常微分方程的消元法和首次积分法共24页
常微分方程的解法总结总结
常微分方程的解法总结前言常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是研究一阶或高阶导数与未知函数之间关系的数学方程。
在物理学、工程学和计算机科学等领域，常微分方程扮演着重要的角色。
解决常微分方程是这些领域中许多问题的关键。
本文将总结常用的常微分方程解法方法，帮助读者加深对常微分方程的理解并提供解决问题的思路。
一、可分离变量法可分离变量法是一种常见且简单的求解常微分方程的方法。
它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程。
解题思路：1.将方程写成dy/g(y) = f(x)dx的形式，将变量进行分离。
2.两边同时积分得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3.求出积分后的表达式，并整理得到解 y 的表达式。
使用这种方法解决常微分方程的步骤相对简单，但要注意确认分母不为零以及选取合适的积分常数。
二、特殊方程类型的求解除了可分离变量法，常微分方程还存在一些特殊的方程类型，它们可以通过特定的方法进行解决。
1. 齐次方程齐次方程是指形如dy/dx = F(y/x)的方程。
其中，F(t) 是一个只有一个变量的函数。
解题思路：1.令 v = y/x，即 y = vx。
将方程转化为dy/dx = F(v)。
2.对于dv/dx = F(v)/x这个方程，可以使用分离变量法进行求解。
3.求出 v(x) 后，将其代入 y = vx 得到完整的解。
2. 齐次线性方程齐次线性方程是指形如dy/dx + P(x)y = 0的方程。
解题思路：1.使用积分因子法求解，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。
2.求积分因子的方法是根据公式μ = e^(∫P(x)dx)，其中 P(x) 是已知的函数。
3.通过乘积的方式求解完整的方程。
3. 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
解题思路：1.使用积分因子法，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。
常微分方程的常见解法
曲线（称为积分曲线），且 fx,x就是该曲线上
的点 x,x处的切线斜率，特别在 x0, y0切线斜率 就是 f x0,y0 尽管我们不一定能求出方程 1.3.1 的 解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点 x, y
的切线斜率是 f x, y。 如果我们在区域D内每一点 x, y 处，都画上一个
可化为齐次方程的方程
形如
dyf(a xb yc) dx a1b1yc1
的方程可化为齐次方程.
其中 a,b,c,a1,b1,c1都是常数.
1. 当 cc10时, 此方程就是齐次方程.
2. 当 c2c120 时, 并且
ab
(1)
a1
0 b1
此时二元方程组 axbyc0 a1xb1yc0
有惟一解 x,y.
例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩
小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解:设t时刻雪球的体积为 V ( t ) ，表面积为 S ( t ) ，
由题得
dV(t) kS(t)
dt
12 2
球体与表面积的关系为 S(t)(4)333V3
12
引入新常数r (4)333k 再利用题中的条件得
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
常微分方程-第一章-初等积分法
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程初值问题
y H = f (x; y )的含义 如果将 y 视为系统状态变量，则导数 y H 就是状态的变化率；如果 将自变量视为时间，微分方程 y H = f (x; y ) 可解释为：
=
y (x) 或 x = x(t); y = y (t)。
有：
C 的 速 度 矢 量 为 (xH (t); y H (t)), 则 b=
=
q
(xH (t))2 + (y H (t))2
xH (t) dy dx
s
1+
dy 2
dx
(1)
另：
=
at y x
(2)
黄丹
danh_m@
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程是微积分的自然延续 微积分是人类科学史上一个划时代的重大发现 微积分在几何上的应用产生了微分几何 在物理上广泛和深入的应用产生了微分方程
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程是微积分的自然延续 微积分是人类科学史上一个划时代的重大发现 微积分在几何上的应用产生了微分几何 在物理上广泛和深入的应用产生了微分方程 微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
物体下落问题 设质量为 m 的物体，在时间 t = 0 时，在距地 面高度为H 处以初始速度 v (0) = v0 垂直地面下落，求此物体下 落时距离与时间的关系。
常微分方程第一章 初等积分法
第一章 初等积分法方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数.然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等.物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数.在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为：5=dt ds ，x dxdy 2=），这类方程就叫做微分方程. 本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法.1.1 微分方程的基本概念300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.通过下面的例子，你将会看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.例1 自由落体运动问题设质点B 作自由落体运动，即只考虑重力对物体的作用而忽略空气阻力等其它外力，设质点B 做垂直于地面的运动，取垂直地面向上的方向为s 正向，力和速度的正向亦如此.()t s s =表示B 在时刻t 的位置坐标，所以结合《数学分析》中所学的导数的物理意义知：()dt ds t s ='表示B 在时刻t 的即时速度，()22dts d t s =''表示B 在时刻t 的即时加速度.假设B 的质量为m ，重力加速度为g ，由牛顿第二定律得：()mg t s m -=''（‘-’表示方向相反与s g ），从而得到g dts d -=22 (1.1) 解之即可得到自由落体运动的位移公式，在(1.1)式两边对t 积分两次可得()21221C t C gt t s ++-=， (1.2) 其中1C 和2C 是两个独立的任意常数.可以验证(1.2)就是方程(1.1)的解.例2 求曲线的方程问题某曲线()x f y =过点()1,0，且其上每一点处的斜率都等于该点横坐标的2倍，求该曲线方程.分析：根据《数学分析》中所学的导数的几何意义及本题题意知：x y 2='. (1.3)且，当()100==f x 时，.(1.3)式可变形为xdx dy 2=上式两边直接对x 积分得C x y +=2. (1.4)把()100===f y x 时，代入(1.4)得1=C .于是所求曲线方程为12+=x y .可以验证上式就是方程(1.3)的解.上述两个例子中的关系式(1.1)和(1.3)中都含有未知函数的导数，它们都是微分方程.一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的导数之间关系的等式.若其中的未知函数只含有一个自变量，则称为常微分方程；若未知函数含有两个或两个以上自变量，则称该微分方程为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时也简称为微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程x dxdy 2= (1.5) 2211xy dx dy --= (1.6) ()()0=+''t x t x (1.7)02='+''y y y (1.8)在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.如：(1.5)、(1.6)是一阶微分方程，(1.7)、(1.8)是二阶微分方程.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为()0,,='y y x F (1.9)如果在(1.9)中能将y '解出，则得到方程()y x f y ,=' (1.10)或()()0,,=+dy y x N dx y x M (1.11)(1.9)称为一阶隐式方程,(1.10)称为一阶显式方程，(1.11)称为微分形式的一阶方程.n 阶隐式方程的一般形式为()0,,,,,)(='''n y y y y x F (1.12) n 阶显式方程的一般形式为()()()1,,,,-'''=n n y y y x f y在方程(1.12)中，如果左端函数F 对未知函数y 和它的各阶导数y ′,y ″,…,y (n )的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y 为未知函数，以x 为自变量的n 阶线性微分方程具有如下形式：()()()()()()x f y x P y x P y x P y n n n n =+'+++--111（1.13） 显然，方程(1.5)是一阶线性方程；方程(1.6)是一阶非线性方程；方程(1.7)是二阶线性方程；方程(1.8)是二阶非线性方程.在前面我们验证了(1.2)就是方程(1.1)的解、(1.4)就是方程(1.3)的解，下面我们给出微分方程的解的定义定义 1.1 设函数()x y ϕ=在区间I 上连续，且有直到n 阶的导数.如果把()x y ϕ=代入方程(1.12)，得到在区间I 上关于x 的恒等式，则称()x y ϕ=为方程(1.12)在区间I 上的一个解.这样，从定义1.1可以直接验证：1. 函数C x y +=2是方程(1.5)在区间()+∞∞-,上的解，其中C 是任意的常数.2. 函数()C x y +=arcsin sin 是方程(1.6)在区间()1,1+-上的解，其中C 是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解1±=y ，这两个解不包含在上述解中.3. 函数t C t C x sin cos 21+=是方程(1.7)在区间()+∞∞-, 的解，其中1C 和2C 是两个独立的任意常数.4. 函数212C x C y +=是方程(1.8)在区间()+∞∞-,上的解，其中1C 和2C 是两个独立的任意常数.这里，我们仅验证3，其余留给读者完成. 事实上，在()+∞∞-,上有()t C t C dxx d t C t C dt dx sin cos ,cos sin 212221+-=+-= 所以在()+∞∞-,上有022≡+x dt x d ， 从而该函数是方程(1.6)的解.从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n 阶常微分方程(1.12)的含有n 个独立的任意常数n C C C ,,,21 的解()n C C C x y ,,,,21 ϕ=，称为该方程的通解，如果方程(1.12)的解()x y ϕ=不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为隐式通解或通积分.由上面的定义，不难看出，函数C x y +=2，()C x y +=arcsin sin 和t C x cos 1=t C sin 2+分别是方程(1.5)，(1.6)和(1.7)的通解；函数212C x C y +=是方程(1.8)的隐式通解；而函数1±=y 是方程(1.8)的特解，12+=x y 是方程(1.3)的特解.由于通解中含有任意常数，所以不能完全准确的反映某一客观事物的规律性.要想完全准确的反映客观事物的规律性，必须确定这些任意常数的值.因此，要根据问题的实际情况，提出或找到确定这些常数的条件. 例如，例2中的“某曲线()x f 过点()1,0”即“()10=f ”就是这样的条件.下面我们寻找一下确定例1中方程(1.1)的通解中的任意常数1C 和2C 的条件. 由于质点作的是自由落体运动，所以根据物理知识可知，质点的初速度为0，即00==t dt ds ；另，可设质点距地面高度为H ，即()H s =0.根据这两个条件我们可以确定方程(1.1)的通解中的任意常数1C 和2C 的值.像这样能帮助确定通解中所含任意常数取值的条件叫做初始条件.求微分方程满足初始条件的解的问题称为微分方程的初值问题，有时也称为柯西（Cauchy ）问题.一阶微分方程的初值问题记作()⎪⎩⎪⎨⎧=='=.,,00y y y x f y x x 二阶微分方程的初值问题记作()⎪⎩⎪⎨⎧'='='=''==.,,,,0000y y y y y y x f y x x x x 对于一个n 阶方程，初值条件是()()()()()().,,,,1001000000--=''='''='=n n y x y y x y y x y y x y (1.14) 其中0x 是自变量的某个取定值，而()10000,,,,-'''n y y y y 是相应的未知函数及导数的给定值.于是n 阶方程的初值问题常记为 ()()()()()()()⎩⎨⎧=''='''='='''=---.,,,)(,)(,,,,,10010000001n n n n y x y y x y y x y y x y y y y x f y (1.15) 例3 求方程0=+''x x 的满足初值条件14,14-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππx x 的解. 解 前面我们验证过t C t C x sin cos 21+=是方程的通解.在上式两边分别对t 求导后得t C t C x cos sin 21+-='将初始条件代入，得到方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+12222122222121C C C C . 解得2,021==C C .故所求特解为t x cos 2=.微分方程解的几何意义为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图形.一阶方程(1.9)的一个特解()x y ϕ=的图形就是xoy 平面上的一条曲线，称为方程(1.9)的积分曲线，而通解()C x y ,ϕ=的图形是平面上的一族曲线，称为积分曲线族.以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.本节要点：1．常微分程的概念，方程的阶、隐式方程、显式方程、线性方程，非线性方程.2．常微分方程解的定义，通解、特解、隐式通解.3．初值问题.4．解的几何意义：积分曲线（族）.习 题 1.11．指出下列方程的阶数，并判断是否是线性方程？（1）22x y y +=' （2）y x x y sin +='（3）x xy y y sin =-'' （4）()x y y y =+''+'''2（5）2231ds r d ds dr +=⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6）03)(22=-+y dx dy x dx dy2．验证所给函数是否为相应方程的解.（1）5352+='x y ，C x x y ++=2523（C 为任意常数） （2）()0=++xdy dx y x ，xx C y 222-=（C 为任意常数） （3）22x y y +=''，xy 1= （4）1+=+'x y y ，x e x y -+=31.2 变量可分离方程从本节开始，我们讨论几类方程的解法.我们先从最简单的一阶微分方程()y x f y ,='开始.在上节例2中我们通过直接积分的办法得到方程x y 2='的通解，下面再看一个微分方程22xy dxdy = (1.16) 即dx xy dy 22=. (1.17)两边直接积分得⎰=dx xy y 22此时由于右端积分中含有未知函数y ，所以求不出来. 那怎么办呢？再观察一下方程(1.17)，发现右端的y x ,是乘积关系，我们可以通过将y x ,“分家”的办法来化解上述困难，为此，在(1.17)两边先乘以21y，将其变为 xdx y dy 22=， 这时变量y x ,已经“分家”了，分别位于等式两边，然后两边积分得C x y+=-21 即Cx y +-=21 (1.18) 其中，C 为任意常数.可以验证(1.18)就是方程(1.16)的解，而且是通解.一般地，如果一个一阶微分方程能写为()()dx x f dy y g = (1.19)的形式，也就是说能将方程中的变量y x ,分别整理到一块，形成两个“阵营”()阵营分别对应y x dy dx ,,，然后分列在等式两边，那么原方程就称为变量可分离方程.例如，方程0,,,2=+===+dy e x xydx yx dx dy e dx dy xy dx dy y y x 都是变量可分离方程．而方程()()0,,2=++++=+=dy e x dx y x e e dx dy y x x dx dy y y x 都不是变量可分离方程.下面我们看一看此类方程的解法.假定方程(1.19)中的()()y g x f ,都是连续的.设()x y ϕ=是方程(1.19)的解将其代入(1.19)中得恒等式()[]()()dx x f dx x x g ='ϕϕ.将上式两端积分，并将()x ϕ换为变量y ，得()()⎰⎰=dx x f dy y g .设()()()()则有的原函数分别为,,,x f y g x F y G()()C x F y G += (1.20)因此，方程(1.19)的解()x y ϕ=满足关系式(1.20).反之，如果()x y Φ=是由关系式(1.20)确定的隐函数，那么在()0≠y g 的条件下，()x y Φ=也是方程(1.19)的解.由上面的分析可知，当()0≠y g 时，微分方程(1.19)与隐函数方程(1.20)是同解方程.由于(1.20)中含有任意常数C ，所以(1.20)是微分方程(1.19)的隐式通解，亦称为方程(1.19)的通积分.在求解过程中，对于通积分(1.20)应该尽量把它演算到底，即用初等函数表达出来，但是，并不勉强从其中求出解的显式表达式.如果积分不能用初等函数表达出来，此时我们也认为微分方程(1.19)已经解出来了，因为从微分方程求解的意义上讲，留下的是一个积分问题，而不是一个方程问题了.注. 若存在0y ，使()00=y g ，则易见()00=y g 是方程(1.19)的一个特解，或称为常数解.例1 求解方程x ydx dy=.解 当0≠y 时，分离变量，方程化为x dxy dy=两端积分，得1ln ln C x y +=即Cx y ln ln =()0≠CCx y = ()0≠C另外，0=y 也是方程的解. 所以原方程得通解为Cx y = ()为任意常数C .例2 求解方程2211x y dx dy --=.解 当1±≠y 时，方程的通积分为C x dx y dy+-=-⎰⎰2211即()C x y +=arcsin sin ()为任意常数C .另外，1±=y 也是方程的常数解，但它们不包含在上述通解中.例3 求方程212-=y dx dy .的满足初始条件()()1000==y y 及的解.解 当1±≠y 时，方程通积分为1212C x y dy +=-⎰. 即 111C x y dy y dy +=+--⎰⎰ 111ln C x y y +=+- 111C x e y y +=+- x Ce y y =+-11 ()01≠±=C e C . 又1±=y 也是原方程的解，所以原方程通解为xxCe Ce y -+=11 ()为任意常数C . 为求满足初始条件()()1000==y y 及的解，以()00=y 、()10=y 分别代入通解，可解得1-=C 、0=C .所以满足()()1000==y y 及的解分别为x xee y +-=11、1=y . 另外，通解公式还能帮助我们得到积分曲线族的图形.例如，在例3的通解中，当C 为负数时，通解所对应的积分曲线位于带形区域11<<-y 之中；而当C 为正数时，它确定了两条积分曲线，其中一条定义于C x ln -<<∞-,它位于半平面1>y 上；另一条 定义于+∞<<-x C ln ，它位于半平面1-<y 上.图1-1描绘了所给方程的积分曲线的分布状况.图 1-1例4 求解方程()()01122=-+-dy x y dx y x .解 当()()01122≠--y x 时，分离变量得1122--=-y ydyx xdx . 积分，得方程的通解C y x ln 1ln 1ln 22+--=-即()()C y x=--1122()0≠C .易见1,1±=±=x y 为方程的解.所以原方程的通解为()()C y x=--1122()为任意常数C .例5 解方程2)(y x dxdy+=. 分析 此题中的y x ,不能分离，如何处理呢？既然不能分离，索性就把他们捆绑在一起，使用换元法处理.解 1,+==+dxdt dx dy t y x 则令. 原方程变为12+=t dxdt，分离变量得dx dt t =+112， 上式两边积分得C x t +=arctan ，所以所求通解为C x y x +=+)arctan( ()为任意常数C .例6 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ).降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma ,得函数v (t )应满足的方程为kv mg dtdv m -=,初始条件为v |t =0=0.方程分离变量, 得mdtkv mg dv =-,两边积分, 得⎰⎰=-m dt kv mg dv ,1)ln(1C mt kv mg k +=--, 即t m k Ce km g v -+=(k e C kC 1--=),将初始条件v |t =0=0代入通解得kmg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e km gv --=. 本节要点：1．变量可分离方程的特征． 2．变量可分离方程的解法：第一步 分离变量,将方程化成()()dx x f dy y g =的形式；第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(,设积分后得()()C x F y G +=； 第三步 求出由()()C x F y G +=所确定的隐函数()x y Φ=或()y x ψ=， 则()()C x F y G +=、()x y Φ=或()y x ψ=都是方程的通解, 其中()()C x F y G +=称为隐式(通)解.注：注意换元法的使用.3．解此类方程时要注意条件()0≠y g 或()0≠x f 所可能造成的解的丢失问题.习 题 1.21.求出下列方程的通解. （1）221xy y x dx dy+++=. （2）y y dxdy ln =. （3）yx e dx dy +=. （4） yx xy y dx dy 321++=. （5）0)1()1(=-++xdy y ydx x .（6）2)(1y x dx dy +=. （7）25--+-=y x y x dx dy . （8）0)1()1(=-++xdy y ydx x . （9）0cot tan =-xdy ydx .2.求下列方程满足给定初值条件的解： （1）1)0(),1(=-=y y y dxdy； （2）1)0(,02)1(22==+'-y xy y x ； （3）0)2(,332=='y y y ；（4）1)1(,0)()(2222-==+-+y dy yx x dx xy y . 3.证明方程)(xy f dxdy y x ==经过变换u xy =可化为变量可分离方程，并由此求解下列方程（1）xdy dx y x y =+)1(22（2）222222yx y x dx dy y x -+= 4.求一曲线，使其具有如下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x 轴可围成一个等腰三角形（以x 轴为底），且通过点)2,1(.5.人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比.（1）如果4小时的细菌数即为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？ （2）如在3小时的时候，有细菌数410个，在5小时的时候有4104⨯个，那么在开始时有多少个细菌？1.3 齐次微分方程上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方程，本节介绍一类可化为变量可分离的方程——齐次方程.一、齐次方程 形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y dx dy ϕ (1.21) 的方程称为一阶齐次微分方程.例如，方程yx yx dx dy -+=， xyy x x yy x dx dy sin sin2222-+=， ()022=++xydy dx y x，y x dxdyln ln -=. 可以分别变为xyx ydx dy -+=11， x y x y x y x y dx dy cos1sin 122⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=， 1-⎪⎭⎫⎝⎛--=x y x y dx dy ， xydx dy ln -=. 所以它们都是一阶齐次方程．下面我们看一下齐次方程的解法. 方程(1.21)的特点是它的右端是一个以x y 为变元的函数，我们将xy作为一个整体，作如下的变量变换令xyu =，即ux y =， 则有)(u dxduxu ϕ=+, 分离变量,得xdx u u du =-)(ϕ.两端积分,得⎰⎰=-x dx u u du )(ϕ.求出积分后,再将u 还原为xy,便得所给齐次方程的通解. 注：1.若存在常数0u ，使0)(00=-u u ϕ，则易知0u u =，即x u y 0=是方程(1.21)的解；另外还要注意验证0=x 是否是解？2.有时方程化成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x dy dxϕ更为简便，参见例2. 例1 解方程dxdy xy dx dy x y =+22. 解 原方程可写成1)(222-=-=xy x yx xy y dx dy , 因此原方程是齐次方程.令u xy=, 则 ux y =，dxdu x u dx dy+=, 于是原方程变为12-=+u u dx du x u ,即1-=u u dx du x . 分离变量,得xdx du u =-)11(. 两边积分,得x C u u ln ln =+-，即C u xu +=ln ()为任意常数C .以xy代上式中的u ,便得所给方程的通解 C xyy +=||ln ()为任意常数C .例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行.求这旋转曲面的方程.解 如图1-2，设此凹镜是由xoy 面上曲线()()0:>=y x y y L 绕x 轴旋转而成,光源在原点. 在L 上任取一点()y x M ,, 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OM OA =.图 1-2因为x y yOP PM OP AP OA -'=-=-=αcot , 而22y x OM +=.于是，得微分方程22y x x y y+=-', 整理得1)(2++=yx y x dy dx . 这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程1)(2++=yx y x dy dx . 令v yx=, 即yv x =， 得12++=+v v dydv y v即12+=v dydv y . 分离变量，得ydy v dv =+12, 两边积分，得C y v v ln ln )1ln(2-=++, C yv v =++⇒12, 1)(22+=-⇒v v Cy , 即1222=-Cyv C y . 以yv x =代入上式, 得)2(22C x C y +=. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)2(222C x C z y +=+.这就是所求的旋转曲面方程.在一般情况下，如何判断方程()y x f dxdy,=是齐次方程呢?这相当于考虑，什么样的二元函数()y x f ,能化为形如⎪⎪⎭⎫⎝⎛y x ϕ的函数. 下面我们说明零次齐次函数具有此性质.所谓()y x f ,对于变元x 和y 是零次齐次式，是指对于任意0≠τ的常数，有恒等式()()()y x f y x f y x f ,,,0==τττ.因此，令x1=τ，则有()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≡x y x y f y x f ϕ,1,.从而，所谓齐次方程，实际上就是方程()y x f dxdy,=的右端()y x f ,是一个关于变元x 和y 的零次齐次式.如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程.二、可化为齐次方程的方程 形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dxdy (1.22)当021==c c 时是齐次方程，但当02221≠+c c 时就不是齐次方程了.下面我们将通过变量变换把(1.22)中的21,c c 消去，将方程(1.22)化成齐次方程.令βα+=+=Y y X x ,(βα,为待定常数) 则dY dy dX dx ==,.代入(1.22)得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=2222211111c b a Y b X a c b a Y b X a f dX dYβαβα. 选取βα,使得⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c b a c b a βαβα (1.23) 这是一个线性非齐次方程组，它的解与系数行列式有关. 如果02211≠=∆b a b a ，则(1.23)有唯一解，把βα,取为这组解，于是(1.22)就化成齐次方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=Y b X a Y b X a f dX dY2211.求出这个方程的解，并用变换y Y x X -=-=βα,代回，即可得(1.22)的解.上面的做法其实就是解析几何中的坐标平移.当0≠∆时，直线0111=++c y b x a与直线0222=++c y b x a相交于一点，将二式联立求得交点(βα,)，再作坐标平移，就把原点移到(βα,).又由于在坐标平移变换βα+=+=Y y X x ,下有=dx dy dXdY 成立，这样(1.22)就变成齐次方程了. 本节要点：1．一阶方程()y x f dxdy,=是齐次方程：右端函数()y x f ,是一个零次齐次函数． 2．齐次方程的解法： 第一步：先将原方程变形为⎪⎭⎫⎝⎛=x y dx dy ϕ； 第二步：通过变量替换xyu =再将方程化为变量可分离方程求解； 第三步：变量还原.3．一类可化为齐次方程的方程之解法.习 题 1.31．解下列方程(1)()02=-+xdy dx y x . (2)()0222=+-dy x dx xy y . (3)()xy dx dy y x 222=+. (4)yxx y y x tan =-'. (5)y dx dy x =-)2(. (6)25)1(12+=+-x x ydx dy . 2．解下列方程(1)()()03542=-+++-dy y x dx y x . (2)()5324++='+y x y y x .(3)0)324()12(=-+-++dy y x dx y x .(4)2122⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-='y x y y .(5) 0)823()732(2222=-+--+ydy y x xdx y x .4.一船从河边A 点驶向对岸码头O 点，设河宽a OA =，水流速度为ω，船的速度为v ，如果船总是朝码头O 点的方向前进，试求船的路线，并证明船能到达对岸O 点的充要条件ω>v .1.4 一阶线性微分方程本节讨论一阶线性方程的解法以及某些可以化成线性方程的类型. 一、一阶线性方程 一阶线性微分方程的形式是()()x Q y x P y =+'. (1.23)如果()0≡x Q ，那么()0=+'y x P y (1.24)称为一阶线性齐次方程. 如果()x Q 不恒为零，则称(1.23)为一阶线性非齐次方程.一阶线性非齐次方程的通解先考虑线性齐次方程(1.24)，注意这里“齐次”的含意与上节中的不同，这里指的是在(1.23)中不含“自由项”()x Q ，即()0≡x Q . 显然，(1.24)是一个变量可分离方程， 分离变量后得dx x P ydy)(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,即)( 1)(C dxx P e C Ce y ±=⎰=-, (1.25)这就是线性齐次方程的通解(积分中不再加任意常数).下面使用常数变易法求线性非齐次方程(1.23)的解.其想法是：当C 为常数时，函数(1.25)的导数，恰等于该函数乘以)(x P -,从而(1.25)为齐次方程(1.24)的解.现在要求是非齐次方程(1.23)的解，则需要该函数的导数中还要有一项等于()x Q .为此，联系到乘积导数的公式，可将(1.25)中的常数C 变易为函数()x u ，即令()⎰=-dxx P e x u y )( (1.26)为方程(1.23)的解，其中()x u 待定.将(1.26)代入方程(1.23)，有)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dxx P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---,化简得⎰='dxx P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dxx P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰=⎰-,即dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(. (1.27) 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可.例1 求方程y dxdyx =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy , 两边积分得C x y ln 2ln ln +-=，方程的通解为)2(-=x C y ()为任意常数C .例2 求解方程2x xydx dy +=. (1.28) 解 显然，这是一个一阶线性非齐次方程. 先求对应齐次方程xy dx dy =. 其通解为Cx y = ()为任意常数C .由常数变易法，令()x x u y =为方程(1.28)的解，代入得()()()2x x u x u x x u +=+'即()x x u ='积分得()C x x u +=221. 所以原方程(1.28)的通解为Cx x y +=321()为任意常数C . 例3 求方程25)1(12+=+-x x ydx dy 的通解. 解 这是一个一阶非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得()C x y ln 1ln 2ln ++=,齐次线性方程的通解为2)1(+=x C y ()为任意常数C用常数变易法. 把C 换成)(x u , 即令2)1)((+=x x u y , 代入所给非齐次线性方程,得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u21)1(+='x u ,两边积分,得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中,即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=.（法二）解 这里12)(+-=x x P ,25)1()(+=x x Q .因为 )1l n (2)12()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P ,2)1ln(2)()1(+==⎰+-x e e x dx x P ,2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P , 所以通解为])1(32[)1(])([232)()(C x x C dx ex Q ey dxx P dxx P +++=+⎰⎰=⎰-()为任意常数C .为方便求解初值问题()()()⎩⎨⎧==+'00y x y x Q y x P y ， 常数变易法也可采用定积分形式.即(1.26)可取为()⎰=-xx dtt P ex u y 0)( （1.29）代入(1.23)并化简，得⎰='xx dtt P ex Q x u 0)()()(.积分得C ds es Q x u dtt P xx xx +=⎰⎰00)()()(，代入(1.29)得ds es Q eCey dtt P xx dt t P dt t P xx xx x x ⎰⎰-⎰-⎰+=00)()()()(将初值条件00,y y x x == 代入上式， 有0y C =，于是所求初值问题解为ds es Q eey y dtt P xx dt t P dt t P xx xx xx ⎰⎰-⎰-⎰+=00)()()(0)(或ds es Q ey y dtt P xx dt t P xx xx ⎰⎰-⎰+=00)()(0)( (1.30)例4 设函数()x f 在[)+∞,0上连续且有界，试证明：方程()x f y y =+'的所有解均在[)+∞,0上有界.证明 设()x y y =为方程的任一解，它满足初始值条件()[)+∞∈=,0,000x y x y ，于是，由公式(1.30)，它可以表示为()()()⎰---+=xx x t x x dt e t f ey x y 000我们只要证()x f 在[)+∞,0x 上有界即可. 设()[)+∞∈≤,0,x M x f .于是对[)+∞∈,0x x 有()()()⎰---+≤xx x t x x dt e t f ey x y 000⎰-+≤xx txdt e Mey 0()00x x x e e Me y -+=-()()010x x e M y ---+= M y +≤0.原题得证.二、伯努利(Bernoulli)方程 形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (1,0≠n ) (1.31) 的方程，称为伯努利方程.伯努利方程(1.31)是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它可以化成一阶线性方程.在(1.31)两端除以n y ，得)()(1x Q y x P dxdyy n n=+--. 令n y z -=1，得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 例5 求解方程yx x y dx dy 222+=. 解 这是一个伯努利方程. 两端同乘以y 2，得222x xy dx dy y +=. 令z y =2，代入上式得2x xzdx dz += 这个是线性方程，它的解为321x Cx z +=. 于是，原方程的解为321x Cx y +±= ()为任意常数C .本节要点：1．线性非齐次方程的解法本质是常数变易法，这种方法首先由拉格朗日提出，在常微分方程的解法上占有重要地位．2．伯努利方程实质上是一个可以通过变量替换化为线性方程的非线性方程．习 题 1.41．解下列方程：（1）x xy y 42=+' （2）23=+'ρρ （3）422x y y x =-' （4）x x y y sec tan =+' （5）yx dx dy+=1 （6）x e x y x y x -=++'23)1( （7）t i dt di 2sin 106=- （8）2)2(221-=--'x y x y ； （9）x e y y x =-')( 2．解下列伯努利方程（1）024=++'xy xy y （2）()x x y y dxdysin cos 2-=+ （3）2)(ln y x a x ydx dy -+ （4）5xy y dxdy =- （5）4)21(313y x y y -=+' （6）0)}ln 1({3=++-dx x xy y xdy . 3.设函数)(),(x f x p 在),0[+∞上连续，且0)(lim >=+∞→a x p x ，b a b x f ,()(≤为常数).求证：方程)()(x f y x p dxdy=+的一切解在),0[+∞上有界. 4.设)(x f 在),0[+∞上连续，且b x f x =+∞→)(lim ，又0>a .求证：方程)(x f ay dxdy=+ 的一切解)(x y ，均有ab x y x =+∞→)(lim . 5.设)(x y 在),0[+∞上连续可微，且有0)]()([lim =+'+∞→x y x y x试证：0)(lim =+∞→x y x .1.5 全微分方程及积分因子一、全微分方程 如果微分形式的一阶方程()()0,,=+dy y x N dx y x M (1.32)的左端恰好是一个二元函数()y x U ,的全微分， 即()()()dy y x N dx y x M y x dU ,,,+=， (1.33)则称方程(1.32)是全微分方程或恰当方程，而函数()y x U ,称为微分式的原函数.例如 方程0=+ydy xdx (1.34)就是一个全微分方程.因为它的左端恰是二元函数222y x +的全微分.全微分方程如何求解呢? 先看一下方程(1.34),由于它的左端是二元函数222y x +的全微分，从而方程可写成 0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x d 若()x y y =是(1.34)的解，应有恒等式()0222≡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x y x d . 从而()C x y x ≡+22. （1.35）由此解出2x C y -±= ()为任意常数C .这说明，全微分方程(1.34)的任一解包含在表达式(1.35)中. 一般地，有如下定理定理1.1 假如()y x U ,是微分(1.33)的一个原函数，则全微分方程(1.32)的通积分为()C y x U =, (1.36)其中C 为任意常数.证明 先证 (1.32)的任一解()x y y =均满足方程(1.36). 因为()x y y =为方程(1.32)的解，故有恒等式()()()()()()0,,≡+x dy x y x N dx x y x M .因为()y x U ,为(1.33)的原函数，所以有()()0,≡x y x dU .从而()()C x y x U =,()为一常数C .于是，()x y y =满足(1.36).再证明(1.36)所确定的任意隐函数()x y y =均为方程(1.32)的解. 因为()x y y =是由(1.36)所确定的隐函数， 所以存在常数C ，使()()C x y x U ≡,.将上式微分并应用()y x U ,是(1.33)的原函数的性质，即有()()()()()()()0,,,≡+≡x dy x y x N dx x y x M x y x dU .从而()x y y =是方程(1.32)的解，定理证毕.根据上述定理，为了求解全微分方程(1.32)，只须求出它的一个原函数()y x U ,，就可以得到它的通积分()C y x U =,.下面介绍两种求原函数的方法. 1.求原函数的直接观察法在某些简单情形下，可以观察方程(1.32)的左端全微分形式直接求出它的一个原函数，从而得到它的通积分. 这要求熟记一些常见的二元函数的全微分公式.例如()xdy ydx xy d += 2x ydxxdy x y d -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2y xdy ydx y x d -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ xy xdy ydx y x d -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ln22arctan y x xdy ydx y x d +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()()22222l n y x y d y x d x y x d +-=+ 例1 求解方程()()022=+--++y x dy y x dx y x xdx .解 直接观察方程的左端，有 左端=2222yx xdyydx y x ydy xdx xdx +-++++()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x d y x d x d arctan ln 2121222 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=y x y x x d arctan ln 2121222. 所以，方程左端是一个全微分，原函数为()()yx y x x y x U arctan ln 2121,222+++=. 于是原方程的通解为()1222arctan ln 2121C yxy x x =+++ 即()C yxy x x =+++arctan 2ln 222()为任意常数C .2．求原函数的一般方法.定理1.2 如果方程(1.32)中的()()y x N y x M ,,,，在矩形区域b y y a x x R ≤-≤-00,:上连续可微，则方程(1.32)是全微分方程的充要条件是：在R 上有xNy M ∂∂≡∂∂ (1.37) 证明 （必要性）设(1.32)是全微分方程，则存在原函数()y x U ,，使得()()()dy y x N dx y x M y x dU ,,,+=dy yU dx x U ∂∂+∂∂=所以。
微积分-常微分方程解题方法
北京理工大学微积分-常微分方程解法常微分方程各种解题方法程功2011/2/161.几个基本定义（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数分类2:微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程(,,)0,F x y y '=(,);y f x y '=高阶()n 微分方程()(,,,,)0,n F x y y y '= ()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=分类3: 线性与非线性微分方程.()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+=分类4: 单个微分方程与微分方程组.32,2,dyy z dxdz y z dx⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,y y '=例;x y Ce =通解0,y y ''+=12sin cos ;y C x C x =+通解② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （3）解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.（4）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.一阶:00(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩过定点的积分曲线;二阶:0000(,,),x x x x y f x y y y y y y =='''=⎧⎪⎨''==⎪⎩过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.2.可分离变量的微分方程可分离变量微分方程的形式()()g y dy f x dx =44225522,dy x y y dy x dx dx-=⇒=例如解法：设函数()g y 和()f x 是连续的,()()g y dy f x dx =⎰⎰设函数()G y 和()F x 是依次为()g y 和()f x 的原函数,()()G y F x C =+为微分方程的解.3.齐次方程形如()dy yf dx x=的微分方程称为齐次方程. 解法：作变量代换,y u x =,y xu =即,dy duu x dx dx∴=+ 代入原式(),du u x f u dx += 即().du f u u dx x-=（可分离变量的方程） （1）()0,f u u -≠当时1ln ,()duC x f u u=-⎰得),u x Ce ϕ=即()()du u f u uϕ=-⎰（）,yu x =将代入(),yx x Ce ϕ=得通解 （2）0,u ∃当00()0,f u u -=使0,u u =则是新方程的解,代回原方程0.y u x =得齐次方程的解 4．可化为齐次的方程 定义111()dy ax by cf dx a x b y c ++=++形如的微分方程 10,c c ==当时为齐次方程.否则为非齐次方程. 解法：,x X h y Y k =+=+令，（其中h 和k 是待定的常数）,dx dX dy dY ==11111()dY aX bY ah bk c f dX a X b Y a h b k c ++++=++++1110,0,ah bk c a h b k c ++=⎧⎨++=⎩ （1）1122a b a b ≠有唯一一组解.11()dY aX bYf dX a X b Y +=+得通解代回,X x h Y y k =-⎧⎨=-⎩， （2）11,a b a b λ==1(),()dy ax by c f dx ax by c λ++=++方程可化为,z ax by =+令 dz dy a b dx dx =+则，11()().dz z c a f b dx z c λ+-=+可分离变量. 5.其它类型：通过变量代换化为可分离变量方程(1)()()()f x y dx dy g x dx ±±=,u x y =±令,du dx dy =±方程化为()()f u du g x dx = (2)()()()f xy xdy ydx g x dx +=,u xy =令,du xdy ydx =+代入方程得()()f u du g x dx =(3)()()()y f xdy ydx g x dx x -=,y u x =令则2,xdy ydx du x -=代入方程得2()()g x f u du dx x=22(4)()()()f x y xdx ydy g x dx ++=22,u x y =+令 则22,du xdx ydy =+代入方程得()2()f u du g x dx =6.线性方程一阶线性微分方程的标准形式:()()dyP x y Q x dx+= ()0,Q x ≡当上方程称为齐次的.()Q x ≡当0,上方程称为非齐次的. 例如2,dy y x dx =+2sin ,dx x t t dt=+线性的; 23,yy xy '-=cos 1,y y '-=非线性的。
《常微分方程》第二章 一阶微分方程的初等积分法
分离变量方程（2.1）的解为
G( y) F(x) C y yi , i 1,2, , k
例1 求解方程 dy x
dx y
解
(y) 1 0
y
1 分离变量 ydy xdx
2 两边积分 3 求通解
ydy xdx
y2
x2 c
2Leabharlann 22x 2 y 2 c 或者 y c x2
注意/Note/：通解的形式及其中任意常数的意义。
•课堂练习/Exercise/
1 dy p(x) y dx
dy
1
3
dx (x y)2
2 dy e xy dx
dy 2x3 3xy2 x 4
dx 3x2 y 2y3 y
•思考以下方程的求解方法 1 dy f (ax by c) dx
也是方程(2.18)的解。
因此原方程(2.17)的通解为:
y 2 2xy x2 6 y 2x c 其中 c 为任意常数。
本节小结/Conclusion/
变量分离方程 ••
特点 解法
变量分离方程 与变量变换
• 举例
可化为变量分离的类型可齐化次为方齐程次方程的类型
记 ec~ c1 并代回原变量，得: X 2 (u2 2u 1) c1
并代回原变量，得:
Y 2 2 XY X 2 c1
( y 2)2 2(x 1)( y 2) (x 1)2 c1
此外，容易验证: u 2 2u 1 0
即
Y 2 2XY X 2 0
dX
1 u
X du 1 u u 1 u u(1 u)
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。
接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。
一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。
齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。
一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。
2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。
当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。
常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。
二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。
对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。
2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。
原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。
常微分方程解法大全
常微分方程解法大全在数学中，常微分方程是研究微积分的一个重要分支，常微分方程解法是数学中常见的问题之一。
通过对常微分方程解法的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的微分方程。
在本文中，我们将探讨一些常见的常微分方程解法方法，帮助读者更好地理解和掌握这一领域。
常微分方程的定义在开始讨论常微分方程的解法之前，我们首先来了解一下常微分方程的定义。
常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程，其中未知函数是一个变量，其导数是这个变量的函数。
通常常微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y′,y″,...,y(n))=0其中，y是未知函数，y′是y的一阶导数，y″是y的二阶导数，n是常微分方程的阶数。
常微分方程的解法方法常微分方程的解法方法包括但不限于以下几种常见方法：1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法之一。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(x)g(y)时，就可以使用分离变量法。
2. 含参微分法含参微分法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，就可以使用含参微分法。
3. 齐次方程法齐次方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(y/x)时，就可以使用齐次方程法。
4. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，可以使用一阶线性微分方程法。
5. 求解高阶微分方程除了以上几种方法外，还有很多其他方法可以用来求解高阶常微分方程，例如特征方程法、常数变易法等。
结语通过本文的介绍，相信读者对常微分方程的解法有了更深入的了解。
常微分方程解法作为数学中一个重要的研究领域，有着广泛的应用。
希望读者通过学习本文，可以更好地掌握常微分方程的解法方法，提升自己在数学领域的能力。
如果读者对常微分方程解法还有其他疑问或想要了解更多相关知识，可以继续深入学习或咨询数学相关的专业人士。
常微分方程ppt (8)
用maple 7求解系统的微分方程得
Maple语句为
k1:=1;k2:=1;k3:=1; m1:=1; m2:=1; m3:=1; x10:=2;x20:=3;s10:=0;s20:=0; deq1:=m1*diff(x1(t),t$2)-k2*(x2(t)-x1(t))=k1*x1(t); deq2:=m2*diff(x2(t),t$2)=-k2*(x2(t)-x1(t))k3*x2(t); init:=x1(0)=x10,D(x1)(0)=s10,x2(0)=x20,D(x2)(0) =s20: sol:=dsolve({deq1,deq2,init},{x1(t),x2(t)});
(4.1.10)
质点的空间运动
已知在空间运动的质点 及点的坐标 的关系为 的速度与时间 t
且质点在时刻 运动轨迹.
经过点
求该质点的
Hale Waihona Puke 个问题其实就是求微分方程组满足初始条件 的解
事实上, 在第3 章中的高阶微分方程
令
则上式可以化为方程组
例 池水含盐量问题
某水池中有2000 3 m的水，其中含盐2kg。 m 以每分钟6 的速度向水池内注入含盐率 m 为0.5kg/ 的盐水，同时又以每分钟4 3 m 的速度从水池中流出搅拌均匀的盐水。使 用计算机仿真该水池里盐水的变化过程， 并每隔10分钟计算水池中水的体积、含盐 量、含盐率，欲使池中盐水的含盐率到达 m 0.2kg/ ,需经过多少时间？
用maple 7所得到的解是:
5 1 1 5 1 1 xk1 := t cos t 6 2 t 3 cos 2 t t 6 3 10 6 2 2 6 2 2
t5 cos 1 2 t1 t 6 5 cos 1 t 6 1 2 t 5 cos( 2 t ) 20 xk2 := 2 6 2 3 6 2 2
常微分方程的解法
常微分方程的解法常微分方程（Ordinary Differential Equation）是描述自然现象和工程问题的基础数学模型，被广泛应用到各个领域中。
解常微分方程的方法不仅是数学学科的基本内容，也是物理、工程、经济等工科领域必须熟练掌握的数学工具之一。
本文将简单介绍常微分方程的基本概念和解法。
一、基本概念常微分方程是指仅涉及一个自变量和它的几个导数的方程。
通常形式为：$$F(x,y,y^\prime,y^{\prime\prime},...,y^{(n)})=0$$若仅涉及一阶导数，则称为一阶常微分方程，通常写作$y^\prime=f(x,y)$。
一般地，我们都要求解的是一阶常微分方程，因此本文仅介绍一阶常微分方程的解法。
二、解法1. 可分离变量法若已知的微分方程为$y^\prime=f(x,y)$，并且可以分离变量，即$f(x,y)=g(x)h(y)$，则可通过以下步骤求解：（1）将方程移项得到$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$；（2）分母h(y)移项得到$\frac{1}{h(y)}dy=g(x)dx$；（3）两边同时积分得到$\int\frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx+C$，其中C为常数。
2. 齐次方程法若已知的微分方程为$y^\prime=f(x,y)$，并且满足$f(x,y)=f(\frac{y}{x})$，则称该微分方程为齐次方程。
则可通过以下步骤求解：（1）令$y=ux$，则有$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$；（2）将$y^\prime=f(x,y)$代入$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$中得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(x,ux)$$（3）该方程可变形为$$\frac{du}{f(x,ux)-u}=\frac{1}{x}dx$$（4）对两边积分得到$$\int\frac{du}{f(x,ux)-u}=\ln|x|+C$$，其中C为常数。
高数常微分方程-微分方程及初等积分法
9
例 3 验证:函数 x C 1 cos kt C 2 sin kt 是微分
d x 2 方程 2 k x 0 的解. 并求满足初始条件 dt dx x t 0 A, 0 的特解. dt t 0 dx 解 kC 1 sin kt kC 2 cos kt , dt 2 d x k 2 C 1 cos kt k 2 C 2 sin kt , dt 2 2 d x 将 2 和 x 的表达式代入原方程 , dt
第一节 微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 1 一 曲 线 通 过 点 (1,2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为2 x ,求这曲线的方程.
解
设所求曲线为 y y ( x )
dy 2x dx
y 2 xdx
其中 x 1时 , y 2
10
2
k 2 ( C 1 cos kt C 2 sin kt ) k 2 ( C 1 cos kt C 2 sin kt ) 0 .
故 x C 1 cos kt C 2 sin kt 是原方程的解 .
x t 0
dx A, 0, dt t 0
C 1 A, C 2 0.
可分离变量的方程
29
当 f ( u ) u 0时 , 得
即 x Ce
(u)
du ln C 1 x , f (u) u
,
（ (u)
du ） f (u) u
y ( ) x
y 将 u 代入 , x
得通解 x Ce
,
当 u0 , 使 f ( u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解 ,
常微分方程初等积分法解法研究常微分方程及积分因子
常微分方程初等积分法解法研究常微分方程及积分因子初等积分法解常微分方程的关键在于求解不定积分。
不定积分是解微分方程的主要手段，通过找到合适的积分因子，可以将一个一阶微分方程转化为一个可积的方程。
在本文中，将对常微分方程及积分因子进行研究。
dy/dx = f(x, y)其中，f(x,y)是已知函数。
解这个方程的方法之一就是通过积分来找到y。
我们需要将这个方程转化成一个可积的形式。
考虑一个形式为 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶常微分方程。
要将这个方程转化为可积的形式，需要找到一个因子M(x)，使得通过乘以M(x)可以使得原方程的左侧变为一个可积的形式。
这个因子M(x)被称为积分因子。
要找到积分因子，通常通过求解方程 M(x) = 1/M dM/dx = P(x) 来确定。
最常见的积分因子是指数函数，即M(x) = e^(∫P(x)dx)。
通过乘以这个积分因子，原方程可以变为积分形式：d/dx (M(x)y) = M(x)Q(x)通过对上式两边进行不定积分，可以求解出y。
举个例子来说明。
考虑一阶常微分方程 dy/dx + xy = x^2、我们需要找到一个积分因子。
通过解方程 M(x) = 1/M dM/dx = x，可以得到M(x) = e^(1/2 x^2)。
d/dx (e^(1/2 x^2) y) = x e^(1/2 x^2)对上式两边不定积分，得到：e^(1/2 x^2) y = ∫x e^(1/2 x^2) dx通过不定积分求解上式，可以得到y。
通过求解积分因子，我们可以将一阶常微分方程转化为可积的形式。
这种方法适用于一阶线性常微分方程。
对于高阶常微分方程，可以通过转化为一组一阶微分方程来求解。
总结起来，常微分方程及积分因子的研究是通过寻找积分因子来将一阶常微分方程转化为可积的形式。
通过解不定积分，可以求解出未知函数。
初等积分法解常微分方程是一种常用的方法，对于一阶线性常微分方程特别适用。
常微分方程的常见解法
Euler折线法
近似导数
y(x0)
y(x1) h
y( x0 )
记为
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
解:设t时刻雪球的体积为
，表面积为 ，
由题得
球体与表面积的关系为
引入新常数
再利用题中的条件得
分离变量积分得方程得通解为
再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取值在 之间。
方程为全微分方程的充要条件
定理2.1 设函数
和
在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则
是全微分方程的充要条件为:
（2.3.3)
nan (x x0 )n1
f
x,
an
(
x
x0
)n
n1
n0
展开后比较两端同次幂的系数确定
an ,
y
y0
N n1
cn1 (x n
x0 )n
例：用待定系数法求
dy x2 y2 ,
的近似解。
dx
y(0) 1
解： 令 y a n (x x0 )n, 由 y (0) 1 得 a0 1 n0
([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 定义微分方程
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
微分方程组的消元法和首次积分法
0, 故原方程组的通解为
2 3t 1 11 t x1 2c1e 3 c2 e 3 t 36 t 5 t 3t x2 c1e c2 e 8 12
注
对例3，也可以用下面的方法求解
c1t
y c1c2e 由（5.6）还可得 p 0, 从而有 x c, 由 第一方程得 y 0, 该组解包含在上面所得的
通解中,故原方程组的通解为
x c2 e c1t , c1t y c1c2 e .
二 微分算子与线性微分方程组 这里介绍微分算子D及其用消元法解线性 微分方程组的应用. 设 x(t ) 是定义在某区间I上的具有n阶连续 导数的函数，微分算子D被定义为
微分方程组的消元法和首次积分法
这一节,我们介绍微分方程组的两种求解方法: 消元法和首次积分法,这两种方法对求解一些简单的 微分方程组是很有效的方法,但在学习这两种方法时 必需注意它们的局限性.
一、 微分方程组的消元法
将一阶微分方程组：
dy1 f ( x , y , y , , y ) 1 1 2 n dx dy 2 f 2 ( x, y1 , y2 , , yn ) dx dyn f n ( x, y1 , y2 , , yn ) dx 中的未知函数 y1 , y2 ,, yn 只保留一个，消去
L4 L1 x1 L4 L2 x2 L4 g1 (t )
L2 L3 x1 L2 L4 x2 L2 g 2 (t )
( L1L4 L2 L3 ) x1 L4 g1 (t ) L2 g 2 (t )
d x1 dx1 8 2 16 24 x1 2 8t dt dt 11 t t 3t x1 k1e k 2e 36 3
常微分方程的常见解法
求解思想: 引入一个新变量化为变量可分离方程 求解。
可化为齐次方程的方程
形如 其中 1. 当 2. 当
(1)
的方程可化为齐次方程. 都是常数. 时, 此方程就是齐次方程. 时, 并且
此时二元方程组
有惟一解 引入新变量 此时, 方程可化为齐次方程:
(2) 若
则存在实数 使得:
或者有
不妨是前者, 则方程可变为
点的向量相重合。 L在每点均与向量场的向量相切。
例1.3.1 在区域
内画出方程
的向量场和几条积分曲线。
解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上 画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘 图误差较大。我们可以用Maple 软件包来完成。
Maple指令：
DEtools[phaseportrait]
# 画向量场及积分曲线
dy dx
p(x)
y
0
y(x0 ) y0
的解为
x
y
y0 exp(
p(x)dx)
x0
dy
p( x) y
g(x)
初值问题 dx
y(x0 ) y0
的解为
x
x
s
y y0 exp(
p( )d )
x0
g (s) exp
x0
p( )d ds
x0
Bernoulli方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
令
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。
常微分方程(第三版)课件第一章
§1.1 Sketch of ODE n阶隐式方程 n阶显式方程 方程组
偏微分方程 偏微分方程 不是微分方程
9. f 2 ( x) sin x
§1.1 Sketch of ODE
微分方程模型举例/Modeling of ODE/
CH.1 Introduction
本章要求/Requirements/
能快速判断微分方程的类型；
掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；
理解微分方程解的意义。
§1.1 Sketch of ODE
§ 1.1 微分方程概述/ Sketch of ODE/
微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有 力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。
§ 1.2 基本概念/Basic Conception/
1. 常微分方程和偏微分方程 2. 一阶与高阶微分方程 3. 线性和非线性微分方程 4. 解和隐式解 5. 通解和特解 6. 积分曲线和积分曲线族 7. 微分方程的几何解释-----方向场
§1.2 Basic Conception
常微分方程与偏微分方程/ODE and PDE/
电子课件
常微分方程
Ordinary differential equation
王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编
常微分方程
Ordinary differential equation
• • • • • • • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 绪 论 一阶微分方程的初等解法 一阶微分方程的解的存在定理 高阶微分方程 线性微分方程组 定性理论初步1 2 一阶线性偏微分方程
常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几个常