(文章)二次函数在体育运动中的应用

二次函数在体育运动中的应用

函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题目，注意实际问题和函数的转化。特别是在体育运动中的应用更为方便，下面略举几例

一、铅球运动

例1．一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面1米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应的地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线，求这个抛物线的解析式。

分析：这是一个物理问题，由于铅球的运动路线是抛物线，因此要运用二次函数的知识去解决问题。

解：根据题意，建立直角坐标系，如图，可知抛物线经过(0, )和(10, 0)；抛物线顶点的纵坐标为3，根据题意，设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+3 (0≤x≤10) ，将(0, )

和(10, 0)代入解析式，得

由①，得a=-，代入②，得-(10-h)2+3=0

去分母，整理得h2+16h-80=0 ，解出h1=-20, h2=4 ，当h=-20时，y=a(x+20)2+3，抛物线顶点为(-20, 3)，此时当x=-20时，铅球运行中的最高点为3米，不符合，0≤x≤10的要求，舍去。当h=4时，a=-，抛物线的解析式为y=-(x-4)2+3

即y=-x2+x+(0≤x≤10)。

二、篮球运动

例2．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式。

（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

分析：（1）已知，顶点（0，3.5）过一点（1.5，3.05）用顶点式。

（2）已知横坐标－2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。

解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（0，3.5）且过

（1.5，3.05）点，∴设y=a(x-0)2+3.5

即y=ax2+3.5，将（1.5, 3.05）代入，3.05=2.25a+3.5，2.25a=-0.45 ，a=-，∴y=-

x2+3.5

（2）当x=-2.5时， y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25

2.25-1.8-0.25=0.20(m)

答：球出手时，他距离地面高度是0.20m。

说明：求抛物线的解析式时，一定要正确找到抛物线上的点，并注意根据坐标系的位置，确定坐标的符号。

三、跳水运动

例3．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身

体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系上

经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条

件）。

在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空

中的最高处距离水面10米，入水处距池边的距离为

4m，同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规

定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

（1）求这条抛物线的解析式。

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是图中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。

分析：挖掘已知条件，由已知条件和图形可以知道抛物线过（0，0）（2，-10），顶点的纵坐标为。

解：（1）如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c

由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）（2，-10），且顶点A的纵坐标为。

∴∴，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴>0，

又∵抛物线开口向下，∴a<0, b>0，∴a=-，b=，c=0

∴抛物线的解析式为：y=-x2+x

（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3时，即x=3-2=时，

y=(-)×()2+×=-，

∴此时运动员距水面高为：10-=<5，因此，此次试跳会出现失误。

四、网球运动

例4.今有网球从斜坡O点外抛出，网球的抛物路线方程是y=4x-x2, 斜坡的方程是

y=x，其中y是垂直高度（米），x是与O点的水平距离（米）

（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A，写出A点的垂直高度，以及A点与O点的水平距离。

（2）在图象中，标出网球所能达到的最高点B，并求OB与水平线OX之间夹角的正切。

分析：（1）实际上是求A点的坐标；（2）求出顶点坐标是

关键。

解：由方程组，∴

∴ A（7，3.5）

∴ A点的垂直高度为3.5米，A点与O点的水平距离为7米。

（2）由y=4x-x2=-(x-4)2+8 ，∴ B(4,8), tanα==2.