用平面向量坐标表示向量共线条件(精选)
高一数学人教B版必修4课件：2-2-3 用平面向量坐标表示向量共线条件
[解析]
由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a＝3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
2x＋2＝－3x 所以 2y－4＝－6－3y
，
2 x＝－5 解得 y＝－2 5 故D
.
2 2 点坐标为－5，－5.
(2)要注意用坐标表示两向量平行的条件， a1b2－a2b1＝0 具 a1 a2 有一般性，而 ＝ 只有当 b1≠0，b2≠0 时才适用． b1 b2
• [例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为
何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们 是同向还是反向？ • [分析] 由a，b可以用坐标表示ka＋b，a －3b，然后由向量共线的条件便可以求出 k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号 确定．
• 2．2.3 用平面向量坐标表示
向量共线条件
• 1．向量共线条件的坐标表示： • 选择基底{e1，e2}，如果a＝(a1，a2)，b＝
b2－ (b1，b2)，a a1∥ ba ，则有 ； 2b1＝0 a∥b a1b2－a2b1＝0，则 反之，若 . • 当b不与坐标轴平行时，条件a1b2－a2b1＝0 可化为 ，即两个向量平行的条 件是相应坐标成比例． • 2．向量长度的坐标表示 • 设a＝(a1，a2)的位置向量 ，则由两点 间距离公式有|a|＝| |＝ .
，
[例 4]
已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b
平行，则 m＝________. 9 A．－ 10 1 C.2 2 B. 11 1 D．－2
2.3.4平面向量共线的坐标表示课件人教新课标
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
x1 y2 x2 y1 0
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝(－1，0)与 b＝(1，0)的夹角是 0°.( × ) (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则xx12＝yy21.( × ) (3)a＝(－2，3)，b＝(4，6)共线.( × )
判断向量(或三点)共线的三个步骤
1．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C
点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，
因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
a (x, y)
若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 AB (x2 x1, y2 y1).
3.平面向量共线定理： a//
b
b
0
a
b
2.3.4平面向量共线的坐标表示
a 1.
向量 与非零向量 唯一一个实数 ,
b使平得 行(a共 线)当b且(仅b当有0)
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．
向量共线坐标表示
其中b≠0,当且仅当x1y2-x2y1=0
+ +
1
坐标是
时,a∥b.
2
2
,
1
2
2
.
) 1 +2 1 +2
a.
【做一做】
下列各组向量共线的是(
2.若 P1(x1,y1),P2(x2,y 2),且1 = 2 (≠-1),则
题型三
题型四
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经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字a+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当 ka+b 与 a-3b
平行时,-4(k-3)-10(2k+2)=0,
反思已知两个向量共线,求参数的问题,通常先求出每一个向量的坐标,
题型一
1
再根据两向量共线的坐标表示,列出方程求解参数.
2
则 与共线,且有一个公共点 A,
故 A,B,C 三点共线.
题型三
题型四
题型一
题型二
反思证明三点共线的常见方法有:(1)证得两条较短的线段长度之
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和等于第三条线段的长度;(2)利用斜率;(3)利用直线方程即由其
题型三
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用平面向量坐标表示向量共线条件
练习： 1. 已知a=(4, 2)，b=(6, y)，且a//b，求y.
y=3
已知a=(3, 4), b=(cosα, sinα), 且a//b, 求tanα. tanα=4 /3
1
已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值时,向量 ka－b与a+3b平行? 并确定它们是同向还是反向.
线，则B（ ）
A．x =－1
B．x=3
C．x=9
D．51
2
6.设a=(23
, sinα)，b=(cosα1 ,
3
则锐角α为 (C )
)，且a// b，
A．30o
B．60o
C．45o
D．75o
△ABC的三条边的中点分别为(2, 1)和(－3, 4),(－1,－1)， 则△ABC的重心坐标为 _______
解：利用⑴式可求出y的值，
1×5－2×y=0 所以y 5
2
说明：利用向量的线性运算求出向量
的坐标，再
利用向量平行的条件式 ，就可知A、B、C三点共线。
AB, AC
例2. 在直角坐标系xOy内，已知A(－2,－3)、B(0,1)、 C(2,5)，求证：A、B、C三点共线。
解：A B ( 0 ,1 ) ( 2 , 3 ) ( 2 ,4 ) A C ( 2 ,5 ) ( 2 , 3 ) ( 4 ,8 )
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用平面向量坐标表 示 向量共线条件
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两个向量a, b平行的条件：
a=λb，b≠0.
那么当向量a的坐标为(a1, a2), b的坐 标为(b1, b2)时，代入上式，得
平面向量共线的坐标表示
2．3.4平面向量共线的坐标表示学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．知识点 平面向量共线的坐标表示1．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb . 2．如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线．注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2.( × )提示 当y 1y 2＝0时不成立．2．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .( × ) 3．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .( √ )4．向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线．(√)题型一向量共线的判定例1(1)下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)考点平面向量共线的坐标表示题点向量共线的判定答案 D解析A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故选D.(2)在下列向量组中，可以把向量a＝(－3,7)表示出来的是() A．e1＝(0,1)，e2＝(0，－2)B．e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10)C．e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1)D．e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8)考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定 答案 C解析 平面内不共线的两个向量可以作基底，用它能表示此平面内的任何向量，因为A ，B ，D 都是两个共线向量，而C 不共线，故C 可以把向量a ＝(－3,7)表示出来．反思感悟 向量共线的判定题目应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标条件进行判断，特别是利用向量共线的坐标条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 跟踪训练1 下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 B解析 A 选项，∵e 1＝0，e 1∥e 2，∴不可以作为基底；B 选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e 1与e 2不共线，故可以作为基底；C 选项，3×10－5×6＝0，e 1∥e 2，故不可以作为基底；D 选项，2×⎝⎛⎭⎫－34－(－3)×12＝0， ∴e 1∥e 2，不可以作为基底． 故选B.题型二 三点共线问题例2 已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线． 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 三点共线的判定与证明 证明 AB →＝⎝⎛⎭⎫8－1，12＋3＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB ，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．反思感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行．②证明两个向量有公共点．(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．跟踪训练2 已知OA →＝(k ,2)，OB →＝(1,2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A ，B ，C 共线，则实数k ＝________.考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数 答案 －14解析 AB →＝OB →－OA →＝(1－k,2k －2)， AC →＝OC →－OA →＝(1－2k ，－3)， 由题意可知AB →∥AC →，所以(－3)×(1－k )－(2k －2)(1－2k )＝0， 解得k ＝－14(k ＝1不合题意舍去)．由向量共线求参数的值典例 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求参数解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.引申探究1．若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？ 解 由本例知当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？解 a ＋k b ＝(1,2)＋k (－3,2)＝(1－3k ,2＋2k )， 3a －b ＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0，解得k＝－13.[素养评析](1)由向量共线求参数的值的方法(2)本题利用向量共线的坐标表示得到有关参数的方程(组)，再解得参数的值，这正是数学核心素养数学运算的体现．1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为()A．2 B．－2 C．3 D．－3考点向量共线的坐标表示的应用题点利用向量共线求参数答案 D解析因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.2．与a ＝(12,5)平行的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫1213，－513 B.⎝⎛⎭⎫－1213，－513 C.⎝⎛⎭⎫1213，513或⎝⎛⎭⎫－1213，－513 D.⎝⎛⎭⎫±1213，±513 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知向量共线求向量的坐标 答案 C解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1213，y ＝513或⎩⎨⎧x ＝－1213，y ＝－513.3．若a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝______. 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知向量共线求参数 答案 π3解析 ∵a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，a ∥b ， ∴3sin α－3cos α＝0，即tan α＝3， 又α为锐角，故α＝π3.4．已知三点A (1,2)，B (2,4)，C (3，m )共线，则m 的值为________． 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数 答案 6解析 AB →＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)． AC →＝(3，m )－(1,2)＝(2，m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，即向量AB →，AC →共线， ∴1×(m －2)－2×2＝0，∴m ＝6.5．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数 答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x ,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.一、选择题1．下列向量中，与向量c ＝(2,3)不共线的一个向量p 等于( ) A ．(5,4) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫13，12考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 A解析 因为向量c ＝(2,3)，对于A,2×4－3×5＝－7≠0，所以A 中向量与c 不共线． 2．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(2,2)，e 2＝(1,1) B ．e 1＝(1，－2)，e 2＝(4，－8) C ．e 1＝(1,0)，e 2＝(0，－1) D ．e 1＝(1，－2)，e 2＝⎝⎛⎭⎫－12，1 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 C解析 选项C 中，e 1，e 2不共线，可作为一组基底．3．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 D4．(2018·云南昆明联考)如果向量a ＝(k ,1)，b ＝(4，k )共线且方向相反，则k 等于( )A ．±2B ．－2C ．2D ．0 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 B解析 ∵a 与b 共线且方向相反，∴存在实数λ(λ<0)，使得b ＝λa ，即(4，k )＝λ(k ,1)＝(λk ，λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝4，k ＝λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2，λ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λ＝2(舍去)． 5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m n等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 C解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12，故选C. 6．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数是( )①存在实数x ，使a ∥b ；②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ；③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ；④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b .A ．0B ．1C ．2D ．3考点 平面向量共线的坐标表示题点 向量共线的判定与证明答案 B解析 只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b .7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 C解析 因为A ，B ，C 三点不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，又AB →＝OB →－OA →＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ，k ＋1)，所以2k －(k ＋1)＝0，即k ＝1.8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4) 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 B解析 由题意，得m ＋4＝0，所以m ＝－4.所以a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．二、填空题9．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝______.考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 －6解析 因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.10．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)．若A ，C ，D 三点共线，则k ＝________.考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 4解析 因为AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)．又A ，C ，D 三点共线，所以AC →∥CD →，所以10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.11．已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 (3,3)解析 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34， 所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)． 12．设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m ,3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________．考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 {m |m ∈R 且m ≠6}解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形，∴AB →，AC →不共线．又∵AB →＝(1,1)，AC →＝(m －2,4)，∴1×4－1×(m －2)≠0.解得m ≠6.∴m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠6}．三、解答题13．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14|ED →|，求点E 的坐标． 解 ∵AC →＝12BC →，∴A 为BC 的中点，AC →＝BA →， 设C (x C ，y C )，则(x C －2，y C ＋1)＝(1，－5)，∴x C ＝3，y C ＝－6，∴C 点的坐标为(3，－6)，又|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上， ∴CE →＝－14ED →，设E (x ，y )， 则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )， 得⎩⎨⎧ x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7. 故点E 的坐标是⎝⎛⎭⎫83，－7.14.如图所示，已知在△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求点的坐标解 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， ∴C ⎝⎛⎭⎫0，54. ∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝⎛⎭⎫2，32，∴D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72. ∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.① 又∵CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，74，CM →∥CB →， ∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2， 故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.。
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
张喜林制2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件考点知识清单1．设),,(),,(2121b b b a a a ==其中.0=/b 那么当且仅当 时，向量)0(,=/b b a 共线．由于规定零向量与任何向量平行，则上述0=/b 的条件可去掉，当021=/⋅b b 时，向量a ，b 共线的条件也可以写 作2．设),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A 只要证明____，便可证A 、B 、C 三点共线． 3．P 是直线21p p 上的点，且P 点不与21P P 、重合，则=P 1,2pp λ设1p 坐标为211),,(P y x 坐标为P y x ),,(22点的坐标为（x ，y ），则根据向量共线条件有要点核心解读1．两向量平行的条件(1)设),,(),,(2121b b b a a a ==则.0//1221=-⇔b a b a b a(2)设b b b b a a a ),,(),,(2121==不平行于坐标轴，即=/1b ,0,02=/b 则⋅=⇔2211//b a b a b a 用语言可以表述为：两个向量平行的条件是，相应坐标成比例． 2．两个向量平行的条件的推导我们知道，如果),0(//=/b b a 则存在唯一实数A 使;b a λ= 反之，如果存在一个实数A ，使),0(=/=b b a λ则.//b a选择基底},,{21e e 如果),,(),,(2121b b b a a a ==则条件b a λ=可化为),,(),(),(212121b b b b a a λλλ==即 ,11b a λ= ①⋅=22b a λ ②①②两式的两边分别乘以,12b b 、得,2121b b b a λ= ③ ,1212b b b a λ= ④:④③-得.01221=-b a b a ⑤⑤式就是两个向量平行的条件：⑤式成立，可判断两个向量平行；反之两个向量平行，它们的坐标满足⑤式．⑤式表示的条件，是在假设0=/b 的条件下推出的．事实上，如果在讨论平行问题时，规定零向量可以与任一向量平行，在⑤式中可以去掉0=/b 的假设。
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量基本定理及坐标表示
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。
用向量坐标表示向量共线的条件
图2-452.2.3用平面向量坐标表示向量共线的条件编制：周圣民 审核：焦光亮【学习目标】:1.了解两个向量共线的坐标表示的推导过程2.能用两个向量共线的条件判断向量平行和点共线. 【重点】:1.能灵活运用向量共线的条件判定向量共线､点的共线.2.已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值 【难点】:向量的共线的､平行与几何中的共线､平行的区分及方程思想的运用. 知识连接1.平面向量基本定理：2.平面向量的坐标运算：【学习过程】问题探究一:观察图2-45,已知向量a =(1,2),b=(2,4)， 这个两个向量的坐标成比例：1.通过作图观察两个向量有何位置关系?2.如果向量c 与向量a平行,它们的坐标有什么关系?问题探究二：1.如果),(21a a =,),(21b b =且a ∥b )0(≠b ,则它们的坐标有什么关系?2.如果去掉0b ≠的条件结论成立吗?3.如果向量b不平行于坐标轴,及120,0b b ≠≠两个向量共线的条件是:二.知识点梳理两个向量平行的条件:三.典例探究例1.已知()2,5AB = 和向量()1,a y =,并且AB ∥a ,求a 的纵坐标y .变式拓展）满足方程（求证动点。
且平行于向量通过点），直线（和点已知y x a A A a ,p ,l 3,0)2,1(.4 =例2.在直角坐标系xOy 内,已知()()()2,3,0,1,2,5A B C --,求证,,A B C 三点共线｡变式拓展1.已知()()()()1,1,1,3,1,5,2,7A B C D --,(1)判断AB 与CD是否共线. (2)直线AB 平行直线CD 吗？四.归纳总结:本节课你有那些的收获？当堂检测 1.知向量()()3,5,cos ,sin a b θθ==且a ∥b ,则tan θ=( )()35A ()53B ()()3553C D --2.已知()()2,3,5,6A B ,且A ､B ､C 三点共线,则C 点坐标可以为( )()()()()()()()()1,11,21,22,1A B C D ---3.已知点()()()()0,1,1,0,1,,2,1A B C y D ,若AB ∥CD,则4.已知点A (-1,1),B (0,2),C (3,0),D (2,3),求证四边形ABCD 是平行四边形｡5.已知A ､B ､C 三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且11,33AE AC BF BC ==求证: EF ∥AB。
用平面向量坐标表示共线条件含答案
】课时作业20 用平面向量坐标表示向量共线条件时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．下列各组向量相互平行的是( ) A ．a ＝(－1,2)，b ＝(3,5) B ．a ＝(1,2)，b ＝(2,1) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(3,4) D ．a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2):解析：∵b ＝(4，－2)＝－2(－2,1)＝－2a ，∴b ∥a ，所以D 正确． 答案：D2．设a ＝(13，tan α)，b ＝(cos α，32)，且a ∥b ，则锐角α为( )解析：∵a ∥b ，∴13×32－tan α·cos α＝0，∴sin α＝12，又∵α为锐角，∴α＝π6，故选B.，答案：B3．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a＋b )，则x 的值为( )A ．4B ．8C ．0D ．2 解析：利用向量共线的坐标表示得方程．∵a －2b ＝(8－2x ，12x －2)，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∴(8－2x )(x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2(16＋x )＝0.∴x ＝4或x ＝－4(舍去)． 答案：A：4．已知A (－1，－4)，B ⎝⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则C 点坐标可以为( )A ．(9,1)B ．(－9,1)C ．(9，－1)D ．(－9，－1)解析：设C 点坐标为(x ，y )，因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(－1，－4)＝⎝⎛⎭⎪⎫9，92，AC →＝(x ＋1，y ＋4)，所以9(y ＋4)－92(x ＋1)＝0，代入验证，所以A 正确．答案：A5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )…C ．1D ．2解析：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ， ∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.答案：B6．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝k a＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：c＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，d＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，|∵c∥d，∴k×(－1)－1×1＝0，∴k＝－1.∴c＝(－1,1)与d反向，∴选D.答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.解析：λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，∵(λa＋b)∥c，∴－7(λ＋2)＝－4(2λ＋3)⇒λ＝2.故填2.答案：2！8．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.解析：λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，2－λ)．∵(λa＋b)∥(a＋λb)，∴(3λ＋2)(2－λ)－(3＋2λ)(2λ－1)＝0，即7λ2＝7.∴λ＝1或－1.答案：1或－19．设a＝(4,3)，b＝(λ，6)，c＝(－1，m)，若a＋b＝c，则λ＝________，m＝________.！解析：∵a ＋b ＝c ，∴(4,3)＋(λ，6)＝(－1，m )，⎩⎪⎨⎪⎧4＋λ＝－1，3＋6＝m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－5，m ＝9.答案：－5 9三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．(1)已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，－4)，判断AB →与CD →是否共线．(2)设a ＝(6,3m )，b ＝(2，x 2－2x )且满足a ∥b 的实数x 存在，求实数m 的取值范围．解：(1)AB→＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)， CD →＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)，&∵4×(－8)－4×(－8)＝0，∴AB →∥CD →，即AB →与CD→共线． (2)∵a ∥b ，∴6(x 2－2x )－3m ×2＝0， 即x 2－2x －m ＝0，根据题意，此关于x 的方程有实根， 故有Δ＝4＋4m ≥0，即m ≥－1.11．已知A (2,1)，B (3,5)，C (3,2)，若AP →＝AB →＋tAC→(t ∈R )，试求t 为何值时，点P 在第二象限解：设点P 的坐标为(x ，y )，则>AP →＝(x ，y )－(2,1)＝(x －2，y －1)，AB →＋tAC→＝(3,5)－(2,1)＋t [(3,2)－(2,1)] ＝(1,4)＋t (1,1)＝(1,4)＋(t ，t )＝(1＋t,4＋t )，由AP →＝AB →＋tAC→得(x －2，y －1)＝(1＋t,4＋t ) ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1＋t ，y －1＝4＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝5＋t ，若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t <0，y ＝5＋t >0，∴－5<t <－3，即当－5<t <－3时，点P 在第二象限． 12.[如图，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA ，OB 分别相交于点M ，N ，若OM→＝xOA →，ON →＝yOB →(0<x <1)． (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)令F (x )＝1f x＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明．解：(1)OP →＝AB →＝OB →－OA →，NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →， MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA → ＝－(1＋x )OA →＋OB →，又NM →∥MP →，有x －y (1＋x )＝0，/即f (x )＝xx ＋1(0<x <1)．(2)由(1)得F (x )＝x ＋1x ＋x ＝x ＋1x＋1(0<x <1)，设0<x 1<x 2<1，则F (x 1)－F (x 2)＝(x 1＋1x 1＋1)－(x 2＋1x 2＋1)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2.由0<x 1<x 2<1，得x 1－x 2<0，x 1x 2－1<0，x 1x 2>0， 得F (x 1)－F (x 2)>0， 即F (x 1)>F (x 2)．所以F (x )在(0,1)上为减函数．。
第二章23234平面向量共线的坐标表示
[活学活用] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数 k 为何值时，(ka＋b)∥(a－ 3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？ 解：∵a＝(1,2)，b＝(－3,2)， ∴ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)． 由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－13. 此时 ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)， ∴当 k＝－13时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反.
A．3
B．－3
1 C.3 解析：选 C
D．－13 ∵a∥b，∴(－1)×(－1)＝3x，∴x＝13.
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2．已知 A(2，－1)，B(3,1)，则与 AB平行且方向相反的向量 a
是
()
A．(2,1) C．(－1,2)
B．(－6，－3) D．(－4，－8)
解析：选 D AB＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2) 与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
返回
3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若 λa＋μb 与 a＋b 共线，则 λ 与 μ 的关系是________． 解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－ 1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa＋μb)∥(a＋b)， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ
返回
∴yx＝＝－2＋11＋231＋×＋2323×23－31，，
即xy＝＝3545.，
故 P 点坐标为54，35.
(2)当 P1P 与 PP2 反向时，则有 P1P ＝－23 PP2 ，设 P 点坐
第二章 2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件
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→ 即AB＝(4,6)．∴点 B 的坐标为(5,4).
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.3
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1． 下列各组的两个向量共线的是 A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14) C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2) D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)
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点之间的位置关系． → → → 解 ∵AB＝OB－OA＝(1,3)－(－1，－1)＝(2,4)， → → → AC＝OC－OA＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， → → 又 2×6－3×4＝0，∴AB∥AC. ∵直线 AB、AC 有公共点 A，
∴A、B、C 三点共线．
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a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵ka＋b 与 a－3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－ . 3
此时
1 2 1 ka＋b＝－3－3，－3＋2＝－3(a－3b)，
1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向． 小结 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条
解
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设 P 点坐标为(x，y)． → → → → → → ∵|AP|＝2|PB|，∴AP＝2PB或AP＝－2PB. → → 当AP＝2PB时，(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
x－3＝－2－2x ∴ y＋4＝4－2y
1 x＝ 3 ，∴P 点坐标为1，0. ，解得 3 y＝0
用平面向量坐标表示向量共线的条件
学习目标：会用两角和与差的余弦公式进行求值，化简和证明. 一、自主学习，构建网络1.平面向量的坐标表示：_____________________________________________________________________________________________________________________2.设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) ，a ∥b (b 0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.二、自我检测，明确重点1.若a =(2,3),b =(4,-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ）A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ,-1),B (1,3),C (2,5)三点共线，则x 的值为（ ）A.-3 B .-1 C.1 D.33.若AB =i +2j , DC =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.已知a =(4,2),b =(6,y ),且a ∥b ，则y = .5.已知a =(1,2),b =(x ,1),若a +2b 与2a -b 平行,则x 的值为 .6.已知平行四边形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3,x),C (2,3),D (4,x )，则x = .三、点拨思路，归纳方法例1、已知O 是坐标原点，=(k , 12) , =( 4 , 5 ) , =( 10 , k ) , 当k 为何值时，学科数学 课题 用平面向量坐标表示向量共线的条件 学案序号25 使用时间 6月 课型 新授课 备课、审核教师 康灵班 级： 姓 名：A,B,C 三点共线？例2例3.四、达标检测，回顾总结1.设a =(23，sin)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1,-1)一定不平行的向量是（ ）A.(k ,k ) B .(-k ,-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3.已知向量)3,2( a ，)6,(x b ，且b a //，则 x 。
2.2.3用平面向量坐标表示共线条件
>>
ka 2b与2a 4b平行 （ 4 k 6） 14(2k 4) 0 解得k 1.
5、已知A（2，3），B（4，3），a ( x 3, x 3 x 4), -1 与AB相等, 则x ____
2
△ABC的三条边的中点分别为(2, 1)和(－3, 2 4 ( , ) 4),(－1,－1)，则△ABC的重心坐标为 _______ 3 3
用平面向量坐标
表示向量共线条件
学习目标研读
1．课堂目标
理解并掌握用坐标表示平面向量共线的条件． 2．重点难点 重点：用坐标表示平面向量共线的条件． 难点：向量共线的坐标表示的应用．
创设情境
1.
向量的坐标表示,并且向量之间可以进行的坐标
B x 2 , y2
运算
y
A x1 , y1
例3、 在 直 角 坐 标 系 xoy中, 已 知A 2,3, B0,1
解题思路： （思想）
证点共线
向量共线
有公共端点
（几何）
（向量）
点共线 （几何）
变式1：已知OA k ,12 , OB 4,5 , OC 10, k O为坐标原点,问k为何值时, A, B, C三点共线 ? 2或11
存在 R，使得ka 2b （2a 4b） ka 2b k (1, 2) 2(3, 2) (k 6, 2k 4). 即 k-2 a 4 2 b 2a 4b 2(1, 2) 4(3, 2) (14, 4). a与b不共线 k 2 0 4 2 0 k -1
C 2,5, 求 证 : A, B, C三 点 共 线 .
证明 :由已知条件得 AB 0,1 2, 3 2, 4 AC 2,5 2, 3 4,8 28 4 4 0 AB // AC 又因为有公共端点A. 因此A,B,C三点共线.
平面向量共线的基本表示
题型一 向量共线的判定 【例 1】 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路探索] 属于向量共线的条件问题．
题型三 向量共线的应用 【例 3】 如图所示，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 和 OB 交点 P 的坐标．
审题指导 本题综合考查了[规范解答] 法一 设 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)．(3 分) ∵O→P，O→B共线，∴4x－4y＝0①(6 分) 又C→P＝(x－2，y－6)，C→A＝(2，－6)，(9 分) 且向量C→P、C→A共线， ∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0②(12 分) 解①②组成的方程组，得 x＝3，y＝3， ∴点 P 的坐标为(3,3)．(14 分)
自学导引 向量共线的坐标表示 一般地，向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果 a∥b，那 么 x1y2－x2y1＝0 ，反过来，如果 x1y2－x2y1＝0，那么 a∥b. 试一试：写出与坐标轴平行的向量的坐标特点． 提示 与 x 轴平行的向量的纵坐标都为 0，即 a＝(x,0)与 y 轴 平行的向量的横坐标都为 0，即 b＝(0，y)．
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
类型二 利用向量共线求参数 【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路探索] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再由向量共线的充要条件 列方程组求k. 解 法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)， 即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3)． [规律方法] 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线 或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助 共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．
【活学活用3】 平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，
新知导学 平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a，b(b≠0)共线
温馨提示：平面向量共线的坐标表示的记忆策略
互动探究 探究点1 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ 提示 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向 量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1， －2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向 量(－1,0)与(3,0)反向等． 探究点2 若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有yx11＝xy22吗？ 提示 不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或 零向量，则不能写成比例式.
平面向量共线的坐标表示_课件4
02
掌握平面向量的坐标表 示法，能够熟练地进行 向量的坐标运算。
03
理解共线向量的定义和 性质，掌握判断两个向 量是否共线的方法。
04
掌握共线向量坐标表示 的推导过程，能够运用 所学知识解决相关问题 。
02
平面向量的基本概念
向量的定义与性质
向量定义
向量是具有大小和方向的量，用 有向线段表示，有向线段的长度 表示向量的大小，有向线段的方 向表示向量的方向。
平面向量共线的坐标表示_课件4
汇报人：XX
目录
• 引言 • 平面向量的基本概念 • 平面向量共线的条件 • 平面向量共线的坐标表示 • 典型例题解析 • 课堂小结与作业布置
01
引言
课件背景与目的
课件背景
平面向量是数学中的重要概念，共线 是平面向量的一种特殊关系。本课件 旨在通过坐标表示法，探究平面向量 共线的性质和应用。
，即a·b=|a||b|cos<a,b>。
03
平面向量共线的条件
共线向量的定义
定义
若两个向量$vec{a}$和$vec{b}$满足$vec{a} = kvec{b}$（ $k$为实数），则称$vec{a}$和$vec{b}$共线。
说明
共线向量也称为平行向量，它们所在的直线平行或重合。
共线向量的性质
如果两个向量a、b满足a = λb (λ为实 数)，则称向量a与向量b共线。
共线向量的坐标运算
设向量a = (x1, y1)，向量b = (x2, y2)且a与b共线，则存在实数λ使得x1 = λx2，y1 = λy2。特别地，当x2 ≠ 0且y2 ≠ 0时，有λ = x1/x2 = y1/y2 。
共线向量的判定定理
6.2平面向量共线定理的坐标表示
授课主题平面向量共线的坐标表示 教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？ 答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一 平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩 固 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )， 所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二 平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评： 通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩 固 已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三 用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1， 且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________． 分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解． 解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩 固 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四 共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩 固 已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。
平面向量的基本定理及坐标表示
∵A，B，C三点共线，∴―A→B ，―A→C 共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－23．
课前·双基落实
答案：A
课·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
2．(2017·贵阳监测)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若 (m＋n)∥(m－n)，则λ＝________． 解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又 (m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得 λ＝0． 答案：0
a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[小题体验] 1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，则m的值为______．
答案：－3 2．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝_____．
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平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[谨记通法]
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法 则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向 量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则， 通过列方程(组)来进行求解．
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课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
考点二 平面向量的坐标运算
[题组练透]
1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为( )
A．(－3,4)
B．(3,4)
C．(3，－4)