高考数学大二轮复习层级二专题七系列4选考第2讲不等式选讲教学案(选修45)

高考数学大二轮复习层级二专题七系列4选考第2讲不等式选讲

教学案（选修45）

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高考主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点．

[真题体验]

1．(2019·全国Ⅱ卷)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集；

(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)． 当x ＜1时，f (x )＝－2(x －1)2

＜0；当x ≥1时，

f (x )≥0.

所以，不等式f (x )＜0的解集为(－∞，1)． (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.

当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)＜0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．

2．(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2

＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；

(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．

解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2

－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.① 当x ＜－1时，①式化为x 2

－3x －4≤0，无解；

当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2

＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172.

所以f (x )≥g (x )的解集为

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172.

(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.

所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2.

又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.

所以a 的取值范围是[－1,1]．

[主干整合]

1．绝对值不等式的性质

定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0，等号成立．

2．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c . (2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .

3．|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解． (2)利用零点分段法求解．

(3)构造函数，利用函数的图象求解． 4．基本不等式

定理1：设a ，b ∈R ，则a 2

＋b 2

≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则

a ＋b

2

≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

定理3：如果a ，b ，c 为正数，则

a ＋

b ＋c

3

≥3

abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均数不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数(n ∈N *

，n ＞1)，则

a 1＋a 2＋…＋a n n

≥n

a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．

热点一 绝对值不等式的解法

[例1] 已知f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3. (1)求不等式f (x )≤2的解集．

(2)若直线y ＝kx －2与函数f (x )的图象有公共点，求k 的取值范围．

[审题指导] (1)看到f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3，联想到分x ≤1、1＜x ＜4、x ≥4三种情况去绝对值号．

(2)看到y ＝kx －2联想到此直线恒过定点(0，－2)． [解析] (1)由f (x )≤2，

得⎩⎪⎨⎪⎧

x ≤1，2－2x ≤2，

或⎩⎪⎨⎪⎧

1＜x ＜4，

0≤2，

或⎩⎪⎨⎪⎧

x ≥4，

2x －8≤2，

解得0≤x ≤5，

故不等式f (x )≤2的解集为[0,5]．

(2)f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3＝⎩⎪⎨⎪

⎧

2－2x ，x ≤1，0，1＜x ＜4，

2x －8，x ≥4，

作出函数f (x )的图象，如图所示，

直线y ＝kx －2过定点C (0，－2)， 当此直线经过点B (4,0)时，k ＝1

2；

当此直线与直线AD 平行时，k ＝－2，

故由图可知，k ∈(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，＋∞.

(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

(2019·聊城三模)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；

(2)求不等式f (x )≥x 2

－8x ＋15的解集． 解析：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5| ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－3，x ≤2，2x －7，2＜x ＜5，3，x ≥5.

当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (3)≤3. (2)由(1)可知，

当x ≤2时，f (x )≥x 2

－8x ＋15的解集为空集；

当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2

－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}；