线性变换及其矩阵 ppt课件
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§3 线性变换的矩阵.ppt
上面的例子是利用矩阵的相似关系解决求它的k 次幂的问题. 即若求 Ak 很困难，则可先求可逆阵 X， 使得 X 1AX B 的k 次幂Bk比较容易求出. 再利用
Ak XBk X 1 求出 Ak.
但给我们留下一个问题，题中基1,2 的选取，
也就是矩阵 X 的选取十分关键. 换句话说，如何选 取一组基，使得线性变换在这组基下的矩阵形式上 “最简单”？ 用矩阵语言等价表述为：给定一个矩 阵A，如何求可逆阵X，使得X －1AX的形式最简单.
证明：前一部分已经为定理4证明. 下证后一部分. 设n级矩阵A和B相似. A可以看作是n维线性空间V中一个线性变换A在基
1,2, ,n 下的矩阵. 因为 B X 1AX , 令 (1,2, ,n ) (1,2, ,n ) X .
显然，1,2, ,n 也是一组基，A 在这组基下的矩
阵就是 X 1AX B.
1 11 2 1 1 1
1
2
1
0
1
2
即
2 1 1 1 1 1 1 11
1
0
1
2
0
1 1
2
.
于是
2
1
1 1
1
k
1
1 1 1k 1
0
1
2
0
1
1
1 1 k 1 11
2
0
1
1
2
.
11
2
.
1 1
k 12
2
k
1
1 1
k 1 k
k k
1.
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????????由定理4a在12111121012?????????上页下页返回结束1112111121012?????????????2????????????21111111012???????2????????????1????1??????312112???????101???????显然1110101kk?????????????再利用上面得到的关系上页下页返回结束1112111121012????????????????????????即12111111110120112???????????????????????????????于是12111111110120112kk??????????1???????????????1????????1111120112k????????1???????????1??????1kkkk???????????1211211kk?????????????上页下页返回结束上面的例子是利用矩阵的相似关系解决求它的k次幂的问题
第七章线性变换.ppt
所以 是V的一个线性变换
令 k ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) k( (a b)) k(a ( ) b ()) ak ( ) bk () a( ) b().
所以kσ是V的一个线性变换.
2020-12-11
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15
线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对
如果 , V而 ( ) (). 那么 ( ) ( ) () 0, 从而 ker( ) {0}. 所以 , 即σ是单射.
2020-12-11
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11
如果线性映射 :V W 有逆映射 1 ，那么是W
到V 的一个线性映射.
2020-12-11
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12
7.2 线性变换的运算
（4） ( )
2020-12-11
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16
线性变换的数乘满足下列算律：
(5)
k( ) k k ,
(6)
(k l) k l ,
(7)
(kl) k(l ),
(8)
1 ,
这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.
定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域 F上一个向量空间.
在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间.
2020-12-11
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9
特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个
子空间，叫做σ的象, 记为 Im( ),
即 Im( ) (V ).
另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是 V 的一个子空间，叫做σ的核，
一、内容分布
7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式
令 k ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) k( (a b)) k(a ( ) b ()) ak ( ) bk () a( ) b().
所以kσ是V的一个线性变换.
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线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对
如果 , V而 ( ) (). 那么 ( ) ( ) () 0, 从而 ker( ) {0}. 所以 , 即σ是单射.
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如果线性映射 :V W 有逆映射 1 ，那么是W
到V 的一个线性映射.
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7.2 线性变换的运算
（4） ( )
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16
线性变换的数乘满足下列算律：
(5)
k( ) k k ,
(6)
(k l) k l ,
(7)
(kl) k(l ),
(8)
1 ,
这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.
定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域 F上一个向量空间.
在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间.
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9
特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个
子空间，叫做σ的象, 记为 Im( ),
即 Im( ) (V ).
另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是 V 的一个子空间，叫做σ的核，
一、内容分布
7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式
《高等代数》线性变换PPT课件
的列是
x 1
A
x2
.
x n
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基
{1,2, ,的n 矩}阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1,x2, ,xn，) 而σ(ξ)的坐标是 (y1,y2, ,yn)，
例1 对于 R 2 的每一向量x1,x2定义
x 1 ,x 1 x 2 ,x 1 x 2 R 3
σ是 R 2到 R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一
向量ξ，令 表示 向量ξ在平面H上的正射影.根据射 影的性质， : 是到V 3 的V一3 个线性映射.
x1
( 1,
2
,
,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
() x1(1)x2(2)xn(n)
（2）
x1
((1),(2),,(n))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最后，等式表明，( )关 ( 1 , 于 2 , n )的坐标所组成
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性
射，那么
:VW
(i) σ是满射 Im)(W
(ii) σ是单射 K(e )r{0}
x 1
A
x2
.
x n
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基
{1,2, ,的n 矩}阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1,x2, ,xn，) 而σ(ξ)的坐标是 (y1,y2, ,yn)，
例1 对于 R 2 的每一向量x1,x2定义
x 1 ,x 1 x 2 ,x 1 x 2 R 3
σ是 R 2到 R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一
向量ξ，令 表示 向量ξ在平面H上的正射影.根据射 影的性质， : 是到V 3 的V一3 个线性映射.
x1
( 1,
2
,
,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
() x1(1)x2(2)xn(n)
（2）
x1
((1),(2),,(n))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最后，等式表明，( )关 ( 1 , 于 2 , n )的坐标所组成
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性
射，那么
:VW
(i) σ是满射 Im)(W
(ii) σ是单射 K(e )r{0}
高等代数第7章线性变换[1]PPT课件
![高等代数第7章线性变换[1]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/dbec90e8a32d7375a51780ae.png)
=xcosq - ysinq
同样 y’= xsinq + ycosq )。
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6
记 A = cosq sinq
sinq
cosq
则rq (a ) = Aa，称为旋转变换.
可以证明旋转变换 rq是一个线性变换。 （如何证明？）
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7
例4 设A:R3R3, "a =(a1, a2, a3), 定义 A(a) = (a1, a2, 0), 易证A是线性变换. 它是
则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地，
f(A)g(A)=g(A)f(A). 即同一线性变换的多项式的乘法可交换
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25
例用在D表线示性.空显间然Pn有[l]中,求微商是线性变换,
Dn = O 又变量的平移
f(l) | f(l+a) (aP)
也是线性变换, 用Sa表示. 按Taylor公式
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17
三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得
kA = KA
其中K为由k决定的数乘变换, 即"a V
(kA)(a)= (KA)(a) =K(A(a)) ．
1、kA也是线性变换．
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18
2、(1)1的数乘 1A = A (2)数乘结合律 (kl)A =k(lA) (3)数乘分配律 (k+l)A =kA+lA (4)数乘分配律 k(A +B)=kA+kB
f(l+a)=f(l)+af ’(l)+a 2 f ’’(l)+… +
线性变换与二阶矩阵PPT课件
二阶矩阵的逆
总结词
二阶矩阵的逆是一个特殊的矩阵，它与原矩阵相乘等于单位矩阵。
详细描述
二阶矩阵的逆是一个重要的概念，它是一个与原矩阵互为逆元的特殊矩阵。如果一个二阶矩阵与其逆矩阵相乘等 于单位矩阵，则这个逆矩阵是存在的。求逆矩阵的方法有多种，如高斯消元法、伴随矩阵法等。在某些情况下， 如行列式值为零时，矩阵可能没有逆矩阵。
平移矩阵与平移操作
• 平移矩阵：平移矩阵也是二阶矩阵的一种，用于 表示平移操作。其一般形式为
平移矩阵与平移操作
```
| 0 1 ty |
| 1 0 tx |
平移矩阵与平移操作
```
其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴方
平移操作：平移操作是指通过平移矩阵
向上的平移距离。
对向量进行变换，使向量在指定的方向
03
线性变换与二阶矩阵的关系
线性变换的矩阵表示
线性变换是数学中的一种重要概念，它描述了一个向量空间 中的向量通过一个线性映射变为另一个向量空间的过程。在 矩阵表示中，线性变换可以用一个矩阵来表示，该矩阵的行 和列分别对应于输入和输出空间的基向量。
线性变换的矩阵表示具有一些重要的性质，例如矩阵乘法对 应于线性变换的复合，矩阵的转置对应于线性变换的共轭， 以及矩阵的逆对应于线性变换的逆。
二阶矩阵与线性变换的转换
二阶矩阵是数学中一种常见的矩阵类型，它由四个数字组成，可以用来表示一个 线性变换。通过选择适当的基向量，可以将一个线性变换转换为二阶矩阵，反之 亦然。
二阶矩阵与线性变换的转换关系是线性的，即对于任意两个线性变换A和B，以及任 意标量k，有kA=AkB=BkA。
二阶矩阵在几何变换中的应用
通过矩阵变换，可以改变向量的长度、方向和位置，从而实现二维空间中的几何变 换。
高等代数讲义ppt第七章 线性变换
(4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设1, 2 , , n是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 1,2 , ,n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使任的何像得元，素只都要可选以取是适基当
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A(0) 0, A( ) A()
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。
例3 设 1,2, ,r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
(kA) k A, V
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。
Amn AmAn , (Am )n Amn, m, n N
《线性变换的矩阵》课件
3
基变换与矩阵的关系
基变换可以用矩阵表示，矩阵的运算可以用来实 现基变换。
06
应用实例与习题解析
线性变换在实际问题中的应用
图像处理
线性变换可用于图像的缩放、旋 转和平移等操作，实现图像的变
换和增强。
机器人控制
线性变换在机器人控制中用于描述 机器人的关节运动和姿态变化。
物理模拟
在物理模拟中，线性变换可用于描 述物体的运动轨迹和速度变化。
矩阵乘法与线性变换的关系
矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，它可以用来表示 线性变换。当一个矩阵乘以一个向量时，相当于对向量进 行了一次线性变换。因此，通过矩阵乘法，可以将线性变 换转化为数学运算，方便进行计算和分析。
矩阵乘法的规则是，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩 阵的行数，且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列 数等于第二个矩阵的列数。在进行矩阵乘法时，需要按照 特定的顺序进行计算，即先进行行运算再进行列运算。
一个向量空间存在一组基 ，且基的个数是有限的。
线性变换在不同基下的表示形式
矩阵表示法
线性变换可以用矩阵表示，不同 基下的矩阵不同。
矩阵的运算
线性变换的加法、数乘、乘法等 运算可以用矩阵的运算实现。
基变换与线性变换的关系
1 2
基变换
改变向量空间的基底，不改变向量空间的结构。
线性变换与基变换的关系
线性变换在不同基下的表示形式不同，但变换性 质不变。
逆矩阵定义
对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B ，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）， 则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵的求法
通过高斯消元法或LU分解等方法求解 。
逆矩阵是唯一的，逆矩阵与原矩阵的 乘积为单位矩阵。
机械原理课件-线性变换及其矩阵表示
(c) 线性变换的运算 设T1,T2是线性空间V的两个线性变换，定义它们 T1 T2 x T1 x T2 x , x V . 的和为： T1+T2仍然是线性空间V上的线性变换。 设T是线性空间V的线性变换，定义它的负变换 为： (-T)(x)=-T(x)。这也是一个线性变换。 设T是线性空间V的线性变换，k∈K，定义数乘 变换为：(kT)(x)=kT(x)。这也是一个线性变换。 注：线性空间V上的全体线性变换所构成的集合 对于线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的 一个线性空间。
这是一个线性变换。来自 ( )例3 考虑V=Pn[x]中的微分变换：
D : V V , D( f ( x )) f ( x ), f ( x ) V ,
这是一个线性变换。
例4 考虑[a,b]上的所有连续函数构成的线性空间 C[a,b]上的积分变换：
J : C a , b C a , b , J f x f x dx ,
√
×
2 T f ( x ) f ( x ). 2．在 Pn[ x ] 中，
×
√ × .√
T , V 非零固定. 3．在线性空间V中，
4． 在 C
n n
nn 固定. T X AX , A C 中，
T ( x) x . 5．复数域C看成是自身上的线性空间，
(b) 线性变换 从集合S 到集合S的映射也称为变换。 设V为数域K上线性空间，若变换 T : V V 满足： T x y T x T y, T kx kT x , x , y V , k K , 则称T是线性空间V上的线性变换。 单位变换(恒等变换)：Te : Te x x , x V , 零变换： T0 : T0 x 0, x V , 数乘变换：K : K x kx , x V . 上述定义中的条件可以等价的写成： T kx ly kT x lT y .
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的变换T 称为线性变换T1 与T2 的和，记为T T1 T2 （3）对每个 V ，满足 T () T1(T2 ())
的变换T 称为线性变换 T1 与T2 的乘积，记为T T1T2 （4）对每个 V ， k P 满足 T () kT1()
的变换T 称为数 k 与线性变换 T1 的数量乘积，记为T kT1 ．(1)T1 简记 为 T1
即线性变换T 保持向量的线性组合． 性质 3 若1, 2 ,, m 线性相关，则
T (1 ), T ( 2 ),,T ( m ) 也线性相关．
注意 性质3的逆命题不成立，即线性变换可能将线性无
关向量组变成线性相关向量组．例如，零变换把任何线性无
关向量组都变成线性相关向量组．
1.3.2 线性变换的运算
可以证明：T1 T2 ， T1T2 ， kT1 都是线性变换，并且满足下面 运算规律（设 k,l P ，T ,Ti V (i 1,2,3) ）：
（1）V 中线性变换的加法满足交换律与结合律，即 T1 T2 T2 T1 ， (T1 T2 ) T3 T1 (T2 T3 ) ．
（2）V 中线性变换的乘法满足结合律，即 (T1T2 )T3 T1 (T2T3 ) ．
（3）V 中线性变换的乘法对加法满足分配律，即 T1 (T2 T3 ) T1T2 T1 T3 ， (T1 T2 )T3 T1T3 T2T3 ．
（4）设 0 表示V 中的零变换，则 T+0=T， T (T ) 0 ．
称T 为数乘变换.
性质 1 T (0) 0 ，T () T () ，
即线性变换将零元素变为零元素，而负元素的像为像的负 元素．
性质 2 若 k11 k2 2 km m ，则 T ( ) k1T (1 ) k2T ( 2 ) kmT ( m )
h(x) f (x) g(x) ， t(x) f (x)g(x) ， 则
h(T ) f (T ) g(T ) ， t(T ) f (T )g(T ) ．
注 1 线性变换的乘法一般是不可交换的，即TS ST ， 因此一般地有 (TS )n T n S n ．
1.3.3 线性变换的矩阵
则 D 是一个线性变换．
定义 设 T 是数域 P 上的线性空间 V 的一个线性变 换，
（1）如果对任意 V ，恒有 T () 0 ，则称 T 为零
变换，记为 0；
（2）如果对任意 V ，恒有 T () ，则称T 为恒
等变换，记为 I ；
（3）如果对任意 V ， k P ，恒有T () k ，则
f (x) am x m am1x m1 a0 P[x] ，
f (T ) amT m am1T m1 a0 I 为线性变换T 的多项式．可以证明 f (T ) 也是V 的一个线性变换．
这些运算具有下列性质： （1）T mn T mT n ，(T m )n T mn ，（ m, n 为非负整数）． 当T 可逆时， m, n 可为负整数． （2）设 f (x), g(x) P[x] ，如果
．
定义在区间 [a,b] 上的所有连续实函数的集合
C[a, b] 是实数域上的一个线性空间，在 C[a, b] 上定义变换
T：
T ( f (x)) x f (t)dt ， f (x) C[a,b] ， a
则 T 是 C[a, b] 上的一个线性变换．
例 3 在线性空间 P[x]n 中，微商运算 D 定义为 D( f (x)) f (x) ，
定理 设V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1,2 ,,n 是V 的一个基，又 1, 2 ,, n 是V 中的任意 n 个向量，则 存在唯一的一个线性变换T ，使得
L(V ) 表示数域 P 上线性空间V 上的一切线性变换的集合．
定义 设V 是数域 P 上的线性空间，Ti L(V ) （ i 1,2 ），
（1）如果对每个 V ，恒有T1 () T2 () ，则称T1 与T2 相等，
记为 T1 T2
（2）对每个 V ，满足 T () T1 () T2 ()
（2） n （ n 为正整数）个线性变换 T 的乘积 T n TTT
称为 T 的 n 次幂．特别地，当 n 0时，令T 0 I ．当T 可逆时，
定义 T 的负 n （ n 为正整数）次幂为 T n (T 1 )n
（3）设 P[x] 为数域 P 上多项式全体构成的线性空间，且
则称
显然，线性映射就是保持线性运算的映射，线性变换
是线性空间到自身的线性映射．
例 1 平面直角坐标系绕坐标原点旋转 角的变换就
是欧氏空间 R2 的一个线性变换．对任意 x (x1, x2 )T R2 ， 则这个线性变换T 是
例2
T(x)来自cos sin
sin cos
x
（5）V 中线性变换的数乘运算满足： (kl)T k(lT ) ， (k l)T kT lT ，
k(T1 T2 ) kT1 kT2 ．
定义 设V 是数域 P 上的线性空间，T L(V ) ，
（1）如果存在 S L(V ) ，使得
TS ST I ， 则称 S 为 T 的逆变换，记为T 1 ．特别地，若线性变换T 是可逆的， 则 T 1 也是线性变换．
1.3 线性变换及其矩阵
1.3.1 线性变换的概念
定义 设V ，W 是数域 P 上的两个线性空间，T 是V 到 W 的一个映射，如果满足：
（1) 对于任意, V ，T ( ) T () T ( ) ， （2) 对于任意 V ， k P ，T (k) kT() ， 则称T 是V 到W 的线性映射，或线性算子．当V W 时，称 T 为V 上的线性变换．
的变换T 称为线性变换 T1 与T2 的乘积，记为T T1T2 （4）对每个 V ， k P 满足 T () kT1()
的变换T 称为数 k 与线性变换 T1 的数量乘积，记为T kT1 ．(1)T1 简记 为 T1
即线性变换T 保持向量的线性组合． 性质 3 若1, 2 ,, m 线性相关，则
T (1 ), T ( 2 ),,T ( m ) 也线性相关．
注意 性质3的逆命题不成立，即线性变换可能将线性无
关向量组变成线性相关向量组．例如，零变换把任何线性无
关向量组都变成线性相关向量组．
1.3.2 线性变换的运算
可以证明：T1 T2 ， T1T2 ， kT1 都是线性变换，并且满足下面 运算规律（设 k,l P ，T ,Ti V (i 1,2,3) ）：
（1）V 中线性变换的加法满足交换律与结合律，即 T1 T2 T2 T1 ， (T1 T2 ) T3 T1 (T2 T3 ) ．
（2）V 中线性变换的乘法满足结合律，即 (T1T2 )T3 T1 (T2T3 ) ．
（3）V 中线性变换的乘法对加法满足分配律，即 T1 (T2 T3 ) T1T2 T1 T3 ， (T1 T2 )T3 T1T3 T2T3 ．
（4）设 0 表示V 中的零变换，则 T+0=T， T (T ) 0 ．
称T 为数乘变换.
性质 1 T (0) 0 ，T () T () ，
即线性变换将零元素变为零元素，而负元素的像为像的负 元素．
性质 2 若 k11 k2 2 km m ，则 T ( ) k1T (1 ) k2T ( 2 ) kmT ( m )
h(x) f (x) g(x) ， t(x) f (x)g(x) ， 则
h(T ) f (T ) g(T ) ， t(T ) f (T )g(T ) ．
注 1 线性变换的乘法一般是不可交换的，即TS ST ， 因此一般地有 (TS )n T n S n ．
1.3.3 线性变换的矩阵
则 D 是一个线性变换．
定义 设 T 是数域 P 上的线性空间 V 的一个线性变 换，
（1）如果对任意 V ，恒有 T () 0 ，则称 T 为零
变换，记为 0；
（2）如果对任意 V ，恒有 T () ，则称T 为恒
等变换，记为 I ；
（3）如果对任意 V ， k P ，恒有T () k ，则
f (x) am x m am1x m1 a0 P[x] ，
f (T ) amT m am1T m1 a0 I 为线性变换T 的多项式．可以证明 f (T ) 也是V 的一个线性变换．
这些运算具有下列性质： （1）T mn T mT n ，(T m )n T mn ，（ m, n 为非负整数）． 当T 可逆时， m, n 可为负整数． （2）设 f (x), g(x) P[x] ，如果
．
定义在区间 [a,b] 上的所有连续实函数的集合
C[a, b] 是实数域上的一个线性空间，在 C[a, b] 上定义变换
T：
T ( f (x)) x f (t)dt ， f (x) C[a,b] ， a
则 T 是 C[a, b] 上的一个线性变换．
例 3 在线性空间 P[x]n 中，微商运算 D 定义为 D( f (x)) f (x) ，
定理 设V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1,2 ,,n 是V 的一个基，又 1, 2 ,, n 是V 中的任意 n 个向量，则 存在唯一的一个线性变换T ，使得
L(V ) 表示数域 P 上线性空间V 上的一切线性变换的集合．
定义 设V 是数域 P 上的线性空间，Ti L(V ) （ i 1,2 ），
（1）如果对每个 V ，恒有T1 () T2 () ，则称T1 与T2 相等，
记为 T1 T2
（2）对每个 V ，满足 T () T1 () T2 ()
（2） n （ n 为正整数）个线性变换 T 的乘积 T n TTT
称为 T 的 n 次幂．特别地，当 n 0时，令T 0 I ．当T 可逆时，
定义 T 的负 n （ n 为正整数）次幂为 T n (T 1 )n
（3）设 P[x] 为数域 P 上多项式全体构成的线性空间，且
则称
显然，线性映射就是保持线性运算的映射，线性变换
是线性空间到自身的线性映射．
例 1 平面直角坐标系绕坐标原点旋转 角的变换就
是欧氏空间 R2 的一个线性变换．对任意 x (x1, x2 )T R2 ， 则这个线性变换T 是
例2
T(x)来自cos sin
sin cos
x
（5）V 中线性变换的数乘运算满足： (kl)T k(lT ) ， (k l)T kT lT ，
k(T1 T2 ) kT1 kT2 ．
定义 设V 是数域 P 上的线性空间，T L(V ) ，
（1）如果存在 S L(V ) ，使得
TS ST I ， 则称 S 为 T 的逆变换，记为T 1 ．特别地，若线性变换T 是可逆的， 则 T 1 也是线性变换．
1.3 线性变换及其矩阵
1.3.1 线性变换的概念
定义 设V ，W 是数域 P 上的两个线性空间，T 是V 到 W 的一个映射，如果满足：
（1) 对于任意, V ，T ( ) T () T ( ) ， （2) 对于任意 V ， k P ，T (k) kT() ， 则称T 是V 到W 的线性映射，或线性算子．当V W 时，称 T 为V 上的线性变换．