常微分方程的消元法和首次积分法

1 y1 ( 2c1 c2 2c2 x )e x 2 y 1 ( 2c c 2c x ) e x 2 故原方程组的通解为 1 2 1 2 x y2 ( c1 c2 x )e 其中 c1 , c2 是任意常数.
dy1 3 y 2 y 1 2 dx dy 2 2 y1 y2 dx 1 dy2 y1 ( y2 ) 2 dx
g1 ( t ) t , g2 ( t ) 2,
( L1 L4 L3 L2 ) x2 L1 g2 ( t ) L3 g1 ( t )
d 2 x2 dx2 3 2 3 x 2 1 t 2 dt 8 dt
二阶线性常系数非齐次微分方程通解为 t 5 t 3t x2 c1e c2e 8 12
把 x 2 y 2 看作未知函数,积分得
2t x 2 y 2 1 2t e 2 2 e c x y 2t 1 2 2 x y e c1
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再利用原方程可得 dy dx x y ( x 2 y 2 ) dt dt d y (arctan ) 1 dt x y arctan t c2 另一个首次积分 x 采用极坐标 x r cos , y r sin , x cos( c2 t ) 2t 1 c1e 原微分方程的通解为 sin( c2 t ) y 2t 1 c e 2
c1 t y c c e . 再由第一个方程得 1 2
6
二 微分算子与线性微分方程组 这里介绍微分算子D 及其用消元法解线性 微分方程组的应用. 设 x ( t ) 是定义在某区间I上的具有n 阶连续 导数的函数，微分算子D 被定义为
dx k dk x Dx , D x k ,1 k n. dt dt
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1 2 x 2 3 x1 t 2 x x2 c1e c2e 1 2 x 2 3 x1 8 x2ຫໍສະໝຸດ Baidu 2 2 x 代入原方程组的第一个方程中得
t 3t
t 5 8 12
dx1 1 2 3 x1 t 2c1e t 6c2e 3 t dt 4 一阶线性非齐次微分方程通解为 t 11 2 t x1 2c1e c2e 3 t c3e 3 t 3 36 3
4
dy1 3 y 2 y x y2 ( c1 c2 x )e 1 2 dx dy dy1 2 3 y1 2( c1 c2 x )e x 2 y1 y2 dx dx 一阶线性非齐次方程的通解为 1 y1 ( 2c1 c2 2c2 x )e x c3e 3 x 2 出现了三个任意常数 c1 , c2 , c3 ? c3 0 是一个多余的任意常数.
中的未知函数 y1 , y2 , , yn 只保留一个， 消去其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程， 先求出这个未知函数，然后再由其他方程求出 其他未知函数.这种方法常用于二个或三个 方程构成的常系数微分方程组的求解.
2
dy1 3 y 2 y 1 2 dx 例1 求解方程组 dy2 2 y1 y2 dx 解 保留 y2 ,消去 y1 .由第二个方程 解出 y1，得
因此为避免出现增解，在求出一个未知函数后， 不要再用求积分的方 法来求其他的未知函数.
5
dx dy y 2 例2 求解方程组 y, dt dt x 2 d x dy 解 将第一个方程求导得 2 dt dt d 2 x 1 dx 2 不显含自变量 t ( ) 0 代入第二个方程得 dt 2 x dt dx d2 x dp dp p 设 p, 2 p p ( ) 0, dt dx dx x dt dx p c1 x ln x c1t c , x c2e c1t , dt
4.2、微分方程组的消元法和首次积分法
我们介绍微分方程组的两种求解方法: 消元法和首次积分法,这两种方法对求解一些简单的 微分方程组是很有效的方法,但在学习这两种方法时 必需注意它们的局限性.
1
一、微分方程组的消元法
dy1 f ( x , y , y , , y ) 1 1 2 n dx 将一阶微分方程组： dyn f ( x , y , y , , y ) n 1 2 n d x
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dx dy y, x 例 4 求解方程组 dt dt d ( x y) 解 将两个方程相加得 x y dt 以 x y 作为一个未知函数，对上式积分得
d ( x y) ( x y ) 再将两个方程相减得 dt x y c2 et 原方程组的另一个首次积分.
其中 fi ( t , x1 , , xn ) 对 x1 , x2 , , xn 是连续可微的. 设 ( t , x1 , x2 , , xn ) 连续可微，且不是常数， 把方程组任一解 xi xi ( t ) 代入 使 ( t , x1 , x2 , , xn ) 成为与t 无关的常数, 此常数与所取解有关,
L1 x ( D 1)t 6t t , L2 x 9t 2t ,
2
3
3
2
3
L1 L2 x L1 ( L2 x ) ( D 2 1)( 9t 2 2t 3 )
18 12t 9t 2 2t 3
L2 L1 x L2 ( L1 x ) ( 3 D 2)( 6t t 3 )
2 2 得到原方程组的一个首次积分 1 x y c1
再利用两个方程相减得
1 d( x y ) ( x y ) 2 2 t ( x y ) c2 2 2 dt ( x y)
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1 1 x y c1 , 2 t ( x y) 2 c2 2 1 1 D( 1 , 2 ) x y 2( x y) 2 0 2 2 D( x , y ) x y 故首次积分 1 c1 , 2 c2是相互独立的，
dx y x ( x 2 y 2 1) dt dy x y( x 2 y 2 1) dt 2t e 2 2 x y 2t e c1
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考虑一般的 n 阶微分方程组
' xi
D R
n1
fi ( t , x1 , , xn ) i 1, 2, , n
2 2
x 2 y 2 c1 所以原方程组通解为 1 2 ( x y ) t c2 2
21
作业: P184 1(1,2)，2(2)，3(1,5)，5
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( L1 L4 L3 L2 ) x1 L4 g2 ( t ) L2 g1 ( t ) ?
9
1 2 x 2 3 x1 t 2 x 例 3 求解方程组 1 2 x 2 3 x1 8 x2 2 2 x 解:设 L1 2 D 3, L2 2 D, L3 2 D 3, L4 2 D 8
连续可微，且它不是常数，则 ( t , x1 , x2 ,, xn ) c 是方程组的首次积分的充要条件为
f1 fn 0 t x1 x n
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xi' fi ( t , x1 , , xn ) i 1, 2, , n 定理2 若已知方程组的一个首次积分， 则可把方程组求解问题转化为含 n -1 个方程 的方程组的求解问题.
则称 ( t , x1 , x2 ,, xn ) c 为方程组的 一个首次积分.
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xi' fi ( t , x1 , , xn ) i 1, 2, , n
设微分方程组有 n 个首次积分
1 ( t , x1 , x2 , , xn ) c1 , , n ( t , x1 , x2 , , xn ) cn
t t x c1e c2e 解出未知 函数, 原方程组通解为 t t y c1e c2e 这里 c1 , c2 是任意常数.
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x y c1e 原方程组的一个首次积分.
t
dx y x ( x 2 y 2 1) dt 例 5 求解方程组 dy x y( x 2 y 2 1) dt 解 把方程组中的第一个方程乘以 x , 第二个方 程乘以 y, 然后两式相加得 dx dy x y ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) dt dt d( x 2 y 2 ) 2( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1)dt
1 dy2 y1 ( y2 ) 2 dx
对上式两边关于 x 求导,得
dy1 1 d 2 y2 dy2 ( 2 ) dx 2 dx dx
代入原方程组的第一个方程得:
3
d y2 dy2 2 y2 0 2 dx dx
二阶常系数线性齐次方程,通解为
2
y2 ( c1 c2 x )e x
18 12t 9t 2t
2
3
8
微分算子法求解常系数线性微分方程组.
L1 x1 L2 x2 g1 ( t ) L3 x1 L4 x2 g2 ( t )
( L1 L4 L3 L2 ) x2 L1 g2 ( t ) L3 g1 ( t )
仅依赖于变量 x 2 的一个高阶微分方程……
定理3 若方程组有n个互相独立的首次积分
1 , 2 , , n , 则可由它们得到微分方程组的通解.
为了求解方程组,只需求出它的 n个互相独立的首次积分就可以了. 事实上,前面例题给出的首次积分是 互相独立的. 因此由它们确定出的解都是通解.
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y dx 2 d t ( y x ) 例 6 利用首次积分求解方程组 dy x 2 d t ( y x ) dx y 解 两个方程相除得 dy x
代入原系统的第二个方程中得 c3 0.
2
11
三 微分方程组的首次积分法 首次积分法是将方程组
xi' fi ( t , x1 , x2 , , xn ) ( i 1, 2, , n)
经适当组合化为一个可积分的微分方程. 这个方程的未知函数可能是方程组中 几个未知函数组合形式. 积分可以得到未知函数组合形式的解， 该方程为一个原方程组的首次积分.
相应地定义算子多项式：
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L D a1 D
n
n1
an1 D an , L是线性算子!
Lx ( D n a1 D n1 an1 D an ) x x ( n) a1 x ( n1) an1 x ' an x.
例如设 L1 D 2 1, L2 3 D 2, x t 3 ,则
如果在某区域内它们的Jacobi行列式
D( 1 , , n ) 0 D( x1 , , xn )
则称它们在区域G内为互相独立.
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' xi
fi ( t , x1 , , xn )
i 1, 2, , n
检验一个函数 是否为方程组的 首次积分?
定理1 设函数 ( t , x1 , x2 , , xn )在区域 D 内