层次分析法

标度
定义
1
因素 与因素 相同重要
3
因素 比因素 稍重要
5
因素 比因素 较重要
7
因素 比因素 非常重要
9 2，4，6，8，
因素 比因素 绝对重要 因素 与因素 的重要性的比较值介于上述两个相邻等级
之间
倒数 1，
因素 与因素 比较得到判断值为 的互反数，
注：以上比较的标度 Satty 曾用过多种标度比较层，得到的结论认为：1～9 尺度不仅在较简单的尺度中最
三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而 Santy 等人提 出：一致矩阵法 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。
3
数
4
5
6
7
8
9
0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
并定义新的一致性检验指标为：
随机一致性检验指标—— 的解释：
为确定 的不一致程度的容许范围，需要确定衡量 的一致性指示 的标准。于是 Satty 又引入所谓随机一致
性指标 ，其定义和计算过程为：
①
若重量向量 未知时，则可由决策者对物体 之间两两相比关系，主观作出比值的判断，或用 Delphi（调查 法）来确定这些比值，使 矩阵（不一定有一致性）为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断 矩阵 ，并且此 （不一致）在不一致的容许范围内，再依据： 的特征根或和特征向量 连续地依赖于矩阵 的元素 ，即当 离一致性的要求不太远时， 的特征根 和特征值（向量） 与一致矩阵 的特征根 和特征 向量 也相差不大的道理：由特征向量 求权向量 的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。
来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：
①
能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；
②
工作收入较好（待遇好）；
③
生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；
④
单位名声好（声誉-Reputation）；
⑤
工作环境好（人际关系和谐等）
⑥
发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。
为修正值表。
3． 一致性检验指标的定义——一致性比率 。 由随机性检验指标 可知： 当 时， ，这是因为 1, 2 阶正互反阵总是一致阵。 对于 的成对比较阵 ，将它的一致性指标 与同阶（指 相同）的随机一致性指标 之比称为一致性比率—— 简称一致性指标， 即有： 一致性检验指标的定义——一致性比率 定义： ： 当： 时，认为主观判断矩阵 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。否则，对主观 判断矩阵 重新进行成对比较，构重新的主观判断矩阵 。 注：上式 的选取是带有一定主观信度的。
四：一致性矩阵 Def：设有正互反成对比较矩阵：
(4) 除满足：（i）正互反性：即 而且还满足：（ii）一致性：即 则称满足上述条件的正互反对称矩阵 A 为一致性矩阵，简称一致阵。
一致性矩阵（一致阵）性质： 性质 1： 的秩 Rank(A)=1 的唯一非 0 的特征根为 n 性质 2： 的任一列（行）向量都是对应特征根 的特征向量： 即有(特征向量、特征值)： ，则向量 满足： 即： 启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即 n 个元素 W1, W W W 2, 3 , … n 构成的向量 是一致矩阵 A 的特征向量，则可以把向量 W 归一化后的向量 ，看成是诸元素 W1, W W W 2, 3 , … n 目标的权向量，因此，可以用求 A 的特征根和特征向量的办法，求出元素 W1, W2, W3 , W… n 相对于目标 O 的劝 向量。 解释：一致矩阵即： 件物体 ，它们重量分别为 ，将他们两两比较重量，其比值构成一致矩阵，若用重量 向量 右乘 ，则 ： 分析：
②成对比较矩阵比较的次数要求太 ，因： 个元素比较次数为： 次，
因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素 对上层因素 O 的权重？
对此 Saoty 提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素 对因素（上层因素）O 的权重方法，并确
定了这种不一致的容许误差范围。
为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性
对固定的 ，随机构造正互反阵 ，其元素 从 1～9 和 1～ 中随机取值，且满足 与 的互
反性，即： ，且 .
②
然后再计算 的一致性指标 ，因此 是非常不一致的，此时， 值相当大.
③
如此构造相当多的 ，再用它们的 平均值作为随机一致性指标。
④
Satty 对于不同的 ～11)，用 100～500 个样本 计算出上表所列出的随机一致性指标 作
问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 （即必要条件），但用特征根来求特征向量时，应回 答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩阵 的最大特征根 时， 是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 的特征根 和特征向量 连续逼近一致阵 的特征根 和特征向量 时，即： 由 得到： 即： 是否在理论上有依据。 3．一般情况下，主观判断矩阵 在逼近于一致阵 的过程中，用与 接近的 来代替 ，即有 ，这种近似的替 代一致性矩阵 的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断 指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要 两两比较构造 主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题的内容。 以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材 P325，定理 1、定理 2）。第 3 个问题：Satty 给出一致性指标（TH1,TH2 介绍如下：） 附： Th1：（教材 P326，perronTh 比隆 1970 ）对于正矩阵 （ 的所有元素为正数） （1） 的最大特征根是正单根 ； （2） 对应正特征向量 （ 的所有分量为正数） （3） 其中： 为半径向量， 是对应 的归一化特征向量 证明：（3）可以通过将 化为标准形证明
Th2： 阶正互反阵 A 的最大特征根 ； 当 时， 是一致阵
五、一致性检验——一致性指标： 1．一致性检验指标的定义和确定—— 的定义： 当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵 ，一般不可直接保证正互反矩阵 就 是一致正互反矩阵 ，因而存在误差（及误差估计问题）。这种误差，必然导致特征值和特征向量之间的误 差 。此时就导致问题 与问题 之间的差别。（上述问题中 是主观判断矩阵 的特征值， 是带有偏差的相 对权向量）。这是由判断矩阵不一致性所引起的。 因此，为了避免误差太大，就要衡量主观判断矩阵 的一致性。 因为： ①当主观判断矩阵 为一致阵 时就有：
因素比较方法 —— 成对比较矩阵法： 目的是，要比较某一层 个因素 对上一层因素 O 的影响（例如：旅游决策解中，比较景色等 5 个准则在选 择旅游地这个目标中的重要性）。 採用的方法是：每次取两个因素 和 比较其对目标因素 O 的影响，并用 表示，全部比较的结果用成对比较 矩阵表示，即：
（1）
由于上述成对比较矩阵有特点：
引起的误差越大)
（3）
一般 ，认为主观判断矩阵 的一致性可以接受，否则应重新进行两两比较，构造主观
判断矩阵。
2．随机一致性检验指标——
问题：实际操作时发现：主观判断矩阵 的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩阵的一致性要
求。于是引入修正值 来校正一致性检验指标：即定义 的修正值表为：
的
维1
2
为一致阵时有： 此时存在唯一的非 （由一致阵性质 1：Rark(4)=1， 有唯一非 O 最大特征根且 ）
②当主观判断矩阵 不是一致矩阵时，此时一般有： 此时，应有：
（Th2）
即：
所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标，
即：
显然：
（1）
当 时，有： ， 为完全一致性
（2）
值越大，主观判断矩阵 的完全一致性越差，即： 偏离 越远(用特征向量作为权向量
故可称 为正互反矩阵：显然，由 ，即： ，故有：
例如：在旅游决策问题中：
=
表示：
故：
=
表示：
即：景色为 4，居住为 1。
=
表示：
即：费用重要性为 7，居住重要性为 1。
因此有成对比较矩阵：
？？问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题：
①
即存在有各元素的不一致性，例如：
既ຫໍສະໝຸດ Baidu：
所以应该有：
而不应为矩阵 中的
费用
居住
饮食
旅途
准则层 P1
P2
P3 方案层 C．资源开发的综合判断 7 种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。 对经济发展、贡献 U
铜 Co
铁 In
磷酸盐
钿 Ur
铝 Al
金 Go
经济价值
开採费
风险费
要求量
战略重要性
交通条件
二、问题分析： 例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行： （S1）将决策解分解为三个层次，即： 目标层：（选择旅游地） 准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等 5 个准则） 方案层：（有 ， ， 三个选择地点） 并用直线连接各层次。 （S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过程中常是定 性的。 例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择； 中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。 而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。 （S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。 以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。
好，而且比较的结果并不劣于较为复杂的尺度。Satty 曾用的比较尺度为：
问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？
——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？
工作选择
贡献
收入
发展
声誉
工作环境
生活环境
可供选择的单位 P1’ P2 ‘ ----- Pn
Ｂ.假期旅游地点选择 暑假有 3 个旅游胜地可供选择。例如： ：苏州杭州， 北戴河， 桂林，到底到哪个地方去旅游最好？要作 出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等 作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。 选择旅游地 目标层 景色
传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有： 机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系； 统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规 律。
基本内容：（1）多目标决策问题举例 AHP 建模方法 （2）AHP 建模方法基本步骤
（3）AHP 建模方法基本算法 （3）AHP 建模方法理论算法应用的若干问题。
层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法 70 年代由美国运筹学家 T·L·Satty 提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸 收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据 情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学 工具之一。
参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第 9 章；第三版，第 8 章），高等教育出版社 2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第 10 章），清华大学出版社 3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第 11 章，第 7 节，清华大学出
版社
一、问题举例：
A．大学毕业生就业选择问题
获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生
六、标度——比较尺度解：
在构造正互反矩阵时，当比较两个可能是有不同性质的因素 和 对于上层因素 O 的影响时，採用什么样的 相对刻度较好，即 的元素的值在（1～9）或（1～ ）或更多的数字，Satty 提出用 1～9 尺度最好，即 取 值为 1～9 或其互反数 1～ ，心理学家也提出：人们区分信息等级的极限解能力为 ±2。可见对 阶矩阵， 只需作出 个判断值即可