考研高数不等式证明的方法
考研高数不等式证明的方法
考研高数不等式证明的方法考研高数不等式证明的方法利用微分中值定理：微分中值定理在高数的证明题中是非常大的, 在等式和不等式的证明中都会用到。
当不等式或其适当变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。
柯西中值定理是拉格朗FI 中值定理的一个推广，当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理证明。
除此之外，最常用的方法是左右两边相减构造辅助函数，若函数的最小值为0或为常数，则该函数就是大于零的，从而不等式得以证明。
一、打牢基础二、踏实前行三、总结归纳经过前期基础知识的积累和做题的巩固，同学们对知识点、练习题、真题都有了深刻的认识。
这时，要做好归纳与总结，构建整体的知识结构体系，将之前所学的知识点牢牢记忆在脑海中。
充分利用知识的迁移，达到举一反三的'效果。
遇到一些重点和难点题型，首先不畏惧，其次回顾之前学习的相关知识，并有效利用它们，来解决遇到的问题，最后将以往所学深深记忆在脑海中，达到“化” 的境界。
1、两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换这些小的知识点在历年的考察中都比较高。
而透过我们分析，假如考极限的话，主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换，特别针对数三的同学，这儿可能出大题。
2、处理连续性，可导性和可微性的关系要求掌握各种函数的求导方法。
比如隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。
数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。
3、微分方程：一是一元线性微分方程，第二是二阶常系数齐次/ 非齐次线性微分方程对第一部分，考生需要掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的公式就行了。
对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的结构。
另一块对于非齐次的方程来说，考生要注意它和特征方程的联系，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。
不等式的几种证明方法
不等式证明的几种常用方法一、比较法（1）差值比较法要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。
①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
【例一】求证：233x x +>证明：()()()222233223333x x x x +-=-+-+23330244x ⎛⎫=-+≥> ⎪⎝⎭233x x ∴+>(2)商值比较法已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
【例二】已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥证明： =∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1;当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1.∴≥1, 即a b b aa b a b ≥二、综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。
重点：基本不等式【例三】已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .证明： 222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222c b bc +≥()222a b cabc ∴+≥，()222b acabc +≥，()222c ababc +≥∴a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)≥6abc .又因为a ,b ,c 是不全等的正数所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .三、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
高等数学之微积分中不等式的证明方法总结
高等数学之微积分中不等式的证明方法总结
不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。
利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法。
有时需要两次甚至三次连续使用该方法，其他方法可作为该方法的补充，辅助函数的构造仍是解决问题的关键。
证明方法总结：
（1）利用函数单调性证明不等式
若在（a,b）上总有f（x）的导数大于零，则函数f（x）在区间(a,b)上单调增加；若在（a,b）上总有f（x）的导数小于零，则函数f （x）在区间(a,b)上单调减少。
（2）利用拉格朗日中值定理证明不等式
对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可考虑用拉格朗日中值定理先处理一下。
（3）利用函数的最值证明不等式
若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上存在最大值M和最小值m.
（4）利用泰勒公式证明不等式
如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。
不等式证明的难点也是辅助函数的构造，一般可以通过要证明的不等式分析得出要构造的辅助函数。
题型一：利用函数的单调性证明不等式
分析：对要证明的不等式进行如下化简：
解：
备注：构造适当的辅助函数是解决问题的基础，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对区间（a,b）进行分割，分别在小区间上讨论。
题型二：利用拉格朗日中值定理证明不等式
例2：
分析：
解：
备注：对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可以考虑使用拉格朗日公式先处理一下。
考研考研数学不等式证明方法归纳
考研数学不等式证明方法归纳一、利用函数的单调性进行不等式的证明利用单调性来证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，其适应范围很广。
它的解题思路是将所要证明的不等式作某些必要或适当的变形之后，选取适当的函数F（x）及区间［a，b］，再利用导数确定函数F（x）在区间［a，b］内的单调性。
如果当一阶导数不能确定函数的单调性时，则利用高阶导数来判断函数的单调性，然后取函数F（x）在区间［a，b］端点处的函数值，则可以得证不等式。
二、利用微分中值定理进行不等式的证明微分中值定理在高等数学不等式的证明中的作用也是非常大的。
当不等式或其变形中有函数在两点的函数值之差f(b)-f(a)时，一般可考虑用拉格朗日中值定理来证明。
柯西定理是拉格朗日定理的一个推广，当不等式或其变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，一般可考虑用柯西定理来证明。
三、利用函数的最大值!最小值进行不等式的证明通过函数的最大值!最小值来证明不等式是一种比较特殊的方法，它主要是利用连续函数在区间上的最大最小值定理。
其思路是求出函数在区间上的最大值M 或者最小值m，则函数在区间中的任何值都满足f（x）或者f（x）。
四、利用函数的凹凸性进行不等式的证明如果在所要证明的结论中包含形如f（），[f（x1）+f（x2）]的项，那么往往可以考虑寻找合适的函数，应用函数的凹凸性来证明不等式。
五、利用泰勒级数展开式进行不等式的证明如果已知函数的高阶导数存在，则往往可以考虑通过泰勒公式将函数展开来进行证明。
六、利用定积分中值定理进行不等式的证明定积分中值定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。
其思路是通过中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，得出证明。
七、利用定积分的一些性质进行不等式的证明八、利用柯西&施瓦茨不等式进行不等式的证明关于柯西—施瓦茨不等式:设f（x），g（x）在［a，b］上连续，则有[]2。
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
不等式证明的7种方法总结
1. 拉格朗日中值定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数(值)的不等式;
2. 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数(值)或低阶导函数(值)的不等式;
3. 应用函数的单调性定理证明：(1)对于证明数的大小比较的不等式，转化为同一函数在区间两端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;(2)对于证明函数大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间内的任意一点函数值与区间端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;
4. 利用函数最大值、最小值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点x出的函数值大小的比较，然后证明(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
5. 利用函数取到唯一的极值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间内某点x处的函数值大小的比较，然后证明(fx)为唯一的极值且为极大值或极小值，即(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
6. 用柯西中值定理证明不等式;
7. 利用曲线的凹凸性证明不等式。
高数考研不等式的证明
12
–
, 注意到 f (0) = f (1),
3、利用极值、最值证明不等式 、利用极值、 例5. 证明当 0 < x < 2时, 4xlnx – x2 – 2x + 4 > 0. 时 证: 令 f (x) = 4xlnx – x2 – 2x + 4 , 则 f ′(x) = 4lnx – 2x + 2 ,
2(2 − x ) ，f ′′(1) = 2 > 0, 这是唯一驻点. 这是唯一驻点 而 f ′′( x ) = x 的极小值点. 故 x = 1是 f (x)的极小值点 是 的极小值点 又当0 又当 < x < 2时, f ′′ > 0, 故曲线 y = f (x)在(0, 2)内 时 ′′(x) 在 内 是凹的, 既是极小值点, 是凹的 故 x = 1既是极小值点 又是最小值点 从而在 既是极小值点 又是最小值点, 0 < x < 2中, 有 中 f (x) > f (1) = 1 > 0， ， 4xlnx – x2 – 2x + 4 > 0. 从而
(0 < ξ1 < c )
f ′(a ) − f ′(c ) = f ′′(ξ 2 ) ⋅ ( a − c ) (c < ξ 2 < a )
≤ M (c + a − c ) = Ma
7
⇒| f ′(0) | + | f ′(a ) |=| f ′′(ξ1 ) | ⋅c + | f ′′(ξ 2 ) | (a − c )
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。
考研数学高数中不等式证明的六种方法
考研数学：高数中不等式证明的六种方法（Ⅰ）来源：文都教育不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。
只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。
下面文都考研数学教研老师介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。
首先，介绍三种比较常用的方法和典型例题，后续会继续介绍另外三种重要的方法和相关例题。
1、利用函数的单调性证明不等式利用单调性证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，使用范围非常广。
主要思路是将所证明的不等式做一些适当或必要的变形后，构造适当函数()F x 及区间[,]a b ，利用导数确定函数在区间内的单调性。
如果一阶导数不能确定函数的单调性是，再利用高阶导数来判断函数的单调性。
下面来看一道典型例题：例1 证明：当0x >时，ln(1)x x +<．证明：构造函数()ln(1)F x x x =+-，则1'()11F x x=-+．当0x >时，'()0F x <，()F x 单调减少，则()(0)0F x F <=，即ln(1)x x +<． 类似可证明：当0x >时，1xe x >+．这两个不等式是经常会使用到的，同学们务必牢记。
2、利用函数的最值证明不等式利用函数的最大值、最小值证明不等式是一种比较特殊的方法，主要利用连续函数的最大值最小值定理或利用导数求出函数的最值。
具体思路是求出函数()f x 在给定区间内的最大值M 、最小值m ，则函数在该区间内满足()m f x M ≤≤。
例2 证明：111ln(1)x x +<-， 当10x x <≠且时成立． 证明：令()ln(1)ln(1)F x x x x x =+---， 则1'()1ln(1)ln(1)11x F x x x x x =+---=----，当0x <时，'()0F x <，()F x 单调递减；当01x <<时，'()0F x >，()F x 单调递增，所以0x =是()F x 的极小值点，也是最小值点．又(0)0F =，故()(0)(10)F x F x x >∀>≠且，即ln(1)ln(1)x x x x +->-.又ln(1)0x x -<，所以有ln(1)1ln(1)x x x x +-<-，即111ln(1)x x +<-． 3、利用函数的凸凹性证明不等式分按定义和依据定理两种请况证明不等式，具体如下：（1）如果要证明的不等式中包含形如122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭、121[()()]2f x f x +的项，那么往往可以找到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式。
考研不等式的证明方法
考研不等式的证明方法(1)利用函数的单调性：将不等式适当的变形，移项后一端为0，另一端为函数，推断单调性后将函数与端点处函数值进行比较，该方法通常能解决多数不等式的证实问题。
(2)如果出现同一函数在两点函数值的形式，则合计使用拉格朗日中值定理，将识字进行适当的放缩。
(3)可以通过推断函数的凹凸性后结合函数的图形证实不等式;也可以讲函数其他点的函数值与函数的最大值或最小值比较，得到所证实的不等式。
(4)如果二阶或二阶以上可导，常用泰勒公式，将函数展开后进行恰当的放缩。
2考研数学解题技巧准确掌握答题时间考试时长是3小时，答题的时间分配一般可以按照如下方式：选择题和填空题约1小时，解答题约1个半小时，预留半小时检查和补做前面未做的题，以及作为机动和回旋余地。
选择题和填空题每题一般花4~5分钟，如果一道题3分钟仍无思路则应跳过。
解答题每题一般花10分钟左右，一道题如果5~6分钟仍一筹莫展，则应跳过，暂时放弃。
该放弃时应敢于放弃、善于放弃，放弃后应尽快调整好自己的心态，要相信自己不会做的题别人很可能也不会做。
切忌没完没了地纠缠于某个题，这将造成灾难性的后果。
做题要细心做题时一定要仔细，该拿分的一定要拿住。
尤其是选择题和填空题，因为体现的只是最后结果，一个小小的错误都会令一切努力功亏一篑。
很多同学认为选择和填空的分值不大，把主要的精力都放在了大题上面，但是必须要引起大家注意的是：两道选择或填空题的分值就相当于一道大题，如果这类题目失分过多，仅靠大题是很难把分数提很高的。
做完一道选择、填空题时只必须要大家再仔细的验算一遍即可，并不必须要一定要等到做完考卷以后再检查，而且这样也不会花费大家很长时间。
做大题的时候，关于前面说的完全没有思路的题不要一点不写，写一些相关的内容得一点"步骤分'。
选择题"四种'答题方法举反例排除法。
这是针对提示中给出的函数是抽象的函数，抽象的对立面是具体，所以我们用具体的例子来核定，这个跟我们刚刚的赋值法有某种相似之处。
考研不等式的证明方法
考研不等式的证明方法考研数学中，不等式是一个重要的内容，常常需要我们掌握不同不等式的证明方法。
下面我将介绍一些常用的不等式证明方法，帮助你更好地应对考试中的不等式问题。
1.直接法：根据不等式的定义，使用已知条件或基本的数学性质进行证明。
例如，证明对任意实数x，都有，x，≥0。
2.反证法：假设不等式不成立，然后通过证明导致矛盾，进而推出不等式成立。
例如，证明对任意实数x，都有x^2≥0。
3.数学归纳法：适用于一些具有递归结构的不等式。
首先证明当n=1时不等式成立，然后假设n=k时不等式成立，再证明n=k+1时不等式也成立。
例如，证明对任意正整数n，都有1+2+3+...+n≥(1+n)/21.AM-GM不等式证明方法：(1) 直接法：根据AM-GM不等式的定义进行证明。
例如，证明对任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
(2) 反证法：假设不等式不成立，然后推导出矛盾。
例如，证明对任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
(3)数学归纳法：适用于多个变量的情况。
首先证明n=2时不等式成立，然后假设n=k时不等式成立，再证明n=k+1时不等式也成立。
(4) Jensen不等式：根据Jensen不等式的定义进行证明。
例如，证明对任意凸函数f(x)，有f((x1+x2+...+xn)/n)≤(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n。
2. Cauchy-Schwarz不等式证明方法：(1) 直接法：根据Cauchy-Schwarz不等式的定义进行证明。
例如，证明对任意实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
(2) 三角不等式法：利用三角不等式和实数平方函数的性质进行证明。
例如，证明对任意实数a和b，有，ab，≤(a^2+b^2)/23.柯西不等式证明方法：(1) 直接法：根据柯西不等式的定义进行证明。
高等数学中证明不等式的几种方法
高等数学中证明不等式的几种方法
高等数学中证明不等式是一个重要的技能，它可以帮助我们更好地理解数学问题，并且可以帮助我们更好地解决实际问题。
证明不等式的几种方法有：反证法、极限法、函数法、图形法、数学归纳法、数学归纳法等。
反证法是证明不等式的最常用的方法，它的基本思想是：假设不等式不成立，从而得出矛盾，从而证明不等式成立。
极限法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：当变量的值趋近于某个值时，不等式的结果也会趋近于某个值，从而证明不等式成立。
函数法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过求解函数的极值，从而证明不等式成立。
图形法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过绘制函数的图形，从而证明不等式成立。
数学归纳法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过对一系列数学问题的归纳，从而证明不等式成立。
数学归纳法是一种比较复杂的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过对一系列数学问题的归纳，从而证明不等式成立。
以上就是证明不等式的几种方法，它们都有各自的优点和缺点，因此，在实际应用中，我们应该根据实际情况选择最合适的方法。
只有这样，我们才能更好地理解数学问题，并且可以帮助我们更好地解决实际问题。
证明不等式的几种方法
不等式证明题的命题形式多样，证明不等式的方法也很多，如综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等.本文主要介绍一下综合法、分析法、反证法的应用技巧.一、综合法用综合法证明不等式，需先根据题目中的已知信息，以及已知的事实、结论、性质、定理等，一步步推导，直到推导出需要证明的式子为止.因而综合法就是由“因”到“果”的推导过程.每一步的推导过程一定要符合数学逻辑.在证明不等式时，可以从左往右推导，也可以从右往左推导.例1.若a,b,c是不完全相等的正数，求证：ln a+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.证明：由于a,b,c都是正数，所以a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,a+c2≥ac>0，又因为a,b,c是不完全相等的正数，如果这三个不等式都成立，就取不到等号，因此a+b2·b+c2·c+a2>ab·bc·ca=abc，在上式的两边取对数得：ln(a+b2·b+c2·c+a2)>ln(abc)，即：lna+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.解答本题主要运用基本不等式a+b2≥ab；然后根据不等式的可乘性，通过取对数，将不等式左边的式子进行化简.在推导不等式的过程中，经常需要用到这几个不等式：a2+b2≥2ab,a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号).二、分析法用分析法解题的思路和综合法相反，用分析法证明不等式，需要从要证明的不等式出发，然后分析这个不等式成立的充分条件是什么，一步一步递推，证明不等式成立的充分条件符合题中给出的信息，或者符合已知的数学结论.一般来说，分析法常用于证明较复杂的不等式问题.若由不等式一边的式子很难推导出另一边的式子，就可以采用分析法进行证明，通过分析、推理，一步步简化不等式，最终得到一个比较简便的等价不等式.例2.设a>b>0,求证：(a-b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.证明：要证：(a-b)28a a+b2ab(a-b)28b，即证：(a+b)28a<(a-b)22<(a-b)28b，由于a>b>0，所以a≠b，即证：(a+b)24a<1<(a+b)24b，<1<1<，根据a>b>0，可知该不等式成立，于是得证：(a+b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.这个不等式较为复杂，我们很难从不等式左边的式子推导出右边的式子，同样也很难反向推导出结论，但是可以用分析法，将不等式一步步简化，先将中间项合并，再将其化为1，然后通过恒等变换，化简即可.三、反证法反证法是解答证明题的一个重要手段.一般地，当题目中出现“至少”“不存在”“至多”等字眼时，都可以考虑使用反证法进行证明.用反证法证明不等式，要首先假设命题不成立；然后结合题中已知的信息和已有的数学知识，得到存在矛盾的结论，那就说明假设的命题不成立，这样就可以证明不等式成立.例3.已知a>0,b>0，且a+b>2,求证：1+b a,1+a b中至少有一个小于2.证明：假设1+b a,1+a b都大于2，因为a>0,b>0，则1+b≥2a,1+a≥2b，将这两个式子相加得：2+a+b≥2a+2b，化简得：a+b≤2,与题目中的a+b>2相矛盾，因此，1+b a,1+a b中至少有一个小于2.由题目中出现了“至少”的字眼，所以考虑使用反证法进行证明.在提出假设命题时，要注意命题的反面情况，如“1+b a、1+a b至少有一个小于2”的反面情况是“1+b a、1+a b都大于2”.熟练掌握综合法、分析法、反证法的适用情形、特点，以及解题的步骤，对解题有很大的帮助.同学们在日常学习中，要学会积累解题技巧和规律，以提升解题的效率.（作者单位：江西省龙南中学）赖明辉备考指南59。
高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法1.常用在多项式中"舍掉一些正(负)项'而使不等式各项之和变小(大)，或"在分式中扩大或缩小分式的分子分母'，或"在乘积式中用较大(较小)因式代替'等效法，而达到其证题目的。
所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个(或多个)中间变量C，使，由A到C叫做"放'，由B到C叫做"缩'。
常用的放缩技巧还有：(1)假设(2)(3)假设则(4) (5)(6)或 (7)2.你必须铭记基本公式,均值不等式以及课后的一些重要推倒式.证实主要就是要将不等式的一边变形成为你所熟知的公式类型,也要铭记分析法,综合法等解题思路,一般不等式证实用分析法就好,思路比较简单,试于为灵活应用公式打下基础.2学习方法一比较法是证实不等式的最基本方法，具体有作差比较和作商比较两种。
基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。
当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)例1已知a+b0，求证：a3+b3a2b+ab2分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而达到证实不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30推断差式的正负。
∵(a3+b3)?(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)证实： =(a-b)2(a+b)又∵(a-b)20a+b0(a-b)2(a+b)0即a3+b3a2b+ab2例2 设a、bR+，且ab，求证：aabbabba分析：由求证的不等式可知，a、b具有替换对称性，因此可在设ab0的前提下用作商比较法，作商后同1比较大小，从而达到证实目的，步骤是：10作商20商形整理30推断为与1的大小证实：由a、b的对称性，无妨解ab0则aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b∵a?b?0，ab?1，a-b?0(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba 学习1 已知a、bR+，nN，求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1) 3学习方法二1. 解：设函数f(x)=e^x，g(x)=x+1.关于函数f(x)=e^x,为自然指数函数，定义域为全体实数，函数在定义域上为单调增函数，值域为：[0,+)，图像示意图如下： 2. 关于函数g(x)=x+1,为一次函数，定义域和值域均为全体实数，在定义域范围内，函数为增函数，图像示意图如下3.从图像可，函数g(x)=x+1在函数f(x)=e^x的下方，二者有一个交点为(0,1),所以有：f(x)=g(x)即：e^x=x+1，成立。
不等式的推导和证明方法
不等式的推导和证明方法不等式是数学中不可或缺的一个概念，它用于表示数值之间的关系。
不等式的形式可以很简单，例如$x>2$，也可以非常复杂，例如 $\sqrt{x^2+y^2}>\frac{x+y}{2}$。
在解决各类数学问题时，推导和证明不等式的方法是非常重要的一步。
本文将介绍一些常见的不等式的推导和证明方法。
一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的通用方法。
若要证明某个命题对于自然数 $n$ 成立，则需要证明该命题在 $n=1$ 时成立，并证明若该命题在 $n=k$ 时成立，则该命题在 $n=k+1$ 时也成立。
不等式的证明中，归纳法常常被用于证明柯西不等式、阿贝尔不等式等一些数列不等式。
例如，考虑柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq(a_1b _1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。
对于 $n=1$，该不等式显然成立。
假设对于 $n=k$ 时该不等式成立，即$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_k^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k)^2$$现在考虑 $n=k+1$ 时该不等式是否成立。
根据柯西不等式，有\begin{align*}&(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{k+1 }^2)\\=&[(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)+a_{k+1}^2][(b_1^2+b_2^2+\cd ots+b_k^2)+b_{k+1}^2]\\\geq&(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1})^2\end{align*}因此，该命题对于 $n=k+1$ 成立，由数学归纳法可知对于所有$n\in\mathbb{N}$，柯西不等式成立。
论不等式的几种证明方法
论不等式的几种证明方法
不等式的几种证明方法主要有四种：
①数学归纳法：即将不等式成立的不等关系形式划分为多个档次，以求对不等式的证明。
证明过程是这样的：首先给出最高档次的命题，然后依次从上往下证明每一次结论，当最低档次的命题已经被证明时，则从此可以推出不等式成立。
②分解因子法：即将不等式中的项分别乘以一定的正数，使之成为两个等式，然后分别进行证明，最后再对比两个等式就可以证明不等式的成立性了。
③裁剪法：即将不等式中的某一部分分开研究，并把它们的结果组合起来，再证明它们的总体结果，以此来证明不等式的成立。
④极限法：即将不等式作为极限放入函数中，由函数的特性分析函数的趋势，即可证明不等式的成立性。
不等式的证明其实是通过证明等式而间接得到不等式的。
通过以上四种方法，可以很好地证明不等式的成立。
不等式的八种证明方法及一题多证
不等式的证明：一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。
使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。
○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。
总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。
2．作商比较法方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1AB >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明1AB<。
（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2a ba ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba ababb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。
考研高数不等式证明的复习方法
考研高数不等式证明的复习方法不等式证明是考研数学试卷中的中上等难度题目，我们在准备考研复习的时候，要找到复习方法。
为大家精心准备了考研高数不等式证明的复习技巧，欢送大家前来阅读。
利用微分中值定理：微分中值定理在高数的证明题中是非常大的，在等式和不等式的证明中都会用到。
当不等式或其适当变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理证明。
利用定积分中值定理：该定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。
根本思路是通过定积分中值定理消去不等式中的积分号，从而与项作大小的比拟，进而得出证明。
除此之外，最常用的方法是左右两边相减构造辅助函数，假设函数的最小值为0或为常数，那么该函数就是大于零的，从而不等式得以证明。
加四所谓加四，就是要在没有做的根底上立即开始着手实施，在没做好的根底上全力坚持做好!每年都有很多考生说题太难，但是每年都有总分值牛人，能考130以上的也大有人在!牛人就牛在做好正确的事。
坚持到底也就越接近成功!1.提早准备，合理规划根底部牢地动山摇!考研数学复习没有扎实的根底，中后期的复习会越来越吃力，更不可能短期内突击提高，初试想过国家线都非常困难。
因此，早准备、早下手，才能有充裕的时间循序渐进扎实进步，也才能为暑期强化复习和后期冲刺打好最扎实的根底。
凡事预那么立，不预那么废!仅做到“早”也是不够的，还需要合理安排复习方案，准确把握复习重点。
依据最新考试大纲，系统梳理考纲中涉及到的知识点。
争取在7月份之前完成根本概念、定理、公式及常用结论等根底知识的复习，为复习黄金季打牢根底。
2.以纲为基，抓提效率很多在复习的时候容易走入一个误区，认为数学根底的复习就是要把大学里学过的高数、线代、概率等所有内容都完整细致地过一遍。
其实不仅没这个必要，而且时间上也不允许。
高等数学中不等式证明的方法示例
高等数学中不等式证明的方法示例作者：杨雪来源：《科技风》2020年第18期摘要：不等式证明问题是高等数学中的重要内容，针对不等式的证明问题，本文分析并总结了高等数学中证明不等式的主要方法及其解题思路，并辅以典型例题，使学生能够系统地掌握不等式的证明方法。
关键词：高等数学;不等式;证明不等式是研究数学问题的重要工具，也是高等数学中的重要内容。
不等式的证明也是考研试题中的重要考点，也是难点。
很多学生对不等式问题缺乏系统的思考和总结。
本文举例说明了不等式证明的常用方法及适用情况，使学生更好地掌握不等式的证明技巧。
1 利用函数的单调性利用函数的单调性证明不等式，常将不等式进行恒等变形以便于构造辅助函数f（x），在判断辅助函数f（x）的单调性时，若判断f′（x）的符号困难，则可考虑求f″（x）甚至f（x）来递推确定。
当然，若此时无法确定导数符号，则说明此方法失效，应改用其他方法。
3 利用拉格朗日中值定理利用拉格朗日中值定理证明不等式的关键在于满足定理的两个条件，通过观察不等式经过恒等变形可以化成函数值之差的形式，可考虑用拉格朗日中值定理，并合理设定f（x），再根据ξ的取值范围对f′（ξ）进行估计，进而推导出所证不等式。
4 利用泰勒公式这种方法适合于题中所给（或能推导出）条件f″（x）存在且>0（或<0）的命题，此时只能利用带拉格朗日余项的泰勒公式证明不等式，关键是在哪一个点将函数用泰勒公式展开，通常展开点一般选取已知导数信息最多的点。
然后根据题设对展开式的余项进行适当的放缩，导出所证不等式。
种方法是高等数学中证明不等式的常用方法，不等式的证法因题而异，灵活多变，我们应该具体问题具体分析。
要想熟练掌握其中的技巧，我们要多思考多总结，才能快捷地解决不等式的证明问题。
参考文献：[1]同济大学数学教研室.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.[2]夏靜.高等数学中不等式证明的常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2015（10）：19-20.[3]李永乐，王式安，武忠祥，季文铎.2019考研数学复习全书[M].北京：国家行政学院出版社，2017.12.作者简介：杨雪（1982-），女，吉林长春人，长春工业大学硕士研究生，吉林工商学院助教，研究方向：最优化理论与应用。
高等数学中不等式证明的方法示例
高等数学中不等式证明的方法示例在高等数学中，不等式证明是一个十分重要的概念，它可以用来证明或者反证某个数学命题是否正确。
研究不等式的证明方法，至关重要，下面就来介绍一些不等式证明的方法示例。
一、集合与集合之间的不等式证明1. 左边≦右边：证明A∪B⊆C；首先，因为A⊆C及B⊆C，那么A∪B也是⊆C。
因此，A∪B⊆C证毕。
2. 左边＞右边：证明A∩B≠A；首先，因为A∩B的元素满足A的全部条件及B的全部条件，那么A∩B的元素定小于A。
因此，A∩B≠A，证毕。
二、集合和标量之间的不等式证明1. 左边＞右边：证明x∈A，x＞c；首先，如果x∈A，那么x满足A的全部条件，那么x一定大于c。
因此，x∈A，x＞c，证毕。
2. 左边≦右边：证明x∈A，x≤b；首先，如果x∈A，那么x满足A的全部条件，那么x一定小于等于b。
因此，x∈A，x≤b，证毕。
三、定义的不等式证明1. 左边＞右边：证明x⋅y≠0；首先，由x⋅y=0的定义我们知道，x⋅y等于零只有在两个值a、b均为零时才成立。
但是，如果其中一个值不等于零，那么x⋅y一定不等于零。
因此，x⋅y≠0，证毕。
2. 左边≦右边：证明x⋅y≤0；首先，由x⋅y=0的定义我们知道，x⋅y等于零只有在两个值a、b均为零时才成立，当其中一个值不等于零时，则x⋅y一定小于等于零。
因此，x⋅y≤0，证毕。
四、映射的不等式证明1. 左边＞右边：证明f(x)＞f(y)；首先，如果x>y ,根据函数f的定义，我们知道f(x)满足y的全部条件及x超出了y，那么f(x)肯定大于f(y)。
因此，f(x)＞f(y)，证毕。
2. 左边≦右边：证明f(x)≤f(y)；首先，如果x≤y，根据函数f的定义，我们知道f(x)满足y的全部条件及x的全部条件，那么f(x)肯定小于等于f(y)。
因此，f(x)≤f(y)，证毕。
以上就是高等数学中不等式证明的方法示例。
通过以上介绍，我们可以看出，不等式证明是高等数学中一个十分重要的概念，熟捻这种证明方法对于我们正确理解不等式非常有利，正确使用它们可以让我们更轻松地证明不等式的正确性。
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考研高数不等式证明的方法
不等式证明是考研数学试卷中的中上等难度题目，我们在复习的时候，一定要掌握好复习的方法。
小编为大家精心准备了考研高数的知识点，欢迎大家前来阅读。
考研高数重难点：不等式证明的方法
利用微分中值定理：微分中值定理在高数的证明题中是非常大的，在等式和不等式的证明中都会用到。
当不等式或其适当变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理证明。
利用定积分中值定理：该定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。
基本思路是通过定积分中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，进而得出证明。
除此之外，最常用的方法是左右两边相减构造辅助函数，若函数的最小值为0或为常数，则该函数就是大于零的，从而不等式得以证明。
考研数学复习建议
一、打牢基础
“懂”，首先要求同学们对考研数学的形式、考研大纲及考研用书进行全面的分析与深入的了解。
这个阶段，要求同学们全身心进行基础阶段的复习。
这个阶段同学们一定要认真细致学习课本基本知识点，弄熟定义、公式、定理及相关习题。
只有打牢基础，才能决胜千里。
最后，要求同学们做好规划，合理安排复习，做好经常性的总结与归纳。
二、踏实前行
数学不像英语和政治科目，能通过一定的背诵、记忆，就能取得可观的成绩。
数学必须通过大量的练习，才能得到巩固。
不盲目地搞题海战术，要有计划、有针对性地做题，才能将知识领悟得透彻。
强化阶段，同学们一定要利用好复习资料，做题的过程中，重点积累技巧与方法，吃透数学的知识点与题型。
三、总结归纳
经过前期基础知识的积累和做题的巩固，同学们对知识点、练习题、真题都有了深刻的认识。
这时，要做好归纳与总结，构建整体的知识结构体系，将之前所学的知识点牢牢记
忆在脑海中。
充分利用知识的迁移，达到举一反三的效果。
遇到一些重点和难点题型，首先不畏惧，其次回顾之前学习的相关知识，并有效利用它们，来解决遇到的问题，最后将以往所学深深记忆在脑海中，达到“化”的境界。
考研数学复习历年考的最多的知识点
1、两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换
这些小的知识点在历年的考察中都比较高。
而透过我们分析，假如考极限的话，主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换，特别针对数三的同学，这儿可能出大题。
2、处理连续性，可导性和可微性的关系
要求掌握各种函数的求导方法。
比如隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。
数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。
3、微分方程：一是一元线性微分方程，第二是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程
对第一部分，考生需要掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的公式就行了。
对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的结构。
另一块对于非齐次的方程来说，考生要注意它和特征
方程的联系，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。
这一类问题就是逆问题。
对于二阶常系数非齐次的线性方程大家要分类掌握。
当然，这一块对于数三的同学来说，还有一个差分方程的问题，差分方程不作为咱们的一个重点，而且提醒大家一下，学习的时候要注意，差分方程的解题方式和微方程是相似的，学习的时候要注意这一点。
4、级数问题，主要针对数一和数三
这部分的重点是：一、常数项级数的性质，包括敛散性;二、牵扯到幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间的
计算，收敛半径与和函数，幂级数展开的问题，要掌握一个熟练的方法来进行计算。
对于幂级数求和函数它可能直接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一个常数项级数让咱们求它的和，要转化成适当的幂级数来进行求和。
5、一维随机变量函数的分布
这个要重点掌握连续性变量的这一块。
这里面有个难点，一维随机变量函数这是一个难点，求一元随机变量函数的分布有两种方式，一个是分布函数法，这是最基本要掌握的。
另外是公式法，公式法相对比较便捷，但是应用范围有一定的局限性。
6、随机变量的数字特征
要记住一维随机变量的数字特征都要记熟，数字特征很少单独性考察，往往和前面的一维随机变量函数和多维随机变量函数和第六章的数理统计结合进行考察。
特别针对数一的同学来说，考察矩估计和最大似然估计的时候会考察无偏性。
7、参数估计
这一点是咱们经常出大题的地方，这一块对咱们数一，数二，数三的考生来讲，包含两块知识点，一个是矩估计，一个是最大似然估计，这两个集中出大题。
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