第三节分部积分法
高等数学 第四章 第三节 分部积分法
（再次使用分部积分法）u x , e x dx dv
x e 2( xe e ) C .
2 x x x
结论
若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx . 2 x dv 解 令 u arctan x , xdx d
微分部分
积分部分
+
x
2
cos x
sin x
cos x
sin x
2x
2
结束
0
+
2 2 x cos xdx x sinx 2 x cos x 2 sinx C
例13 求积分 x e dx .
微分部分
2
x
竖式算法
选 u x 2 , v' e x
积分部分
+
x
2
e
x
2x
sec x tan x tan x sec xdx
2
sec x tan x (sec 2 x 1) sec xdx
这是一个 sec x tan x (sec 3 x tan x )dx 循环积分
sec x tan x I ln cos x
1 解出I即可 I (se cx tan x lncos x ) C 2
2 x e e
2 x2
x2
C.
例9
解：原式 x ln(1 x ) xd ln(1 x )
2 2
求 ln( x 1)dx
2
2x x ln( 1 x ) x dx 2 1 x
第3节 分部积分法
1 所以 sec xdx (sec xtanx ln sec x tanx ) C . 2
3
34
高等数学
●
戴本忠
17
1 例10 求 I n 2 2 n dx , 其中 n 为正整数 . (x a ) 解 当 n 1 时, 根据分部积分法 1 ( x 2 a 2 ) n 1 dx
高等数学
●
戴本忠
例9 解
求 sec 3 xdx .
3 sec xdx sec xdtan x
(tan x)sec2x (sec x)secxtanx
sec xtanx sec xtan 2 xdx sec xtanx sec x (sec 2 x 1)dx sec xtanx sec 3 xdx sec xdx sec xtanx ln sec x tanx sec 3 xdx .
●
戴本忠
10
例2
解
求 xe x dx .
令 u x, dv e dx,
x
那么 du dx, v e x .
x x x x x x x e d x x e e d x x e e C e ( x 1) C .
例3 解
求 x 2e x d x .
1 x 2 arctan x 1 x 2 d(arctan x )
1 x arctan x
2
34
1 1 x 2 dx 1 x
2
高等数学
●
戴本忠
21
1 x arctan x
2
1 dx 2 1 x 令 x tan t
高等数学第四章第三节分部积分法课件.ppt
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例7. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
则 u 1 , v 1 x2
x
2
原式 = 1 x2 ln x 1 x dx
2
2
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
例3. 求 x arctan x dx.
解: 令 u arctan x, v x
则
u
1
1 x
2
,
v 1 x2 2
∴ 原式 1 x2 arctan x 1
2
2
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
再令 u cos x , v ex , 则 u sin x , v ex
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
第三节不定积分的分部积分法
( x 2 2 x 2 ) sx i2 c n x ( o x 1 ) s C .
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分 xarctxadxn. 解 xarcxtda xnarcx td a(x2 n2)
2 x 1 c 2 x o 1 s s 2 x i 1 n C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 1 2已 知 f(x )的 一 个 原 函 数 是 e x 2,
求 x f(x )d x . 解 xf(x)dxxdf(x)x(fx)f(x)d x,
例1 求不定积分 xexdx.
解 设 ux,dvexdxdex,
xexdx xd(ex)xex exdxxxe exC .
u d vu v vd u,
分部积分法的关键是正确选择 u 和 v .
选择 u 和 v 的原则是: 1)v不v比 复,杂 2)u比u更简. 单
2
说明３： 不定积分可通过解方程求得，但要注意 结果+C；
可连续几次利用多次分部，但每次应 选同一类函数；
例9 求不定积分 se3cxdx. 解 sec3 xdx sexcse2x cdxsexcd(tax)n
se x tca x n ta x d ( nsx ) ec sx e tc a x n ta 2 x s n x e d x c sx e tc a x ( n s 3 x e sx c e ) d x c
f1(x)dxxf1(x)Ff1(x) C.
练习题答案
一 、 1、 xcox ssix nC；
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
第三节 分部积分法
第三节分部积分法问题∫=?dx xex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(x u u =和)(x v v =具有连续导数,(),v u v u uv ′+′=′(),v u uv v u ′−′=′,dx v u uv dx v u ∫∫′−=′.du v uv udv ∫∫−=分部积分公式)()()((x dv x u dx x v u ⋅=′∫∫分部积分法主要过程如下：∫dxx f )(所求积分∫∫−=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u ∫∫′−=dxx v x u x v x u dx x f )()()()()((3)计算新积分(2)分部积分公式(1)拆分被积表达式中, 如果某部分求导后能得到简化，可考虑选为u ，剩下的部分就是dv 。
范围：一般处理含有多种类型的混合函数。
关键：对被积表达式的适当拆分。
（求导数或微分）∫′⋅dx x v x u )()(旧积分∫′⋅⇒dxx u x v )()(新积分,)()(dx x u x du u ′=⇒)()(x v dx x v dv ⇒′=（求积分或凑微分）u.cos ∫xdx x 求解（1）令,x u =x d xdx dv sin cos ==∫xdx x cos ∫=udv ∫−=vdu uv ∫−=xdx x x sin sin xv dx du sin ,:==则.cos sin C x x x ++=例1解（2）令,cos x u=∫xdx x cos ∫+=xdx x x x sin 2cos 222显然，u,dv 选择不当，积分更难进行.22,sin :xv xdx du =−=则∫xdx x cos ∫−=vdu uv总结若被积函数是幂函数与正(余)弦函数或指数函数的乘积, 可考虑设幂函数为u例2求积分.2∫dx e x x解,2x u =,xxde dx e dv ==∫dx e x x 2∫−=dx xe e x x x 22.)(22C e xe e x xxx+−−=再次使用分部积分法,x u =dxe dv x =),2(xe v xdx du ==),(xe v dx du ==例3求积分.arctan ∫xdx x ∫⋅=xdx x arctan 原式)(arctan 2arctan 222x d xx x ∫−=dx xx x x 222112arctan 2+⋅−=∫dx x x x )111(21arctan 222+−⋅−=∫.)arctan (21arctan 22C x x x x +−−=u dv 2v u ⋅du v ⋅v 熟练以后的写法例4求积分.ln 3∫xdx x 解,ln x u =,443dv xd dx x ==∫xdx x ln 3∫−=x d x x x ln 41ln 4144.161ln 4144C x x x +−=总结若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.u∫−=dx x x x 3441ln 41例6求积分.sin ∫xdx e x解∫xdx exsin ∫=xxdesin ∫−=)(sin sin x d e x e x x ∫−=xdx e x e xxcos sin ∫−=xxxdex e cos sin ∫−−=)cos cos (sin x d e x e x e xx x ∫−−=xdx e x x e xx sin )cos (sin ∫∴xdx e xsin .)cos (sin 2C x x ex+−=注意循环形式)0,(.)(122>∈+=∫a N n dx a x I nn 求解利用分部积分公式得：时当,1>n ∫−+dx a x n 122)(1例7∫+−++=−dxa x xn a x x n n )()1(2)(222122∫+−+−++=−−dx a x a a x n a x x n n n ])()(1[)1(2)(222122122))(1(2)(211221n n n n I a I n a x x I −−++=∴−−−∫+=dx ax I 2211Q C ax a +=arctan 1])32()([)1(2111222−−−++−=∴n n n I n a x xn a I 的递推公式。
第三节 分部积分
1 3 解: 原式 = ∫ arctan x d x 3 1 3 1 x3 = x arctan x −∫ ⋅ dx 2 3 3 1+ x
1 1 3 x2 1 2 = x arctan x − ∫ dx 2 3 1+ x 2 3 1 1 3 1 (1− ) dx2 = x arctan x − ∫ 2 1+ x 3 6
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例3. 求
∫ x ln xdx .
x2 x2 x2 1 dx = ln x−∫ 解: 原式 = ∫ ln x d 2 2 2 x
1 2 1 x2 x2 = ln x − ∫ x dx = ln x − x + C 4 2 2 2
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结束
例4. 求
∫x
2
arctan x dx .
∫e
− x2
dx , dx, ∫ ln x
sin x ∫ cos x dx, ∫ x dx,
2
它们的积分可以借助无穷级数来计算,或运用数学软件 它们的积分可以借助无穷级数来计算 或运用数学软件 快速算出. 快速算出
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结束
x cos x − sin x 例11. 求 ∫ d x. 2 x
x cos x − sin x cos x sin x 解: ∫ dx = ∫ d x −∫ 2 d x 2 x x x
1 sin x = ∫ dsinx −∫ 2 d x x x 1 sin x 1 = sinx −∫ sinx (− 2 )d x −∫ 2 d x x x x 1 = sinx +C. x
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本章主要内容
高等数学4-3-分部积分法
2
分部积分法
udv uv vdu 分部积分公式
难求
易求
此公式并没有告诉我们求不定积 分的直接方法，而只是将求一个不定 积分转化为求另外一个不定积分，这 就要求后者积分要比前者更容易求， 否则使用此公式就没有意义了。
3
分部积分法
二、例 题
udv uv vdu
例 求 x cos xdx .
ln
xd
x4 4
1 ln xdx4 1 ( x4 ln x x4d ln x)
4u v 4
1 ( x4 ln x 4
x 3dx)
1 4
x
4
ln
x
1 16
x4
C
.
结论3 若被积函数是幂函数( x )与对数函
数相乘, 将幂函数移入微分号内凑成 v 。
8
例5 求积分 ln xdx. 解 ln xdx
第三节 分部积分法
分部积分公式 例题 小结 作业
1Hale Waihona Puke 第四章 不定积分分部积分法
一、分部积分公式
ln xdx
xexdx
设函数u u( x)及v v( x) 都可导.
(uv) uv uv
uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx
udv uv vdu 分部积分公式
函数相乘, 将幂函数移入微分号内凑成 v 。
10
练习： arctan xdx.
解 arctan xdx
u
v
x arctan x xd arctan x
x
x arctan x 1 x2 dx
x arctan x 1
2
1
1 x2
d(
高等数学课件 4第三节 分部积分法ppt
令 x tan t ( t ), 则
I
et sec3
t
2 sec2 t d t
2
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cos t e t cos t d t
故 I 1 (sin t cos t)e t C
1 x2
2
2.
原式
ex 1 cos
dx x
ex sin x dx
1 cos x
ex
tan
x 2
C.
(第一个积分分部积分)
3. 求 sin(ln x)dx.
解: sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x)
x cos(ln
x)
1 x
dx
x2 a2
(x2 a2) a2 dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 x2 a2 dx
a2
dx
x2 a2
x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | x2 a2 dx
∴ 原式 = 1 x x2 a2 a2 ln ( x x2 a2 ) C.
1
earctanx
1 x2
x dearctanx 1 x2
1 1
x2
earctanx (1
x)
I
I 1 x earctanx C . 2 1 x2
例16.
求
(1
xe x x)2
dx.
解:
(1
xe x x)2
dx
xe
xd
1
1
x
xex 1 d( xex ) 1 x 1 x
4.3分部积分
定理. 设函数u u x ，v vx 均具有连续导数。
uv uv uv
uv uv uv
uvdx uv uvdx
udv uv vdu
分部积分公式
求积分 x sin xdx 。
解法一. 令 u sin x ， v x ，则u cos x ，v 1 x2
2
xsin xdx
1 x2 sin x 1
2
2
x2 cos xdx
显然， u 和 v 选择不当，积分更难进行。
解法二. 令 u x ， v sin x ，则 u 1， v cos x
x sin xdx xd cos x x cos x cos xdx
xcos x sin x C 。
1、使用分部积分公式由 v (或 dv )求 v 时，v 不必 添加常数 C ；
2
4
例3. 求 x arctan x dx.
解: 令 u arctan x, v x
则
u
1
1 x
2
,
v 1 x2 2
Байду номын сангаас
∴ 原式 1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2
dx
1 x2 arctan x 1
2
2
(1
1
1 x2
)
dx
1 x2 arctan x 1 (x arctan x) C
6、计算 xexdx，可设 u ______,dv __________ .
二、求下列各不定积分
三、已知sin x
x
是
f
(
x)的原函数，求
xf
'
(
x)dx
.
分部积分法
= 1 + x arctan x − ∫
2
1 1+ x
2
dx
令 x = tan t
∫
1 1+ x
dx = ∫ 2
1 1 + tan 2 t
sec 2 tdt = sec tdt ∫
= ln(sec t + tan t ) + C = ln( x + 1 + x 2 ) + C
∴
∫
x arctan x 1 + x2
= x sin(ln x ) − x cos(ln x ) + ∫ xd[cos(ln x )] = x[sin(ln x ) − cos(ln x )] − ∫ sin(ln x )dx
x ∴ ∫ sin(ln x )dx = [sin(ln x ) − cos(ln x )] + C . 2
例7 求积分 解 ∵
4. 6.
3 x e ∫ dx ；
∫ cos(ln x )dx ；
∫
xe arctgx (1 + x )
3 2 2
dx .
sin x 三、 已知 是 f ( x ) 的原函数， 的原函数，求 ∫ xf ' ( x )dx . x 四、 设 ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ， f ( x ) 可微， 可微，且 f ( x ) 的反
x 5. [cos(ln x ) + sin(ln x )] + C ； 2 x −1 arctan x 6. e + C； 2 2 1+ x x 2e x 7. + xe x − e x + C . x+2 2 sin x 三、 cos x − + C. x
不定积分-不定积分的分部积分法
推广 ∫ xn sin x d x, 令u = xn
例3 求下列不定积分：
∫ (1) I1 =
x
ln x dx u
=
∫
ln
xd
x2 2
dv
=
x2 2
ln
x−
∫
x2 2
d ln
x
vdu
= 1 x2 ln x 2
−
1 2
∫
x
dx
= 1 x2 ln x − 1 x2 + C
2
4
简化
（2）I 2
=
∫
x
arctan
=
−
x
cos uv
x+
∫
cos v
x dx du
=
−
x
cos
x
+
sin
x
+
C
(2) ∫ I2 = x2 sin x d x = −∫ x2 d cos x
dv
dv
= − x2 cos x + ∫ cosx dx2
vdu
简化
= − x2 cos x+ 2∫ x cosx dx
I1 = − x2 cos x + 2( x sin x + cos x) + C
=
x(
cos x
x
)′
−
cos x
x
+
C
=
− sin
x
−
2 cos x
x
+
C
注 若先求出 f ′( x)，再求积分会更复杂.
解2 由题设
f
(
x)
第三节 分部积分法
例2 求 xx22eexxddxx..x sin x cos解x C .x arctan反xd对x 幂第1三三节指ar分ct部an积1x x a2rcsin x
例若 解 解选3 求x求择cxxol2unsexxxxx=ddlldnxxn三xxx角ddxxxxxc函2x22..loee2nc第sdxx数oxe三xsdx，dx节22xx2v2分2xxxd=e2部eexxd幂xx例解 例 2积xx2xs2分2函i66cnl法noe数求求xsxxdedx，xxxs2则ieenxxxx2x2ss2iid反11d22更dnnxlcxxnxx对难o22xddsaa幂x积 xastt三i出 rsaancinnnsx指ixxxndex
解
令 x2
sxe=ca32ax22dtdatexxentxst(e12,aecat2(xxsdsetexaCcc1n=)22| 解sttldednctt|x,sIee则nacxt2taxn1(sxxd(etax2cx|en23xxtdxadxs2|a21)et)2c,n)2t3xCn2xt.2d2x1nln(dx(tt(22x
第三节 分部积分法
一、分部积分公式 二、举例
第三节 分部积分法
一、分部积分公式
由第一节我们已知道，对应于一个求导公式，就有 一个积分公式，在第二节中，利用复合函数的求导法则 得到了换元积分法，在本节中，将利用两个函数乘积 的求导法则，来推导另一个求积分的基本方法 分部积 分法.
第三节 分部积分法
(2) vdu 要比 udv 容易积出.
第三节 分部积分法
udv uv vdu
当被积函数是两类基本初等函数的乘积时， 可用如 下的办法来选择 u 和 dv :
选择 u 和 dv 时，可按照反三角函数、对数 函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序 (即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排 在前面的那类函数选作 u，而把排在后面的 那类函数选作 v .
最新03第三节分部积分法
03第三节分部积分法第三节分部积分法分布图示★分部积分公式★几点说明★例1 ★例2 ★例3★例4★例5 ★例6 ★例7★例8★例9 ★例10 ★例11★例12★例13 ★例14 ★例15★例16★例17 ★例18★分部积分的列表法★例19 ★例20 ★例21★例22★内容小结★课堂练习★习题4-3内容要点分部积分公式：«Skip Record If...» (3.1)«Skip Record If...» (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n都是正整数).«Skip Record If...»例题选讲例1 (E01)求不定积分 «Skip Record If...».解一令«Skip Record If...»«Skip Record If...»显然, «Skip Record If...»选择不当，积分更难进行.解二令«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2(E02) 求不定积分 «Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u, 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.例3(E03)求不定积分 «Skip Record If...».解令«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例4 (E04)求不定积分 «Skip Record If...».解令«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为u, 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失.例5(E05)求不定积分«Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,u, dv可随意选取, 但在两次分部积分中, 必须选用同类型的u, 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.例6(E06)求不定积分«Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»灵活应用分部积分法,可以解决许多不定积分的计算问题. 下面再举一些例子,请读者悉心体会其解题方法.例7(E07)求不定积分 «Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»由于上式右端的第三项就是所求的积分«Skip Record If...»把它移到等号左端去，再两端各除以2，便得«Skip Record If...»例8 求不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例9 求不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»原式«Skip Record If...»例10(E08)求不定积分«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例11 求不定积分«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例12 求«Skip Record If...»解法 1 先分部积分，后换元.设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»再设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»代入上式, 得«Skip Record If...»«Skip Record If...»解法 2 先换元, 后分部积分.设«Skip Record If...»«Skip Record If...»则«Skip Record If...»再设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»例13 求不定积分«Skip Record If...»解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»例14(E09)求不定积分«Skip Record If...», 其中n为正整数.解用分部积分法，当«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»«Skip Record If...»即 «Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»以此作递推公式，并由«Skip Record If...»即可得«Skip Record If...»例15(E10)已知«Skip Record If...»的一个原函数是«Skip Record If...», 求«Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»根据题意«Skip Record If...»再注意到 «Skip Record If...»两边同时对«Skip Record If...»求导，得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例16 求不定积分«Skip Record If...»解先折成两个不定积分，再利用分部积分法.原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例17求不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例18 求不定积分«Skip Record If...».解选«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 本题选«Skip Record If...»比选«Skip Record If...»更能使解题方便.例19 计算不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»不易求积分，只能放在左列，而«Skip Record If...»放在右列,列表如下:«Skip Record If...»««Skip Record If...»«Skip Record If...»例20 计算不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»可看作乘积形式«Skip Record If...»将«Skip Record If...»放在左列,1放在右列，列表如下:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例21 计算不定积分«Skip Record If...»解 «Skip Record If...»函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是易求原函数的函数,都可放右列，但考虑到左列的函数应是求导后逐渐简单的，故«Skip Record If...»放左列, «Skip Record If...»放右列列表如下:«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例22 计算不定积分«Skip Record If...».解 «Skip Record If...»函数«Skip Record If...»都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的«Skip Record If...»和«Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)形式，故它们的左右位置可随意选取.例如选取«Skip Record If...»为左,«Skip Record If...»为右, 可得«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，移项得«Skip Record If...»课堂练习1. 求不定积分«Skip Record If...»2. 求不定积分«Skip Record If...».。
高等数学 第4章 第三节 分部积分法
x2
x a2
n
'
1 x2 a2
n
n
2x x2 a2
(2n 1)I n n N
n1
解
In
1 x2 a2
n dx
x x2 a2
n
xd
1 x2 a2 n
x x2 a2
n
x2
2nx a2
2 n1
dx
x x2 a2
e
x
sin
xdx
1 2
e
x
sin
x
cos
x
C
注意：移项时应该给等式的右边添加任意常数 C
6
例10 求 e 2x cos 3xdx
解 I e 2x cos 3xdx 1 cos 3xde2x
1
e 2x cos 3x 3
2 e 2x sin3xdx
2
1 e 2x cos 3x 3 sin3xde2x
第三节 分部积分法
1、公式推导
设ux及vx具有连续导数,则 udv uv vdu
证 uv uv uv uv uv uv
则 uvdx uv vudx udv uv vdu
例1 求 x cos xdx
解： 设 x u, v ' dx cos xdx d sin x dv, 即 sin x v.
sec x tan x sec3 x sec xd x
sec x tan x sec3 xdx ln sec x tan x
移项、两边同除以系数，得
s e c3
xd x
1 2
secx
tan
x
ln
secx
tan
第三节 分部积分法
第三节 分部积分法（解决乘积函数的积分）
()()dx x g x f ⎰
一．分部积分公式
⎰⎰-=vdu uv dv u
二． 基本题型
1． 将幂函数向后积（其它的向后
积也没有积分公式）
例1 求⎰xdx ln
例2 求⎰xdx
x arctan
练习：
（1）求
dx
e x
⎰
+
1
1
P225/4（14）
（2）求
dx
x ⎰arctan
（3）求
()dx
x
⎰+1
ln2P225/5（1）
2．将幂函数留下，其它的三角函数，指数函数向后积
例3 求⎰xdx x cos
例4 求⎰dx e x x 2
练习：
（1）求dx e x ⎰
P225/5（11）
3．
始终将同一类函数积到后面，两次分部积分后，转化成解方程。
将幂函数留下，其它的三角函数，指数函数向后积
4． 变形转化成递推公式被积函数
中含有参数n
例6 求
()是正整数）
其中n a x dx n (22⎰+
补例1 求()dx b ax f ⎰+'P226/7（9）
补例2 求()dx x f x ⎰''P226/7（10）
作业：
课堂练习4——3： 1，2
习题4——3： 1，2不要求的：
（25）------（34）
，3，4，5。
4(3)分部积分法
分部积分法
In1
n1
1 2na 2
(x2
x a2 )n
2n 1 2na 2
In
(n
1,2,）
利用这个递推公式及公式
递 推
I1
x2
1
a 2 dx
1 a
arctan
x a
C
型
就可以求出每个积分In . 如
I2
(x2
1 a2
)2 dx
1 2a 2
du dx, v
解 u arctan x , dv xdx
du
1
1 x
2
dx
,
v
x2 2
x arctan xdx x2 arctan x 2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2
arctan x 2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C
21
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
例 a2 x2dx x a2 x2
x2 dx
u
a2 x2
x
a2 x2
a2 x2 a2 dx
a2 x2
x a2 x2 a2 x2dx a2 arcsin x a
a2 x2dx x a2 x2 a2 arcsin x C.
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
第三节分部积分法
则有 udv uv vdu (分部积分公式）
证 (uv)' u'v uv'
uv' (uv)'u'v
两边积分，得
uv'dx (uv)'dx u'vdx
uv u'vdx
即
uv'dx uv u'vdx
uv'dx uv vu'dx
)n1
dx
(x2
x a2)n
2nI n
2na2 In1
即
In
(x2
x a2)n
2nIn
2na2 In1
In1
1 2na 2
[(x2
x a2)n
(2n
1)In]
例如 n 1时, 由递推公式得
(n 1,2,....) 递推公式
I2
I11
1 21 a2
[(x2
x a2 )1
(2 1 1)I1]
1 (1 x2) 1
2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
1 x2 arctan x 2
1 ( x arctan x) C 2
1 x2 arctan x 1 x 1 arctan x C
2
22
例6 arccos xdx
解 u arccos x dv dx v x
e x cos x e x sin x e x sin xdx
e x sin xdx 1 (e x cos x e x sin x) C
2
注 在上例中,用了两次分部积分公式后,等式右 端出现了与等式左端相同的积分,但符号相反. 这种情形称为循环.