EFCB ，则 AO ⊥ BE ，若 BE ⊥平面 AOC ，只需BE ⊥ OC ，EB = (2 - a ,2 - 3a ,0)，又OC = (-2,2 - 3a ,0)，BE ⋅ OC = -2(2 - a ) + (2 - 3a )2 = 0，解得a = 2 或a =4，由于a < 3 2 ，则a = 4. 3考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题. 18.（本小题 13 分）5 1 n n- 3 ⎛x 3 ⎫ 3 3已知函数 f (x ) = ln 1+ x．1 x（Ⅰ）求曲线 y = f (x ) 在点(0，f (0)) 处的切线方程；⎛ x 3 ⎫（Ⅱ）求证：当 x ∈(0，1) 时， f ( x ) > 2 x + ⎪ ；⎝⎭k f (x ) > k x + x ∈(0 1) k （Ⅲ）设实数使得 3 ⎪ 对，恒成立，求的最大值．【答案】（Ⅰ） 2x - y ⎝⎭ = 0，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ） k 的最大值为 2.试题解析：（Ⅰ） f (x ) = ln 1 + x ,x 1 - x ∈ (-1,1),f '(x ) = 2 1 - x 2,f '(0) = 2,f (0) = 0 ，曲线 y = f (x ) 在点(0，f (0)) 处的切线方程为2x - y = 0；( ) ( )⎛x 3⎫- + x3 > ∀ ∈（Ⅱ）当 x ∈ 0，1 时， f x > 2 x + ⎪ ，即不等式f (x ) 2(x ⎝ ⎭) 0 ，对 x 3 (0,1)成立，设1 + x x 3x ' 2x 4F (x ) = ln - 2(x + ) = ln(1 + x ) - ln(1 - x ) - 2(x + )，则F (x ) = ， 1 - x 当 x ∈(0，1) 时， F '(x ) > 3 30 ，故F (x )在（0，1）上为增函数，则F (x ) >F (0) = 1 - x 20 ，因此对∀x ∈ (0,1)，f (x ) > 2(x + x 3 3)成立；0 0 ⎛ x 3 ⎫1 + x x 3（Ⅲ）使 f (x ) k > x + 3 ⎪ 成立，x ∈(0，1) ，等价于F (x ) = ln 1 - x - k (x + ) > 0，x ∈(0，1) ； 3 ⎝ ⎭'22kx 4 + 2 - kF (x ) =- k (1 + x ) =1 - x 2，1 - x 2当k ∈ [0,2]时， F '(x ) ≥ 0 ，函数在（0，1）上位增函数， F (x ) >F (0) = 0 ，符合题意；当k > 2 时，令F '(x ) =0,x 4= k - 2k ∈ (0,1)，x(0,x )x(x ,1)F '(x )- 0 + F (x )极小值F (x ) < F (0)，显然不成立，综上所述可知： k 的最大值为 2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.19.（本小题 14 分）x 2 + y 2 =2已知椭圆C ： a 2 b21(a > b > 0) 的离心率为，点 P (0，1) 和点 A (m ，n ) (m ≠0) 都在椭圆C 上， 2 直线 PA 交 x 轴于点 M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点 M 的坐标（用m ， n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ．问： y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM = ∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】【解析】试题分析：椭圆C ： x 2 + y 2 =1(a > b > 0) 的离心率为 2，点P (0，1) 在椭圆上，利用条件列方程组， a 2 b 2 2解出待定系数a 2= 2,b 2 = 1 ，写出椭圆方程；由点 P (0，1) 和点 A (m ，n ) (m ≠0) ，写出 PA 直线方程，令y = 0 求出 x 值，写出直线与x 轴交点坐标；由点P (0,1),B (m ,-n )，写出直线PB 的方程，令y = 0 求出 x 值，写出点 N 的坐标，设Q (0,y )，∠OQM = ∠ONQ ,∴ tan ∠OQM = tan ∠ONQ 求出tan ∠OQM 和tan ∠ONQ ，利用二者相等，求出y ∠OQM = ∠ONQ .= ±，则存在点Q （0，±2）使得x 2 + y 2 =2 1 2 试题解析：（Ⅰ）由于椭圆C ： a 2 b 21(a > b > 0) 过点 P (0，1) 且离心率为， 2 b 2= 1,b = 1,c 2a 2- b 2 1 1 x 2e 2 = = = 1 - = ， a 2 = 2 ，椭圆C 的方程为+ y 2 = 1. a 2 a2a 22 2 P (0,1),A (m ,n ),直线PA 的方程为：y = n - 1 x + 1，令y = 0,x = m，∴ M ( m ,0)； m 1 - n 1 - n考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题. 20.（本小题 13 分）已知数列{a } 满足： a ∈N * ， a ≤ 36 ，且a= ⎧2a n ，a n ≤18， (n =1，2， ) ． n11n +1⎨2a - 36 ，a > 18 记集合M ={a n | n ∈ N }． * ⎩ n n（Ⅰ）若a 1 = 6 ，写出集合 M 的所有元素；（Ⅱ）若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数；（Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值．【答案】（1） M = {6,12,24}，（2）证明见解析，（3）8 【解析】①试题分析：（Ⅰ）由a = 6，可知a = 12,a 3 = 24,a = 12,则M = {6,12,24}；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设a k 是 3 的倍数，用数学归纳法证明对任意n ≥ k ， a n 是3 的倍数，当 k = 1 时，则 M 中的所有元素都是 3 的倍数，如果 k > 1 时，因为a k = 2a k -1 或2a k -1- 36，所以2a k -1 是 3 的倍数，于是a k -1 是 3 的倍数，类似可得，a k -2, ..... a 1 都是 3 的倍数，从而对任意n ≥ 1，a n 是 3 的倍数，因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设a 是 3 的倍数，由已知 a= ⎧2a n ，a n ≤18，，用数学归纳法证明对任意 kn +1⎨2a - 36，a > 18 ⎩ n nn ≥ k ，a n 是 3 的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过 36， M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个数必定为偶数，由a n 的定义可知，第三个数及后面的数必定是 4 的倍数，由定义可知， a n +1 和2a n 除以 9 的余数一样，分a n 中有 3 的倍数和a n 中没有 3 的倍数两种情况，研究集合 M 中的元素个数，最后得出结论集合 M 的元素个数的最大值为 8.试题解析：（Ⅰ）由已知a= ⎧2a n ，a n ≤18，可知： a = 6,a = 12,a = 24,a = 12, n +1 ⎨2a - 36 ，a > 18 1 2 3 4∴ M = {6,12,24}⎩ n n（ Ⅱ ）因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 a k是 3 的倍数，由已知a = ⎧2a n ，a n ≤18，，可用用数学归纳法证明对任意n ≥ k ，a 是 3 的倍数，当k = 1时，则 M n +1⎨2a - 36 ，a > 18 n ⎩ n n中的所有元素都是 3 的倍数，如果k > 1时，因为a k = 2a k -1 或2a k -1 - 36 ，所以2a k -1是 3 的倍数，于是a k -1 是 3 的倍数，类似可得，a k -2,......a 1都是 3 的倍数，从而对任意n ≥ 1，a n 是 3 的倍数，因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过 36，由a≤ 36 ，易得a≤ 36 ，类似可得a n≤ 36 ，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个数必定为偶数，由a n 的定义可知，第三个数及后面的数必定是 4 的倍数，另外，M 中的数除以 9 的余数,由定义可知， a n +1 和2a n 除以 9 的余数一样，1 2 4 1 2考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.。

(2021)高考理数真题试卷(北京卷)带答案解析

2021年高考理数真题试卷（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（共8题；共40分）1.已知复数z=2+i，则z·z̅=（）A. √3B. √5C. 3D. 5【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】根据z=2+i，得z̅=2−i，所以z⋅z̅=(2+i)⋅(2−i)=4+1=5，故答案为：D.【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【考点】循环结构【解析】【解答】k=1，s=1， s=2×123×1−2=2 ，k<3,故执行循环体k=1+1=2， s =2×223×2−2=2 ；此时k=2<3，故继续执行循环体k=3， s =2×223×2−2=2 ，此时k=3，结束循环，输出s=2.故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.3.已知直线l 的参数方程为 {x =1+3ty =2+4t （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（）A. 15B. 25C. 45D. 65 【答案】 D【考点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】消去参数t ，得直线的方程为：4x-3y+2=0，所以（1,0）到直线的距离 d =√42+32=65.故答案为：D.【分析】将直线的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式即可求出相应的距离. 4.已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1 （a>b>0）的离心率为 12 ，则（）A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a=2bD. 3a=4b 【答案】 B【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】因为椭圆的离心率为 12 ，所以a=2c 故 a 2=(2c)2=4c 2=b 2+c 2 ，所以 b 2=3c 2 ，因此 3a 2=4b 2 ，故答案为：B.【分析】根据椭圆的离心率，求出a 、b 、c 的关系，即可确定相应的结论. 5.若x ，y 满足|x|≤1-y ，且y≥-1.则3x+y 的最大值为（）A. -7B. 1C. 5D. 7 【答案】 C【考点】简单线性规划【解析】【解答】根据题意，x 、y 满足 {x ≥y −1x ≤1−y y =−1 ，作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最大值5. 故答案为：C.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。

2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(理科)解析版

2 ⎨⎨普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共 5 页. 150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题。

每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合 A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则 A ∩B=A （- ∞ ，-1）B （-1，- 2 3 2） C （- 3,3）D (3,+ ∞ )【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为A = {x ∈ R | 3x + 2 > 0} ⇒ x > - 2，利用二次不等式可得 B = {x | x < -1 或 x > 3}画出数轴易得：3A B = {x | x > 3} ．故选 D ．【答案】D⎧0 ≤ x ≤ 2, ．设不等式组 ⎩0 ≤ y ≤ 2距离大于 2 的概率是，表示平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的 π（A ）4（B ）π- 22π（C ）6（D ）4 -π 4⎧0 ≤ x ≤ 2 【解析】题目中 ⎩0 ≤ y ≤ 2表示的区域如图正方形所示，而动点 D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此2 ⨯ 2 - 1π⋅ 22P = 4 = 4 -π，故选 D 。

2 ⨯ 2 4【答案】D3. 设 a ，b ∈R 。

“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当 a = 0 时，如果b = 0 同时等于零，此时 a + bi = 0 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a + bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 a = 0 ，因此想必要条件，故选 B 。

2021年北京市高考数学试卷含答案解析(原卷版)

绝密★启用前2021年北京市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 在复平面内，复数满足，则( )A. B. C. D.3. 设函数的定义域为，则“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )A.B.C.D.5. 双曲线：过点，离心率为，则双曲线的解析式为．( )A. B. C. D.6. 已知和是两个等差数列，且是常值，若，，，则的值为( )A. B. C. D.7. 已知函数，试判断该函数的奇偶性及最大值( )A. 奇函数，最大值为B. 偶函数，最大值为C. 奇函数，最大值为D. 偶函数，最大值为8. 对小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( )A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9. 已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为( )A. B. C. D.10. 数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为( )A. B. C. D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 展开式中常数项为．12. 已知抛物线：，的焦点为，点在上，且，则的横坐标是______ ；作轴于，则______ ．13. 已知，，，则；．14. 若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______ ．15. 已知，给出下列四个结论：若，则有两个零点；，使得有一个零点；，使得有三个零点；，使得有三个零点．以上正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。

2021年高考文数真题试卷(北京卷)带答案解析

2021年高考文数真题试卷（北京卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A. {x|2＜x＜5}B. {x|x＜4或x＞5}C. {x|2＜x＜3}D. {x|x＜2或x＞5}【答案】C【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．；本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．=（）2.复数1+2i2−iA. iB. 1+iC. ﹣iD. 1﹣i【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：= = =i，故选：A【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．；本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．3.执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A. 8B. 9C. 27D. 36【答案】B【考点】程序框图【解析】【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B；本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．4.下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A. y=1B. y=cosxC. y=ln（x+1）D. y=2﹣x1−x【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明【解析】【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D. ；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选D．【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．；考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．5.圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A. 1B. 2C. √2D. 2 √2【答案】C【考点】点到直线的距离公式，圆的标准方程【解析】【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d= = ．故选：C．【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．；本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．6.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A. 15B. 25C. 825D. 925【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n= =10，甲被选中包含的基本事件的个数m= =4，∴甲被选中的概率p= = = ．故选：B．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．；本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7.已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（）A. ﹣1B. 3C. 7D. 8【答案】C【考点】简单线性规划【解析】【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．故选：C．【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．；本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．；本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.已知向量a⃗=（1，√3），b⃗⃗=（√3，1），则a⃗与b⃗⃗夹角的大小为________．【答案】π6【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ= = = ，又∵θ∈[0，π]，∴θ= ，故答案为：．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．；本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．10.函数f（x）= x（x≥2）的最大值为________．x−1【答案】2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．；考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．11.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．【答案】32【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S= ×（1+2）×1= ，棱柱的高为1，故棱柱的体积V= ，故答案为：【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．；本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12.已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（√5，0），则a=________，b=________．【答案】1；2【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案为：1，2．【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．；本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．13.在△ABC中，∠A= 2π3，a= √3c，则bc=________．【答案】1【考点】正弦定理的应用【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A= ，a= c，由正弦定理可得：，= ，sinC= ，C= ，则B= = ．三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1．故答案为：1．【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．；本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最少有________种．【答案】16；29【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．；本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【答案】（1）解：设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，=3，由b2=3，b3=9，可得q= b3b2b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d= a14−a113=2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1 （2）解：c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）= 12n•2n+ 1−3n1−3=n2+ 3n−12【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．；本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．16.已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【答案】（1）解：f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx= √2(√22sin2ωx+√22cos2ωx)= √2sin(2ωx+π4)．由T= 2π2ω=π，得ω=1；（2）解：由（1）得，f（x）= √2sin(2x+π4)．再由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ．∴f（x）的单调递增区间为[ −3π8+kπ,π8+kπ]（k∈Z）【考点】三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性【解析】【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．；本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．17.某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【答案】（1）解：由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米（2）解：当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元【考点】频率分布直方图，随机抽样和样本估计总体的实际应用【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【答案】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【答案】（1）解：∵椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则c=√a2−b2= √4−1=√3，∴椭圆C的方程为x24+y2=1，离心率为e= √32（2）证明：如图，设P（x0，y0），则k PA=y0x0−2，PA所在直线方程为y=y0x0−2(x−2)，取x=0，得y M=2y0x0−2；k PB=y0−1x0，PB所在直线方程为y=y0−1x0x+1，取y=0，得x N=x01−y0．∴|AN|= 2−x N=2−x01−y0=2−2y0−x01−y0，|BM|=1﹣x M+2y0x0−2=x0+2y0−2x0−2．∴S ABNM=12|AN|×|BM|= 12×2−2y0−x01−y0×x0+2y0−2x0−2= −12×(x0+2y0−2)2(1−y0)(x0−2)= 12×(x0+2y0)2−4(x0+2y0)+4x0y0+2−x0−2y0= 12x02+4x0y0−4x0−8y0+4x0y0+2−x0−2y0= 12×4(x0y0+2−2y0−x0)x0y0+2−x0−2y0．∴四边形ABNM的面积为定值2．【考点】椭圆的标准方程【解析】【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e= ；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．；本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．20.设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【答案】（1）解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c（2）解：设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣23或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣23时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣23处取得极小值，且为﹣3227．由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣3227＜﹣c＜0，解得0＜c＜3227，则c的取值范围是（0，3227）（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点的判定定理【解析】【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．不同考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题．。

2021年高考数学真题试题(北京卷)(word版,含答案与解析)

2021年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（共10题；共40分）1.已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A. (−1,2)B. (−1,2]C. [0,1)D. [0,1]【答案】B【考点】并集及其运算【解析】【解答】解：根据并集的定义易得A∪B={x|−1<x≤2}，故答案为：B【分析】根据并集的定义直接求解即可.2.在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=（）A. 2+iB. 2−iC. 1−iD. 1+i【答案】 D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故答案为：D【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.3.已知f(x)是定义在上[0,1]的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1),所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件；②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件，所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A. 3+√32B. 4C. 3+√3D. 2【答案】A【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：该四面体为直三棱锥，其中SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1，则SB=SC=BC=√2，则所求表面积为S=3×(12×1×1)+12×√2×√2×sin60°=3+√32故答案为：A【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.5.双曲线C:x2a2−y2b2=1过点(√2,√3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A. x 2−y 23=1 B. x 23−y 2=1 C. x 2−√3y 23=1 D.√3x 23−y 2=1【答案】 A【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由e =ca =2得c=2a ，则b 2=c 2-a 2=3a 2 则可设双曲线方程为：x 2a 2−y 23a 2=1 ，将点(√2,√3) 代入上式，得(√2)2a 2−(√3)23a 2=1解得a 2=1,b 2=3 故所求方程为： x 2−y 23=1故答案为：A【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.6.{a n } 和 {b n } 是两个等差数列，其中 akb k(1≤k ≤5) 为常值， a 1=288 ， a 5=96 ， b 1=192 ，则b 3= （）A. 64B. 128C. 256D. 512 【答案】 B【考点】等差数列的性质【解析】【解答】解：由题意得a k b k=a 1b 1=288192=32 ，则a 5b 5=32 ，则b 5=23a 5=64 ，所以b 3=b 1+b 52=192+642=128.故答案为：B【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.7.函数 f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（） A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 C. 奇函数，最大值为 98 D. 偶函数，最大值为 98 【答案】 D【考点】偶函数，二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：∵f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x) ∴f(x)为偶函数又f(x)=cosx-cos2x=-2cos 2x+cosx+1 令t=cosx ，则y=-2t 2+t+1，t ∈[-1,1]，则当t =−12×(−2)=14时，y 取得最大值y max =(−2)×(14)2+14+1=98.故答案为：D【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度．其中小雨（<10mm），中雨（10mm−25mm），大雨（25mm−50mm），暴雨（50mm−100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：如图所示，由题意得r100=150300，则r=50则雨水的体积为V=13πr2h=13π×502×150，则降雨的厚度（高度）为H=Vπ×1002=13π×502×150π×1002=12.5(mm)故答案为：B【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.9.已知圆C:x2+y2=4，直线l:y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=（）A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±√5【答案】C【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，则d2=r2−(n2)2=4−n24，则当n取最小值2时，d取得最大值为√3，则d=√1+k2≤√3当k=0时，d取得最大值为√3，则|m|=√3解得m=±√3故答案为：C【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.10.数列{a n}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+⋅⋅⋅+a n=100，则n的最大值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：∵数列{a n}是递增的整数数列，∴n要取最大，d尽可能为小的整数，故可假设d=1∵a1=3，d=1∴a n=n+2∴S n=(3+n+2)n2=n2+5n2则S11=88<100，S12=102>100，故n的最大值为11.故答案为：C【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.二、填空题5小题，每小题5分，共25分．（共5题；共25分）11.(x3−1x)4展开式中常数项为________．【答案】-4【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为T k+1=C4k(x3)4−k(−1x )k=C4k(−1)k x12−4k令12-4k=0，得k=3故常数项为T4=T3+1=C43(−1)3=−4故答案为：-4【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.12.已知抛物线C:y2=4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|=6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN=________．【答案】5；4√5【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则y0=2√5，不妨取点M为(5,2√5)则点N为(5,0)则|FN|=5-1=4则S△FMN=12×|FN|×|MN|=12×4×2√5=4√5故答案为：5，4√5【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.13.若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ=________．【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k∈Z即可）【考点】诱导公式【解析】【解答】解：由题意得{sinθ=sin(θ+π6)cosθ=−cos(θ+π6))，对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得θ+π6=π−θ+2kπ，解得θ=5π12+kπ,k∈Z当k=0时，θ=5π12故答案为：5π12【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.14.已知函数f(x)=|lgx|−kx−2，给出下列四个结论：①若k=0，则f(x)有两个零点；② ∃k<0，使得f(x)有一个零点；③ ∃k<0，使得f(x)有三个零点；④ ∃k>0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论得序号是________．【答案】①②④【考点】函数的零点【解析】【解答】解：令|lgx|- kx-2=0，即y= |lgx|与y= kx+ 2有几个交点，原函数就有几个零点， ①当k= 0时，如图1画出函数图像，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或x =1100 ，所以有两个零点，故①项正确；②当k<0时，y= kx+2过点(0,2)，如图2画出两个函数的图像，∃k <0 ，使得两函数存在两个交点，故②项正确；③当k<0时，y= kx+2过点(0,2)，如图3画出两个函数的图像，不存在k<0时，使得两函数存在三个交点，故③项错误；④当k>0时，y= kx+2过点(0,2)，如图4画出两个函数的图像，∃k >0 ，使得两函数存在三个交点，故④项正确. 故答案为：①②④【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.15.a ⃗=(2,1) ， b ⃗⃗=(2,−1) ， c ⃗=(0,1) ，则 (a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗= ________； a ⃗⋅b ⃗⃗= ________．【答案】 0；3【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意得a →+b →=(4,0) ，则(a →+b →)·c →=4×0+0×1=0 ， a →·b →=2×2+1×(−1)=3 故答案为：0，3【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（共6题；共85分）16.已知在 △ABC 中， c =2bcosB ， C =2π3．（1）求 B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上的中线的长度． ① c =√2b ；②周长为 4+2√3 ；③面积为 S ΔABC =3√34；【答案】（1）∵c =2bcosB ，则由正弦定理可得 sinC =2sinBcosB ， ∴sin2B =sin2π3=√32， ∵C =2π3， ∴B ∈(0,π3) ， 2B ∈(0,2π3) ，∴2B =π3 ，解得 B =π6 ；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 cb =sinCsinB =√3212=√3 ，与 c =√2b 矛盾，故这样的 △ABC 不存在；若选择②：由（1）可得 A =π6 ，设 △ABC 的外接圆半径为 R ，则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，c=2Rsin2π3=√3R，则周长a+b+c=2R+√3R=4+2√3，解得R=2，则a=2,c=2√3，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√(2√3)2+12−2×2√3×1×cosπ6=√7；若选择③：由（1）可得A=π6，即a=b，则S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√b2+(a2)2−2×b×a2×cos2π3=√3+34+√3×√32=√212.【考点】正弦定理，余弦定理，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；（2）选择①：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；选择②：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；选择③：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F．（1）证明：点F为B1C1的中点；（2）若点M为棱A1B1上一点，且二面角M−CF−E的余弦值为√53，求A1MA1B1的值．【答案】（1）如图所示，取B1C1的中点F′，连结DE,EF′,F′C，由于 ABCD −A 1B 1C 1D 1 为正方体， E,F ′ 为中点，故 EF ′∥CD ，从而 E,F ′,C,D 四点共面，即平面CDE 即平面 CDEF ′ ，据此可得：直线 B 1C 1 交平面 CDE 于点 F ′ ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 F 与点 F ′ 重合，即点 F 为 B 1C 1 中点.（2）以点 D 为坐标原点， DA,DC,DD 1 方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方形，建立空间直角坐标系 D −xyz ，不妨设正方体的棱长为2，设 A 1MA1B 1=λ(0≤λ≤1) ，则： M(2,2λ,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(1,0,2) ，从而： MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2−2λ,−2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,2),FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2,0) ，设平面 MCF 的法向量为： m⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1) ，则： {m ⇀⋅MC⇀=−2x 1+(2−2λ)y 1−2z 1=0m ⇀⋅CF ⇀=x 1+2z 1=0 ，令 z 1=−1 可得： m ⃗⃗⃗=(2,11−λ,−1) ，设平面 CFE 的法向量为： n⃗⃗=(x 2,y 2,z 2) ，则： {n ⇀⋅FE⇀=−2y 2=0n ⇀⋅CF ⇀=x 2+2z 2=0，令 z 1=−1 可得： n⃗⃗=(2,0,−1) ，从而： m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=5,|m ⃗⃗⃗|=√5+(11−λ)2,|n ⃗⃗|=√5 ，则：cos〈m⃗⃗⃗,n⃗⃗〉=m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗⃗|×|n⃗⃗|=√5+(11−λ)2×√5=√53，整理可得：(λ−1)2=14，故λ=12（λ=32舍去）.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可；（2）根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，P(X=20)=111，P(X=30)=1−111=1011，则X的分布列:所以E(X)=20×111+30×1011=32011；（2）由题意，Y可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，P(Y=25)=p，P(Y=30)=1−p，则E(Y)=25p+30(1−p)=30−5p，若p=211时，E(X)=E(Y)；若p>211时，E(X)>E(Y)；若p<211时，E(X)<E(Y).【考点】简单随机抽样，互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）①根据“k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；②根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；（2）根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.19.已知函数f(x)=3−2xx2+a．（1）若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))处切线方程；（2）若函数f(x)在x=−1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）当a=0时，f(x)=3−2xx2，则f′(x)=2(x−3)x3，∴f(1)=1，f′(1)=−4，此时，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=−4(x−1)，即4x+y−5=0；（2）因为f(x)=3−2xx2+a ，则f′(x)=−2(x2+a)−2x(3−2x)(x2+a)2=2(x2−3x−a)(x2+a)2，由题意可得f′(−1)=2(4−a)(a+1)2=0，解得a=4，故f(x)=3−2xx2+4，f′(x)=2(x+1)(x−4)(x2+4)2，列表如下：所以，函数f(x)的增区间为(−∞,−1)、(4,+∞)，单调递减区间为(−1,4).当x<32时，f(x)>0；当x>32时，f(x)<0.所以，f(x)max=f(−1)=1，f(x)min=f(4)=−14.【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,−2)，以四个顶点围成的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．【答案】（1）因为椭圆过A(0,−2)，故b=2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4√5，故12×2a×2b=4√5，即a=√5，故椭圆的标准方程为：x25+y24=1.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，故直线AB:y=y1+2x1x−2，令y=−3，则x M=−x1y1+2，同理x N=−x2y2+2.直线BC:y=kx−3，由{y=kx−34x2+5y2=20可得(4+5k2)x2−30kx+25=0，故Δ=900k2−100(4+5k2)>0，解得k<−1或k>1.又x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2，故x1x2>0，所以x M x N>0又|PM|+|PN|=|x M+x N|=|x1y1+2+x2y2+2|=|x1kx1−1+x2kx2−1|=|2kx1x2−(x1+x2)k2x1x2−k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1|=5|k|故5|k|≤15即|k|≤3，综上，−3≤k<−1或1<k≤3.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.21.定义R p数列{a n}：对实数p，满足：① a1+p≥0，a2+p=0；② ∀n∈N∗,a4n−1<a4n；③ a m+n∈{a m+a n+p,a m+a n+p+1}，m,n∈N∗．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；（2）若{a n}是R0数列，求a5的值；（3）是否存在p，使得存在R p数列{a n}，对∀n∈N∗,S n≥S10？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．【答案】（1）由性质③结合题意可知0=a3∈{a1+a2+2,a1+a2+2+1}={2,3}，矛盾，故前4项2,−2,0,1的数列，不可能是R2数列.（2）性质① a1≥0,a2=0，由性质③ a m+2∈{a m,a m+1}，因此a3=a1或a3=a1+1，a4=0或a4=1，若a4=0，由性质②可知a3<a4，即a1<0或a1+1<0，矛盾；若a4=1,a3=a1+1，由a3<a4有a1+1<1，矛盾.因此只能是a4=1,a3=a1.或a1=0.又因为a4=a1+a3或a4=a1+a3+1，所以a1=12若a1=1，则a2=a1+1∈{a1+a1+0,a1+a1+0+1}={2a1,2a1+1}={1,2}，2不满足a2=0，舍去.当a1=0，则{a n}前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明a4n+i=n(i=1,2,3),a4n+4=n+1(n∈N)：当n=0时，经验证命题成立，假设当n≤k(k≥0)时命题成立，当n=k+1时：若i=1，则a4(k+1)+1=a4k+5=a j+(4k+5−j)，利用性质③：{a j+a4k+5−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+4}={k,k+1}，此时可得：a4k+5=k+1；否则，若a4k+5=k，取k=0可得：a5=0，而由性质②可得：a5=a1+a4∈{1,2}，与a5=0矛盾.同理可得：{a j+a4k+6−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+5}={k,k+1}，有a4k+6=k+1；{a j+a4k+8−j∣j∈N∗,2≤j≤4k+6}={k+1,k+2}，有a4k+8=k+2；{a j+a4k+7−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+6}={k+1}，又因为a4k+7<a4k+8，有a4k+7=k+1.即当n=k+1时命题成立，证毕.综上可得：a1=0，a5=a4×1+1=1.（3）令b n=a n+p，由性质③可知：∀m,n∈N∗,b m+n=a m+n+p∈{a m+p+a n+p,a m+p+a n+p+1}={b m+b n,b m+b n+1}，由于b1=a1+p≥0,b2=a2+p=0,b4n−1=a4n−1+p<a4n+p=b4n，因此数列{b n}为R0数列.由（2）可知:若∀n∈N,a4n+i=n−p(i=1,2,3),a4n+4=n+1−p；S11−S10=a11=a4×2+3=2−p≥0，S9−S10=−a10=−a4×2+2=−(2−p)≥0，因此p=2，此时a1,a2,…,a10≤0，a j≥0(j≥11)，满足题意.【考点】数列的概念及简单表示法，数学归纳法，数学归纳法的证明步骤【解析】【分析】（1）根据新数列R p数列的定义进行判断即可；（2）根据新数列R p数列的定义，结合数学归纳法求解即可；（3）根据新数列R p数列的定义，结合a n与s n的关系进行判断即可.。

2021年北京高考数学真题与答案

普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）一、选取题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合规定.（1）设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（A ）}1|{>x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{-<x x （D ）}11|{>-<x x x 或（2）设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（A ）y 3>y 1>y 2（B ）y 2>y 1>y 3（C ）y 1>y 2>y 3（D ）y 1>y 3>y 2（3）“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件（4）已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．对的是（A ）若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α （B ）若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n（C ）若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β（D ）若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β（5）极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表达曲线是（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线（6）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则最小值是（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（7）如果圆台母线与底面成60°角，那么这个圆台侧面积与轴截面面积比为（A ）π2 （B ）π23（C ）π332 （D ）π21（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质三块土地上，其中黄瓜必要种植，不同种植办法共有（A ）24种（B ）18种（C ）12种（D ）6种（9）若数列{}n a 通项公式是 ,2,1,2)23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（A ）2411 （B ）2417 （C ）2419 （D ）2425 （10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同窗均有选举权和被选举权，她们编号分别为1，2，…，k ，规定：批准按“1”，不批准（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij ，其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同步批准第1，2号同窗当选人数为（A ）k k a a a a a a 2222111211+++++++ （B ）2221212111k k a a a a a a +++++++（C ）2122211211k k a a a a a a +++（D ）k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选取题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.（11）函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=+=中，是偶函数.（12）以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点抛物线方程是（13）如图，已知底面半径为r 圆柱被一种平面所截，剩余某些母线长最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩余某些体积是 .（14）将长度为1铁丝提成两段，分别围成一种正方形和一种圆形，要使正方形与圆面积之和最小，正方形周长应为 .三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字阐明，证明过程或演算环节. （15）（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 最小正周期；（Ⅱ）若]2,0[π∈x ，求)(x f 最大值、最小值.（16）（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和公式. （17）（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面边长3，侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ；（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 大小；（Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1体积.（18）（本小题满分15分）如图，椭圆长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M （0，r ）（).0>>r b（Ⅰ）写出椭圆方程，求椭圆焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线x k y 1=交椭圆于两点);0)(,(),,(22211>y y x D y x C 直线x k y 2=交椭圆于两点).0)(,(),,(44433>y y x H y x G 求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴情形）（19）（本小题满分14分）有三个新兴城乡，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今筹划合建一种中心医院，为同步以便三镇，准备建在BC 垂直平分线上P 点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若但愿点P 到三镇距离平方和为最小，点P 应位于何处？（Ⅱ）若但愿点P 到三镇最远距离为最小，点P 应位于何处？（20）（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上函数，且满足条件：（i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证明：对任意;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）证明：对任意;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上与否存在满足题设条件奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请阐明理由.普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理工农医类）答案一、选取题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分. （1）A （2）D （3）A （4）B （5）D （6）B （7）C （8）B （9）C （10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. （11）)();(x g x f （12） )4(362--=x y（13）)(212b a r +π （14）44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字阐明，证明过程或演算环节.（15）满分13（Ⅰ）解析：由于x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=2222(cos sin )(cos sin )sin 2cos 2sin 22cos(2)4x x x x x x x x π=+--=-=+因此)(x f 最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解析：由于,20π≤≤x 因此.45424πππ≤+≤x当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 获得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 获得最小值－1. 因此)(x f 在]2,0[π上最大值为1，最小值为－.2（16）满分13分.（Ⅰ）解析：设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a因此.2n a n =（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2nn n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ① ,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ② 当1≠x 时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n nn n n nx xx x nx x x x S x因此.12)1()1(212xnxx x x S n n n ----=+当1=x 时，)1(242+=+++=n n n S n 综上可得当1=x 时，)1(+=n n S n 当1≠x 时，.12)1()1(212xnxx x x S n nn ----=+（17）满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D. （Ⅱ）解析：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 平面角， ∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 中点， .2321==AC BE在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。

2021年高考数学北京卷：真题解析

2021年高考数学（北京卷）真题解析第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （）A.()1,2- B.(1,2]- C.[0,1)D.[0,1]【答案】B【解析】由题意可得，即.故选B.2.在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（）A.2i+ B.2i- C.1i - D.1i +【答案】D 【解析】由题意可得.故选D.3.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，正确；若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选A.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332+ B.4 C.3 D.2【答案】A 【解析】根据三视图可得如图A4所示的几何体：正三棱锥，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为，故选A.图A45.双曲线2222:1x y C a b-=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213y x -=B.2213x y -=C.21x =D.21y =【答案】A 【解析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出标准方程.，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选A.6.{}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15k k a k b ≤≤为常值，1288a=，596=a ，1192b=，则3b =（）A.64B.128C.256D.512【答案】B【解析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.由已知条件可得，则，因此，.故选B.7.函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98 D.偶函数，最大值为98【答案】D 【解析】由三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选D.8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B 【解析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.根据几何知识可知，降雨充满的圆锥（题图中的黑色部分）的底面半径为，圆锥的高为150(mm)，所以由题意可知积水厚度为属于中雨，故选B.9.已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（）A.2± B. C. D.【答案】C【解析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m .由题可得圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，则当时，弦长取得最小值为，解得.10.数列n 是递增的整数数列，且13，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.若要使n 尽可能的大，则首项、递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为，则，，，所以n 的最大值为11.故选C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11.341(x x -展开式中常数项为__________．【答案】－4【解析】的展开式的通项令得常数项为.12.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ，则FMN S = _______．【答案】①5；②【解析】根据焦半径公式可求M 的横坐标，求出纵坐标后可求.因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，故答案为：5，.13.(2,1)a = ，(2,1)b =-，(0,1)c = ，则()a b c +⋅= _______；a b ⋅= _______．【答案】①0；②3【解析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.，，，.故答案为：0；3.14.若点(cos ,sin )P θθ与点(cos())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】（满足即可）【解析】根据在单位圆上，可得关于y 轴对称，得出求解.∵与关于y 轴对称，即关于y 轴对称，，则，当时，可取的一个值为.故答案为：（满足即可）.15.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【解析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.图A15【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（三角函数与解三角形）（本小题13分）已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c =；②周长为4+；③面积为ABC S ∆=；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】（1），由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为；若选择③：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：.17.（立体几何）（本小题13分）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F．（1）证明：点F 为11B C 的中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）如图A17(a)所示，取的中点，连结，由于为正方体，为中点，故，从而四点共面，即平面即平面，据此可得：直线交平面于点，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F 与点重合，即点F 为中点.图A17(a)（2）如图A17(b)所示，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系D-xyz ，图A17(b)不妨设正方体的棱长为2，设，则，从而，设平面MCF 的法向量为，则，令，可得，设平面CFE 的法向量为，则，令，可得，从而，则，整理可得：，解得（舍去）.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为；（2）见解析．【解析】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X 可以取20，30，，，则X 的分布列：X 2030P1111011所以；（2）由题意，Y 可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p ，，，则，若时，；若时，；若时，.已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）；（2）增区间为、，单调递减区间为，最大值为1，最小值为.【解析】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：－1所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为椭圆过，故，因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：.（2）设，因为直线BC 的斜率存在，故，故直线，令，则，同理.图A20直线，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，综上，或.21.（数列）（本小题15分）定义p R 数列{}n a ：对实数p ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，,m n N *∈．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 的值；（3）是否存在p ，使得存在p R 数列{}n a ，对10,n n N S S *∀∈≥？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是R 2数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．【解析】（1）由性质③结合题意可知，矛盾，故前4项的数列，不可能是R 2数列.（2）性质①，由性质③，因此或，或，若，由性质②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因为或，所以或.若，则，不满足，舍去.当，则前四项为：0，0，0，1，下面用纳法证明：当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，当时：若，则，利用性质③：，此时可得：；否则，若，取可得：，而由性质②可得：，与矛盾.同理可得：，有；，有；，又因为，有即当时命题成立，证毕.综上可得：，.（3）令，由性质③可知：，由于，因此数列为数列.由（2）可知：若；，，因此，此时，，满足题意.2021年高考数学（北京卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （）A.()1,2- B.(1,2]- C.[0,1) D.[0,1]2.在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（）A.2i+ B.2i- C.1i- D.1i+3.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332+ B.4C.3D.25.双曲线2222:1x y C a b -=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213y x -= B.2213x y -=C.21x =D.21y =6.{}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15k kak b ≤≤为常值，1288a=，596=a ，1192b =，则3b =（）A.64B.128C.256D.5127.函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98 D.偶函数，最大值为988.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨9.已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（）A.2± B. C. D.10.数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.9B.10C.11D.12第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11.341(x x-展开式中常数项为__________．12.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ，则FMN S = _______．13.(2,1)a = ，(2,1)b =-，(0,1)c = ，则()a b c +⋅= _______；a b ⋅=_______．14.若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．15.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c =；②周长为4+；③面积为ABC S ∆=；17.已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F．（1）证明：点F 为11B C 的中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．2021年高考数学（北京卷）————————————————————————————————————————————————————第21页共21页18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．19.已知函数()232x f x x a-=+．（1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．21.定义p R 数列{}n a ：对实数p ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，,m n N *∈．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 的值；（3）是否存在p ，使得存在p R 数列{}n a ，对10,n n N S S *∀∈≥？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．。

2021年高考数学试卷(北京)(解析卷)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =££，则A B =U （）A. ()1,2- B. (1,2]- C. [0,1)D. [0,1]【答案】B 【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<£U ，即(]1,2A B =-U .故选：B.2. 在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（）A. 2i + B. 2i- C. 1i- D. 1i+【答案】D 【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.3.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x æö=-ç÷èø，但()213f x x æö=-ç÷èø在10,3éùêúëû为减函数，在1,13éùêúëû为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O ABC -，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为213112´´´=，故选：A.5. 双曲线2222:1x y C a b -=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A. 2213y x -= B. 2213x y -=C. 21x =21y =【答案】A 【解析】【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==Q ，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.6. {}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15kkak b££为常值，1288a =，596=a ，1192b =，则3b =（）A. 64 B. 128C. 256D. 512【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出5b 的值，利用等差中项的性质可求得3b 的值.【详解】由已知条件可得5115a ab b =，则51519619264288a b b a ´===，因此，1531926412822b b b ++===.故选：B.7. 函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2C. 奇函数，最大值为98 D. 偶函数，最大值为98【答案】D 【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x æö=-=-++=--+ç÷èø，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D.暴雨【答案】B 【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为()200100mm 2=的圆面内的降雨充满一个底面半径为()20015050mm 2300´=，高为()150mm 的圆锥，所以积水厚度()22150150312.5mm 100d p p ´´==´，属于中雨故选：B.9. 已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（）A. 2±B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为则当0k =时，弦长取得最小值为2=，解得m =.故选：C.10. 数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ³，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A. 9 B. 10C. 11D. 12【答案】C 【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使n 尽可能的大，则1a ，递增幅度要尽可能小，.不妨设数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为n S ，则2n a n =+，1131311881002S +=´=<，12314121021002S +=´=>，所以n 的最大值为11.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11.341(x x-展开式中常数项为__________．【答案】4-【解析】【详解】试题分析：431x x æö-ç÷èø的展开式的通项()()431241441C 1C ,rrr rr rr T xx x --+æö=-=-ç÷èø令3r =得常数项为()33441C 4T =-=-.考点：二项式定理.12.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ^轴于N ，则FMN S =V _______．【答案】 ①. 5 ②. 【解析】【分析】根据焦半径公式可求M 的横坐标，求出纵坐标后可求FMN S V .【详解】因为抛物线的方程为24y x =，故2p =且()1,0F .因为6MF =，62M px +=，解得5M x =，故M y =±，所以()1512FMN S =´-´=V ，故答案为：5，13. (2,1)a =r ，(2,1)b r =-，(0,1)c =r ，则()a b c +⋅=r r r _______；a b ⋅=r r_______．【答案】 ①. 0 ②. 3【解析】【分析】根据坐标求出a b +rr ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=rrrQ ，()4,0a b \+=r r ，()40010a b c +⋅=´+\´=r r r，()22113a b \⋅=´+´-=r r.故答案为：0；3.14. 若点(cos ,sin )P q q 与点(cos(),sin(66Q p pq q ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的q =___．【答案】512p （满足5,12k k Z pq p =+∈即可）【解析】【分析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6pq q +关于y 轴对称，得出2,6k k Z pq q p p ++=+∈求解.【详解】Q (cos ,sin )P q q 与cos ,sin 66Q p p q q æöæöæö++ç÷ç÷ç÷èøèøèø关于y 轴对称，即,6pq q +关于y 轴对称，2,6k k Z pq q p p ++=+∈，则5,12k k Z pq p =+∈，当0k =时，可取q 的一个值为512p .故答案为：512p （满足5,12k k Z pq p =+∈即可）.15. 已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【解析】【分析】由()0f x =可得出lg 2x kx =+，考查直线2y kx =+与曲线()lg g x x =的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k =时，由()lg 20f x x =-=，可得1100x =或100x =，①正确；对于②，考查直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<相切于点(),lg P t t -，对函数lg y x =-求导得1ln10y x ¢=-，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=-ìïí=-ïî，解得100100lg e t k e e ì=ïïíï=-ïî，所以，存在100lg 0k e e=-<，使得()f x 只有一个零点，②正确；对于③，当直线2y kx =+过点()1,0时，20k +=，解得2k =-，所以，当100lg 2e k e-<<-时，直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，若函数()f x 有三个零点，则直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>有一个交点，所以，100lg 220e k e k ì-<<-ïíï+>î，此不等式无解，因此，不存在0k <，使得函数()f x 有三个零点，③错误；对于④，考查直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>相切于点(),lg P t t ，对函数lg y x =求导得1ln10y x ¢=，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=ìïí=ïî，解得100lg 100t ee k e =ìïí=ïî，所以，当lg 0100ek e<<时，函数()f x 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知在ABC V 中，2cos c b B =，23C p =．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并求出BC 边上中线的长度．①c =；②周长为4+；③面积为ABC S D =；【答案】（1）6p；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.的【详解】（1）2cos c b B =Q ，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，2sin 2sin 3B p \==，23C p =Q ，0,3B p æö\∈ç÷èø，220,3B p æö∈ç÷èø，23B p\=，解得6B p=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得sin sin c Cb B===，与c =矛盾，故这样的ABC V 不存在；若选择②：由（1）可得6A p=，设ABC V 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin6a b R R p===，22sin3c R p==，则周长24a b c R ++=+=+解得2R =，则2,a c ==，由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：=；若选择③：由（1）可得6A p=，即a b =，则211sin 22ABC Sab C a ===V ，解得a ===.17. 已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F ．（1）证明：点F 为11B C 的中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --，求111A M A B 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）11112A M AB =．【解析】【分析】(1)首先将平面CDE 进行扩展，然后结合所得的平面与直线11B C 的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数l 的值.【详解】(1)如图所示，取11B C 的中点'F ，连结,','DE EF F C ，由于1111ABCD A B C D -为正方体，,'E F 为中点，故'EF CD P ，从而,',,E F C D 四点共面，即平面CDE 即平面'CDEF ，据此可得：直线11B C 交平面CDE 于点'F ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F 与点'F 重合，即点F 为11B C 中点.(2)以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方形，建立空间直角坐标系D xyz-，不妨设正方体的棱长为2，设()11101A MA B l l =££，则：()()()()2,2,2,0,2,0,1,2,2,1,0,2M C F E l ，从而：()()()2,22,2,1,0,2,0,2,0MC CF FE l =---==-uuu u r uuu r uuu r，设平面MCF 的法向量为：()111,,m x y z =u r，则：()111112222020m MC x y z m CF x z l ì⋅=-+--=ïí⋅=+=ïîuuu u v v uuu v v ，令11z =-可得：12,,11m l æö=-ç÷-èøu r ，设平面CFE 的法向量为：()222,,n x y z =r，则：2222020n FE y n CF x z ì⋅=-=ïí⋅=+=ïîuuu v v uuu v v ，令11z =-可得：2,0,1n =-r，从而：m n ⋅u r r则：,cos m =u r ，整理可得：()2114l -=，故12l =（32l =舍去）.【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出()E Y ，分类即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X 可以取20，30，()12011P X ==，()1103011111P X ==-=，则X 的分布列:X2030P1111011所以()1103202030111111E X =´+´=；（2）由题意，Y 可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p ，()25P Y p ==，()301P Y p ==-，则()()25301305E Y p p p =+-=-，若211p =时，()()E X E Y =；若211p >时，()()E X E Y >；在若211p <时，()()E X E Y <.19. 已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-¥-、()4,+¥，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-.【解析】【分析】（1）求出()1f 、()1f ¢的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f ¢-=可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当0a =时，()232xf x x -=，则()()323x f x x-¢=，()11f \=，()14f ¢=-，此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=；（2）因为()232x f x x a -=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x x a x a -+----¢==++，由题意可得()()()224101a f a -¢-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-¢=+，列表如下：x(),1-¥-1-()1,4-4()4,+¥()f x ¢+-0+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的增区间为(),1-¥-、()4,+¥，单调递减区间为()1,4-.当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <.所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--È．【解析】【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为1222a b ´´=，即a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ¹，故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+.直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-ìí+=î可得()224530250k x kx +-+=，故()22900100450k k D =-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k+==++，故120x x >，所以0M N x x >又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k £即3k £，综上，31k -£<-或13k <£21. 定义p R 数列{}n a ：对实数p ，满足：①10a p +³，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，,m n N *∈．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 值；（3）是否存在p ，使得存在p R 数列{}n a ，对10,n n N S S *∀∈³？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是2R 数列；理由见解析；（2）51a =；（3）存在；2p =．【解析】【分析】(1)由题意考查3a 的值即可说明数列不是2R 数列；(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定5a 的值；(3)构造数列n n b a p =+，易知数列{}n b 是0R 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数p 的值.【详解】(1)由性质③结合题意可知{}3121202,21{2,3}a a a a a =∈+++++=，.的矛盾，故前4项2,2,0,1-的数列，不可能是2R 数列.(2)性质①120,0a a ³=，由性质③{}2,1m m m a a a +∈+，因此31a a =或311a a =+，40a =或41a =，若40a =，由性质②可知34a a <，即10a <或110a +<，矛盾；若4311,1a a a ==+，由34a a <有111a +<，矛盾.因此只能是4311,a a a ==.又因为413a a a =+或4131a a a =++，所以112a =或10a =.若112a =，则{}{}{}2111111110,012,211,2a a a a a a a a +=∈+++++=+=，不满足20a =，舍去.当10a =，则{}n a 前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明()444(1,2,3),1n i n a n i a n n N ++===+∈：当0n =时，经验证命题成立，假设当(0)n k k £³时命题成立，当1n k =+时：若1i =，则()()4541145k k j k j a a a +++++-==，利用性质③：{}*45,144{,1}j k jaa j N j k k k +-+∈££+=+∣，此时可得：451k a k +=+；否则，若45k a k +=，取0k =可得：50a =，而由性质②可得：{}5141,2a a a =+∈，与50a =矛盾.同理可得：{}*46,145{,1}jk j a a j N j k k k +-+∈££+=+∣，有461k a k +=+；{}*48,246{1,2}jk j a a j N j k k k +-+∈££+=++∣，有482k a k +=+；{}*47,146{1}jk j aa j N j k k +-+∈££+=+∣，又因为4748k k a a ++<，有47 1.k a k +=+即当1n k =+时命题成立，证毕.综上可得：10a =，54111a a ´+==.(3)令n nb a p =+，由性质③可知：*,,m n m n m n N b a p ++∀∈=+∈{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b =+++，由于11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b --=+³=+==+<+=，因此数列{}n b 为0R 数列.由（2）可知:若444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++∀∈=-==+-；11111402320a S S a p ´+-==-³=，91010422(2)0S S a a p ´+-=-=-=--³，因此2p =，此时1210,,,0a a a ¼£，()011j a j ³³，满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

2021年高考数学真题试卷(北京卷)295带答案解析

2021年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（共10题；共40分）1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=（）．A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1,2}D. {1,2}【答案】 D【考点】交集及其运算【解析】【解答】A∩B={−1,0,1,2}∩(0,3)={1,2}，故答案为：D.【分析】根据交集定义直接得结果.2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=（）．A. 1+2iB. −2+iC. 1−2iD. −2−i【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由题意得z=1+2i，∴iz=i−2.故答案为：B.【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.3.在(√x−2)5的展开式中，x2的系数为（）．A. -5B. 5C. -10D. 10【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】(√x−2)5展开式的通项公式为：T=C5r(√x)5−r(−2)r=(−2)r C5r x5−r2，r+1=2可得：r=1，则x2的系数为：(−2)1C51=(−2)×5=−10.令5−r2故答案为：C.【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定x2的系数即可.4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6+√3B. 6+2√3C. 12+√3D. 12+2√3【答案】 D【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，×2×2×sin60°)=12+2√3.则其表面积为：S=3×(2×2)+2×(12故答案为：D.【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【考点】两点间距离公式的应用，圆的标准方程【解析】【解答】设圆心C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5，所以|OC|≥5−1=4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故答案为：A.【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径1可得答案.6.已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是（）．A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. (0,1)D. (−∞,0)∪(1,+∞)【答案】 D【考点】函数的图象，其他不等式的解法【解析】【解答】因为f(x)=2x−x−1，所以f(x)>0等价于2x>x+1，在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞).故答案为：D.【分析】作出函数y=2x和y=x+1的图象，观察图象可得结果.7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP【答案】B【考点】抛物线的定义【解析】【解答】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|=|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故答案为：B.【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解.8.在等差数列{a n}中，a1=−9，a3=−1．记T n=a1a2…a n(n=1,2,…)，则数列{T n}（）．A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B【考点】数列的函数特性，等差数列的通项公式【解析】【解答】由题意可知，等差数列的公差d=a5−a15−1=−1+95−1=2，则其通项公式为：a n=a1+(n−1)d=−9+(n−1)×2=2n−11，注意到a1<a2<a3<a4<a5<0<a6=1<a7<⋯，且由T5<0可知T i<0(i≥6,i∈N)，由T iT i−1=a i>1(i≥7,i∈N)可知数列{T n}不存在最小项，由于a1=−9,a2=−7,a3=−5,a4=−3,a5=−1,a6=1，故数列{T n}中的正项只有有限项：T2=63，T4=63×15=945.故数列{T n}中存在最大项，且最大项为T4.故答案为：B.【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.9.已知α,β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“ sinα=sinβ”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，诱导公式【解析】【解答】(1)当存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ时，若k为偶数，则sinα=sin(kπ+β)=sinβ；若k为奇数，则sinα=sin(kπ−β)=sin[(k−1)π+π−β]=sin(π−β)=sinβ；(2)当sinα=sinβ时，α=β+2mπ或α+β=π+2mπ，m∈Z，即α=kπ+(−1)kβ(k=2m)或α=kπ+(−1)kβ(k=2m+1)，亦即存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ．所以，“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“ sinα=sinβ”的充要条件.故答案为：C.【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.10.2021年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A. 3n(sin30°n +tan30°n) B. 6n(sin30°n+tan30°n)C. 3n(sin60°n +tan60°n) D. 6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故答案为：A.【分析】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.二、填空题共5题，每小题5分，共25分（共5题；共25分）11.函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是________．【答案】(0,+∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得{x>0x+1≠0，∴x>0故答案为：(0,+∞)【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.12.若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．【答案】π2（2kπ+π2,k∈Z均可）【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的积化和差公式【解析】【解答】因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，所以√cos2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）.【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，可得√cos2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.13.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②③【考点】斜率的计算公式，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果14.已知双曲线C:x26−y23=1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．【答案】(3,0)；√3【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性质【解析】【解答】在双曲线C中，a=√6，b=√3，则c=√a2+b2=3，则双曲线C的右焦点坐标为(3,0)，双曲线C的渐近线方程为y=±√22x，即x±√2y=0，所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为√12+2=√3.故答案为： (3,0) ； √3 .【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.15.已知正方形 ABCD 的边长为2，点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ，则 |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ________； PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ________．【答案】 √5；-1【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积坐标表示的应用【解析】【解答】以点A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点 A(0,0) 、 B(2,0) 、 C(2,2) 、 D(0,2) ， AP⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(2,0)+12(2,2)=(2,1) ，则点 P(2,1) ， ∴PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1) ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1) ，因此， |PD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−2)2+12=√5 ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×(−2)+1×(−1)=−1 . 故答案为： √5 ；-1.【分析】以点A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 |PD⃗⃗⃗⃗⃗ | 以及 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（共6题；共85分）16.如图，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，E 为 BB 1 的中点．（Ⅰ）求证：BC1//平面AD1E；（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．【答案】解：（Ⅰ）如下图所示：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//A1B1且AB=A1B1，A1B1//C1D1且A1B1=C1D1，∴AB//C1D1且AB=C1D1，所以，四边形ABC1D1为平行四边形，则BC1//AD1，∵BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，∴BC1//平面AD1E；（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系A−xyz，设正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为2，则 A(0,0,0) 、 A 1(0,0,2) 、 D 1(2,0,2) 、 E(0,2,1) ， AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2) ， AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1) ，设平面 AD 1E 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z) ，由 {n ⇀⋅AD1⇀=0n ⇀⋅AE ⇀=0 ，得 {2x +2z =02y +z =0 ，令 z =−2 ，则 x =2 ， y =1 ，则 n⃗ =(2,1,−2) . cos <n ⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗ |⋅|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−43×2=−23. 因此，直线 AA 1 与平面 AD 1E 所成角的正弦值为 23 .【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，可得出 BC 1//AD 1 ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系 A −xyz ，利用空间向量法可计算出直线 AA 1 与平面 AD 1E 所成角的正弦值. 17.在 △ABC 中， a +b =11 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ） sinC 和 △ABC 的面积．条件①： c =7,cosA =−17 ；条件②： cosA =18,cosB =916 ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】解：选择条件①（Ⅰ） ∵c =7,cosA =−17， a +b =11 ∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ） ∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =4√37由正弦定理得： a sinA =c sinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ） ∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π) ∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得： asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ） sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 sinA ,再根据正弦定理求 sinC ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得 sinA,sinB ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求 sinC ，再根据三角形面积公式求结果.18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 p 0 ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p 1 ，试比较 p 0 与 p 1 的大小．（结论不要求证明）【答案】解：（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 200200+400=13 ，该校女生支持方案一的概率为 300300+100=34；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为： (13)2(1−34)+C 21(13)(1−13)34=1336 ; （Ⅲ） p 1<p 0【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，分类加法计数原理【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求 p 0 ，再根据频率估计概率 p 1 ，即得大小. 19.已知函数 f(x)=12−x 2 ．（Ⅰ）求曲线 y =f(x) 的斜率等于 −2 的切线方程；（Ⅱ）设曲线 y =f(x) 在点 (t,f(t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t) ，求 S(t) 的最小值．【答案】解：（Ⅰ）因为 f(x)=12−x 2 ，所以 f ′(x)=−2x ，设切点为 (x 0,12−x 0) ，则 −2x 0=−2 ，即 x 0=1 ，所以切点为 (1,11) ，由点斜式可得切线方程为： y −11=−2(x −1) ，即 2x +y −13=0 . （Ⅱ）显然 t ≠0 ，因为 y =f(x) 在点 (t,12−t 2) 处的切线方程为： y −(12−t 2)=−2t(x −t) ，令 x =0 ，得 y =t 2+12 ，令 y =0 ，得 x =t 2+122t，所以S(t)=12×(t2+12)⋅t2+122|t|，不妨设t>0(t<0时，结果一样)，则S(t)=t4+24t2+1444t =14(t3+24t+144t)，所以S′(t)=14(3t2+24−144t2)=3(t4+8t2−48)4t2=3(t2−4)(t2+12)4t2=3(t−2)(t+2)(t2+12)4t2，由S′(t)>0，得t>2，由S′(t)<0，得0<t<2，所以S(t)在(0,2)上递减，在(2,+∞)上递增，所以t=2时，S(t)取得极小值，也是最小值为S(2)=16×168=32.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点A(−2,−1)，且a=2b．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点B(−4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=−4于点P,Q．求|PB||BQ|的值．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得：{4a2+1b2=1a=2b，解得：{a2=8b2=2，故椭圆方程为：x28+y22=1.（Ⅱ）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的方程为：y=k(x+4)，与椭圆方程x28+y22=1联立可得：x2+4k2(x+4)2=8，即：(4k2+1)x2+32k2x+(64k2−8)=0，则：x1+x2=−32k24k2+1,x1x2=64k2−84k2+1.直线MA的方程为：y+1=y1+1x1+2(x+2)，令x=−4可得：y P=−2×y1+1x1+2−1=−2×k(x1+4)+1x1+2−x1+2x1+2=−(2k+1)(x1+4)x1+2，同理可得：y Q=−(2k+1)(x2+4)x2+2.很明显 y P y Q <0 ，且： |PB||PQ|=|yPy Q| ，注意到：y P +y Q =−(2k +1)(x 1+4x 1+2+x 2+4x 2+2)=−(2k +1)×(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)，而： (x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)=2[x 1x 2+3(x 1+x 2)+8] =2[64k 2−84k 2+1+3×(−32k 24k 2+1)+8]=2×(64k 2−8)+3×(−32k 2)+8(4k 2+1)4k 2+1=0 ，故 y P +y Q =0,y P =−y Q .从而 |PB||PQ|=|yPy Q|=1 .【考点】椭圆的定义，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA 的方程确定点P,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P +y Q =0 ，从而可得两线段长度的比值. 21.已知 {a n } 是无穷数列．给出两个性质：①对于 {a n } 中任意两项 a i ,a j (i >j) ，在 {a n } 中都存在一项 a m ，使a i2a j=a m ；②对于 {a n } 中任意项 a n (n ⩾3) ，在 {a n } 中都存在两项 a k ,a l (k >l) ．使得 a n =a k2a l．(Ⅰ)若 a n =n(n =1,2,⋯) ，判断数列 {a n } 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若 a n =2n−1(n =1,2,⋯) ，判断数列 {a n } 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若 {a n } 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： {a n } 为等比数列. 【答案】解：(Ⅰ) ∵a 2=2,a 3=3,a 32a 2=92∉Z ∴{a n } 不具有性质①；(Ⅱ) ∵∀i,j ∈N ∗,i >j,a i 2a j=2(2i−j)−1,2i −j ∈N ∗∴a i 2a j=a 2i−j ∴{a n } 具有性质①；∵∀n ∈N ∗,n ≥3,∃k =n −1,l =n −2,a k 2a l=2(2k−l)−1=2n−1=a n ,∴{a n } 具有性质②；(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然 a n ≠0(n ∉N ∗) ，假设数列中存在负项，设 N 0=max{n|a n <0} ，第一种情况：若 N 0=1 ，即 a 0<0<a 1<a 2<a 3<⋯ ，由①可知：存在 m 1 ，满足 a m 1=a 22a 1<0 ，存在 m 2 ，满足 a m 2=a 32a 1<0 ，由 N 0=1 可知 a 22a 1=a 32a 1，从而 a 2=a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若 N 0≥2 ，由①知存在实数 m ，满足 a m =a N2a 1<0 ，由 N 0 的定义可知： m ≤N 0 ，另一方面， a m =a N2a 1>a N02aN 0=a N 0 ，由数列的单调性可知： m >N 0 ，这与N0的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明a3=a22a1：利用性质②：取n=3，此时a3=a k2a l(k>l)，由数列的单调性可知a k>a l>0，而a3=a k⋅a k al>a k，故k<3，此时必有k=2,l=1，即a3=a22a1，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{a n}的前k(k≥3)项成等比数列，不妨设a s=a1q s−1(1≤s≤k)，其中a1>0,q>1，（a1<0,0<q<1的情况类似）由①可得：存在整数m，满足a m=a k2a k−1=a1q k>a k，且a m=a1q k≥a k+1（*）由②得：存在s>t，满足：a k+1=a s2a t =a s⋅a sa t>a s，由数列的单调性可知：t<s≤k+1，由a s=a1q s−1(1≤s≤k)可得：a k+1=a s2a t=a1q2s−t−1>a k=a1q k−1（**）由（**）和（*）式可得：a1q k≥a1q2s−t−1>a1q k−1，结合数列的单调性有：k≥2s−t−1>k−1，注意到s,t,k均为整数，故k=2s−t−1，代入（**）式，从而a k+1=a1q k.总上可得，数列{a n}的通项公式为：a n=a1q n−1.即数列{a n}为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取n=3，此时a3=a k2a l(k>l)，由数列的单调性可知a k>a l>0，而a3=a k⋅a k al>a k，故k<3，此时必有k=2,l=1，即a3=a22a1，即a1,a2,a3成等比数列，不妨设a2=a1q,a3=a1q2(q>1)，然后利用性质①：取i=3,j=2，则a m=a32a2=a12q4a1q=a1q3，即数列中必然存在一项的值为a1q3，下面我们来证明a4=a1q3，否则，由数列的单调性可知a4<a1q3，在性质②中，取n=4，则a4=a k2a l =a k a ka l>a k，从而k<4，与前面类似的可知则存在{k,l}⊆{1,2,3}(k>l)，满足a4=a k2，a l=a1q3，与假设矛盾；若k=3,l=2，则：a4=a k2a l=a1q4>a1q3，与假设矛盾；若k=3,l=1，则：a4=a k2a l=a1q2=a3，与数列的单调性矛盾；若k=2,l=1，则：a4=a k2a l即不存在满足题意的正整数k,l，可见a4<a1q3不成立，从而a4=a1q3，同理可得：a5=a1q4,a6=a1q5,⋯，从而数列{a n}为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{a n}为等比数列.【考点】数列递推式，分析法的思考过程、特点及应用，反证法【解析】【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断；(Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首证明数列中的项数同号，然后证明a3=a22a1先假设数列中的项数均为正数，然后证得a1,a2,a3成等比数列，之后证得a1,a2,a3,a4成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.。

2021年高考数学真题试卷(北京卷)带答案解析

2021年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（共10题；共40分）1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=（）．A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1,2}D. {1,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=（）．A. 1+2iB. −2+iC. 1−2iD. −2−i3.在(√x−2)5的展开式中，x2的系数为（）．A. -5B. 5C. -10D. 104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6+√3B. 6+2√3C. 12+√3D. 12+2√35.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 76.已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是（）．A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. (0,1)D. (−∞,0)∪(1,+∞)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP8.在等差数列{a n}中，a1=−9，a3=−1．记T n=a1a2…a n(n=1,2,…)，则数列{T n}（）．A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项9.已知α,β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“ sinα=sinβ”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.2021年3月14日是全球首个国际圆周率日（ π Day ）．历史上，求圆周率 π 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2π 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， π 的近似值的表达式是（）． A. 3n(sin 30°n +tan 30°n ) B. 6n(sin 30°n +tan 30°n )C. 3n(sin 60°n +tan 60°n ) D. 6n(sin 60°n +tan 60°n) 二、填空题共5题，每小题5分，共25分（共5题；共25分）11.函数 f(x)=1x+1+lnx 的定义域是________．12.若函数 f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数 φ 的一个取值为________． 13.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为 W =f(t) ，用 −f(b)−f(a)b−a的大小评价在 [a,b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在 [t 1,t 2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在 t 2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在 t 3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在 [0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3] 这三段时间中，在 [0,t 1] 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________． 14.已知双曲线 C:x 26−y 23=1 ，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．15.已知正方形 ABCD 的边长为2，点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ，则 |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ________； PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ________．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（共6题；共85分）16.如图，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，E 为 BB 1 的中点．（Ⅰ）求证：BC1//平面AD1E；（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．17.在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7,cosA=−17；条件②：cosA=18,cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）19.已知函数f(x)=12−x2．（Ⅰ）求曲线y=f(x)的斜率等于−2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点A(−2,−1)，且a=2b．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点 B(−4,0) 的直线l 交椭圆C 于点 M,N ,直线 MA,NA 分别交直线 x =−4 于点 P,Q ．求 |PB||BQ| 的值．21.已知 {a n } 是无穷数列．给出两个性质：①对于 {a n } 中任意两项 a i ,a j (i >j) ，在 {a n } 中都存在一项 a m ，使a i2a j=a m ；②对于 {a n } 中任意项 a n (n ⩾3) ，在 {a n } 中都存在两项 a k ,a l (k >l) ．使得 a n =a k2a l．(Ⅰ)若 a n =n(n =1,2,⋯) ，判断数列 {a n } 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若 a n =2n−1(n =1,2,⋯) ，判断数列 {a n } 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若 {a n } 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： {a n } 为等比数列.答案解析部分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】【解答】A∩B={−1,0,1,2}∩(0,3)={1,2}，故答案为：D.【分析】根据交集定义直接得结果.2.【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由题意得z=1+2i，∴iz=i−2.故答案为：B.【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.3.【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】(√x−2)5展开式的通项公式为：T=C5r(√x)5−r(−2)r=(−2)r C5r x5−r2，r+1=2可得：r=1，则x2的系数为：(−2)1C51=(−2)×5=−10.令5−r2故答案为：C.【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定x2的系数即可.4.【答案】D【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，×2×2×sin60°)=12+2√3.则其表面积为：S=3×(2×2)+2×(12故答案为：D.【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.5.【答案】A【考点】两点间距离公式的应用，圆的标准方程【解析】【解答】设圆心C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5，所以|OC|≥5−1=4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故答案为：A.【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径1可得答案.6.【答案】D【考点】函数的图象，其他不等式的解法【解析】【解答】因为f(x)=2x−x−1，所以f(x)>0等价于2x>x+1，在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞).故答案为：D.【分析】作出函数y=2x和y=x+1的图象，观察图象可得结果.7.【答案】B【考点】抛物线的定义【解析】【解答】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|=|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故答案为：B.【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解.8.【答案】B【考点】数列的函数特性，等差数列的通项公式【解析】【解答】由题意可知，等差数列的公差d=a5−a15−1=−1+95−1=2，则其通项公式为：a n=a1+(n−1)d=−9+(n−1)×2=2n−11，注意到a1<a2<a3<a4<a5<0<a6=1<a7<⋯，且由T5<0可知T i<0(i≥6,i∈N)，由T iT i−1=a i>1(i≥7,i∈N)可知数列{T n}不存在最小项，由于a1=−9,a2=−7,a3=−5,a4=−3,a5=−1,a6=1，故数列{T n}中的正项只有有限项：T2=63，T4=63×15=945.故数列{T n}中存在最大项，且最大项为T4.故答案为：B.【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.9.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，诱导公式【解析】【解答】(1)当存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ时，若k为偶数，则sinα=sin(kπ+β)=sinβ；若k为奇数，则sinα=sin(kπ−β)=sin[(k−1)π+π−β]=sin(π−β)=sinβ；(2)当sinα=sinβ时，α=β+2mπ或α+β=π+2mπ，m∈Z，即α=kπ+(−1)kβ(k=2m)或α=kπ+(−1)kβ(k=2m+1)，亦即存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ．所以，“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“ sinα=sinβ”的充要条件.故答案为：C.【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.10.【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故答案为：A.【分析】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.二、填空题共5题，每小题5分，共25分11.【答案】(0,+∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得{x>0x+1≠0，∴x>0故答案为：(0,+∞)【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.12.【答案】π2（2kπ+π2,k∈Z均可）【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的积化和差公式【解析】【解答】因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，所以√cos2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）.【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，可得√cos2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.13.【答案】①②③【考点】斜率的计算公式，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 14.【答案】 (3,0)；√3【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性质【解析】【解答】在双曲线C 中， a =√6 ， b =√3 ，则 c =√a 2+b 2=3 ，则双曲线C 的右焦点坐标为 (3,0) ，双曲线C 的渐近线方程为 y =±√22x ，即 x ±√2y =0 ，所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为 √12+2=√3 . 故答案为： (3,0) ； √3 .【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离. 15.【答案】 √5；-1【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积坐标表示的应用【解析】【解答】以点A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点 A(0,0) 、 B(2,0) 、 C(2,2) 、 D(0,2) ， AP⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(2,0)+12(2,2)=(2,1) ，则点 P(2,1) ， ∴PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1) ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1) ，因此， |PD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−2)2+12=√5 ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×(−2)+1×(−1)=−1 . 故答案为： √5 ；-1.【分析】以点A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 |PD⃗⃗⃗⃗⃗ | 以及 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.【答案】解：（Ⅰ）如下图所示：在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB //A 1B 1 且 AB =A 1B 1 ， A 1B 1//C 1D 1 且 A 1B 1=C 1D 1 ， ∴AB //C 1D 1 且 AB =C 1D 1 ，所以，四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，则 BC 1//AD 1 ， ∵BC 1⊄ 平面 AD 1E ， AD 1⊂ 平面 AD 1E ， ∴BC 1// 平面 AD 1E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 A −xyz ，设正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为2，则 A(0,0,0) 、 A 1(0,0,2) 、 D 1(2,0,2) 、 E(0,2,1) ， AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2) ， AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1) ，设平面 AD 1E 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z) ，由 {n ⇀⋅AD1⇀=0n ⇀⋅AE ⇀=0 ，得 {2x +2z =02y +z =0 ，令 z =−2 ，则 x =2 ， y =1 ，则 n ⃗ =(2,1,−2) . cos <n ⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ |⋅|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−43×2=−23.因此，直线 AA 1 与平面 AD 1E 所成角的正弦值为 23 .【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，可得出 BC 1//AD 1 ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系 A −xyz ，利用空间向量法可计算出直线 AA 1 与平面 AD 1E 所成角的正弦值. 17.【答案】解：选择条件①（Ⅰ） ∵c =7,cosA =−17， a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ） ∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =4√37由正弦定理得： a sinA =c sinC ∴4√37=7sinC∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ） ∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π) ∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得： asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ） sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 sinA ,再根据正弦定理求 sinC ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得 sinA,sinB ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求 sinC ，再根据三角形面积公式求结果.18.【答案】解：（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 200200+400=13，该校女生支持方案一的概率为 300300+100=34；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为： (13)2(1−34)+C 21(13)(1−13)34=1336 ; （Ⅲ） p 1<p 0【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，分类加法计数原理【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求 p 0 ，再根据频率估计概率 p 1 ，即得大小. 19.【答案】解：（Ⅰ）因为 f(x)=12−x 2 ，所以 f ′(x)=−2x ，设切点为 (x 0,12−x 0) ，则 −2x 0=−2 ，即 x 0=1 ，所以切点为 (1,11) ，由点斜式可得切线方程为： y −11=−2(x −1) ，即 2x +y −13=0 . （Ⅱ）显然 t ≠0 ，因为 y =f(x) 在点 (t,12−t 2) 处的切线方程为： y −(12−t 2)=−2t(x −t) ，令 x =0 ，得 y =t 2+12 ，令 y =0 ，得 x =t 2+122t，所以S(t)=12×(t2+12)⋅t2+122|t|，不妨设t>0(t<0时，结果一样)，则S(t)=t4+24t2+1444t =14(t3+24t+144t)，所以S′(t)=14(3t2+24−144t2)=3(t4+8t2−48)4t2=3(t2−4)(t2+12)4t2=3(t−2)(t+2)(t2+12)4t2，由S′(t)>0，得t>2，由S′(t)<0，得0<t<2，所以S(t)在(0,2)上递减，在(2,+∞)上递增，所以t=2时，S(t)取得极小值，也是最小值为S(2)=16×168=32.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.20.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得：{4a2+1b2=1a=2b，解得：{a2=8b2=2，故椭圆方程为：x28+y22=1.（Ⅱ）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的方程为：y=k(x+4)，与椭圆方程x28+y22=1联立可得：x2+4k2(x+4)2=8，即：(4k2+1)x2+32k2x+(64k2−8)=0，则：x1+x2=−32k24k2+1,x1x2=64k2−84k2+1.直线MA的方程为：y+1=y1+1x1+2(x+2)，令x=−4可得：y P=−2×y1+1x1+2−1=−2×k(x1+4)+1x1+2−x1+2x1+2=−(2k+1)(x1+4)x1+2，同理可得：y Q=−(2k+1)(x2+4)x2+2.很明显y P y Q<0，且：|PB||PQ|=|y Py Q|，注意到：y P+y Q=−(2k+1)(x1+4x1+2+x2+4x2+2)=−(2k+1)×(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)(x1+2)(x2+2)，而：(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)=2[x1x2+3(x1+x2)+8]=2[64k2−84k2+1+3×(−32k24k2+1)+8]=2×(64k 2−8)+3×(−32k 2)+8(4k 2+1)4k 2+1=0 ，故 y P +y Q =0,y P =−y Q .从而 |PB||PQ|=|yPy Q|=1 .【考点】椭圆的定义，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA 的方程确定点P,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P +y Q =0 ，从而可得两线段长度的比值. 21.【答案】解：(Ⅰ) ∵a 2=2,a 3=3,a 32a 2=92∉Z ∴{a n } 不具有性质①；(Ⅱ) ∵∀i,j ∈N ∗,i >j,a i 2a j=2(2i−j)−1,2i −j ∈N ∗∴a i 2a j=a 2i−j ∴{a n } 具有性质①；∵∀n ∈N ∗,n ≥3,∃k =n −1,l =n −2,a k 2a l=2(2k−l)−1=2n−1=a n ,∴{a n } 具有性质②；(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然 a n ≠0(n ∉N ∗) ，假设数列中存在负项，设 N 0=max{n|a n <0} ，第一种情况：若 N 0=1 ，即 a 0<0<a 1<a 2<a 3<⋯ ，由①可知：存在 m 1 ，满足 a m 1=a 22a 1<0 ，存在 m 2 ，满足 a m 2=a 32a 1<0 ，由 N 0=1 可知 a 22a 1=a 32a 1，从而 a 2=a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若 N 0≥2 ，由①知存在实数 m ，满足 a m =a N2a 1<0 ，由 N 0 的定义可知： m ≤N 0 ，另一方面， a m =a N2a 1>a N02aN 0=a N 0 ，由数列的单调性可知： m >N 0 ，这与 N 0 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号. 其次，证明 a 3=a 22a 1 ：利用性质②：取 n =3 ，此时 a 3=a k2a l(k >l) ，由数列的单调性可知 a k >a l >0 ，而 a 3=a k ⋅aka l >a k ，故 k <3 ，此时必有 k =2,l =1 ，即 a 3=a 22a 1，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列 {a n } 的前 k(k ≥3) 项成等比数列，不妨设 a s =a 1q s−1(1≤s ≤k) ，其中 a 1>0,q >1 ，（ a 1<0,0<q <1 的情况类似）由①可得：存在整数m，满足a m=a k2a k−1=a1q k>a k，且a m=a1q k≥a k+1（*）由②得：存在s>t，满足：a k+1=a s2a t =a s⋅a sa t>a s，由数列的单调性可知：t<s≤k+1，由a s=a1q s−1(1≤s≤k)可得：a k+1=a s2a t=a1q2s−t−1>a k=a1q k−1（**）由（**）和（*）式可得：a1q k≥a1q2s−t−1>a1q k−1，结合数列的单调性有：k≥2s−t−1>k−1，注意到s,t,k均为整数，故k=2s−t−1，代入（**）式，从而a k+1=a1q k.总上可得，数列{a n}的通项公式为：a n=a1q n−1.即数列{a n}为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取n=3，此时a3=a k2a l(k>l)，由数列的单调性可知a k>a l>0，而a3=a k⋅a k al>a k，故k<3，此时必有k=2,l=1，即a3=a22a1，即a1,a2,a3成等比数列，不妨设a2=a1q,a3=a1q2(q>1)，然后利用性质①：取i=3,j=2，则a m=a32a2=a12q4a1q=a1q3，即数列中必然存在一项的值为a1q3，下面我们来证明a4=a1q3，否则，由数列的单调性可知a4<a1q3，在性质②中，取n=4，则a4=a k2a l =a k a ka l>a k，从而k<4，与前面类似的可知则存在{k,l}⊆{1,2,3}(k>l)，满足a4=a k2a l，若k=3,l=2，则：a4=a k2a l=a1q3，与假设矛盾；若k=3,l=1，则：a4=a k2a l=a1q4>a1q3，与假设矛盾；若k=2,l=1，则：a4=a k2a l=a1q2=a3，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数k,l，可见a4<a1q3不成立，从而a4=a1q3，同理可得：a5=a1q4,a6=a1q5,⋯，从而数列{a n}为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{a n}为等比数列.【考点】数列递推式，分析法的思考过程、特点及应用，反证法【解析】【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断；(Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明a3=a22，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首a1先假设数列中的项数均为正数，然后证得a1,a2,a3成等比数列，之后证得a1,a2,a3,a4成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.。

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【详解】
，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
A． B． C． D．
5．双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（）
A． B． C． D．
6．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，对应的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
17．如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
18．在核酸检测中, “k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A． B．
C． D．
2．在复平面内，复数满足，则（）
A． B． C． D．
3．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为 ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望EX.
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
9．已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
10．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（）
A．9B．10C．11D．12
二、填空题
11．在的展开式中，常数项为__________．
12．若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
A．64B．96C．128D．160
Hale Waihona Puke 7．函数是A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
8．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
故选：D.
3．A
【分析】
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“ 在上的最大值为 ”的充分不必要条件，
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望EY与(1）中EX的大小.(结论不要求证明)
19．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
20．已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
2021年北京市高考数学真题试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
15．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________； ________.
四、解答题
16．在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为 .是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】
由题意可得： .
故选：B.
2．D
【分析】
由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得： .
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
21．设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
① ，且；
② ；
③ ，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
13．已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰有2个零点；
②存在负数，使得恰有个1零点；
③存在负数，使得恰有个3零点；
④存在正数，使得恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
三、双空题
14．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点 .若，则点的横坐标为_______；的面积为_______．
故选：A.
4．A
【分析】
根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.
【详解】
根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥，
其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为，
故选：A.
5．B
【分析】
分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.