建筑力学第十三章

式中 a、b是与材料性质有关的系数。
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表 13-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木 a(MPa) 304 461 578 9807 332.2 373 28.7 b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b改为 h
后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的多少倍？
建筑力学
Pcr b Pcr a
4 E Ib h 2 3 Ib ( l) h 12 2 3 8 I a hb b E Ia 2 12 ( l)
2
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2
所以，只有压杆的长细比λ≥100时，才能应用
欧拉公式计算其临界压力。
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13.4压杆稳定的实用计算 1 压杆稳定综合计算基础 当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适用。 在工程上，一般采用经验公式。 在我国的设计手册
和规范中给出的是直线公式和抛物线公式。
直线公式
cr a b
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第十三章
压杆稳定
13.1压杆稳定性概念 1 平衡的稳定性概念
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2 平衡的稳定性概念
钢板尺：一端固定
一端自由
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Pcr 称为临界压力
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13.2压杆稳定的临界力计算
1 两端铰支细长压杆的临界压力
M ( x) P v
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P E I v M ( x ) P v 即 v v0 EI P 令k EI
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经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
a s 记 s b
a s 即 b
则 s p
经验公式的适用范围
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对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度 问题
cr s

经验公式中，抛物线公式的表达式为 2 cr a1 b1
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同， 设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
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例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性 模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下杆 系所能承受的最大载荷。
a 故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax 2 Pcr
Pcr
EI
2 2
2 Ed
3
4
64a
2
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13.3压杆稳定的临界应力
1
临界应力
EI Pcr 2 (l )
2
E (i A) E EI cr 2 2 2 (l ) A A (l ) A l i 2 l E 令 则 cr 2 i
r1 x
y （C1 C2 x）e ③一对共轭复根 r1,2 i 通解
ye
x
(C1 cos x C2 sin x )
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通解： v A sin kx B cos kx 边界条件：x 0时：v 0 B 0 x l 时：v 0 A sin kl 0 sin kl 0 kl n (n 0,1,2, )
2
M ( x) P v
，则 v k v 0
2 2
2
特征方程为 r k 0
有两个共轭复根 ki
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求二阶常系数齐次微分方程y p y q 0 的通解 特征方程为 r 2 pr q 0
①两个不相等的实根 r1 、r2 通解 r1 x r2 x y C1e C2 e ②两个相等的实根 r1 r2 通解
式中 a1 、b1也是与材料性质有关的系数，可在
有关的设计手册和规范中查到。
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临界应力总图
1)细长杆( p ), 用欧拉公式
2E cr 2 2)中长杆(s p ), 用经验公式 cr a b
3)粗短杆( s ), 用强度条件
cr s
n k l
P k EI
2
P EI

P
n EI
2 2
l
2
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两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
Pcr
EI
2
l
2
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2
其它约束条件下细长压杆的临界力
EI Pcr 2 (l )
2
称为长度系数
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1 2 0.7 0.5
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解： (a ) 杆BD受压，其余杆受拉 BD杆的临界压力: 2 2 EI EI Pcr 2 2 2a 2a


故杆系所能承受的最大载荷 2 3 4 E I Ed Pmax Pcr 2 2 2a 128a
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(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pc r
2 2 2
2
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l
i
2
压杆的长细比 或柔度
cr
E 2
计算压杆的临界应 力的欧拉公式
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2
欧拉公式的适用范围
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程
E I v M ( x )
在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉公式也 只有在满足胡克定律时才能适用： 2
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2 压杆的稳定计算
1）安全系数法
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2）折减系数法
工程中为了简便起见，对压杆的稳定计算还 常采用折减系数法。即将材料的压缩许用应力 [] 乘上一个小于 1 的折减系数 作为压杆的许用临界 应力，即： [cr] = []；
< 1，称为折减系数
按折减系数法进行压杆的稳定计算，其稳定条 件为
cr
E 2 p
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或写成
E p
2
记
2E p p
则欧拉公式的适用范围： p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
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对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
2 9 E 206 10 p 100 6 p 200 10