常微分方程组 首次积分法 消元法

用算子表示的方程（4.2.9）是一个仅依赖于变
量 x2 的一个高阶微分方程，可以求出 x2 再利用 （4.2.7）的任何一方程可把 x1 求解出来.
例 3 求解方程组
⎧2 ⎩⎨2
x1 − 2x2 − 3x1 = t x1+2x2 + 3x1 + 8x2
=
2
解 设 L1 = 2D − 3, L2 = −2D, L3 = 2D + 3, L4 = 2D + 8
代入原方程组中的第一式，使得
dy1 dx
=
3 y1
− 2(c1
+ c2 x)ex
这是一个一阶线性非齐次方程，它的通解为
y1
=
1 2
(2c1
+
c2
+
2c2 x)ex
+
c3e3x
（4.2.4）
在（4.2.4）中出现了三个任意常数 c1, c2 , c3
这与前面求得不一致，事实上，当把（4.2.4）
及 y2 = (c1 + c2 x)ex代入原方程组就发现，当 且仅当 c3 = 0 时，（4.2.4）才可成为方程组的 解，故（4.2.4）不是原方程组的通解，其中 c3
(L1L4 − L2L3 )x1 = L4 g1(t) − L2 g2 (t)
8
d 2 x1 dt 2
+ 16
dx1 dt
−
24 x1
=
2
+
8t
x1
=
k1et
+
k2e−3t
−
11 36
−
t 3
代入第一个方程得
dx2 dt
=
dx1 dt
−
3 2
x1 −
t 2
=
− k1 et 2
− 9k2 2
e−3t
（4.2.3）
将上式代入（4.2.1）得
y1
=
1 2
(2c1
+
c2
+
2c2 x)ex
故原方程组的通解为
⎪⎧ ⎨
y1
=
1 2
(2c1
+
c2
+
2c2 x)ex
⎪⎩ y2 = (c1 + c2 x)ex
其中c1, c2 是任意常数.
注 上面把（4.2.3）代入（4.2.1）经过求导，
而没有经过求积分就求出了 y1 ，若把（4.2.3）
⎩ dt
解 把方程组中的第一个方程乘以 x,第二个方
程乘以 y, 然后两式相加得
x dx + y dy = −(x2 + y2 )(x2 + y2 −1) dt dt
即有
d (x2 + y2 ) = −2(x2 + y2 )(x2 + y2 −1)dt
把 x2 + y 2看作未知函数，积分得
x2 + y2 −1 e2t x2 + y2
一个首次积分，有时也 称函数 ϕ(t, x1, x2, , xn)
是方程组（4.2.16）的首次积分。
设微分方程组（4.2.16）有 n 个首次积分
ϕ1(t, x1, x2 , , xn ) = c1, ,ϕn (t, x1, x2 , , xn ) = cn
如果在某区域内它们的Jacobi行列式
D(ϕ1, ,ϕn ) ≠ 0
+1 8
积分得
x2
=
−
k1 2
et
+
3k2 2
e−3t
+
t 8
+
k3
再代入第二个方程得
x2
=
−
k1 2
et
+
3k2 2
e−3t
+
t 8
+
5 12
三 微分方程组的首次积分法
首次积分法是将方程组
xi' = fi (t, x1, x2 , , xn ) (i = 1,2, , n)
经适当组合化为一个可积分的微分方程，这个
g1(t) = t, g2 (t) = 2
则
L1g2 (t) = −6, L3g1(t) = 2 + 3t
( L1 L4
−
L3L2 )x2
=
8 d 2 x2 dt 2
+ 16
dx2 dt
− 24x2
= −8 − 3t
由上面的方程得
d 2 x2 dt 2
+
2
dx2 dt
− 3x2
=
−1 −
3t 8
该二阶线性常系数非齐次微分方程通解为
D(x1, , xn )
则称它们在区域G内为互相独立.
定理 1 设函数 ϕ(t, x1, x2 , , xn ) 在区域 D 内
连续可微，且它不是常数，则 ϕ (t, x1, x2, xn) =c
是方程组（4.2.16）的首次积分的充要条件为
∂ϕ
∂t
+ ∂ϕ
∂x1
f1 +
+ ∂ϕ
∂xn
fn
=0
本定理给出了检验一个函数 ϕ 是否为方程组的
积分（4.2.14）和（4.2.15）得
r=
1 1 − c1e−2t
,θ
= c2
−t
因此，原微分方程的通解为
⎪⎪⎧x ⎨ ⎪y
= =
cos(c2 − t)
1 − c1e−2t sin(c2 − t)
⎪⎩
1− c2e−2t
从上面两个例子可看出,利用首次积分可求出
微分方程的的通解或通过首次积分以减少微分方程
+
y2 )
（4.2.1）
对上式两边关于 x 求导，得
dy1 dx
=
1 2
(
d 2 y2 dx 2
+
dy 2 dx
)
（4.2.2）
将（4.2.1）和（4.2.2）代入原方程组的第一 个方程得
d 2 y2 dx 2
−
2
dy2 dx
+
y2
=
0
这是一个二阶常系数线性齐次方程，通解为
y2 = (c1 + c2 x)ex
=
0
（4.2.5）
此方程是不显含自变量t的可降阶的方程，设
dx dt
=
p,
d2x dt 2
=
dp dt
=
dp dx
dx dt
=
p
dp dx
代入方程（4.2.5）得
p dp − 1 p2 = 0 dx x
即有
p( dp − p ) = 0 dx x
（4.2.6）
由
dp dx
−
p x
=
0 ，分离变量并积分得
首次积分的方法.利用首次积分法可消去某些未
知函数,从而减少微分方程组中方程的个数.
定理 2 若已知方程组（4.2.16）的一个首次积 分，则可把方程组求解问题转化为含n-1个方程 的方程组的求解问题. 定理 3 若方程组（4.2.16）有n个互相独立的首
将一阶微分方程组：
⎧ dy1
⎪ ⎪
dx
=
f1(x, y1,
y2,…, yn )
⎪⎪ dy2 ⎨ dx
=
f2 (x, y1, y2 ,…, yn )
⎪
⎪
⎪ dyn ⎪⎩ dx
=
fn (x, y1, y2 ,…, yn )
中的未知函数 y1, y2 ,…, yn 只保留一个，消去
其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程，
是一个多余的任意常数.因此为避免出现增解，
在求出一个未知函数后，不要再用求积分的方
法来求其他的未知函数. 例2 求解方程组
⎧ dx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ dddytt
= =
y, y2 x
.
解 将第一个方程求导得
d 2 x = dy dt 2 dt
代入第二个方程得
d2x dt 2
−
1 x
( dx )2 dt
= x(n) +a1x(n−1) + + an−1x' + an x.
由算子多项式L的定义可以看出L是线性算子.
例如设 L1 = D2 +1, L2 = 3D + 2, x = t3, 则 L1x = (D2 +1)t3 = 6t + t3, L2 x = 9t 2 + 2t3,
L1L2 x = L1(L2 x) = (D2 +1)(9t 2 + 2t3 ) = 18 +12t + 9t 2 + 2t3
L2L1x = L2 (L1x) = (3D + 2)(6t + t3 ) = 18 +12t + 9t 2 + 2t3
下面用微分算子的方法求解常系数线性微 分方程组.
设 L1, L2 , L3, L4 是四个线性微分算子多项
式，且给定如下的线性微分方程组：
⎩⎨⎧LL13xx11
+ +
L2 x2 L4 x2
方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数
组合形式,积分此方程可以得到未知函数的组合 形式的方程，该方程为一个原方程组的首次积分.
例 4 求解方程组
⎧ dx
⎪⎪ ⎨ ⎪
dt dy
⎪⎩ dt
= =
y x
解 将两个方程相加得
d(x + y) = x + y dt
以 x + y 作为一个未知函数，并对上式积分得
= =
g1 (t ) g2 (t)
（4.2.7）
用算子 L3 作用第一个方程的两边，用算子 L1
作用第二个方程的两边，得
⎩⎨⎧LL13LL31
x1 x1
+ +
L3L2 x2 L1L4 x2
= =
L3 g1 (t ) L1g2 (t)
（4.2.8）
由上面的第二个方程减去第一个方程得
(L1L4 − L3L2 )x2 = L1g2 wenku.baidu.comt) − L3g1(t) （4.2.9）
先求出这个未知函数，然后由其他方程再求出
其他未知函数.这种方法常用于对由二个或三个 方程构成的常系数微分方程组的求解.
例1 求解方程组
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
dy1
dx dy2
dx
= 3y1 − 2y2 = 2y1 − y2
解 保留 y2 ，消去 y1.由方程组的第二个方程
解出 y1，得
y1
=
1 2
( dy 2 dx
x + y = c1et
（4.2.12）
方程（4.2.12）就是原方程组的一个首次积分，
再将两个方程相减得
d(x − y) = −(x − y) dt
以 x − y 作为一个未知函数，对上式积分得
x − y = c2e−t
（4.2.13）
方程（4.2.13）是原微分方程组的另一个首次
积分，由（4.2.12）和（4.2.13）可解出未知
=
c1
由上式可得
x2
+
y2
=
e2t e2t − c1
（4.2.14）
再利用原方程可得
x dy − y dx = −(x2 + y2 ) dt dt
即有
d (arctan y ) = −1
dt
x
由此得另一个首次积分
arctan
y x
+
t
=
c2
（4.2.15）
采用极坐标 x = r cosθ , y = r sinθ , 代入首次
函数
⎧⎪⎪x ⎨
=
1 2
(c1et
+
c2e−t
)
⎪⎪⎩y
=
1 2
(c1et
−
c2e−t
)
这里c1, c2 是任意常数，因此原方程组通解为
⎧⎪ x ⎨ ⎪⎩ y
= =
c1et c1et
+ −
c2e−t c2e−t
例 5 求解方程组
⎧ dx
⎪ ⎨ ⎪
dt dy
= =
y − x(x2 + y2 −1) −x − y(x2 + y2 −1)
p
=
c1x
从而有
对上式积分得
dx dt
=
c1x
ln x = c1t + c 或 x = c2ec1t
再由第一个方程得 y = c1c2ec1t
由（4.2.6）还可得 p = 0, 从而有 x = c, 由
第一方程得 y = 0, 该组解包含在上面所得的
通解中,故原方程组的通解为
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
设 ϕ (t , x1 , x2 , , xn ) 在区域 D 内连续可
微，且不是常数，把（4.2.16）的任一解
xi = xi(t) (i =1,2, ,n)代入 ϕ使 ϕ(t, x1, x2, , xn) 成为
与t无关的常数，此常数与所取解有关,则称
ϕ (t, x1, x2 , xn ) = c为方程组（4.2.16）的
组中未知函数以及方程的个数,为此,我们下面介绍
首次积分的定义,并叙述有关的结论.
考虑一般的 n 阶微分方程组 xi' = fi (t, x1, , xn ) i = 1,2, , n （4.2.16）
其中右端函数 fi (t, x1, , xn ) 在某个区域 D ⊂ Rn+1 内对 t, x1, x2 , , xn 是连续的，且 对x1, x2 , , xn 是连续可微的.
x2
=
c1et
+
c2e−3t
+
t 8
+
5 12
（4.2.10）
将（4.2.10）代入原方程组的第一个方程中得
2
dx1 dt
−
3x1
=
t
+
1 4
+
2c1et
−
6c2e−3t
该一阶线性非齐次微分方程通解为
x1
=
−
t 3
−
11 36
−
2 c1e t
+
2 3
c2e −3t
+
c3e3t 2
（4.2.11）
将（4.2.10）和（4.2.11）代入原系统的第二个
c2ec1t , c1c2ec1t
.
二 微分算子与线性微分方程组
这里介绍微分算子D及其用消元法解线性 微分方程组的应用.
设 x(t) 是定义在某区间I上的具有n阶连续
导数的函数，微分算子D被定义为
Dx
=
dx dt
,
Dk
x
=
dkx dt k
,1 ≤
k
≤
n.
这里相应地定义算子多项式：
L = Dn + a1Dn−1 + + an−1D + an , Lx = (Dn + a1Dn−1 + + an−1D + an )x
方程中得 c3 = 0, 故原方程组的通解为
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
x1 x2
= =
−2c1et c1et +
+
2 3
c2e
c2e−3t +
−3t
t 8
−1t 3
+5 12
−
11 36
注 对例3，也可以用下面的方法求解
L4L1x1 + L4L2 x2 = L4 g1(t)
L2L3x1 + L2L4 x2 = L2 g2 (t)
§4.2 微分方程组的消元法 和首次积分法
这一节,我们介绍微分方程组的两种求解方法: 消元法和首次积分法,这两种方法对求解一些简单的 微分方程组是很有效的方法,但在学习这两种方法时 必需注意它们的局限性.
消元法是借鉴代数方程组的方法,首次积分法只 能适应于首次积分能求出的方程组.
一、微分方程组的消元法