流体力学公式总结.

流体微团运动分析

加速度 : 欧拉法的加速度三个分量 z u u y

u u x

u u t

u Dt

Du a y z

y y y x y y

y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

=

z

u u y

u u x

u u t

u Dt

Du a z z

z y

z x

z z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

=

z

u u y

u u x

u u t

u Dt

Du a x z

x y

x x

x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= =

u

u t

u Dt

u D a

(∇∙+∂∂=

=

哈密顿算子

t

k t j t i ∂∂+∂∂

+∂∂=∇ 1. 线变形

(1线应变率(线变形速度 :

(2面积扩张率 : 流体面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率(3体积膨胀率 :流体体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率

x

u x xx ∂∂=

εy

u y yy

∂∂=

ε

z

u z zz

∂∂=

ε

y

u x u u y x ∂∂+

∂∂=∙∇ z

u y u x u u z

y x ∂∂+

∂∂+∂∂=∙∇⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=y

u x u x y

xy

21ε⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂=y u z u z y yz 21ε⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂=z u x u x z zx

21ε2. 角变形速度:单位时间直角边的偏转角度之半为流体微团的的角变形速度。

3 流体的旋转(旋转运动

• 旋转角速度 : 两正交线元在 xy 面内

绕一点的旋转角速度平均值⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-

∂∂=y u x

u x y

z 21ω(规定逆时针方向为正

• 涡量 (三维流场

z

y

x

u u u z y x ∂∂∂∂∂∂=

⨯∇==Ωk j i u

ω2⎪⎪⎭

⎫⎝⎛∂∂-∂∂=

z

u y u y z x 21ω⎪

⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=

x u z u z x y 21ω• 流体微团运动一般由平动、转动和变形运动(线变形和角变形三

部分组成。

4. 无旋运动和有旋运动

z

y

x

u u u z y x ∂∂∂∂∂∂=

⨯∇==Ωk j i u

ω2k

j i (2z y x ωωω++=Ω

2

1k j i ω=

++=z y x ωωω0

0; 0; 0Ω2

1k j i ω===⇒⇒==

++=z y x z y x ωωωωωω凡是流体微团不存在旋转运动的流动称为无旋运动或有势运动;否则称为有旋运动。无旋运动或有势运动:

z

u x

u x u z

u y u x

u x z z y x y ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂;

;

0; 0; 0k j i ω===⇒⇒=++=z y x z y x ωωωωωω无旋,否则有旋

等于 0 0? =z

y

x

u u u z y x ∂∂∂∂∂∂=

⨯∇==Ωk j i u

ω2如何判断有旋还是无旋 ? 流体静力学

条件 : 平面不可压缩流

再利用无旋条件: y

u x

u x

y ∂∂=∂∂0

2

2

22

=∂∂+

∂∂y

x

ψψ拉普拉斯方程。

c o =ψ流线。

=∂∂+∂∂=∙∇y

u x u u y x x

u y

u y x ∂∂=

∂∂=

ψψ, (2 流函数: 条件 : 无旋流

ϕ

∃⇒⇒∂∂=∂∂y

u x

u x y y

u x

u y x ∂∂=

∂∂=

ϕϕ;

平面不可压缩流的连续性方程: =∂∂+

∂∂y

u x

u y x 0

2

2

22

=∂∂+

∂∂y

x

ϕϕ拉普拉斯方程 c o =ϕ等势线(1 速度势:

u (0

( ( (=⋅∇=∂∂+

∂∂+

∂∂

ρρρρz

u y

u x

u z y x (2 不可压缩流体 0 u 0

=⋅∇=∂∂+

∂∂+

∂∂ z

u y

u x

u z y x (3不可压缩平面 (二维连续性方程有

0u 0=⋅∇=∂∂+∂∂ y

u x u y

x 0

( ( (=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z

u y

u x

u t z y x ρρρρ0

u (=⋅∇+∂∂

ρρt

(1 恒定 (定常 (4 恒定不可压缩总流的连续性方程恒定的 :

⎰=∙+

∂∂τρτρ

(A